スライド 1 - Hydraulic Research Laboratory

４章開水路における不等流(２) 漸変流
４－１漸変流とは
① 断面形状や底面形状が緩やかに変わる流れ。
② 変化が長区間にわたるので摩擦力が無視できない。
③ 流れが緩やかに変化するので、一般にベルヌイの式を適用するが、
運動量の式を用いた方が良い場合もある。
４－２不等流における連続式
V
A
x
A
A
x
x
V
V
x
x
x
A 
V


Q  AV   A   x  V 
 x
x 
x


V
A
A V
2
 AV  A
 x V  x 
 x 
x
x
x x
V
A
A
 x V  x  0
x
x
V
A
A
V
0
x
x

高次の微小項

 AV   0
x
AV  Constant  Q
４－３漸変流の水面形方程式と種々の水面形
【1】ベルヌイ式の適用
摩擦損失水頭
h
h 
x
x
1
v
2
(v  x)
2g
x
h
v2
2g
h
D
Text 7.1 (下) P1～7
7.3（下）P28～35
z
x
h
h  x
x
z
z  x
x
2断面間にベルヌイ式を立てる
L
v
z
h
1 
v 
zh
 h  z  x  h  x 
 v  x 
2g
x
x
2g 
x 
h
+h 
x
高次微小項
x
2
v
v
v
2
2
2
x
v  2v x  x  v  2v x 
x
x
x
2

 
v2
h 0
zh
x 
2g

損失勾配
速度水頭勾配
水深勾配
底面勾配
v2
zh
h
2g
 Constant
2
＝総水頭
2
v
z h
 h  Constant
2g
位置水頭
摩擦損失水頭
水深水頭
速度水頭
D
L
2



v
h 0
zh
x 
2g

ここで、
h
z
 i ,
 I f : 摩擦損失勾配
x
x
2

h  v 
i   
 If  0
x x  2 g 
h   v 2 
If i  
  Ie :
x x  2 g 
エネルギー勾配
とおくと、
１－３【2】で、平均流速公式と損失勾配の関係を示した。
Chezy公式では
Manning公式では
v2
If  2
C R
If 
n2v 2
R
4
3
これらの式は等流における摩擦過程で成立するとしたが、
不等流でも同じ式形が成立する。
この関係を
h   v 2 
i   
 If  0
x x  2 g 
に代入する。
Chezy型に対して、
重
要
Manning型に対して、
2
2


h  v
v
i   
 2  0
x x  2 g  C R
h   v 2  n2v 2
i   
 4  0
x x  2 g 
R3
開水路漸変流の基礎方程式
（注）漸変流の基礎式は用いる平均流速公式によって異なる！
Q
より。
連続式 Q  Av  v 
A
  v 2  Q 2   1  Q 2 2 A
Q 2 A
 3


 2
3
gA x
x  2 g  2 g x  A  2 g A x
Q 2 A
Q 2  A h A B 
 3
 3


gA x
gA  h x B x 
h   v 2  v 2
これを、
i   
  2  0 に、代入すると
x x  2 g  C R
h Q2  A h A B  v 2
i   3 

 2  0
x gA  h x B x  C R

Q 2 A  h
Q 2 A B
Q2
 2 2
1  3
 i 3
gA B x C A R
 gA h  x
これより漸変流の水面形方程式はChezy型の場合
Q A B
Q
i 3
 2 2
h
gA B x C A R

Q 2 A
x
1 3
gA h
2
2
Manning型の場合
Q 2 A B n 2Q 2
i 3
 2 4/3
h
gA B x A R

Q 2 A
x
1 3
gA h
急変流（摩擦が無視できる場
合）の方程式に新たに加わっ
た項
n 2Q 2
 2 10/ 3
Bh
【2】一様幅、広長方形断面水路の場合
A  Bh, R  h,
B
 0,
x
Manning
A
B
h
Manning
Chezy
2
Q A B
Q
Q
q
i 3
 22 22 3
1
2 3
h
gA B x C
CA
BR
h
i

C
h


i
QQ22 A
x
q2
1 3
11 33 3  B
gA hh
gh
gB
2
22
n2q 2
1  10 / 3
 i i  h2
q
1 3
gh
2
ここで、分母 = 0 とすると
q2
h 3
 hc
g
Chezy
Manning
分子 =0 とすると
0
限界水深
2
3
q
3
2 2 10
h
 h0

2
n
q 
Ci
h
  h0
 i 
等流水深
Chezy型
Manning型
3
h0
1 3
3
3
h
h

h
h
0
i
3 i 3
3
hc
x
h

h
c
1 3
h
10
3
 h0 
10
1

1  
3
3
3
h

h
h
h
h
0
 i  2  i
3
3
h

h
hc
x
c
1 3
h
問題１
台形断面の水面形方程式を導け


h
B
問題２
z
放物線形断面の水面形方程式を導け
h
z  ay 2
y
b
問題１
台形断面の水面形方程式を導け

h
h
B
tan  
 b  h tan 
b
A  bh  Bh  h(b  B)  h(h tan   B)
A  2
 h tan   hB  2h tan   B
h h
A  2

h tan   hB  h

B B
h
2h
l sin   h  l 
S  2l  B 
B
sin 
sin 
A h(h tan   B) h(h tan   B) sin 
R 

2h
S
2h  B sin 
B
sin 

これより漸変流の水面形方程式はChezy型の場合
Q A B
Q
i 3
 2 2
h
gA B x C A R

Q 2 A
x
1 3
gA h
2
2
Manning型の場合
Q 2 A B n 2Q 2
i 3
 2 4/3
h
gA B x A R

Q 2 A
x
1 3
gA h
急変流（摩擦が無視できる場
合）の方程式に新たに加わっ
た項
問題２
放物線形断面の水面形方程式を導け
z
B
h
h
A  2 ydz
z  ay 2
y
0
S
b
2


b
2
2
 dz 
1    dy
 dy 
z
y
a
2
A  bh
3
h
b2
a
2
4

 2  2h  2  2h 
S  b 1       

 3 b  5 b 

h 1

 ただし 
b 4


A
R 
S
h0となる勾配）
 hc
【3】限界勾配（
h0  hc
となる条件を求める。
Chezy式では、
2
2
q
q
h0  3 2  3
 hc
Ci
g
g
ic  2
C
Manning式では、
1
3
3
10
 n2 q 2 
3 q 2 
h0  
     hc
 i 
 gg 
n q  q 

 
 i   g 
2
2
2
10
9

q
g
20
9
10
9
ic 
n2 g
q
2
9
10
9
①
i  ic のとき
2
2
q
q g
3 ic
h0  2 
 hc 
2
Ci g Ci
i
3
従って
1
3
h0  ic 
    1
hc  i 
i に対しては常流の等流水深が生じる。これを
ic
緩勾配水路(Mild Slope Channel)という。
②
i  ic
h0  hc
i  ic のとき
2
2
q
q g
3 ic
h0  2 
 hc 
2
Ci g Ci
i
3
従って
1
3
h0  ic 
    1
hc  i 
i に対しては射流の等流水深が生じる。これを
ic
急勾配水路(Steep Slope Channel)という。
i  ic
h0  hc
【4】緩勾配水路における水面形
i  ic したがって h0  hc
①
h  h0  hc の場合
h3  h03  0
h
i 3
x
h  hc 3  0
h  hc
0
h  h0  hc
常流
h0  h  hc
常流
h0  hc  h
射流
x とともに水深が増す
で常流なので下流の状態が上流に伝播する
h
上流に向かうほど h  h0 すなわち、
0
x
M1曲線、堰上げ背水(Back Water)という。
h
i  ic
下流で境界条件
上流に向かって
計算
hc h0
3
10
i  1/ 500, q  1.0 (m2 / s)
n  0.025
 n2 q 2 
h0  
  70.54cm
 i 
q2
hc  3
 46.7cm
g
hdownstram
 84.6 (cm)
②
h0  h  hc の場合
h3  h03  0
h
i 3
x
h  hc 3  0
h  hc
0
ゆえに常流
x
とともに水深減少
上流に向かうほど
h すなわち
h0
下流に向かうほど
h すなわち
hc
M2曲線、低下背水という。
hc h0
h
0
x
h
h
0
 　または

x
x
0
支配断面
S2曲線
h
i  ic
i  ic
3
10
i  1/ 500, q  1.0 (m3 / s)
n  0.025
 n2 q 2 
h0  
  70.54cm
 i 
q2
hc  3
 46.7cm
g
hdownstram
 56.4 (cm)
③
h0  hc  h の場合
h3  h03  0
h
i 3
x
h  hc 3  0
h  hc
0
x とともに水深増加
ゆえに射流、上流の状態が下流に伝播
下流に向かうほど
h すなわち
hc
M1曲線
M3曲線
hc h0
h
i  ic
h
 　x
上流の境界
から計算を
進める
【5】急勾配水路における水面形
i  ic したがって hc  h0
④
h  hc  h0 の場合
h3  h03  0
h
i 3
x
h  hc 3  0
h  hc
0
h  hc  h0
常流
hc  h  h0
射流
hc  h0  h
射流
x とともに水深が増す
で常流なので下流の状態が上流に伝播する
上流に向かうほど
h  hc すなわち、
h

x
S1曲線
h0
hc
h
i  ic
下流で境界条件、
上流に向かって
計算
⑤
hc  h  h0
の場合
h3  h03  0
h
i 3
x
h  hc 3  0
h  hc
0
x とともに水深が減少する
で射流なので上流の状態が下流に伝播する
下流に向かうほど
h  h0
上流に向かうほど
h すなわち
hc
h
0
x
h
h
0
 　または

x
x
0
すなわち、
S2曲線
h0
hc
h
i  ic
上流で境界条件、
下流に向かって
計算
3
10
i  1/ 50, q  1.0 (m3 / s)
n  0.025
hupstream
 42.4 (cm)
 n2 q 2 
h0  
  35.4cm
 i 
q2
hc  3
 46.7cm
g
M2曲線
支配断面
hc h0
S2曲線
h
i  ic
i  ic
ここで、
h 0
h  h0  hc よって

x 0
遷移流
上流側i  1/ 500, 下流側i  1/ 50,
q  1.0 (m / s)、n  0.025
3
3
10
hc 
3
q2
 46.7cm
g
3
10
 n2 q 2 
 n2 q 2 
上流側h0  
  70.54cm、　下流側h0  
  35.4cm
 i 
 i 
下流側i  1/ 500, 上流側i  1/ 50,
q  1.0 (m / s)、n  0.025
3
3
10
hc 
3
q2
 46.7cm
g
3
10
 n2 q 2 
 n2 q 2 
下流側h0  
  70.54cm、　上流側h0  
  35.4cm
 i 
 i 
⑥
hc  h0  h
の場合
h3  h03  0
h
i 3
x
h  hc 3  0
h  hc
0
x とともに水深が増大する
で射流なので上流の状態が下流に伝播する
下流に向かうほど
h  h0
すなわち、
上流で境界条
件、下流に向
かって計算
h
0
x
S1曲線
h0
hc
i  ic
h
S2曲線
S3曲線
3
10
i  1/ 50, q  1.0 (m3 / s)
n  0.025
hupstream
 24.8 (cm)
 n2 q 2 
h0  
  35.4cm
 i 
q2
hc  3
 46.7cm
g
⑦ まとめ
M1
M2
M3
緩勾配水路
hc h0
i  ic
S1
S2
S3
急勾配水路
i  ic
h0 hc
【６】限界勾配水路における水面形
Critical Slope Channel
⑦
h h0  hc
i  ic  h
0  hc
の場合
h h0  hc
h0  hc  h
h  hc で常流なので
h  hc
h  h0
h
下流の状態が

i

0

i

i
i 3
c
3
3
3
上流に伝播する
h

h
x
h  hc
c
x とともに水深が増大する
h
 ic  h  ic x  C
x
x  Lで h  HならばH  ic L  C  C  H  ic L  h  ic ( x  L)  H
3
3
3
3
L  x  x ' と置き換えれば、 h  H  ic x '
h
0
上流に向かうと h  h

0  hc したがって、
x
0
x'
ic C1
x
i  ic
L
ic
h0  hc
⑨
h h0  hc の場合
h  hc で射流なので
上流の状態が
h3  h03
h3  hc 3
h
 i  ic  0
下流に伝播する
i 3
i 3
3
3
x
h  hc
h  hc
x とともに水深が増大する
h
 ic  h  ic x  C
x
x  0で h  HならばH  C  h  ic x  H
h
0
下流に向かうと h  h

0  hc したがって、
x
0
ic
H
x0
C3
i  ic
h
h0  hc
ic
【７】水平勾配水路における水面形
i0
2
2
2
Q 2 A B
Q2
Q
Q
Q
3
i 3
 2 2
i

ih
 2 2  2 2
2 2 3
h
gA B x C A R
C Bh 
C B
C B



2
2
3
3
Q A
x
Q
h3  hc 3
h

h
c
1 3
1 2 3
gA h
gB h
2
2
q
q
3
3
(h3  hc 3 )dh   2 dx　(
h

h
dx
c )dh   
2

C
C
2
1 4
q
3
h  hc h     x  K
4
C
x  0にてh  H  K 
2
1 4 4
q
  x  ( H  h )  hc3 ( H  h)
4
C
(4次曲線)
水平勾配水路における漸変流の水面形
1 4
H  hc 3 H
4
h  hc 常流のとき
Q2
 2 2 0
h
C B
0
 3
3
h  hc  0
x
⑩
h
H
hc
x0
2
1 4 4
q
  x  ( H  h )  hc3 ( H  h)
4
C
H1曲線
x
h  hc 射流のとき
Q2
 2 2 0
h
C B
0
 3
3
h  hc  0
x
⑪
2
1 4 4
q
  x  ( H  h )  hc3 ( H  h)
4
C
H3曲線
H
x0
h
hc
x
【８】逆勾配水路における水面形
⑫
h  hc
i0
常流のとき
0
2
下流に向かうと
Q
ih  2 2  0
h
C B

x
h3  hc 3  0
3
0
とともに、
h
hc
i0
A1曲線
hh
c
h
 
x
⑬
h  hc
射流のとき
0
2
下流に向かうと
Q
ih  2 2  0
h
C B

x
h3  hc 3  0
3
0
とともに、
A3曲線
hc
h
i0
hh
c
h

x
【問題】下図のような勾配を持つ長方形断面水路における
流れの水面形の概形を描け
h

x
h
0

x
0
S1
M2
h0
M2
S2
i  ic
h0
M3
跳水
S2
hc
i  ic
支配断面
i  ic
h0
４－４水面形方程式の解法（不等流計算）
Text(下)p29～
【1】差分による数値計算
実際に水面形を求めるためには、
Chezy型
3
h0
1 3
h
h
i
hc 3
x
1 3
h
Manning型
 h0 
1  
h
h

i
hc 3
x
1 3
h
10
3
これらの式を積分して h の分布形を求める必要があるが、
一般的には難しい。
そこで、 h を離散値として扱い数値的に積分する。
以下、Manning型を例に説明する。
開水路のベルヌイの式に戻って
2
2 2


z h  v
nv
  
 4  0
x x x  2 g 
R3
広長方形断面の場合
Q  Av,
A  Bh, R  h
既知
z h   Q 2  n2Q 2
  

0
10
2 2 
未知
x x x  2 gB h 
2 3
Bh
一般的に z, B, n, g, Q は計算条件として与えられる。
したがって、未知数は h のみ。
1
 
Q 2  n 2Q 2

0
z  h 
10
2 2
x 
2 gB h 
B2h 3
2
x
x
すべての変数を図中の1, 2の断面で定義する。

Q2  
Q2   1
 z  h
 z  h 
2 2 
2 2  
2 gB h 2 
2 gB h 1  x

 2 2
1  n Q

2  2 103
 B h
  n 2Q 2
 
  2 103
1  B h
 
 0
 
2 

Q2  
Q 2   1 1  n2Q 2
 z  h
 
 z  h 
2 2 
2 2  
2 gB h 2 
2 gB h 1  x 2  2 103

 B h
  n 2Q 2
 
  2 103
1  B h
 
 0
 
2 



Q2
Q 2  1 n 2Q 2  1
1 
 z1  h1 


0
 z2  h2 
10
10 
2 2
2 2 

2
2 gB2 h2
2 gB1 h1  x
2
2

 B1 h1 3 B2 h2 3 



Q2
Q2  n2Q 2 x  1
1 
 z1  h1 


0
 z2  h2 
10
10 
2 2
2 2 

2 gB2 h2
2 gB1 h1 
2
2
2

 B1 h1 3 B2 h2 3 
h1 , h2 以外は既知量or計算条件として与えられる量
常流の場合、下流→上流へ影響が伝わる
h2 を与えて hを求める
1
射流の場合、上流→下流へ影響が伝わる
h1 を与えて hを求める
2
常流の場合
下流の情報が上流に伝わる。
h2  h1


2
2
2 2


Q
Q
n Q x  1
1 
z

h


z

h



0
 2 2
1
1
10
10 
2 2
2 2 

2 gB2 h2
2 gB1 h1 
2
2
2

 B1 h1 3 B2 h2 3 
Q2
n2Q 2 x
Q2
n2Q 2 x
f (h1 )  h1 

 z2  h2 
 z1 
0
10
10
2 2
2 gB12 h12
2
gB
h
2 2
2 B12 h1 3
2B2 2 h2 3
h1  X とする。
未知数は h1
f (X )  X  X
2
X

f ( X )  0 を満たす X
を求める。
10
3

ただし、
Q2
n 2Q 2 x

,  
2
2 gB1
2 B12
Q2
n2Q 2 x
   z2  z1  h2 

10
2 2
2 gB2 h2
2 B2 2 h2 3
そんなの
あるはず無い！
一般に Y  f ( X )  0 を満たす、
X を求める方法？
Y
解の個数もいくつあるか
分からない。
Y  f (X )
ただし、 X  Xに最も近い
0
解は？
Newton 法による
X
X
X0
f (X0)  0
補正量
f ( X 0  X )  0
1
f ( X 0 )  f '( X 0 )X  f ''( X )X 2 
2!
f ( X 0 )  f '( X 0 )X  0
f (X0)
X  
f '( X 0 )
0
f (X0)
X  
f '( X 0 )
f (X )  X  X
2
X

10
3

13

10
f '( X )  1  2 X 3   X 3
3
X 0の設定
f ( X 0 ),
f ( X 0 )  X 0   X 02   X 0

10
3

13

10
f '( X 0 )  1  2 X 0 3   X 0 3
3
No
f '( X 0 ) の計算
f (X0 )  0
Yes
END
f (X0)
X  
f '( X 0 )
X 0  X  X 0
Newton 法による数値計算
例題不等流計算
Manningの粗度係数n=0.02, 河床勾配 i=1/1000, 川幅 B=10(m)の広
長方形断面の水路に流量Q=20(m3/s)が流下している。
(1) 限界勾配を求めよ。
ic 
2
n g
q
2
9
10
9

10
9
0.02  9.8
2
 20 
 
 10 
2
9
 0.00433
(2) この水路は緩勾配水路か、急勾配水路か。
i  1/1000  0.001  ic  0.00433
なので緩勾配水路
(3) 等流水深および限界水深を求めよ。
3
10
3
10
 n2 q 2 
 0.022  (20 /10)2 
h0  
 
  1.15(m)
1/1000
 i 


q 2 3 (20 /10) 2
hc  3

 0.74(m)
g
9.8
(4) A地点の水深が0.9(m)とする。A地点から上流に向かう水面形の分類を
述べよ。また、A地点から50m上流のB地点の水深を求めよ.
B
h0  1.15(m)
hc  0.74(m)
A
M2曲線
h1  ?
x  50(m)
緩勾配水路で hc  h  h0 なのでM2曲線
h2  0.90(m)
f ( X )  X   X 2   X

2

10
3

z1
2
1/1000
50m
Q
20

 0.204
2
2
2 gB1
2  9.8 10
n 2Q 2 x
0.022  202  50
 

 0.04
2
2
2 B1
2 10
z2
z1  z2  50 /1000  0.05
Q2
n 2Q 2 x
202
0.022  202  50
   z2  z1  h2 

 0.05  0.9 

10
10
2 2
2
2
2 gB2 h2
2  9.8 10  0.9
2
2
3
2 B2 h2
2 10  0.9 3
 1.159
f ( X )  X  0.204 X
2
 0.04 X

f '( X )  1  0.408 X 3  0.133 X
10
3

13
3
 1.159
X 0  h2  0.9m とする。
１回目
X 0  0.900,
f ( X 0 )  0.0637,
f '( X 0 )  0.6506  X  0.09785  X 0  0.998
f ( X 0 )  0.00374,
f '( X 0 )  0.7248  X  0.00517  X 0  0.993
２回目
X 0  0.998,
３回目
X 0  0.993,
f ( X 0 )  0.0000087,
f '( X 0 )  0.7204  X  0.00001213  X 0  0.993
0
したがって、 X  0.993  h1  0.993(m)
C
B
h0  1.15(m)
hc  0.74(m)
h1  ?
A
M2曲線
h1  0.993(m)
x  50(m)
x  50(m)
これを h2 とする。
h2  0.90(m)
(5) 同様に50m毎に上流に向かって水位を計算せよ。
下流端
からの
距離(m)
水深(m)
0
0.900
50
0.993
100
1.036
150
1.064
200
1.084
250
1.098
300
1.109
350
1.117
400
1.124
450
1.129
500
1.134
550
1.137
600
1.140
650
1.142
700
1.144
750
1.145
800
1.146
850
1.147
900
1.148
950
1.149
等流水深
水位(計算結果)
限界水深
河床高
M2曲線となった。
(6) 下流端の水深が1.5mのとき同様な計算をせよ。
下流端か
らの距離
(m)
水深(m)
0
1.5
50
1.467
100
1.436
150
1.407
200
1.379
250
1.353
300
1.329
350
1.307
400
1.287
450
1.269
500
1.253
550
1.238
600
1.225
650
1.214
700
1.204
750
1.196
800
1.189
850
1.182
900
1.177
950
1.173
M1曲線
等流水深
水位(計算結果)
限界水深
河床高

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