Structural Space Scaling SHOJIMA Kojiro The National Center for University Entrance Examinations [email protected] Purpose • • • • MDSでは項目群は1つの空間Sにプロットされる Sがいくつかの部分空間から成るとしたら？部分空間間に構造（因果、影響）があったら？ Sの構造を仮説検証的（確認的）に同定したい • 構造空間尺度法(structural space scaling)を提案 – 部分空間間の関係を記述するための確認的MDS – パス図を使う Path Diagram • ノードとパス（無向、有向、双方向）を使って変数間の関係を図示 – Graphical Models – Structural Equation Models – Beyesian Networks Entire Space and Subspaces 4 η2 • • • • S S2 3 2 1 S1 0 x8 x2 -1 x7 x6 x5 x3 x1 -2 x4 -3 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 マップに8つの項目 S：全体の空間 S1とS2：部分空間 S1→S2という構造 Map→Path Diagram 4 3 η2 S2はf21とf22によって形成 i21 i22 0 x2 -1 S1はf11とf12に -3 よって形成 𝑟1 𝑎3 𝑥3 -4 -4 -3 -2 𝑚12 -1 0 1 2 3 4 𝑥6 𝑎5 𝑠21 𝑓21 𝑖22 1 𝑓22 1 𝑎4 𝑥4 点O1(m11, m12) 𝑎6 𝑖21 𝑠22 𝑓12 f11 𝑥5 𝑎2 𝑚11 𝑓11 f21 x4 𝑥2 𝑎1 x5 x3 x1 O1 -2 x8 𝑥1 x7 f22 x6 2 1 𝑎1 = |𝑂1 𝑋1 | f12 𝑎7 𝑥7 𝑎8 𝑥8 Exogenous and Endogenous Spaces 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑥5 𝑎2 𝑎5 𝑚11 外生次元 𝑓11 外生空間 𝑟1 𝑚12 𝑓12 外生次元 𝑎3 𝑥3 𝑎4 𝑥4 𝑠21 𝑠22 1 1 𝑥6 𝑎6 𝑖21 内生次元 𝑓21 𝑖22 𝑓22 内生次元 𝑎7 𝑥7 𝑎8 𝑥8 内生空間 Path Diagram→Structural Coordinates 𝑥1 𝑥2 𝑎1 𝑎2 𝑚11 𝑓11 𝑟1 𝑓12 𝑥3 𝑥4 𝑎6 𝑖21 𝑠21 𝑓21 𝑖22 1 𝑓22 1 𝑎4 𝑥6 𝑎5 𝑠22 𝑚12 𝑎3 𝑥5 𝑎7 𝑥7 𝑎8 𝑥8 𝑓11 𝑓12 𝑓11 𝑓21 𝑓12 𝑓21 𝑓22 𝑥1𝑓22 𝑥2𝑥1 𝑥 = 𝑥3𝑥2 = 3 𝑥4𝑥4 𝑥5𝑥5 𝑥6𝑥6 𝑥7𝑥7 𝑥 𝑥8 8 𝑓11 𝑓12 𝑖21 𝑓12 𝑖𝑖22 𝑓12 21 𝑓 12 𝑖22 𝑓12 𝑠21 1 𝑠22 1 1 𝑠21 𝑠22𝑎 1 1 𝑎1 𝑎2 𝑎 + 2 𝑎 + 𝑎3 3 𝑎 4 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 𝑓11 𝑓𝑓12 𝑓11 11 𝑓𝑓21 𝑓12 12 𝑓21 𝑓22 𝑓22 𝑥1 𝑥1 𝑶12×8 𝑥2 𝑶12×8 𝑥2 + 𝑥3 𝑥3 𝑥4 𝑥4 𝑥5 𝑥5 𝑥6 𝑥6 𝑥7 𝑥7 𝑎7 𝑥8 𝑥8 𝑎8 𝐭=𝛟 𝛍+ + 𝐀𝐭 𝐀𝐭 + 𝐮 Structural Coordinates→Measurement Coordinates 𝐭 = 𝛟 + 𝐀𝐭 ⇒ 𝐈 − 𝐀 𝐭 = 𝛟 𝐭 = 𝐈 − 𝐀 −1 𝛟 = 𝚲𝛟 𝐱 = 𝐆𝐭 = 𝐆𝚲𝛟 ′ ′ ′ 𝐱𝐱 = 𝐆𝚲𝚽𝚲 𝐆 (𝚽 = 𝛟𝛟′) ′ ′ ′ 𝚫 = diag 𝐱𝐱′ 𝟏 − 2𝐱𝐱 + 𝟏diag 𝐱𝐱 𝑆 𝚽, 𝐀 = tr{ 𝐃 − 𝚫 ′ 𝐃 − 𝚫 } G: 選択行列(selection matrix taking x out of t) Φ: 内積構造(inner product structure) Δ: 距離構造(distance structure, model distance) D: 1-mode 2-way距離行列 ′ 𝚲 = (𝐈 − −1 𝐀) 𝐱 = 𝐆𝐭 = 𝐆𝚲𝛟 1 𝐀= 𝑠21 𝑠22 𝑎1 𝑎2 1 1 𝑎3 𝑎4 𝑂12×8 𝚲= 𝑠21 𝑠22 𝑎1 𝑎2 𝑎5 𝑠21 𝑎6 𝑠21 𝑎7 𝑠22 𝑎8 𝑠22 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 1 1 1 1 1 1 1 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 1 1 𝑎5 𝑎6 1 1 𝑎7 𝑎8 1 1 1 𝐆= 1 1 1 1 1 1 1 Measurement Coordinates→Distance Structure 𝐭 = 𝛟 + 𝐀𝐭 ⇒ 𝐈 − 𝐀 𝐭 = 𝛟 𝐭 = 𝐈 − 𝐀 −1 𝛟 = 𝚲𝛟 𝐱 = 𝐆𝐭 = 𝐆𝚲𝛟 ′ ′ ′ 𝐱𝐱 = 𝐆𝚲𝚽𝚲 𝐆 (𝚽 = 𝛟𝛟′) ′ ′ ′ 𝚫 = diag 𝐱𝐱′ 𝟏 − 2𝐱𝐱 + 𝟏diag 𝐱𝐱 𝑆 𝚽, 𝐀 = tr{ 𝐃 − 𝚫 ′ 𝐃 − 𝚫 } G: 選択行列(selection matrix taking x out of t) Φ: 内積構造(inner product structure) Δ: 距離構造(distance structure, model distance) D: 1-mode 2-way距離行列 ′ Φ: Inter-Subspace Inner Product Structure 1 ′ 𝑓11 𝑓12 𝚽 = 𝛟𝛟′ = 𝑖21 𝑖22 1 𝑟1 = 𝑖21 𝑖22 𝑟1 𝑓11 𝑓12 ′ 𝑓11 𝑓12 1 ′ 𝑖21 𝑓11 𝑓12 ′ 𝑖22 𝑓11 𝑓12 𝑟1 1 𝑖21 𝑟1 𝑖22 𝑟1 𝑖21 𝑖21 𝑟1 2 𝑖21 𝑖21 𝑖22 𝑖21 ′ 𝑖21 𝑓11 𝑓12 2 𝑖21 𝑖21 𝑖22 𝑖22 𝑖22 𝑟1 𝑖21 𝑖22 2 𝑖22 𝑖22 ′ 𝑖22 𝑓11 𝑓12 𝑖21 𝑖22 2 𝑖22 𝑶 𝑓21 𝑓22 r1: f11とf12の内積 𝑶 Measurement Equations→Distance Structure 𝐭 = 𝛟 + 𝐀𝐭 ⇒ 𝐈 − 𝐀 𝐭 = 𝛟 𝐭 = 𝐈 − 𝐀 −1 𝛟 = 𝚲𝛟 𝐱 = 𝐆𝐭 = 𝐆𝚲𝛟 ′ ′ ′ 𝐱𝐱 = 𝐆𝚲𝚽𝚲 𝐆 (𝚽 = 𝛟𝛟′) ′ ′ ′ 𝚫 = diag 𝐱𝐱′ 𝟏 − 2𝐱𝐱 + 𝟏diag 𝐱𝐱 𝑆 𝚽, 𝐀 = tr{ 𝐃 − 𝚫 ′ 𝐃 − 𝚫 } G: 選択行列(selection matrix taking x out of t) Φ: 内積構造(inner product structure) Δ: 距離構造(distance structure, model distance) D: 1-mode 2-way距離行列 ′ Goodness of Fit Indices 1 MD = 𝟏′ 𝐃 − 𝚫 𝟏 𝑛 RMSD = 1 tr 𝑛 𝐃−𝚫 ′ 𝐃−𝚫 n: Number of Items 𝚫: Estimated Distance Structure MD: Mean Difference RMSD: Root Mean Squared Difference Summary (1) SEM Approach in MDS • Structural Space Scaling (SSS)を提案 – MDSにおいて部分空間間関係(inter-subspace structure)を構造方程式とパス図で表現 – 座標を構造化→距離行列を構造化（距離構造） – MDSにおける構造方程式アプローチ – モデル適合度などを参考にモデル改善 • 具体的な推定手続きについては今後の課題 – 今回の例については再現を確認 Summary (2) Dimensionality • 次元数について – 通常のMDSでは2次元か3次元 – 実用上、4次元以上の空間にプロットしない • データが4次元以上の構造を持つとき – 2D (3D)空間に射影されたシルエットは構造の実体に迫れない • パス図は4次元以上の構造の視覚化に優れる 4次元以上の構造の記述がしやすい Expansion to Asymmetric Structure → A1 A2 A3 B1 B2 B3 A1 A2 1 1 1 2 4 3 3 3 3 4 A3 B1 B2 B3 2 5 5 6 1 5 6 5 5 6 5 5.5 3 2 1 4 1 1 3 2 1 3.5 ご清聴ありがとうございました。