古代の難問と曲線 (３時間目) 筑波大学大学院 教育研究科 １年 石井寿一 １．前回の復習 『螺線について』のなかで接線の明確な定義は述べら れていないが、「曲線と１点を共有し、その近くにおいて その曲線全体が直線のどちらか一方にあるような直線」 と考えていたと推測される。 P O ２．円積問題 与えられた円の面積と、まったく等しい面積 2 2 を有する正方形を作ること → 資料１日目 8.43 cm 8.42 cm πｒ2 πｒ2 解決のカギは… ・螺線の接線 ・１時間目（事前課題）の問ｃ → 「与えられた直線図形に 等しい面積の正方形を作ること」 全ての直線図形は正方形に等積変形できる。 円 直線図 形 正方形 の部分を如何にして行うかが課題 円 と面積の等しい 直線図 形 の存在をアルキメデスは知っていたのか？ アルキメデスの別の著作 『円と計測』を見てみよう。 ３．『円の計測』 『円の計測』 命題１ 全ての円は、直角を挟んでいる二つの辺のうち の１辺が、その円の直径の半分に等しく、もう一 つの辺が円を囲む線に等しいような直角三角形 に等しい。 「全ての円」は どんな直角三角形に等しいのか？ 「その円の直径の半分に等しく」→ 半径 「円を囲む線に等しい」 ＝ → 円周 半 径 円周 【証明の方針】 「円の面積 ＝ 三角形Eの面積」であることを示 す。もし、「円の面積 ＝ 三角形の面積」でないな ら、次の２つのいずれかが成り立つ。 (1) 円の面積 ＞ 三角形Eの面積 (2) 円の面積 ＜ 三角形Eの面積 これらを仮定してそれぞれの場合で矛盾を導き、 「円の面積 ＝ 三角形Eの面積」を得る。 『円の計測』命題１の証明（前半部） を読んで以下について考えてみよう。 １、前半部の証明で仮定している部分はどこだろう。 ２、下線ａ）のようになる過程を不等式で表してみよう。 ３、下線ｂ）のようになる課程を不等式で表してみよう。 ４、前半部の証明で矛盾している部分はどこだろう。 １、前半部の証明で仮定している部分はどこだろう。 仮定： 円ＡＢΓΔ ＞ 三角形Ｅ ２、下線ａ）のようになる 過程を不等式で表してみよう。 「引き続いてこの操作を繰り返すと」 円ＡＢΓΔ－三角形Ｅ ＞ 円ＡＢΓΔ－内接多角形 よって 内接多角形 ＞ 三角形Ｅ A Δ Z B Γ ３、下線ｂ）のようになる 過程を不等式で表してみよう。 NΞ＜三角形の１辺（＝円の半径） 多角形の周囲＜三角形の残りの１辺（円周） これより NΞ×多角形の周囲＜ 三角形の１辺×残りの１辺 A 多角形の面積の２倍＜三角形Eの２倍 Ξ よって Z 内接多角形＜三角形E Δ N B Γ ４、前半の証明で矛盾している 部分はどこだろう。 矛盾： 内接多角形＞三角形Ｅ と 内接多角形＜三角形Ｅ という２つの結論 ４．円周に等しい直線 『螺線について』 命題１８ 『螺線について』 命題18 もし直線が第1回転で描かれた螺線に、螺線の終端で 接し、そして螺線の原点である点から回転の原線に垂直 にある直線がひかれるならば、ひかれた直線は接線と交 わり、接線と螺線の原点との間の線分の長さは、第1円 の円周に等しいであろう。 つまり右図の場合 ＡＺ と第１円の円周が等しい。 円周に等しい直線ができる！ 『円の計測』命題１より 円と等しい面積の三角形が作れ る！ Z こうなります！！！ Θ 半 径 Z Z A A 円周 Θ ＝ A 空欄を埋めて 証明（前半部）を完成させよう。 左のページに 原典の日本語訳 右のページに 現代の数式表記 証明 （前半部） (1) ＺＡ ＞（円ΘＫＨの円周）と仮定する。 ① ＞（円ΘＫＨの円 そこで ＺＡ ＞ ΛＡ 周）となる線分ΛＡをとる。 円ΘＫＨ上に点があり、ΘＨは直径より小 さい。 証明 （前半部） そして ΘＡ：ＡΛ ＞ ΘＡ：ＡＺ （∵ ＡΛ＜ＡＺ） であり、また ΘＡ：ＡＺ ＝ ΘＨ/2：（ＡからＨΘへの垂線） であるから ΘＡ：ＡΛ ② ＞ ΘＨ/2：（ＡからＨΘへの垂線） となる。 証明 （前半部） よって命題7より ＮＰ：ΘＰ ＝ ΘＡ：ＡΛ となるように ＺΘの延長上に点Ｎをとることができる。 それゆえ、ＡΘ ＝ ＡＰより ③ ③ ＮＰ：ＡＰ ＝ ΘＰ：ＡΛ 証明 （前半部） ところで ΘＰ：ＡΛ ＜ 弧ΘＰ：(円ΘＫＨの円周） （∵ ΘＰ ＜ 弧ΘＰ、ＡΛ ＜ 円周） それゆえ ＮＰ：ＰＡ ＜ 弧ΘＰ：（円ΘＫＨの円周） 証明 （前半部） したがって （ＮＰ＋ＰＡ）：ＰＡ ＜ （弧ΘＰ＋円ΘＫＨの円周）：（円ΘＫＨの円周） ∴ＮＡ：ＰＡ ＜ （弧ΘＰ＋円ΘＫＨの円周）：（円ΘＫＨの円周） 証明 （前半部） ところで命題１５より ＸＡ：ＡΘ ＝ (弧ΘＰ＋円ΘＫＨの円周):(円ΘＫＨの円周) ゆえに ＮＡ：ＡＰ ＜ ＸＡ：ＡΘ ―① ④ ④ 証明 （前半部） しかし、 ＮＡ ＞ ＡＸ であり、ＡＰ ＝ ＡΘ ＮＡ：ＡＰ ＞ ＸＡ：ＡΘ ⑤ ⑤ なので ―② ①と②は矛盾 よって ＺＡ ではない。 ⑥ ＞（円ΘＫＨの円周） ⑥ ３日目のまとめ Θ πｒ2 A Θ πｒ2 Z A πｒ2 ３時間のまとめ １時間目 アルキメデス螺線 と その性質 ２時間目 角の３等分 と 螺線の接線 ３時間目 螺線と円積問題 ３日間ありがとうございました
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