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Supplemental Study of Physics
流体
質点⇒質点系⇒連続体（弾性体〔＝固体〕⇒流体〔＝液体・気体〕）
弾性体と流体の中間の性質をもつ粘弾性体というのもある
（＝短い時間でみると弾性体、長い時間でみると流体）
ex.ゴム、アスファルト、硬質油
流体の分類方法I：非圧縮性流体（液体）と圧縮性流体（気体）
流体の分類方法II：非粘性流体（理想流体）と粘性流体（実在流体）
非圧縮とは圧縮応力によって生じる体積変化が無視できること
（ちなみに流体では引張応力は発生しない）
非粘性とは隣合う領域間に発生する摩擦が無視できること
非粘性流体＝オイラー流体、粘性流体（の一部）＝ニュートン流体
粘性流体には粘弾性流体など非ニュートン流体も含まれている
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静止流体
流体の静止条件
1. どの点をとっても剪断応力は面の方向によらず0
2. ある点における圧縮応力は面の方向によらず同じ
（パスカルの原理、静水圧）
S
P1
アルキメデスの原理（浮力）
SP1  Mg  SP2
M  V 注：密度 は一定
⇒非圧縮性流体
V  LS
 P1  Lg  P2

V
Mg L
S
P2
ここで更に高さの影響が無視できればパスカルの原理
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流線と流跡線
流跡線＝ある粒子の軌跡
＝ある粒子の速度ベクトルを時系列に沿って結んだもの
ds  vdt  vz dt, vy dt, vz dt
流線＝ある時刻における速度場
＝ある時刻における各粒子の速度ベクトルをスムーズに結んだもの
dvx dvy dvz
1


 const.
dx dy
dz
k
ds  kdv  kdvz , kdvy , kdvz 
定常流（時間変化しない流れ）の場合、両者は同じ
非定常流の場合、両者は異なる
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運動の記述
流跡線⇒ラグランジュ法＝粒子を固定して現象をみている
独立な座標位置 x0 , y0 , z0
←時刻t 0 における粒子の位置
時刻 t
流線⇒オイラー法＝時刻を固定して場全体の現象をみている
独立な座標位置 x, y, z
←時刻 t における粒子の位置
時刻 t
質点の運動はラグランジェ法で考えていたが、
流体の運動はオイラー法で考えたほうが考えやすい
粒子一つ一つを見分けるのが困難な流体においては、
特定の粒子に注目しての観測は場全体の観測よりも難しい
場（流れ場）の考え方⇒20世紀の物理学の特徴の一つ
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物理量の変分
運動方程式をたてるときは特定の粒子に注目する必要がある
⇒流跡線に沿って速度を微分して加速度を得なければならない
ラグランジュ法
G  Gx0 , y0 , z0 , t 
G
G  G x0 , y0 , z0 , t  t   G x0 , y0 , z0 , t  
t
t
オイラー法
G  Gx, y, z, t 
G  Gx  vx t , y  v y t , z  vz t , t  t   Gx, y, z, t 
G
G
G
G
vx t 
v y t 
vz t 
t
x
y
z
t
DG
G G
G
G
G
 lim

vx 
vy 
vz 
・・・ラグランジュ微分

t

0
Dt
t
x
y
z
t

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全微分
ラグランジュ法
G  Gx0 , y0 , z0 , t 
x0 G
y0 G
z0 G
t G
dG 
dt 
dt 
dt 
dt
t x
t y
t z
t t
G

dt
t
G  Gx, y, z, t 
x G
y G
z G
t G
dG 
dt 
dt 
dt 
dt
t x
t y
t z
t t
G
G
G
G
 vx
dt  v y
dt  vz
dt 
dt
x
y
z
t
オイラー法
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ラグランジェ微分
DG G
G
G
G

 vx
 vy
 vz
Dt
t
x
y
z
D 



  vx  v y
 vz
Dt t
x
y
z
  
   , , 
 x y z 
v  (vx , vy , vz )
ではなく
v  (u, v, w)
を用いることも多い
・・・ナブラ
DG G

 v  G
Dt
t
D 
  v 
Dt t
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grad, div, rot
勾配／grad
ナブラ・スカラー量＝ベクトル量
 f f f 
f   , , 
 x y z 
発散／div
ナブラ・ベクトル量＝スカラー量
f x f y f z
f 


x y z
回転／rot, curl
ナブラ×ベクトル量＝ベクトル量
 f z f y f x f z f y f x 

  f  

,

,

 y z z x x y 
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grad, div, rotの性質
勾配／grad
ナブラ・スカラー量＝ベクトル量
発散／div
ナブラ・ベクトル量＝スカラー量
回転／rot, curl
ナブラ×ベクトル量＝ベクトル量
  f   0
    f   0
ラプラシアン
f  2 f    f 
2f    f       f 
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ガウスの定理
ストークスの定理
ベクトル関数
f x, y, z    f x x, y, z , f y x, y, z , f z x, y, z 
ガウスの定理
 f  dS     fdV
S
V
閉曲面S は体積V の表面
ストークスの定理
 f  dl     f dS
l
S
閉曲線 l は面積 S の周囲
スカラー関数の不定積分の公式に対応している
F b  F a    f x dx
b
a
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ガウスの定理の証明
微小な直方体に分割して考え、それらを足し合わせる。
x 軸に垂直な面について
z
f x S x  x , y , z  f x S x , y , z
V y
S x x, y , z
S x, y , z
 f x x  x, y  y 2 , z  z 2yz
x
 f x x, y  y 2 , z  z 2yz
x
f x
f x
x, y, z xyz  V

x
x
向かい合う面は法線ベクトルの向きが逆なので、面積分を
足し合わせると相殺される。結局面積分は表面だけが残る。
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ストークスの定理の証明
微小な曲面に分割して考え、それらを足し合わせる。
xy 平面に射影した閉曲面について
f  dl z  f x x  x 2 , y, z x  f y x  x, y  y 2 , z y
 f x x  x 2 , y  y, z x  f y x, y  y 2 , z y
f y 

 f x x   f y 
x y
x



f x 
  f x 
y x  f y y
y


 f y f x 
xy
 

 x y 
y
y  y
y
x
x  x
x
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位置⇒速度⇒加速度
G : x  x( x, y, z, t )
Dx x
x
x
x
  vx
 vy
 vz
 vx
Dt t
x
y
z
x  x 
x  x 
 
0
  
0
t  t  x , y , z
y  y  x , z ,t
x  x 
x  x 
 
1
 
0
x  x  y , z ,t
z  z  x , y ,t
G : vx  vx ( x, y, z, t )
Dv x v x

 v   v x
Dt
t
・・・加速度（運動方程式に使う）
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質量保存側


dV  
dV

V
V
t
t
質量増加率
質量流入量率
（微分と積分の順序交換）
  v  dS       v dV
S
両者は等しいはず！
（ガウスの定理）
V

   v   0
t


D
   v  
 v        v  
    v 
t
t
Dt
D
    v   0
Dt
・・・質量保存側
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体積膨張率
DV D  M 
D 1
   M
 

体積膨張率
Dt Dt   
Dt   
1 D
質量保存側より  Dt    v  であるから
D  1  D d  1  D  1   1  D 1
  
  
  2     2 
   v 
Dt    Dt d    Dt       Dt 
DV M
  v   V   v 

Dt

非圧縮性流体（液体）の場合密度 は一定
D 1
   0
Dt   
v  0
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積分関数のラグランジェ微分
I   f x, t dV
V


DI
I
1
 lim
 lim
f x, t  t dV   * f x, t dV
*

V


V
V

t

0

t

0
Dt
t
t
1
 lim
f x, t  t dV   * f x, t dV   * f x, t  t vt  ndS
*

V
V
S
t  0 t
f
  * dV   *    fv dV
V t
V
ガウスの定理
 f

  *   v  f   f   v dV
V
 t

 Df

 *
 f   v dV
V
 Dt



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運動量
pi   vi dV
V
Dpi
 D vi 

 *
 vi   v dV
V
Dt
 Dt

D
 Dvi

  * 
 vi
 vi   v dV
V
Dt
 Dt

 Dv
 D

  *   i  vi 
    v  dV
V
 Dt

 Dt
質量保存側
Dvi
*
dV
V
Dt
運動量変化率＝力：運動方程式
Dp i
Dv i
*
dV  Fi
（cf.(2.4)式教科書p.32）
V
Dt
Dt
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構成方程式
フックの弾性体
  xx   yy   zz   2 ij , i  j
 ij  
2 ij
,i  j

E
E

 G 
1   1  2 
21   
ニュートン流体

2 

 p       xx   yy   zz   2ij , i  j
 ij  
3 


2ij
,i  j

dv
 ：体積粘性係数（普通は0としてよい）
 xy   x
 ：（ずれ）粘性係数
dy
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運動方程式
Dpi
Dvi
*
dV
V
Dt
Dt
  X i dV     ji n j dS
V
j
S
  X i dV   
V
j
V
 ji
x j
 ji
Dvi

 Xi  
Dt
j x j
ガウスの法則
dV
・・・運動方程式
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非圧縮性流体
非圧縮の場合

j
vx v y vz
 v 


  xx   yy   zz  0
x y z
 ji
p



x j
xi
j x j
 vi v j 



 x


x
j
i


  vi
v j 
p



 


xi
x j xi 
j  x j x j
v j
 2 vi
p


 2 

xi

x

x
j
j
i j x j
 2 vi
p

 2
xi
j x j
 p  2ij
 ij  
 2ij
,i  j
i j
微分順序の交換
vx v y vz


0
x y z
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非圧縮性流体の運動方程式
Dvi
 2vi
p

 Xi 
  2
Dt
xi
j x j
Dvi vi
1
p
2 

 v   vi   X i 
  vi 
Dt
t

xi

Dv v
1



 v   v  X  p   2 v
Dt t



・・・非圧縮性流体の運動方程式
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非圧縮・非粘性流体の定常流
非粘性
0
定常流
v
0
t
重力（ポテンシャル力）
X   ge z  gz

p

v  v  U  


U  gz
a  b    ab  a    b   ba  b    a
v  v  2  v v  v    v
1
  v v  v  v   v    v 
2
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ベルヌーイの定理の導出
 v  0
渦なし（層流）

1
p

v  v   U  
2


1 2
p
v  gz   const. ・・・ベルヌーイの定理
2

 v  0
渦あり（乱流）
流線に沿って積分
v // ds
 ds
C
v    v  ds
1 2
p
v  gz   const.
2

・・・ベルヌーイの定理
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ベルヌーイの定理
1 2
p
v  gz   const.
2

・・・ベルヌーイの定理
左辺各項を、速度ヘッド、重力ヘッド、圧力ヘッドという
定理の意味
「速度が速くなればなるほど圧力は低くなる」
「位置が多角ならばなるほど圧力は低くなる」
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