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Supplemental Study of Physics
grad, div, rot
勾配／grad
ナブラ・スカラー量＝ベクトル量
 f f f 
f   , , 
 x y z 
発散／div
ナブラ・ベクトル量＝スカラー量
f x f y f z
f 


x y z
回転／rot, curl
ナブラ×ベクトル量＝ベクトル量
 f z f y f x f z f y f x 

  f  

,

,

 y z z x x y 
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grad, div, rotの性質
勾配／grad
ナブラ・スカラー量＝ベクトル量
発散／div
ナブラ・ベクトル量＝スカラー量
回転／rot, curl
ナブラ×ベクトル量＝ベクトル量
  f   0
rotgrad f   0
    f   0
rotrotf   0
ラプラシアン
f  2 f    f   divgrad f 
2f    f       f 
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ガウスの定理
ストークスの定理
ベクトル関数
f x, y, z    f x x, y, z , f y x, y, z , f z x, y, z 
ガウスの定理
 f  dS     fdV
S
V
閉曲面S は体積V の表面
ストークスの定理
 f  dl     f dS
l
S
閉曲線 l は面積 S の周囲
スカラー関数の不定積分の公式に対応している
F b  F a    f x dx
b
a
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ガウスの定理
ストークスの定理
積分の次元を揃えるために使われる
ガウスの定理
境界
2次元（表面）⇔3次元（体積）
 f  dS   div fdV
S
V
ストークスの定理
境界
1次元（周囲）⇔2次元（面積）
 f  dl   rot fdS
l
S
不定積分（ベクトル形式）
F b  F a   
x b
x a
次元の変換
f  dl
f   f ,0,0  grad F
境界
0次元（両端の点） ⇔ 1次元（区間）
dl  dx,0,0
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ガウスの定理の証明
微小な直方体に分割して考え、それらを足し合わせる。
x 軸に垂直な面について
z
f x S x  x , y , z  f x S x , y , z
V y
S x x, y , z
S x, y , z
 f x x  x, y, z yz
x
 f x x
, y, z yz
x
f x
f x
x, y, z xyz  V

x
x
向かい合う面は法線ベクトルの向きが逆なので、面積分を
足し合わせると相殺される。結局面積分は表面だけが残る。
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ストークスの定理の証明
微小な曲面に分割して考え、それらを足し合わせる。
xy 平面に射影した閉曲面について
f  dl z  f x x, y , z x  f y x  x, y, z y
 f x  x, y  y, z x  f y x
, y, z y
f y 

 f x x   f y 
x y
x



f x 
  f x 
y x  f y y
y


 f y f x 
xy
 

 x y 
y
y  y
y
x
x  x
x
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質量保存側（連続の式）


dV  
dV

V
V
t
t
質量増加率
質量流入量率
（微分と積分の順序交換）
  v  dS       v dV
S
両者は等しいはず！
（ガウスの定理）
V

   v   0
t


D
   v  
 v        v  
    v 
t
t
Dt
D
    v   0
Dt
・・・質量保存側（連続の式）
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体積膨張率
DV D  M 
D 1
   M
 

体積膨張率
Dt Dt   
Dt   
1 D
質量保存側より  Dt    v  であるから
D  1  D d  1  D  1   1  D 1
  
  
  2     2 
   v 
Dt    Dt d    Dt       Dt 
DV M
  v   V   v 

Dt

非圧縮性流体（液体）の場合密度 は一定
D 1
   0
Dt   
v  0
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弾性体の構成方程式
フックの弾性体
応力とひずみの関係式を応力について解く
 E 
v



1    ij  1  2  xx   yy   zz  , i  j


 ij  
2G ij
,i  j

E
E
k ：体積弾性率
G
k
31  2 
21   
G ：ずれ弾性率

2 

2G ij   k  G  xx   yy   zz  , i  j
 ij  
3 

2G ij
,i  j

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流体の構成方程式
フックの弾性体

2 

2G ij   k  G  xx   yy   zz  , i  j
 ij  
3 

2G ij
,i  j

k ：体積弾性率
G ：ずれ弾性率
ニュートン流体

2 

2ij       xx   yy   zz   p , i  j
 ij  
3 

2ij
,i  j

 ：体積粘性係数（普通は0としてよい）
 ：（ずれ）粘性係数
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粘性
ニュートン流体
dv x
 xx 
dx
 xy
dvx

dy
 xy
2 

 xx   p       xx   yy   zz   2 xx
3 

1
  xy
2
 xy  2 xy   xy
dvx

dy
速度勾配を減らす方向に応力が生じる
 xy
vx
拡大
y
x
 yx
 yx
  xy
  xy
 xy
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ラグランジェ微分と積分の交換
I   f x, t dV
V


DI
I
1
 lim
 lim
f x, t  t dV   * f x, t dV
*

V


V
V
Dt t 0 t t 0 t
1
 lim
f x, t  t dV   * f x, t dV   * f x, t  t vt  ndS
*

V
S
t  0 t V
f
  * dV   *    fv dV
V t
V
ガウスの定理
 f

  *   v  f   f   v dV
V
 t

D
 Df

 Df



f
dV


f


v

dV
 *
 f   v dV


V
V
Dt
V
 Dt

 Dt



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運動量
pi   vi dV
V
Dpi
 D vi 

 
 vi   v dV
V
Dt
 Dt

D
 Dvi

  
 vi
 vi   v dV
V
Dt
 Dt

ラグランジェ微分
と積分の交換
積関数の
ラグランジェ微分
 Dv
 D

質量保存側
    i  vi 
    v  dV
V
 Dt

 Dt
D
    v   0
Dvi
Dt
 
dV
V
Dt
・・・運動方程式：力＝運動量変化率
Dp i
Dv i
Fi 
 
dV
（cf.(2.4)式教科書p.32）
V
Dt
Dt
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運動方程式
Dp i
Dv i
Fi 
 
dV
V
Dt
Dt
Fi   X i dV     ji n j dS
V
j
S
  X i dV   
V
外力
j
 ji
x j
内力
V
 ji
Dvi

 Xi  
Dt
j x j
ガウスの法則
dV
・・・運動方程式
X i ：体積力（例：重力、電磁気力）
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非圧縮性流体
非圧縮の場合

j
vx v y vz
 v 


  xx   yy   zz  0
x y z
 ji
p



x j
xi
j x j
 vi v j 



 x


x
j
i


  vi
v j 
p



 


xi
x j xi 
j  x j x j
v j
 2 vi
p


 2 

xi

x

x
j
j
i j x j
 2 vi
p

 2
xi
j x j
 p  2ij
 ij  
 2ij
,i  j
i j
微分順序の交換
vx v y vz


0
x y z
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非圧縮性流体の運動方程式
Dvi
 2vi
p

 Xi 
  2
Dt
xi
j x j
Dvi vi
1
p
2 

 v   vi   X i 
  vi 
Dt
t

xi

Dv v
1



 v   v  X  p   2 v
Dt t



・・・非圧縮性流体の運動方程式
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非圧縮・非粘性流体の定常流
非粘性
0
定常流
v
0
t
ポテンシャル力（重力）
X   ge z  gz

p

v  v  U  


U  gz
a  b    ab  a    b   ba  b    a
v  v  2  v v  v    v
1
  v v  v  v   v    v 
2
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ベルヌーイの定理の導出
 v  0
渦なし（層流）

1
p

v  v   U  
2


1 2
p
v  gz   const. ・・・ベルヌーイの定理
2

 v  0
渦あり（乱流）
流線に沿って積分
v // ds
 ds
ds
v
C
v    v  ds
1 2
p
v  gz   const.
2

・・・ベルヌーイの定理
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ベルヌーイの定理
1 2
p
v  gz   const.
2

・・・ベルヌーイの定理
左辺各項を、速度ヘッド、重力ヘッド、圧力ヘッドという
定理の意味
「速度が速くなればなるほど圧力は低くなる」
「位置が高くならばなるほど圧力は低くなる」
定理の適用条件
・非圧縮
・非粘性
・定常流
・渦なし、または同一流線上
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ベルヌーイの定理の適用
厳密性が必要なければ、結構適用できることも多い
・非粘性
境界層の外側は速度勾配＝0
⇒ 粘性力＝0
⇒ 非粘性（完全流体）と考えてよい
・定常流
流量が少なければ境界条件は不変
⇒ 定常流と考えてよい
・非圧縮
気体の状態方程式より、圧力差と温度差が
小さければ密度変化は小さいと見なせる
⇒ 非圧縮と考えてよい
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ベルヌーイの定理の応用
1 2
v  gz  p  const. ・・・ベルヌーイの定理（の変形）
2
トリチェリーの定理
p ：大気圧 h ：水面と孔の高低差 v ：流出速度
1 2
gh  p  v  p
v  2gh
2
ベンチュリ管
v A S A  vB S B
1 2
1
v A  p A  vB2  pB
2
2
1 2 1 2
pB  p A  v A  vB
2
2
1 2  S B2 
 vB  2  1
2
 SA 
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ハーゲン・ポワゾイユの法則
l
a
r
pA
速度分布
v
  0
pB
  0

dv
p A  pB r
dv

r pA  2rl  r pB  0   
dr
2l
dr
管壁でのすべりなし
va   0
a dv

 p A  pB  a 2  r 2
p A  pB  a
vr   vr   va    
dr 
rdr

r dr
2l r
4l
a


p A  pB  a 2 2

a 4  p A  pB 
流量 Q  vS   2rvdr 
r a  r dr 

0
0
2l
8l
2
2




管径、管長、圧力差、流量が得られれば粘性係数を算出できる
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圧力・流量の計測
1 2
v  gz  const. ・・・ベルヌーイの定理（の変形）
2
動圧計
静圧計
全圧計
（動圧＝全圧－静圧）
静圧動圧
p
全圧
p
p
p
＋
1 2
v
2
＝
p
1 2
v
2
p
p
熱線流量計
電熱線を流れの中におくと、温度が下がる
その温度差は流量によって決まる
⇒ あらかじめ流量と温度差の関係を求めておく
⇒ 温度差から流量が分かる
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粘性抵抗と慣性抵抗
粘性抵抗
＝速度勾配によって生じる力、流れと平行に働く
＝面積×応力＝面積×粘性係数×速度勾配
2 v
dvx
F

l
  vl
線形
F  S
l
dy
慣性抵抗
＝流体のもっている慣性に逆らって流れを変える
ことによって生じる力、流れと垂直に働く
＝面積×圧力差＝面積×密度×速度2
1 2 1 2 
（ベルヌーイの定理）
F  S  p A  pB   S  vB  v A 
2
2

F  l 2 v 2  v 2l 2
非線形
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レイノルズ数
レイノルズの相似則
粘性抵抗と慣性抵抗の比率が同じなら、
物理量は一律に比例して変化するだけ
⇒ 流れの基本的な性質は同じ
粘性抵抗
圧力
慣性抵抗
粘性抵抗
慣性
圧力
レイノルズ数＝慣性抵抗／粘性抵抗
抵抗
2 2
v l
vl
Re 

vl

Re ≫103（速い流れ） → 粘性≪慣性 → 非線形性大 → 乱流
Re ≪103（遅い流れ） → 粘性≫慣性 → 非線形性小 → 層流
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