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2013/05/22
半導体露光装置と整数計画法
実務における適用事例の紹介
キヤノン株式会社
光学機器事業本部
第二技術推進室
深川容三
1
本日の話題
１．半導体露光装置と最適化
２．レンズ群回し調整最適化
３．アライメント調整最適化
４．整数計画法の活用にむけて
５．まとめ
2
１．半導体露光装置と最適化
半導体露光装置の特徴
＊解像力・生産性・重ね合せ精度が重要
＊史上最も精密な生産機械（調整が重要）
調整で重要なこと
＊高精度な計測
誤差の低減・・・データ解析，振動解析，制御
誤差の消滅・・・知的計測
＊厳密な最適化(主に数理計画法)
適用可能な対象の発見・・意外と難しい
対象問題の定式化能力・・企業では難しい
数理計画法の利用能力・・可能
3
１．半導体露光装置と最適化
最適化課題
手法
ディストーション調整
レンズ群回し調整★
収差リアルタイム調整
収差ロバスト調整
照明系調整
ステージ移動順序
アライメント調整★
ウェーハ配置
線形計画
0-1混合整数計画
2次錐計画
0-1混合整数計画
0-1混合整数計画
TSPに帰着
0-1混合整数計画
総当り
4
半導体露光装置とレンズ収差
２．レンズ群回し調整最適化
reticle
1st group
2nd group
m-th group
wafer
5
レンズ群回し最適化とは？
２．レンズ群回し調整最適化
1st group
2nd group
m-th group
6
定式化のポイント
２．レンズ群回し調整最適化
(1) 2乗和を絶対値和で代替
(2) 抑える変数の導入
(3) 0-1変数を用いた表現
7
定式化の結果
２．レンズ群回し調整最適化
8
２．レンズ群回し調整最適化
波面収差の改善（実際の9例）約3割減少
9
２．レンズ群回し調整最適化
演算時間の短縮（実際の9例） 100分の1に減少
10
３．アライメント調整最適化
アライメント調整問題の再定義
マークのずれ (ei , f i ) を許容範囲 R 未満に収める
y
alignment mark v
u
26mm×33mm shot
x
300mm wafer
11
３．アライメント調整最適化
アライメント調整（LS）
調整モード
m
minimize (ei  Ai )
2
i 1
m
minimize ( f i  Ai ) 2
i 1
12
３．アライメント調整最適化
アライメント調整（LS+）
調整モード
m
minimize (ei  Ai ) , until any | ei  Ai |  R
2
i 1
m
minimize ( f i  Ai ) 2 , until any | f i  Ai |  R
i 1
13
３．アライメント調整最適化
アライメント調整（0-1整数計画法）
調整モード
14
３．アライメント調整最適化
アライメント調整（0-1混合整数計画法）
調整モード
15
３．アライメント調整最適化
最適化の対象（異常値のある場合とない場合）
9
number of defects = 5
tolerance = 18nm
8
div = 100nm
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
16
３．アライメント調整最適化
各手法による不良率の違い（異常値あり）
comparison with LS to IP
2
10
LS
error rate (%)
1
10
LS+
IP
0
10
0
5
10
15
tolerance for overlay error
20
17
３．アライメント調整最適化
LS+法による不良率（R=7nm，異常値あり）
9
number of defects = 21
tolerance = 7nm
8
div = 100nm
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
18
３．アライメント調整最適化
IP法による不良率（R=7nm，異常値あり）
9
number of defects = 6
tolerance = 7nm
8
div = 100nm
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
19
３．アライメント調整最適化
LS+法による不良率（R=18nm，異常値あり）
9
number of defects = 5
tolerance = 18nm
8
div = 100nm
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20
３．アライメント調整最適化
IP法による不良率（R=18nm，異常値あり）
9
number of defects = 0
tolerance = 18nm
8
div = 100nm
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
21
３．アライメント調整最適化
22
４．整数計画法の活用にむけて
整数計画法の利用状況
＊線形計画法さえも浸透していない．
＊線形問題に定式化するのが難しい．
利用推進するには？
＊最大絶対値最小化で線形計画法から広める
＊整数計画問題を特許から発掘する．
選択による最適化の問題
選択を含む最適化の問題
23
４．整数計画法の活用にむけて
露光装置における最適化手法毎の特許件数
（1993年以降，要約＋請求項）
検索語
最小２乗法
（反復含む）
遺伝的アルゴリズム
線形計画法
二次計画法
整数計画法
混合整数計画法
公開特許
32
3
9
8(3)
4(1)
1(0)
2(0)
登録特許
11
0
2
2(0)
2(0)
1(0)
0(0)
24
＊()内はキヤノン＋農工大以外
４．整数計画法の活用にむけて
最適化手法毎の特許件数
（1993年以降，要約＋請求項）
検索語
最小２乗法
（反復含む）
遺伝的アルゴリズム
線形計画法
二次計画法
整数計画法
混合整数計画法
公開特許
3205
192
1193
219
27
32
38
登録特許
1522
83
344
102
15
9
18
25
５．まとめ
１
２
３
好ましい最適化手法は厳密解が得られる
数理計画法である．
特に0-1混合整数計画法は使い道が多い．
整数計画法の発展は特許出願が鍵かも？
威力に気付けば活用は進む
26

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