準地衡流渦位方程式

準地衡流渦位方程式
• 地衡流の式は、圧力勾配とコリオリ力のバランス
を示すものであり、時間変化を追うことはできな
い。
• 準地衡流渦位方程式は、ほぼ地衡流バランスし
ている流れ（準地衡流の由縁）の時間変化を記
述する方程式である。
• コンピュータが開発された当時、準地衡流渦位
方程式を数値的に解き、天気予報が行われた。
• 天気予報のために、コンピュータ開発されたとも
いえる。
発散性がない場合の準地衡流渦位方程式の導出：
渦位の保存と非発散条件を組み合わせて導出する方法
①発散性がない場合：η=0
f 
：渦位, f : 惑星渦度＝コリオリパラメータ, h
v u
   ：相対渦度, h  H  d : 流体層の厚さ
x y
dq
 0 : 渦位の保存
dt
q
h=H-d
d
H

非発散であるから、
u v

0
x y
u


, v 
y
x
v u  2  2
 
 2  2   2
x y x
y
となる。
f   , H  dとして、
渦位の式を展開し、
を含む項をにて表現してゆくと、

f 1 
f 
q
 
h

H 1 

f
H



微小量の２乗なので無視
fd 

2
 f   

H 

平面近似すると

と置ける。相対渦度は、
  
d 
1  1  
f  H 

 
d  d
1   
f H f H

1
fd 
~  f  

H
H 

これから、流線関数が導入でき、
f
H
1
H
1
fd 
2
 f 0     y 

H
H 
1 / Hやf 0は定数なので、保存量として、
q
q '   2  y 
fd
としてもよい。
H
q'は保存量であるから、ラグランジュ的に


f 
d 

H
保存される。よって、
dq  

 
   u  v q'  0
dt  t
x
y 
1
※　  1のとき、　(1   ) ~ (1   )
       2
fd 
 
    y 

0

t

y

x

x

y
H



           非発散準地衡流渦位方程式
発散が無い場合の準地衡流渦位方程式の解
（１）非発散ロスビー波
海底地形が平坦であるとする。つまり、d  0の場合を考えると、


       2
    y  0  

y

x

x

y

t



また、は小さいものとし、の２乗を含む項を無視する。（  線形化）

 2
0
 
x
t
波動解、  A expi (kx  ly  t )を考える。これを、上の式に代入すると、


分散関係式（振動数の式）、位相速度が得られる。
 
k
, c x 
2



（常に西に伝播する）　k
k2  l2
k2  l
この波動が、ロスビー波である。　（２）非発散停滞ロスビー波
帯状風（帯上流）Uを考える。Uは一様であるものとする。
波動擾乱に伴う流れをu ' , v' , 'とし、
U  u ' , v' であるとする。
すると、流線関数は、
  Uy   ' , u  U  u '  
  '
 '

, v  v' 
y
y
x
これらを非発散準地衡流渦位方程式に代入すると、



 '   '   2
  (U 
   '  y  0 ) 

t

y

x

x

y


となる。 'は小さいものとし、 'の２乗を含む項を無視すると。（  線形化）


  2
 '

0
 U    '  

t

x

x


波動解、 '  A expi (kx  ly  t )を考える。これを、上の式に代入すると、
(i  U (ik ))(  k 2  l 2 )   (ik )  0
  Uk 
k
k2  l
が得られる。
cx 

U 
, c x 
2


k
U 

k2  l2
0
k
k2  l2
のとき、波動は動かず停滞する。停滞性ロスビー波。
右上の図は、半旬平均した500hPa面
の高度を示している。地球規模のスケールで
偏西風が蛇行していることが分かる。
（半旬平均すると、いわゆる総観規模の高低気圧が
除去される。総観規模の高低気圧とは、日本に襲来する
高低気圧のことを言う。半旬平均して地球規模の変動場
だけを抽出しているのである。）
蛇行パターンが停滞するための条件を求めてみよう。
東西方向に波が存在し（k : は値がある）、
南北方向には波は存在しない（l  0）ものとする。
U



k
U
, k 
2
: 臨界波数　,　冬半球：
約40m/s
2
U
UR
 2
 2
：臨界波長
k

2 cos 
U : 40m / s,   45とすると、  9887km
45度で経度方向に地球を一周すると、
L  28284kmなので、
L
L 28284km
  *  k*  
 2.86 ~ 3
 9887km
k
波が3つぐらいのとき停滞する。
夏半球：
約23m/s
（３）非発散地形性ロスビー波
• ロスビー波は背景の渦位の不均一性を復元力としている。
渦位の式を見て分かるように、もし、海底地形が平坦で
ない場合は、流体の厚みに空間変化が存在することにな
る。つまり、渦位に空間変化が存在する。
は無いとし、北に向かうにつれて、一様に水深が浅くなる海底地形を考える。
つまり、d 
H
yの場合を考えると、
f


       2
 
    y  0　
 t y x x y 
これは、をに置き換えただけであることが分かる。
つまり、解は同じで、
k


   2 2 , c x    2 （常に浅いほうを右手
に見て伝播する）　2
k
k l
k l
この波動が、非発散の場合の”地形性ロスビー波”である。　発散性がある場合の準地衡流渦位方程式の導出：
渦位の保存と地衡流の式を組み合わせて導出する方法
②発散性がある場合：η≠0
f 
：渦位 , f : 惑星渦度＝コリオリパラメータ, h
v u
   ：相対渦度 , h  H    d : 流体層の厚さ
x y
dq
 0 : 渦位の保存
dt
q
η
h=H+η-d
d
H
地衡流の式（浅水系）
1 p

 fv  
 g
,　 x
x
1 p

fu  
 g
 y
y
g
f
   ,   
f
g
とおくと、


u
, v 
y
x
v u  2  2
 
 2  2   2
x y x
y
f   , H   , H  dとして、
渦位の式を展開し、
を含む項をにて表現してゆくと、
  
f 1  
f 
f 

q

 d
h

H 1   
 H H
※　  1のとき、　(1   ) 1 ~ (1   )

f
H
   
d 
1  1   
f  H H 

微小量の２乗なので無視
  
d   
d 
1         
f H H f  H H 

1
f fd 
~  f  


H
H
H 
1
f 2 fd 
2

  f    

H
gH
H 
平面近似すると

f
H


 f 0   2  1   y  fd 
2

H 
L
R

ここで、
q
1
H
f2
F
 1/
gH

gH / f

2
 1 / LR ( LR : 変形半径)
2
Fのことを回転フルード数と呼ぶ。
1 / Hやf 0は定数なので、保存量として、
q'   2 
1
LR
  y 
2
としてもよい。
fd
H
q 'は保存量であるから、ラグランジュ的に保存される。
dq  

 
   u  v q '  0
dt  t
x
y 
       2
1
fd 
 
    2   y 

 0　     発散性がある場合の準地衡流渦位方程式



t

y

x

x

y
H
L


R

発散性がある場合の準地衡流渦位方程式の解
（１）発散性ロスビー波：その１
海底地形が平坦であるとする。つまり、d  0の場合を考えると、

       2
1
 
    2   y   0　


LR
 t y x x y 

また、は小さいものとし、の２乗を含む項を無視する。（  線形化）

  2
1

   2  
0

t 

x
LR

波動解、  A expi (kx  ly  t )を考える。これを、上の式に代入すると、
分散関係式（振動数の式）、位相速度が得られる。
 
k
1
k l  2
LR
2
2
, c x 

k


（常に西に伝播する）　1
k l  2
LR
2
この波動が、ロスビー波である。　2
（２）発散性がある場合の停滞ロスビー波
帯状風（帯上流）Uを考える。Uは一様であるものとする。
波動擾乱に伴う流れをu ' , v' , 'とし、
U  u ' , v' であるとする。
すると、流線関数は、
  Uy   ' , u  U  u '  
  '
 '

, v  v' 
y
y
x
これらを発散性のある場合の準地衡流渦位方程式に代入すると、


 '   '   2
1
  (U 
   ' 2 (Uy   ' )  y   0 ) 

y x x y 
LR
 t

となる。 'は小さいものとし、 'の２乗を含む項を無視すると。（  線形化）

 
  2
1
 
1
U   '
  ' 2  '   U   2 ' 2  '      2 
0





t 

x

x
LR
LR
LR 


 
波動解、 '  A expi (kx  ly  t )を考える。これを、上の式に代入すると、


   U (ik )  0
)

2
2 

LR
LR
L
R






   U 2 k
   U2 


LR 
LR 



  Uk 
, c x   U 
1
1
k
2
2
k l  2
k2  l2  2
LR
LR
(i )(  k 2  l 2 
が得られる。
1
)  U (ik )(  k 2  l 2 
2
1


   U2 

LR 


cx   U 
0
1
k
k2  l2  2
LR
の時、波動は停滞する。
非発散の場合には、
cx 

U 

0
k
k2  l2
であった。非発散の場合と発散の場合の相違点は、
k2  l2  k2  l2 
  
U
LR
である。
2
1
LR
2
         渦柱の伸縮効果
         東西方向の基本流の影響
h:小
q:大
北
h:大
q:小
南
東向きの基本流が存在することは、地衡流バランスの式から、
北に向かうにつれて圧力小さくなることを意味する。
密度一様であるとき、圧力が小さいということは流体層の厚さが薄いことを意味する。
つまり、南ほど流体層は厚く、北ほど薄いことを意味する。
北ほど、薄いことは、h  H  yと表記してよい。
すると、渦位の式は、以下のように変形できる。
但し、H  y, f 0  y, f 0  

 y 
1 


f
f
f  y  
f
f 
0
0 
q
 0
 0

y
h
H  y
H 

1 

H


f 
f 
 y  y  f 0 
  y y  1 
1   1 
   f 0    y  0 y 
 0 1 

 

H
f 0 f 0 
H H 
f0 f0 H  H 
H 
fU
fU
g
    Uy,    0 y,   0
f0
g
g
なので、
1
q
H
2

 1

f
U  1 
U  
0
 f 0    y 



Uy 
f    y  2 y 
f     2 y
 H 0


 H 0
gH
L
LR  
R






東西風はと同じ効果を持つことが分かる。
（3）発散がある場合の地形性ロスビー波
• ロスビー波は背景の渦位の不均一性を復元力としている。
渦位の式を見て分かるように、もし、海底地形が平坦で
ない場合は、流体の厚みに空間変化が存在することにな
る。つまり、渦位に空間変化が存在する。
は無いとし、北に向かうにつれて、一様に水深が浅くなる海底地形を考える。
つまり、d 
H
yの場合を考えると、
f

       2
1
 
    2   y   0 


LR
 t y x x y 

これは、をに置き換えただけであることが分かる。
つまり、解は同じで、
 
k
1
k l  2
LR
2
2
, c x 

k


（常に浅いほうを右手に見て伝播する）　1
k l  2
LR
2
2
この波動が、”地形性ロスビー波”である。　波数について：
例えば、6枚目の偏西風の蛇行に伴う波動は３波
あることが人間の感覚で認知でき、１つ、２つと波
の数を数えることができる。
人間が認知できる波数をk*と定義することにしよう。
この波数は、基準の長さ（L）中に、いくつの波があ
るのかを数えたもの
になっている。つまり、波長をλとすると、

L
L
*
,
k


k*
である。
一方、
ψ=Asin(kx)
のように表記される波数は人間が認知できる波数
と異なっている。
k*とkの関係について吟味してみよう。
人間の感覚で認知できる波数(k*)が1のときに
ついて考えよう！

xL
x
k * （波数1
1
）にすると・・


  A sin k * 
2
L

 2
x   A sin

 L

x  ①

x  Lのとき、
1周期が完了している。
人間の感覚では、上の式のように考えている。
一方、数学的には、以下の式のように考える。
  Asinkx 　②
①と②を対比させてみると、
k  k *
2 k *

③
L
L
2
の関係があり、数学的なkは感覚的に理解でき
る。k*がL/2πの何倍であるかを意味している。
まだ分かりにくい。
③を少し、変形してみよう
L 2

 　④
k* k
実態のある1サイクル（L）を
感覚的に分かる波数（k*）で
割ると、
実態のある波長になる。
数学的な1サイクル（2π）を
感覚的に分からない波数（k）
で割っても、
実態のある波長になる。
結局、数学的な取り扱いが楽になるように、④の関係を用い
実態のある（訳の分かる）波数k*を
数学的な（訳の分からない）波数kに翻訳していると思えばよい。
分かりにくい場合には、波動解を②式のように置くのではなく、①式
のように置けば、常に、感覚的に理解可能な波数（k*）を意識して
式を展開したり、解くことができる。

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