重力波の重力レンズでの波動効果高橋龍一（国立天文台ＰＤ） 0. Abstract 重力波源レンズ天体重力レンズを受けた重力波検出器 1. Introduction 世界の重力波検出器 ●地上のレーザー干渉計周波数： 10 103 Hz LIGO（米）、TAMA（日）、VIRGO（仏・伊）、GEO（独・英）等（運転中）将来計画 advanced LIGO （米、~2007年）、LCGT（日） ●スペースのレーザー干渉計 LISA（米・欧、~2013年）周波数：104  101 Hz 将来計画（2020年以降） DECIGO（日）、BBO（米）周波数： 102  10 Hz ◆ 重力波源（Cutler & Thorne 2002 ） ●地上の検出器・中性子星（ＮＳ）やブラックホール（BH）連星の合体 NS merger  10 103 events/yr for advanced LIGO （Kalogera et al. 2004）・超新星爆発・中性子星の自転 ●スペースの検出器・超巨大BHや中質量BH連星の合体 SMBH merger  0.1 102 events/yr for LISA ・銀河中心の超巨大BH ・銀河系内の白色矮星の連星  103 sources for LISA ・初期宇宙（インフレーション）起源の重力波 ◆ 重力波の重力レンズ重力波がレンズ天体の近傍を通過重力ポテンシャルにより進路が曲げられる重力波観測者レンズ天体重力レンズは（光と同様に）受ける重力波の振幅・位相の両方とも、影響を受ける ◆ 重力波の重力レンズを研究する動機 ●重力波の波形（template）への影響（e.g. Thorne 1987）様々なレンズモデル（密度分布） ●detection rate への影響（Wang et al, 1996, T.T. Nakamura 1998, Varvella et al, 2003）レンズ効果により重力波の振幅が増幅遠方からの弱いシグナルが受かりやすくなる detection rate が上がる？ほとんど、影響なし ●距離決定の不定性（Holz & Hughes 2002）チャ－プシグナル f から直接決定連星までの距離 D 周波数観測者観測される振幅 f 連星 D f A 3 f D f , f , A から距離 D が決定レンズを受けると、振幅が増幅・減衰される距離決定に不定性 2. 重力レンズの波動効果（Schneider, Ehlers & Falco 1992; T.T. Nakamura & Deguchi 1999）波動効果：回折・干渉効果 ●重力レンズ（幾何光学）光の経路レンズ天体光の重力レンズは通常、幾何光学近似を用いて記述される光の波長  レンズ天体のサイズ 2.1 回折効果重力波は光と比べ波長が非常に長いため、波の性質が現れやすい重力波の波長可視光   10 km  f Hz -1 5  1 μm 波長がレンズ天体のサイズ（シュワルツシルト半径）より長くなると回折効果が現れる M  10 M sun  f Hz 1 5 M : レンズの質量回折効果入射波波が壁の後ろにまわりこむ現象波長が長いほうが現れやすい壁（理化学辞典より） ●複スリット（T.T. Nakamura 1998） rE 観測者１ /２   ｒＥ  ＭＤレンズ天体 M D (c  G  1)   ｒ観測者行路差 E          ＭＤ単色波複スリット  Ｍ Einstein 半径スクリーン波動効果 (回折) ●波長が長い極限   M 重力波源レンズ重力波はレンズ天体の存在を感じずに伝播する 2.2 干渉効果重力波：コヒーレントな波干渉 rE  MD 1/ 2 波の強度   ｒ E  X Ｄ単色波行路差スクリーン複スリット明暗の間隔   干渉パターン       n n  0,  1,  2, X D  ｒE  M  0.1 AU  6  10 M sun 波長    -1/2 1/2  D   f      10kpc kHz     1 (Ruffa 1999) ●チャープシグナルでの干渉パターン（RT & Nakamura 2003）行路差        波長  振幅   n 明  (n  1 2) 暗 n  0,  1,  2, 合体１年前合体 SMBH binary 106  106 M sun at z  1 detected by LISA 質点レンズ 108 M sun 干渉パターン周波数 ●光（電磁波）の重力レンズとの違い・光学的に厚い領域が見える・重力レンズを受けたかどうかは、time delay で調べる・軽いレンズ天体まで確認出来る（電磁波）  E ：Einstein angle  E   M D1/ 2   lim M  10 M sun 11  D   lim       Gpc 1     lim : 角度分解能 2 銀河スケール・レンズ確率が上がる（Ruffa 1999; RT & Nakamura 2003）・重力波源は十分コンパクトなので、大きさを考慮しなくていい 3. 曲がった時空上での重力波の伝播 (Misner, Thorne & Wheeler 1973; Schneider, Ehlers & Falco 1992) 基礎方程式 Background metric ( B) ds2   1  2U dt2  1  2U dr 2  g dx dx U (r ) ：レンズ天体の重力ポテンシャル波動方程式 h : 重力波テンソル ( B) h ; ;   2R h  0 h ;   2  2   0, h  0 : TTgauge ~ ~ 2 h  4 U h  (B ) : Background R Riemann tensor ~ h ( ) : h のフーリエ成分（Peters 1974） ◆ レンズを受けた重力波波形波動方程式      h~  4 U h~ の解 2 2  2  ・回折積分 with thin lens 近似（Schneider, Ehlers & Falco 1992）・幾何光学近似   M ・球対称レンズ（Suyama, RT & Michikoshi in preparation）角度と動径成分の変数分離常微分方程式・弱い重力ポテンシャル（RT, Suyama & Michikoshi in preparation ）重力ポテンシャルの１次摂動（Born近似）・質点レンズの場合 U   M r 解は超幾何関数で与えられる（Peters 1974; Deguchi & Watson 1986） ●回折積分源、レンズ、観測者の配置図（Schneider, Ehlers & Falco 1992）ｔhin lens 近似：レンズ面上のみで U  0 他は U  0 重力波はレンズ面上のみで散乱されるｔhin lens 近似の妥当性（Suyama, RT & Michikoshi in preparation）レンズ面 ●Amplification factor (又はTransmission function ) ~L ~ F ( )  h ( ) h ( ) ~L h ：レンズを受けた波 ~ h ：レンズなしの波 DS  2 F (, η)  d ξ exp i  td (ξ, η)  DL DLS 2 i time delay t d (ξ, η)  DL DS 2 DLS 2  ξ η     (ξ )   DL DS   (ξ ) : レンズ面上の２次元重力ポテンシャル Amplification factor F (, η)  DS  2 d ξ exp i  td (ξ, η)  DL DLS 2 i D D t d (ξ, η)  L S 2 DLS 2  ξ η     (ξ )  D D S   L : time delay ●幾何光学近似     t d の停留点 (stationary point) が積分へ寄与する  td (ξ, η)  ξ  0 : レンズ方程式像の位置 ξ j が決まるレンズ面上での積分 F ( , η)    j j 1/ 2 それぞれの像の和  exp i  t d , j  j : j 番目の像の magnification td , j : j 番目の像の time delay 時間空間での波 hL ( t )    j 1/ 2 h ( t  t d , j ) j hL ：レンズを受けた波 h ：レンズなしの波  例： 1 , td ,1 レンズ源 h ( t )  1 1/ 2 h ( t  t d ,1 )   2 上の経路 t d : time delay 観測者 2 , t d , 2 L : magnification 1/ 2 h ( t  t d , 2 ) 下の経路 Flux は  倍 1/ 2 Amplitude は  倍 ●質点レンズ  (ξ)  M  (ξ)  2 w  1 ：増幅率 (magnification) は十分小さい（回折効果） w  1 ：幾何光学近似 F ( )    1/ 2  i  1/ 2 e i  td F ( )        2     2 t d : time delay の差 1/ 2 sin  t d  干渉 y   E E  4MDLS DS DL 1/ 2 : Einstein 半径 w  4M F の位相  F  i ln F F w  4M 4. レンズを受けたシグナルの見分け方・同じ形の波形が同じ方向から複数来た場合 Time delay だけ遅れてシグナルが到着・チャープシグナルの振幅に（干渉による）振動パターンがある場合・理論的に予想される振幅 Ath と観測されたもの Aobsとが一致しないとき  1/ 2  Aobs Ath   Ath  f f 3 D D : host galaxy までの距離 redshift から決定 ●重力レンズを受ける確率遠方の QSOs が手前の銀河により重力レンズをうけて多重像を作る（strong lensing）確率： 0.1-1 % 銀河より軽いレンズ天体も含めれば確率は上がる弱い重力ポテンシャルによる散乱（weak lensing）なら起こる 5. まとめ重力波の重力レンズでの波動効果回折と干渉効果・回折重力波の波長  ＞レンズ天体のシュワルツシルト半径 M M  10 M sun  f Hz 5 ・干渉重力波がコヒーレントな波 1