発表資料

特別講義 II (c)
－計算ファイナンスの基礎－
2009年10月21日
山本有作
はじめに

数理ファイナンスにおける課題

金融取引（株式売買，為替取引，融資など）に伴うリスク
を数学モデルにより定量的に求めてその低減を図り，効
率的に利益を得る方法を追求する。
実際の問題では，解析的に解を求めることが困難な場合
が多い。
数値計算により解を求める計算ファイナンスが重要
計算ファイナンスのテーマ

資産価格のモデル化



株価，為替レート，金利などはどのように時間変化するか。
その統計的な法則を調べ，モデル化する。
デリバティブの設計・価格計算


市場変動による損失を回避するための，デリバティブ（金
融派生証券）と呼ばれる商品群がある。
デリバティブを設計し，その経済学的に妥当な価格を計算
する。
計算ファイナンスのテーマ

リスク管理

金融取引に伴う様々なリスクを定量的に評価



市場リスク：資産価格の変動による損失の可能性
信用リスク：貸し倒れによる損失の可能性
資産運用最適化

様々な種類の資産（株式，国債，外貨など）を組み合わせ
ることにより，最小限のリスクで最大限の利益を得られる
運用方法を求める。
授業の目標

代表的なデリバティブであるオプションについて学ぶ。

資産価格のモデル化とシミュレーションの技法について学ぶ。

上記を用いてオプションの価格計算を行う。
授業の構成

第１章オプションとは





市場変動によるリスク
オプションによるリスク回避
様々なオプション
オプションの価格計算： 1期間2項モデル
第２章確率論の基礎



ブラウン運動
ブラウン運動から生成される確率過程
確率微分方程式
授業の構成

第３章ブラック・ショールズの資産価格モデル





安全資産のモデル
危険資産のモデル
伊藤の公式
資産価格モデルの解析解
第４章ブラック・ショールズの偏微分方程式


ブラック・ショールズの偏微分方程式
ブラック・ショールズのオプション価格公式
授業の構成

第５章差分法によるオプション価格計算




問題設定
陽的差分法
陰的差分法
演習課題
参考書

今野浩：「金融工学の挑戦」，中公新書，2000.

P. Wilmott, S. Howison and J. Dewynne （伊藤
幹夫，戸瀬信之訳）：「デリバティブの数学入門」，
共立出版，2002.

P. Wilmott, J. Dewynne and S. Howison：
“Option Pricing”，Oxford Financial Press, 1993.

森真：「なっとくする数理ファイナンス」，講談社，
2001.
連絡先

山本有作
居室：工学部本館 C3-201-1
Email： [email protected]
電話：内線6342
株価の時間変化の例


トヨタの株価
2008年1月～2009年10月の22ヶ月間
為替レートの時間変化の例


ドル／円の為替レート
2008年1月～2009年10月の22ヶ月間
株価・為替レートデータの入手先

Yahoo! ファイナンス


http://finance.yahoo.co.jp/
最大10年間のグラフが見られる。
１. オプションとは

オプションとは



将来のある時点で，特定の価格で金融商品を売買する権利
対象となる金融商品：株式，債券，外貨，etc
オプションの例


１年後にトヨタの株を3500円で売却する権利 --- プットオプション
３ヵ月後に１ドルを120円で購入する権利 --- コールオプション
資産価格 St
ST – K > 0 : 権利を行使
ST – K 円の利益
行使価格 K
ST – K < 0 : 権利を行使しない。
（市場で購入したほうが得）
満期 T
時間 t
オプションから得られる利益（ペイオフ）

プットオプション
ペイオフ
ペイオフ = max (K – ST , 0)
K
0

K
満期での資産価格 ST
コールオプション
ペイオフ
K
0
ペイオフ = max (ST – K, 0)
K
満期での資産価格 ST
１. オプションとは

オプションの用途



将来のキャッシュフローを現時点で確定させる。
これにより，市場変動によるリスクを回避する。
例：コールオプションによる為替リスクの回避




３ヵ月後に，ある原材料をアメリカから輸入したい。
購入代金は，その時点にならないと用意できない。
しかし予算は１ドル = 90円を前提として組んでおり，万一３ヵ月後の
時点で円が大きく下がっていると，赤字となる。
満期 T = ３ヶ月，行使価格 K = 90円のドルのコールオプションを購
入することにより，為替リスクを回避可能。
１. オプションとは

オプションの種類

ヨーロピアンオプション


満期Tにおいてのみ権利行使が可能なオプション
前のスライドで説明したオプションはこのタイプ。
St
この時点でのみ行使可能
K

アメリカンオプション


T
t
満期Tまでの間のいつでも権利行使が可能なオプション
市場で取引されるオプションの大多数はこのタイプ。
St
価格が下落して権利が無駄に
なりそうだと予測すれば，の
時点で行使可能
K
T
t
この期間にいつでも行使可能
１. オプションとは

オプションの種類（続き）

バリアオプション


資産価格がある範囲を越えた場合に権利が無効になるオプション
ヨーロピアンタイプ，アメリカンタイプの両方がある。
St
バリアレベル
の時点でオプション無効化
K

ルックバックオプション

T
t
満期Tにおいて，期間 [0, T] 中の最安値で資産を購入できるオプション
St
の時点での価格で購入可
K
T
t
１. オプションとは

オプション市場の拡大


国内のデリバティブ市場は420億ドル規模（日銀調査による）
オプションの多様化

金融以外の商品に対するオプション



原油，銅，大豆，etc
天候デリバティブ
リアルオプション

事業価値，特許価値などの評価
２. オプションの価格評価

オプションの価格




オプションの買い手：自分が利益を得られる場合にのみ，権利行使。
オプションの売り手：自分が損する場合でも，行使価格で商品を売る
（買う）義務がある。
オプション契約が成立するには，買い手が売り手に対し，代価（= オプ
ションの価格）を支払う必要あり。
オプションの価格評価


経済学的に妥当なオプションの価格を求める。
本講義の主題
オプション価格の例

IBM株に対するオプション（2004年４月満期）
ブラウン運動のシミュレーション

[0,1]を1000分割した計算
ドリフトを持つブラウン運動
2
1.5
1
0.5
系列2
系列3
系列4
0
1
-0.5
-1
-1.5
1001
幾何ブラウン運動 (1)
μ=0.05，σ=0.2
200
180
160
140
120
系列2
系列3
系列4
100
80
60
40
20
0
1
1001
幾何ブラウン運動 (2)
μ=0.2，σ=0.3
200
180
160
140
120
系列2
系列3
系列4
100
80
60
40
20
0
1
1001
BS公式で計算したオプション価格



ヨーロピアン・コールオプション
S0 = 100，r = 0.1，σ = 0.3
横軸は行使価格 K，縦軸はオプション価格
120
T=0
T=0.25
T=0.5
T=0.75
T=1.0
100
80
60
40
20
0
K
98
198
陽的差分法で計算したオプション価格



ヨーロピアン・コールオプション，K = 100，r = 0.1，σ = 0.3
横軸は初期資産価格 S0，縦軸はオプション価格
xmax= 5.0，N = 200，M = 150
120
T=1.0
T=0.5
T=0
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
陽的差分法で計算したオプション価格



ヨーロピアン・コールオプション，K = 100，r = 0.1，σ = 0.3
横軸は初期資産価格 S0，縦軸はオプション価格
xmax= 5.0，N = 210，M = 150
T=1.0
400000
300000
T=1.0
200000
100000
0
0
-100000
-200000
-300000
-400000
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
陰的差分法で計算したオプション価格



ヨーロピアン・コールオプション，K = 100，r = 0.1，σ = 0.3
横軸は初期資産価格 S0，縦軸はオプション価格
xmax= 5.0，N = 210，M = 150
120
T=1.0
T=0.5
T=0
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
陰的差分法とクランク-ニコルソン法の精度の比較



前記と同じオプションで
S0 = 100，T = 1.0 とした
場合の価格
時間方向の分割数 M を
変えたときの両解法の
精度をプロット
N = 10M と設定
1
1
10
0.1
0.01
0.001
0.0001
Implicit FDM
Crank Nicolson
0.00001
0.000001
100
1000
プログラムのページ

http://www.na.cse.nagoya-u.ac.jp
/~yamamoto/programs.html

内容
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

ブラウン運動のシミュレーション
ブラック-ショールズ公式によるオプション価格計算
差分法によるオプション価格計算
オプション価格の計算例

バリアオプション
オプション価格の収束

バリアオプション

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