応用数学

計算理工学基礎第4回
－コンピュテーショナル・ファイナンスの基礎－
2006年5月2日
張研究室山本有作
はじめに

数理ファイナンスにおける課題

金融取引（株式売買，為替取引，融資など）に伴うリスク
を数学モデルにより定量的に求めてその低減を図り，効
率的に利益を得る方法を追求する。
実際の問題では，解析的に解を求めることが困難な場合
が多い。
数値計算により解を求めるコンピュテーショナル・ファイナ
ンスが重要
コンピュテーショナル・ファイナンスのテーマ

資産価格のモデル化



株価，為替レート，金利などはどのように時間変化するか。
その統計的な法則を調べ，モデル化する。
デリバティブの設計・価格計算


市場変動による損失を回避するための，デリバティブ（金
融派生証券）と呼ばれる商品群がある。
デリバティブを設計し，その経済学的に妥当な価格を計算
する。
コンピュテーショナル・ファイナンスのテーマ

リスク管理

金融取引に伴う様々なリスクを定量的に評価



市場リスク：資産価格の変動による損失の可能性
信用リスク：貸し倒れによる損失の可能性
資産運用最適化

様々な種類の資産（株式，国債，外貨など）を組み合わせ
ることにより，最小限のリスクで最大限の利益を得られる
運用方法を求める。
授業の目標

代表的なデリバティブであるオプションについて学ぶ。

資産価格のモデル化とシミュレーションの技法について学ぶ。

上記を用いてオプションの価格計算を行う。
参考書

今野浩：「金融工学の挑戦」，中公新書，2000.

P. Wilmott, S. Howison and J. Dewynne （伊藤
幹夫，戸瀬信之訳）：「デリバティブの数学入門」，
共立出版，2002.

P. Wilmott, J. Dewynne and S. Howison：
“Option Pricing”，Oxford Financial Press, 1993.

森真：「なっとくする数理ファイナンス」，講談社，
2001.
株価の時間変化の例 (1)


米国IBM社の株価
2002年４月～2004年４月の２年間
株価の時間変化の例 (2)


トヨタの株価（ニューヨーク証券取引所）
2002年４月～2004年４月の２年間
為替レートの時間変化の例


ドル／円の為替レート
2003年４月～2004年４月の１年間
株価・為替レートデータの入手先

株価

Yahoo! Finance




http://finance.yahoo.com/
ページトップの “Enter Symbol(s)” の欄に会社名の略号（IBM, TM
など）を入力
１日～５年間のグラフが見られる。
ドル／円の為替レート

朝日新聞（経済為替欄）


http://www.asahi.com/business/exchange.html
過去３ヶ月間，１年間のグラフが見られる。
Yahoo! Finance
１. オプションとは

オプションとは



将来のある時点で，特定の価格で金融商品を売買する権利
対象となる金融商品：株式，債券，外貨，etc
オプションの例


１年後にトヨタの株を3500円で売却する権利 --- プットオプション
３ヵ月後に１ドルを120円で購入する権利 --- コールオプション
資産価格 St
St – K > 0 : 権利を行使
St – K 円の利益
行使価格 K
St – K < 0 : 権利を行使しない。
（市場で購入したほうが得）
満期 T
時間 t
１. オプションとは

オプションの用途



将来のキャッシュフローを現時点で確定させる。
これにより，市場変動によるリスクを回避する。
例：コールオプションによる為替リスクの回避




３ヵ月後に，ある原材料をアメリカから輸入したい。
購入代金は，その時点にならないと用意できない。
しかし予算は１ドル = 120円を前提として組んでおり，万一３ヵ月後
の時点で円が大きく下がっていると，赤字となる。
満期 T = ３ヶ月，行使価格 K = 120円のドルのコールオプションを購
入することにより，為替リスクを回避可能。
１. オプションとは

オプションの種類

ヨーロピアンオプション


満期Tにおいてのみ権利行使が可能なオプション
前のスライドで説明したオプションはこのタイプ。
St
この時点でのみ行使可能
K

アメリカンオプション


T
t
満期Tまでの間のいつでも権利行使が可能なオプション
市場で取引されるオプションの大多数はこのタイプ。
St
価格が下落して権利が無駄に
なりそうだと予測すれば，の
時点で行使可能
K
T
t
この期間にいつでも行使可能
１. オプションとは

オプションの種類（続き）

バリアオプション


資産価格がある範囲を越えた場合に権利が無効になるオプション
ヨーロピアンタイプ，アメリカンタイプの両方がある。
St
バリアレベル
の時点でオプション無効化
K

ルックバックオプション

T
t
満期Tにおいて，期間 [0, T] 中の最安値で資産を購入できるオプション
St
の時点での価格で購入可
K
T
t
１. オプションとは

オプション市場の拡大


国内のデリバティブ市場は420億ドル規模（日銀調査による）
オプションの多様化

金融以外の商品に対するオプション



原油，銅，大豆，etc
天候デリバティブ
リアルオプション

事業価値，特許価値などの評価
２. オプションの価格評価

オプションの価格




オプションの買い手：自分が利益を得られる場合にのみ，権利行使。
オプションの売り手：自分が損する場合でも，行使価格で商品を売る
（買う）義務がある。
オプション契約が成立するには，買い手が売り手に対し，代価（= オプ
ションの価格）を支払う必要あり。
価格評価の方針

資産価格はランダムに変動すると仮定。


より正確には，価格が幾何的ブラウン運動をすると仮定
権利行使により買い手が得られる利益の期待値を，オプションの価格
とする。

正確には，リスク中立確率などの議論が必要
オプション価格の例

IBM株に対するオプション（2004年４月満期）
オプション価格データの入手先

アメリカ

Chicago Board Options Exchange (CBOE)
http://quote.cboe.com/QuoteTable.asp
 左上の “Enter a Stock or Index symbol” の欄に会
社名の略号を入れ，“Submit” を押す。
 “List all options and LEAPS” にチェックをしておくと，
すべての行使価格，満期に対するオプション価格が表
示される。

Chicago Board Options Exchange (CBOE)
ブラウン運動のシミュレーション

[0,1]を1000分割した計算
資産価格のモデル化の例

幾何的ブラウン運動（S0=100，μ=0.05，σ=0.2）
オプション価格の計算例

バリアオプション
オプション価格の収束

バリアオプション

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