応用数学

計算理工学基礎 第4回
- コンピュテーショナル・ファイナンスの基礎 -
2006年5月2日
張研究室 山本有作
はじめに

数理ファイナンスにおける課題

金融取引(株式売買,為替取引,融資など)に伴うリスク
を数学モデルにより定量的に求めてその低減を図り,効
率的に利益を得る方法を追求する。
実際の問題では,解析的に解を求めることが困難な場合
が多い。
数値計算により解を求めるコンピュテーショナル・ファイナ
ンスが重要
コンピュテーショナル・ファイナンスのテーマ

資産価格のモデル化



株価,為替レート,金利などはどのように時間変化するか。
その統計的な法則を調べ,モデル化する。
デリバティブの設計・価格計算


市場変動による損失を回避するための,デリバティブ(金
融派生証券)と呼ばれる商品群がある。
デリバティブを設計し,その経済学的に妥当な価格を計算
する。
コンピュテーショナル・ファイナンスのテーマ

リスク管理

金融取引に伴う様々なリスクを定量的に評価



市場リスク: 資産価格の変動による損失の可能性
信用リスク: 貸し倒れによる損失の可能性
資産運用最適化

様々な種類の資産(株式,国債,外貨など)を組み合わせ
ることにより,最小限のリスクで最大限の利益を得られる
運用方法を求める。
授業の目標

代表的なデリバティブであるオプションについて学ぶ。

資産価格のモデル化とシミュレーションの技法について学ぶ。

上記を用いてオプションの価格計算を行う。
参考書

今野浩: 「金融工学の挑戦」,中公新書,2000.

P. Wilmott, S. Howison and J. Dewynne (伊藤
幹夫,戸瀬信之訳): 「デリバティブの数学入門」,
共立出版,2002.

P. Wilmott, J. Dewynne and S. Howison:
“Option Pricing”,Oxford Financial Press, 1993.

森真: 「なっとくする数理ファイナンス」,講談社,
2001.
株価の時間変化の例 (1)


米国IBM社の株価
2002年4月~2004年4月の2年間
株価の時間変化の例 (2)


トヨタの株価(ニューヨーク証券取引所)
2002年4月~2004年4月の2年間
為替レートの時間変化の例


ドル/円の為替レート
2003年4月~2004年4月の1年間
株価・為替レートデータの入手先

株価

Yahoo! Finance




http://finance.yahoo.com/
ページトップの “Enter Symbol(s)” の欄に会社名の略号(IBM, TM
など)を入力
1日~5年間のグラフが見られる。
ドル/円の為替レート

朝日新聞(経済 為替欄)


http://www.asahi.com/business/exchange.html
過去3ヶ月間,1年間のグラフが見られる。
Yahoo! Finance
1. オプションとは

オプションとは



将来のある時点で,特定の価格で金融商品を売買する権利
対象となる金融商品: 株式,債券,外貨,etc
オプションの例


1年後にトヨタの株を3500円で売却する権利 --- プットオプション
3ヵ月後に1ドルを120円で購入する権利 --- コールオプション
資産価格 St
St – K > 0 : 権利を行使
St – K 円の利益
行使価格 K
St – K < 0 : 権利を行使しない。
(市場で購入したほうが得)
満期 T
時間 t
1. オプションとは

オプションの用途



将来のキャッシュフローを現時点で確定させる。
これにより,市場変動によるリスクを回避する。
例: コールオプションによる為替リスクの回避




3ヵ月後に,ある原材料をアメリカから輸入したい。
購入代金は,その時点にならないと用意できない。
しかし予算は 1ドル = 120円 を前提として組んでおり,万一3ヵ月後
の時点で円が大きく下がっていると,赤字となる。
満期 T = 3ヶ月,行使価格 K = 120円 のドルのコールオプションを購
入することにより,為替リスクを回避可能。
1. オプションとは

オプションの種類

ヨーロピアンオプション


満期Tにおいてのみ権利行使が可能なオプション
前のスライドで説明したオプションはこのタイプ。
St
この時点でのみ行使可能
K

アメリカンオプション


T
t
満期Tまでの間のいつでも権利行使が可能なオプション
市場で取引されるオプションの大多数はこのタイプ。
St
価格が下落して権利が無駄に
なりそうだと予測すれば, の
時点で行使可能
K
T
t
この期間にいつでも行使可能
1. オプションとは

オプションの種類(続き)

バリアオプション


資産価格がある範囲を越えた場合に権利が無効になるオプション
ヨーロピアンタイプ,アメリカンタイプの両方がある。
St
バリアレベル
の時点でオプション無効化
K

ルックバックオプション

T
t
満期Tにおいて,期間 [0, T] 中の最安値で資産を購入できるオプション
St
の時点での価格で購入可
K
T
t
1. オプションとは

オプション市場の拡大


国内のデリバティブ市場は420億ドル規模(日銀調査による)
オプションの多様化

金融以外の商品に対するオプション



原油,銅,大豆,etc
天候デリバティブ
リアルオプション

事業価値,特許価値などの評価
2. オプションの価格評価

オプションの価格




オプションの買い手: 自分が利益を得られる場合にのみ,権利行使。
オプションの売り手: 自分が損する場合でも,行使価格で商品を売る
(買う)義務がある。
オプション契約が成立するには,買い手が売り手に対し,代価(= オプ
ションの価格)を支払う必要あり。
価格評価の方針

資産価格はランダムに変動すると仮定。


より正確には,価格が幾何的ブラウン運動をすると仮定
権利行使により買い手が得られる利益の期待値を,オプションの価格
とする。

正確には,リスク中立確率などの議論が必要
オプション価格の例

IBM株に対するオプション(2004年4月満期)
オプション価格データの入手先

アメリカ

Chicago Board Options Exchange (CBOE)
http://quote.cboe.com/QuoteTable.asp
 左上の “Enter a Stock or Index symbol” の欄に会
社名の略号を入れ,“Submit” を押す。
 “List all options and LEAPS” にチェックをしておくと,
すべての行使価格,満期に対するオプション価格が表
示される。

Chicago Board Options Exchange (CBOE)
ブラウン運動のシミュレーション

[0,1]を1000分割した計算
資産価格のモデル化の例

幾何的ブラウン運動(S0=100,μ=0.05,σ=0.2)
オプション価格の計算例

バリアオプション
オプション価格の収束

バリアオプション