スライド 1 - 国立大学法人東京農工大学

期末試験
１．日時： 2月2日(木) ４，５限
２．場所： 1321番教室
３．試験範囲：講義・演習で扱った全ての範囲
４．注意：
・集合時刻厳守のこと
・途中退出は認めない
・全員受験必須
・資料持込不可
既に60点以上を獲得している者も受験すること。欠席
及び期末試験の得点が2点未満の場合、単位取得の
意思が無いものと見なす。
3-1 重心座標
複数の物体の運動は重心の運動と相対運動に分けられる。
質量mA、位置 rAとmB、rBとの２つの物体の運動を考えよう。
簡単のために2次元平面運動とする。
物体の位置は r A   x , y ,0 r B   x , y ,0
A
A
B
B
重心の位置は r G   x , y ,0   m A r A  mB r B
G
G
m A  mB
 m A x A  mB x B m A y A  mB y B 

,
,0 
m A  mB
 m A  mB

3-1 重心座標
rAとrBを重心を使って表すと、
r A   x A , y A ,0
 mA x A  mB xB mB x A  mB xB mA y A  mB yB mB y A  mB y B 


,

,0 
m A  mB
m A  mB
m A  mB
 m A  mB


mB x A  mB xB
mB y A  mB y B 
  xG 
, yG 
,0 
mA  mB
mA  mB


r B   xB , yB ,0

 m A x A  m A xB
mA y A  mA y B 
  xG 
, yG 
,0 
mA  mB
mA  mB


3-1 重心座標
従って２つの物体の運動量を重心の速度を用いて表すとそれぞれ、
x
x
y
y


m
v

m
v
m
v

m
v
B A
B B
B A
B B
x
y
P A   m Av G  m A
, m Av G  m A
,0 


m A  mB
m A  mB


x
x
y
y



m
v

m
v

m
v

m
v
A A
A B
A A
A B
x
y
P B   mB v G  mB
, mB v G  mB
,0 


m

m
m

m
A
B
A
B


全体の運動量は当然以下のようになる。
P  P A  PB 
m
x
y

m
v
,
m

m
v
,0



A
B
A
B
G
G

3-1 重心座標
それでは２つの物体の運動エネルギーを重心の速度を用いて
表すとどうなるのか？
KA 
1
PA  PA
2m A

1
 m A v Gx 2  v Gy 2
2

1
1
2
 mA v G  mA
2
2
1
1
2
K B  mB vG  mB
2
2
x
x


m
v

m
v
1
B A
B B
 m A 
2
 m A  mB


m2B v 2A  v 2B  2v A  v B
 mA  mB 
2

m2A v B2  v 2A  2v B  v A
 mA  mB 

2

2
  mB v A  m B v B
  
  m A  mB
y
y



2




3-1 重心座標
従って全体の運動エネルギーは

1
1 mBm A
2
K  K A  KB   mA  mB  vG 
v 2B  v 2A  2v B  v A
2
2 mA  mB


1
1 mB m A
2
  mA  mB  vG 
vA  vB  vA  vB
2
2 mA  mB
第１項は重心の運動エネルギー
第2項はAとBの相対運動の運動エネルギー
mB m A
m A  mB
を換算質量という。


3-1 重心座標
物体A,Bの運動のまとめ
mA r A  mB r B  mA x A  mB xB mA y A  mB yB 

,
,0 
１：重心r G   xG , yG ,0 
mA  mB
mA  mB
 mA  mB

２：全運動量：重心の速度に総質量をかけたもの。
P  P A  PB 
x
y
m

m
v
,
m

m
v
,0 




 A B
A
B
G
G
３：運動エネルギー：総質量＊重心の速度の２乗＊0.5
+換算質量＊AとBの相対速度の２乗＊0.5


1
1 mBm A
2
K   mA  mB  vG 
vA  vB  vA  vB
2
2 mA  mB

3-1 重心座標
例１一体並進運動＆ m  mA  mB
mAvG mB vG
r A  rB
１：重心 r G   xG , yG ,0 
2
２：全運動量： P  P A  P B   2mv x , 2mv y ,0 
G
2
K

mv
３：全運動エネルギー：
G
G
3-1 重心座標
例2 原点回りに半径ｒで相対して、角速度ωの回転円運動
rG   xG , yG ,0   0,0,0
１：重心
２：全運動量： P  P A  P B   0,0,0
Ｙ

３：全運動エネルギー：


mA

1m
K
v A  v B  v A  v B  mr 2 2
22
Ｘ
mB
3-1 重心座標
問
１）あなたm1が速度v1で道を歩いていた。枯葉m2が速度v2で体に衝
突した。その後一緒に移動したとする枯葉衝突後のあなたと枯葉の
凡その運動エネルギーはいくらか？
２）直径１mの小さな隕石m1が地球m2に第二宇宙速度でぶつかっ
て地球にめり込んだとする。地球は静止していたとすると、衝突後
の地球と隕石の凡その運動エネルギーはいくらか？
3-1 重心座標
例３衝突問題に取組もう
固い小さな物体ｍ１、ｍ2の衝突を考える。最初、ｍ１は速度ｖ0でｍ2
に向かって進み、ｍ2は原点に静止している。空気等の抵抗は無
い。重力等の力は働かない。時刻ゼロで衝突後、物体ｍ１、ｍ2は
速度ｖ１、ｖ2で進むとする。
衝突後
衝突前
m1
m2
m1
m2
v0
v1
v2
A 衝突前：
 m1

m1 r 1  m2 r 2
m1

r1  
v0t ,0,0 
１：重心 r G 
m1  m2
m1  m2
 m1  m2

２：全運動量：
P  m1 v0
m1 2
３：全運動エネルギー： K  2 v 0
3-1 重心座標
B 衝突後、運動量と運動エネルギーが保存されるとき
全運動量保存：
m1v0  m1v1  m2v2
m1 2 m1 2 m2 2
v0 
v1 
v2
2
2
2
m1  m2
2m1
v1 
v0 v2 
v0
m1  m2
m1  m2
全運動エネルギー保存：
上２式を解いて、
衝突後：
１：重心
２：全運動量：

m1 r 1  m2 r 2  m1
rG 

v0t,0,0 
m1  m2
 m1  m2

P  m1 v0
m1 2
v0
３：全運動エネルギー： K 
2
3-1 重心座標
問物体ｍ１は衝突によりｍ 2 に運動エネルギーを与える。衝突前
のｍ１の運動エネルギーをE0、衝突後のｍ2の運動エネルギーをE2
とする。エネルギー伝達率E2/E0 が最も大きくなる条件と、その時
のE2/E0の値を求めよ。
エネルギー伝達率E2/E0が最も大きくなる条件：ｍ１=ｍ2
その時のE2/E0 = １
問ｖ2の最大値は何v0か？またその時のエネルギー伝達率はい
くらか？
ｖ2が最も大きくなる条件は：ｍ2/ｍ1 =０
Max ｖ2= ２ｖ0
そのときのエネルギー伝達率 = ０
3-1 重心座標
C 運動量はあらゆる場合に保存される、宇宙不変の大原則である。
これに対し、運動エネルギーは保存されるとは限らない。
・例えばポテンシャルエネルギーに変化したりする。
熱エネルギーにも変わる、光エネルギーになる場合もある。
・もし、初め、全エネルギーが運動エネルギーだとする。
運動エネルギーが保存されないイベントがおこった場合、当然運
動エネルギーは小さくなる。
よって、
m1 2 m1 2 m2 2
m1v0  m1v1  m2v2
v0 
v1 
v2
2
2
2
である。典型的なのは、衝突後一緒に運動する場合である。
m1
衝突前
v0
m2
衝突後
m1 m2
v1
3-1 重心座標
このとき運動量の式は、
m1v0   m1  m2  v1
m1v0
v1 
m1  m2
m1
衝突前
v0
衝突後
m1 m2
m2
v1
衝突後の運動エネルギーは
m1 2 m2 2 1 m1
v1 
v1 
m1 v02
2
2
2 m1  m2
m1 2 1 m1
2
v

m
v
これは当然、
2 0 2 m1  m2 1 0
である。衝突後、運動エネルギーが減少する衝突を非弾性衝突という。
3-1 重心座標
問
１）あなたm1が速度v0で道を歩いていた。枯葉m2が速度v2で体に衝
突した。その後一緒に移動したとする枯葉衝突後のあなたと枯葉の
凡その運動エネルギーはいくらか？
m1 2 m2 2 1 m1
1
2
v1 
v1 
m1 v0 ~ m1 v02
2
2
2 m1  m2
2
２）直径１mの小さな隕石m1が地球m2に第二宇宙速度でぶつかっ
て地球にめり込んだとする。地球は静止していたとすると、衝突後
の地球と隕石の凡その運動エネルギーはいくらか？
m1 2 m2 2 1 m1
v1 
v1 
m1 v02 ~ 0
2
2
2 m1  m2
３－２剛体の運動
硬い、大きな物体があり、回転中心軸Ｂのまわりにそ
の物体を角速度ωで回転させた。このとき、物体の
角運動量大きさを
LB  I B
と書く。
回転運動エネルギーは
と表せる。
2
B
1
L
2
E  I B 
2
2I B
このとき、IBを物体のＢまわりの慣性モーメントという。
３－２剛体の運動
名作「FN物語」を読もう。
F君：1月9日：今日は、成人式に相応しいことをしようと思い、一日
中物理のことを考えていた。重心について考えているうちに、頭が
混乱してしまった。剛体の重心は、そこに全ての質量が集中して
いると考えられる点だ。
例えば、質量Mで長さLの一様な棒を考える。この棒を一端を中
心に回転させるとき、角運動量を計算したい。棒の中心に質量が
集中していると考えれば、質量Mの質点を半径L/2で回転させると
考えていいのだろうか。しかし教科書の答えは違っている。回転運
動に重心の考えを使ってはいけないのかなぁ?でも、質量の無視
できない棒におもりをぶら下げて、天秤をつりあわせることを考え
る問題では、重心の位置に棒の重さが集中していると考えると考
え易かった。あの問題は力のモーメントのつりあいの話だから、回
転が関係する問題に重心の考えを使ってはいけないということで
もなさそうだ。やっぱり、まだ角運動量や運動量のことがわかって
いないような気がする。
３－２剛体の運動
N君：1月12日：今日は僕が主役だ。
F君マスゲーム知ってるかい？
F君：ああ、運動会で集団でやるお遊戯のことだろう。
N君：その通り、物理かぶれのF君は「質量ゲーム」と答えるんじゃ
ないか、と心配したよ。マスには質量と集団の２つの意味があるか
らね。
F君：僕を見くびるんじゃない。君よりもよっぽど常識をわきまえてい
るつもりだよ。
N君：・・・・・・・
F君：ところでマスゲームと僕の悩みとどんな関係があるんだい？
10
N君：右図のように１０人が手を繋いで横一線に並び
左端の人を中心に横一線を崩さず回転することを考えよう。
F君：中学校でやったことがある。
5
N君：ゲームの後、左から2番目、5番目、
10番目の人に感想を聞いてみよう。
2
F君：オーケー
３－２剛体の運動
2番目の人：楽ちんでしたが意外に難しいですね。ゆっくり歩かない
と前に飛び出して列を乱してしまうんです。
5番目の人：まあ普通に歩けばいいので楽なゲームです。左右の人
を見ながら仲良く歩けばいいんです。
10番目の人：いやー、見た目より実際は大変な運動ですよ。必死に
歩かなければ追いつかない。私は足が遅い方ではないですが、20
秒で一回転ですからね。どうしても列に遅れがちになりますよ。疲れ
た、疲れた。
F君：まあ予想通りの感想だな。これと物理と何が関係ある？
N君：2番目の人の運動は？
F君：それはゆっくり歩くのがコツさ。5番目は普通に歩く。一番端の
10番目は必死に歩く。そうしないと列が乱れるからね。
N君：横一列でも場所によって仕事量が違うということ？
F君：もちろんそうだね。中心の人はほとんど仕事しない。一番端の
人は目一杯の仕事をしなければならない。
N君：運動エネルギーで説明して下さい。
３－２剛体の運動
F君：任せとけ。横一列で列を乱さないで動くから、一回転の周期は同
じなんだ。しかし、場所によって一周の長さは違うだろう。中心からの距
離に比例して一周の長さが長くなるんだ。だから一定周期で回ろうとす
ると、端の人ほど速く動かなければならない。中心からの距離に比例し
て速度が速くなる。だから歩く人の運動エネルギーは中心からの距離
の2乗に比例して大きくなるんだ。どうだ、いい説明だろう。
N君：じゃあ、運動エネルギーの平均の人は何番目だろう？
太郎：それは丁度真ん中の人、・・じゃないな、何処だろう？
中心からの距離をLとすると、回転の線速度は距離Lに比例するから運
動エネルギーはL2に比例する。
それを中心から全て足すと、L3/3に比例する。
平均の運動エネルギーを人数分足すと上の値になるから、
平均の運動エネルギーはL3/3をLで割ればいいね。
だからL2/3だ。
これの平方根をとると位置がでるよ。(L2/3)0.5です。どうだ、完璧だろう。
３－２剛体の運動
N君：具体的には何処？
太郎：わからないかい？中心よりちょっと外側さ。30.5は２より少し小
さいからね。外側の人の運動エネルギーは非常に大きくなるから、
平均位置が中心より外側にずれるんだよ。10人の場合は6番目さ。
ようし、もっと数学的に説明してやろう。
マスがmの人がN人横一列長さLに並んで角速度ωで回転したとす
る。平均運動エネルギーを持つ人は、前の議論から(N/3)0.5番目の
人で中心からの距離はLｘ3-0.5だ。この人の運動エネルギーは
2
1  L  11 2 2
m  0.5   
mL 
2 3
 23
となる。全員の運動エネルギーはこれにNを掛ければ良い。
全質量をM=m*Nとすると。
11
2 2
E

ML

全体の運動エネルギーEは
となる。
23
３－２剛体の運動
確か回転半径L,角速度ωの質量Mの小さな玉の回転運動の運動エ
ネルギーは 1 ML2 2 だったな。棒の場合は違うのか、棒の方が
小さいぞ。 2
N君：この論理を進めた場合の全体の運動量と平均値を持つ人の
位置は？
F君：速度は L な形をしているから、平均値は真ん中だよ。そ
して全体の運動量の大きさは NmL  ML
です。
2
2
1
2M
 ML 


2


2
N君：それじゃあ、全体の運動エネルギーは
でいいの？
F君：いや、それは違うよ。場所によって速度と運動量が違うじゃな
いか。例えば全く逆向きに同じ速度で進む同じマスの２つの物体の
合計運動量はゼロだろう。でも2つの物体の合計運動エネルギー
はゼロではない。こういう場合は全体の運動量の大きさを単純に2
乗してはいけません。
３－２剛体の運動
N君：そこで回転の場合の運動量をあたかも並進と同じように扱う
量として角運動量が登場するのです。 mLL
F君：なるほど、この場合L2があるから、僕の得意技が使えるな。
なんだか、分かったような、騙されたような・・・・・・
－F君の悩みは尽きません－
３－２剛体の運動
問右図のように質量ｍの非常に小さい物体
が間隔aで0番からN+1個並んでいる。
m
これらの物体が、0番の物体を中心として
その配列を乱すことなく、角速度ωで回転
O1 2
する。
a
ω
N
1)1番目の物体の回転運動の慣性モーメントI1を求めよ。
2)N番目の物体の回転運動の慣性モーメントINを求めよ。
3) 1～N番の物体の回転運動の合計の慣性モーメントIを求めよ。
３－２剛体の運動
問右図のように質量ｍの非常に小さい物体
が間隔aで0番からN+1個並んでいる。
m
これらの物体が、0番の物体を中心として
その配列を乱すことなく、角速度ωで回転
O1 2
する。
a
ω
N
1)1番目の物体の回転運動の慣性モーメントI1を求めよ。
I1  ma 2
2)N番目の物体の回転運動の慣性モーメントINを求めよ。
I N  mN 2a 2
3) 1～N番の物体の回転運動の合計の慣性モーメントIを求めよ。
1
I  N  N  1 2 N  1 ma 2
6
３－２剛体の運動
問右図のように質量ｍの非常に小さい物体
が間隔aで0番からN+1個並んでいる。
m
これらの物体が、0番の物体を中心として
その配列を乱すことなく、角速度ωで回転
O1 2
する。
a
N
４)Nが非常に大きい数のとき、Iを近似的に表せ。
５）４）のとき、M=Nm, R=Naとするとき、IをMとRを用いて表せ。
問長さＬ、質量Ｍの細い棒を棒の端を中心
として角速度ωで回転するときの慣性モーメン
トを求めよ。
ω
ω
Ｌ，Ｍ
３－２剛体の運動
問右図のように質量ｍの非常に小さい物体
が間隔aで0番からN+1個並んでいる。
m
これらの物体が、0番の物体を中心として
その配列を乱すことなく、角速度ωで回転
O1 2
する。
a
N
1 3 2
４)Nが非常に大きい数のとき、Iを近似的に表せ。 I ~ N ma
3
５）４）のとき、M=Nm, R=Naとするとき、IをMとRを I ~ 1 MR 2
3
用いて表せ。
ω
問長さＬ、質量Ｍの細い棒を棒の端を中心
として角速度ωで回転するときの慣性モーメン
1
トを求めよ。
I ~ ML2
3
ω
Ｌ，Ｍ
３－２剛体の運動
問長さＬ、質量Ｍの細い棒を、棒の中心を中心として角速度ωで
回転するときの慣性モーメントを求めよ。
ω
問半径r質量Ｍの細い赤いリングを図の
ように角速度ωで回転するとき、角運動量
の大きさを書け。慣性モーメントを求めよ
Ｙ

r
Ｏ
Ｍ
Ｘ
３－２剛体の運動
問長さＬ、質量Ｍの細い棒を、棒の中心を中心として角速度ωで
回転するときの慣性モーメントを求めよ。
ω
 1 M L2  1
2
I  2

ML
 12
3
2
4


問半径r質量Ｍの細い赤いリングを図の
ように角速度ωで回転するとき、角運動量
の大きさを書け。慣性モーメントを求めよ
L  Mr 2
I  Mr 2
Ｙ

r
Ｏ
Ｍ
Ｘ
３－２剛体の運動
半径aで質量Ｍの薄い一様な円板の中心を通り、円板に垂直な
軸周りの慣性モーメントを求めよう。
(1)まず円板を右下のように細いリングの集まりと
考えよう。重さ面密度をρとする。
(2) 半径r厚さdrのリングの角運動量は
dL  2 rdr  r 2
(3)全体の角運動量は、
 dL  
a
0
4
2
2

a

Ma

2
2 rdr  r  

 I
4
2
よって慣性モーメントは
Ma 2
I
2
３－２剛体の運動
(4)半径r厚さdrのリングの運動エネルギーは
1
dE  2 rdr  r 2 2   r 3 2dr
2
(5)全体の運動エネルギーは、
a
 a 4 2
0
4
3 2
dE


r
 dr 


Ma 2 2 1 2

 I
4
2
a
３－２剛体の運動
(6)もし円の中心で回転しながら、速度ｖで
並進運動しているときの運動エネルギーは
1
1 2
2
E  Mv  I 
2
2
となる。
ω
Ｖ
３－２剛体の運動
(7)半径a、角速度ω１の自転回転しながら、
ω2
半径b、角速度ω２の公転回転するときの
合計の角運動量と運動エネルギーエネルギー
を求めよ。
1
L  Mb 2  I 1  Mb 2  Ma 21
2
1
1 2 1
1
2 2
2 2
E  Mb 2  I 1  Mb 2  Ma 212
2
2
2
4
2
2
(8)もしb＝a、 ω１＝ω２＝ωならどうなるか？
ω1
３－２剛体の運動
(8) b＝a、 ω１＝ω２＝ωなら、
1
3
2
2
L  Ma   Ma   Ma 2
2
2
1
1
3
2 2
2 2
E  Ma   Ma   Ma 2 2
2
4
4
ω1
ω2
自公転半径が同じ場合の自公転の合計慣性モーメントは
3
I  Ma 2
2
（9）これはどのような運動か？
３－２剛体の運動
問長さa、質量mの細い棒を、棒の中心を中心として角速度ωで
回転するときの慣性モーメント、角運動量、
回転運動エネルギーをa、m、ωを適宜用いて
ω
表せ。
m
a
問長さa、質量mの細い棒を、棒の中心か
らb離れた所を中心として角速度ωで回転す
るときの慣性モーメントを求めよ。
ω
b
m
a
３－２剛体の運動
問長さa、質量mの細い棒を、棒の中心を中心として角速度ωで
回転するときの慣性モーメント、角運動量、
回転運動エネルギーをa、m、ωを適宜用いて
ω
表せ。
1
1
1
2
2
I  ma L  ma  L 
ma 2 2
12
12
24
問長さa、質量mの細い棒を、棒の中心か
らb離れた所を中心として角速度ωで回転す
るときの慣性モーメントを求めよ。
m 2
I  a  mb 2
12
m
a
ω
b
m
a
３－２剛体の運動
(10)右図のように円板を縦に回転する場合を考えよう。 ω
右図のように円板を細い赤い棒に分けて考えよう。
棒の中心を回すときの慣性モーメントは
1
I 
mr 2
12
と知っている。棒の長さが場所によって違うことを
考慮しておのおのの棒の慣性モーメントを足し合わ
せれば目的の値が得られるだろう。
a
θ
Ｏ
３－２剛体の運動
Y
右図のように円板を細い棒に分けて考えよう。
円板の重さ面密度をρとする。図の座標Ｙ軸の点
(y,0)を横切る幅dyの細い棒の慣性モーメントは
3
1
1
2

x
dy
2
I  mr 2   dy 2 x   2 x  
12
12
3
3
2
2
2 dy
2
2
2
2

a

y


x  y  a だから、 I 
3
ω
a
全体の慣性モーメントは
I11  
a
a
y  a cos
2  a  y
2
3
2 2

3
と置けば、
dy

4
4
2

a
sin

2
I11  2
d
0
3

 a 4
4
Ma 2

4
θ
(y,0)
Ｏ
X
３－２剛体の運動
(11)縦に回転する場合をもう一つ別の考え方にトライしよう。
ω
下図のようにＸ－Ｙ平面上に質量miの小さな
物体が位置ri(xi,yi)にある。物体をＹ軸周りに
回したとき、慣性モーメントは
Ｙ軸周り：
a
I Yi  mi xi2
Ｘ軸周りに回したときの慣性モーメントは、
Ｘ軸周り：
I  mi ri  mi  x  y
i
Z
Ｙ
I Xi  mi yi2
xi
それではＺ軸周りに回したときの
慣性モーメントはどうなるか？
Ｚ軸周り：
2
2
i
2
i
Ｏ
mi
ri(xi,yi)
yi
I I
i
X
Ｏ
i
Y
Z
Ｘ
３－２剛体の運動
即ち、ある平面（ここではＸ－Ｙ）上に小さな物体があるとき、
その平面に垂直な軸周りの物体の慣性モーメントは、
平面内の直交する軸周りの慣性モーメントの和に等しい。
Ｙ
I Zi  I Xi  IYi
任意の平たい剛体物体を微小物体の集合と
考えれば、任意の平らな剛体の慣性モーメントは
IY   m x
xi
2
i i
yi
i
I X   mi yi2
Ｏ
i
I Z   mi ri 2   mi  xi2  yi2 
i
やっぱり
mi
ri(xi,yi)
i
I Z  I X  IY
Z
Ｘ
３－２剛体の運動
それでは I Z  I X  IY
を利用しよう。
円板の中心を通り、円板に垂直な軸周りの慣性モーメントは
Ma 2
I
Ｙ
2
これはＺ軸周りの慣性モーメントに相当する。
a
Ma 2
IZ 
2
それではＸ軸、Ｙ軸周りの慣性モーメントは？？
分からないが、少なくとも円板である限り対称性
から
I X  IY は確実である。だから、
I Z  I X  IY  2IY
よって、
Ma 2
IY 
4
Ｏ
Z
Ｘ
３－２剛体の運動
(12)それでは、右図のようなひどい問題の場合は
どうするか？
ω
(8)を思い出そう。
ωの自転回転しながら半径b、角速度ωの
公転回転するときの慣性モーメントは、
Mb2  I
だった。
Ma 2
ここでb=a,であり、 I 
だから、
4
目指す慣性モーメントは
5Ma 2
I
4
a
Ｏ
３－２剛体の運動
いろいろな物体の慣性モーメントを求めてみよう。Ｙ
(1) 質量Ｍの長方体Ｘ軸回り
Ｙ軸に平行な細い棒の集まりと考える。
3
1
1
2

a
dx
2
I  mr 2   dx 2a   2a  
12
12
3
Ｏ
3
b 2 a
4  ba 3 Ma 2
Ix  
dx 

b
3
3
3
これはどこかで見たことがある。
(2)もちろんＹ軸回りの慣性モーメントは
Mb2
Iy 
3
(3)ならば、原点Ｏ軸紙面垂直回りの慣性モーメントは
Iz 
M  a 2  b2 
3
(b,a)
Ｘ
３－２剛体の運動
半径R、質量Mの円板滑車に質量m1、m2の物
体が糸でつるされている。糸の張力を図のよ
うに定める。重力加速度をｇとする。時刻ゼロ
で物体を固定していた手を離した。糸は滑車
に巻きつき、滑ることなく移動すると考える。
m1>m2のとき、滑車は反時計方向に回転して T1
m1 は落下する。もしM>>m1,m2ならば、m1は
非常にゆっくり落ちることを経験的に知ってい
る。これを考察しよう。
下向きを正にとれば、m1についての運動の式
は、
m1a  T1  m1 g
である。 m2については、 m2  a   T2  m2 g
である。
M
R
T2
m2
m1
g
３－２剛体の運動
M
よって、
R
 m1  m2  a  T2  T1   m1  m2  g
である。T2-T1はMを回す力である。
ちからのモーメントの大きさは、
N  R T1  T2  である。（T1>T2)
dL
d  MR 2 d  I
N
I

 a
dt
dt
2 dt R
だから、  m  m  I  a   m  m  g
2
1
2
 1
2 

R 
T2
T1
m2
m1
g
３－２剛体の運動
M
結局、m1が落下する加速度は、
a
 m1  m2  g
I
m1  m2  2
R

 m1  m2  g
M
m1  m2 
2
となる。
１．m1=m2の場合、a=0 自明
R
T2
T1
２．Mがm1,m2に比べて重ければ、aは小さい。
３．Mがm1,m2に比べて軽ければ、自由落下。
m2
m1
g
３－２剛体の運動
右図のように重心からaだけ離れたＯ点を
軸とした長さl 質量Mの棒の振動を考える。
１．O点回りの慣性モーメントは半径aの公転と
中心回りの自転の慣性モーメントの和である。
I
a
Ｏ
θ
1
Ml 2  Ma 2
12
l
M
g
２．力のモーメントは N  aMg sin 
θが小さいとき
~ aMg
dL
d
d 2
I
 I 2  N   Mg
dt
dt
dt
θの振動の角速度は
回転角に関する運動の式
~
Mga

I
ga
1 2
l  a2
12
３－２剛体の運動
３．周期  
ga
1 2
l  a2
12
a
Ｏ
θ
1 2
l  a2
2
T
 2 12

ga
l
g
４．振動数ゼロ、周期無限大の条件はもちろん、a=0
l2
a
５．振動数最大、周期最小の条件は？
12a
６．５．の理由を考えよ。
７．どんな形の振り子が振動数が大きいだろうか。
a
1
2 3
l
M
練習問題
問半径aで質量Ｍの薄い一様な円板の問題
１）図１のように円板が地面を速度ｖで滑っているとき、
円板の運動エネルギーを求めよ。
v
図１
２）図２のように円板が地面を滑ることなく転がり、
円板の中心の速度がｖで左向きに動くときの運動
エネルギーを求めよ。
v
a
(x,y)
b
図2
練習問題
問半径aで質量Ｍの薄い一様な円板の問題
１）図１のように円板が地面を速度ｖで滑っているとき、
円板の運動エネルギーを求めよ。
v
Mv 2
K
2
図１
２）図２のように円板が地面を滑ることなく転がり、
円板の中心の速度がｖで左向きに動くときの運動
エネルギーを求めよ。
v
a
(x,y)
2
2
Mv 2 1 2 Mv 2 1
v
3
Mv
 
K
 I 
 Ma 2   
2
2
2
4
4
a
b
図2
練習問題
問右図のように重さ５ｋｇ、半径５０ｃｍの円盤を縦に回転する場合
の慣性モーメント[kgm2]を求めよ。
ω
問同じ重さの細いリングを同様に縦に回転した
50cm
とき、上記円盤の場合と同じ慣性モーメントをもつ
ようにするにはリングの半径をいくらにすればよいか。
Ｏ
練習問題
問右図のように重さ５ｋｇ、半径５０ｃｍの円盤を縦に回転する場合
の慣性モーメント[kgm2]を求めよ。
ω
2
Ma
51
5
I
   
4
4  2  16
2
問同じ重さの細いリングを同様に縦に回転した
50cm
とき、上記円盤の場合と同じ慣性モーメントをもつ
ようにするにはリングの半径をいくらにすればよいか。
5 1 2
 5b
16 2
1
1
b

~ 35.4cm
8 2 2
Ｏ
慣性モーメントまとめ
Ｙ
１．質量mの円板をＺ軸周りに回した。
1 2
I  mr
2
r
Ｏ
２．質量mの円板をＹ軸周りに回した。
Z
1 2
I  mr
4
３．質量mの球をＺ軸周りに回した。
2 2
I  mr
5
４．質量mの球をＹ軸周りに回した。
2 2
I  mr
5
r
Ｏ
Ｘ
慣性モーメントまとめ
5．質量mの長さ2rの棒をＺ軸周りに回した。
Z
1 2
I  mr
3
m
2r
６．質量mの長さrの棒の端をＺ軸周りに回した。
Z
1 2 1
1 2
2
I  mr  mr  mr
3
12
4
m
r
問題
７．質量m、開き角45°の扇をＺ軸周りに回した。
Ｙ
1 2
I  mr
2
r
Ｏ
Z
Ｘ
８．質量がmであり、半径がrの２つの球体の
おのおのの赤道面がＸ－Ｙ平面上にあり
Ｙ
お互いに接している。左方の球の重心
を貫くZ軸周りに２個の球を回した。
r
2 2
2 2 24 2
2
I  mr  4mr  mr 
mr
5
5
5
Ｏ
Z
Ｘ

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