社会統計第11回多重分割表分析の論理（第10章）

社会統計第11回
多重分割表分析の論理（第10章）
寺尾敦
青山学院大学社会情報学部
[email protected]
イントロダクション
• ここまでは，主に，２変数間の関係を検討して
きた
– ２変数の分割表
– １要因分散分析
• 第10章と第11章では，３変数以上の関係を検
討する．多変量解析（multivariate analysis）
– 多重分割表（multivariate contingency table）
– 重回帰分析（multiple regression analysis）
10.1 . 付加変数の統制
• イギリスでは，コウノトリの多い地域では，出生
率が高い．コウノトリが赤ちゃんを連れてくるの
だろうか？
– 参考：太郎丸『カテゴリカル・データ解析入門』第６章
– 10.1.1節では，イギリスではなくオランダとしている．
• X と Y に共変動（covariation）が見られても，それ
は直ちに因果関係の存在を意味しない．
– X が Y に影響（間に Z を媒介する場合も含む）
– Y が X に影響
– 第３の変数 Z が X と Y の両方に影響
• 都市化が進むと，コウノトリの数は少なくなり，
出生率も下がる．
コウノトリの数
都市化の程度
出生率
• コウノトリの数と出生率の間に因果関係が
まったく存在しないことは，常識的に明らか．
– これは明らかに，みかけの共変動
– 一般に，２変数間の関係を明確化するために，こ
の関係に混入しうる第３の変数の影響を統制す
る必要がある．
• ２変数の真の関係を明確にするために，他の
変数（Z）の影響を統制したい．
– ２変数間の真の共変動がどれだけあるかを確か
めるには，みかけ上の共変動から他変数に起因
する部分を除去する必要がある．
• 実験における変数の統制
– 恒常化：どの条件においても，変数の影響を一定
にする
– 無作為化：変数の影響をランダムにする．
• 調査研究では，実験のような変数統制ができ
ないことがほとんど．
– 研究対象となる人あるいはものの属性を，研究
者が物理的に操作できない．
• ２変数の関係に影響すると考えられる付加変
数を確定し，その付加変数を測定し，統計的
操作によって付加変数の影響を統制する．
• ２変数関係に影響する要因のすべてを識別し
て分析に加えることは不可能．
• したがって，付加変数として何を取り上げるか
を決めるために，理論が極めて重要となる．
• ２変数間関係に他変数が混入するパターン
– 疑似関係（疑似相関）
– 媒介関係
– 複合因果
10.1.1. 疑似関係
• 疑似関係（spuriousness）：２変数 X と Y の共
通原因となっている別の変数 Z が存在するた
めに，２変数 X と Y の間に相関関係（疑似相
関，spurious correlation）が見られること．
– 例：コウノトリの数（X）と出生率（Y）
• 因果関係を主張するために必要なこと
– 時間的順序
– 理論的説明
– 疑似相関の検討
• 興味ある２変数間に因果関係はないが，共通
する原因変数が２変数間に共変動をもたらし
ている場合，その共通原因の影響を統計的
に一定に保つことによって，見かけ上の共変
動を除去できる．
• 統計的統制を行っても共変動関係が残れば，
２変数間に因果関係が存在する可能性は高
くなる．
10.1.2. 媒介関係
• 媒介関係（intervening relation）：独立変数と
従属変数を媒介する変数が存在する関係．
– 例：年齢（X）と道徳的保守性（Y）を信仰の強さ
（Z）が媒介．信仰の強さを一定にすれば（たとえ
ば，信仰の程度が同程度の人を集めれば），年
齢と道徳的保守性の共変動は小さくなる．
X
Z
媒介関係
Y
• 直接効果と間接効果
直接効果
X
Y
間接効果
Z
直接効果がなくても，X と Y の相関を疑似相関とは言わ
ない．間接的とはいえ，因果関係が存在するから．
• 媒介関係と疑似関係
X
Y
Z
X
Y
Z
• 疑似関係と媒介関係は，第３の変数の影響
を一定に保ったときに興味ある２変数の共変
動関係が小さくなるという点において同じ．
• しかし，関係の実質的意味は異なる．
• 疑似関係なのか媒介関係なのかは，統計分
析からは決定できない．理論や，解釈のしや
すさから決まる．
10.1.3. 複合因果
• 人間の行動が単一要因によるものだと断定
する社会理論はほとんどない．
• 複合因果（multiple causation）：原因となる変
数が複数ある因果関係
• 興味ある従属変数に対して，複数の独立変
数が持つ，複合的で同時的な関係を検討す
る．
• 検討されるもの
– 独立変数（要因）の集合全体としての効果
– 疑似関係や媒介関係を統制したときの，独立変数そ
れぞれの効果（相対的な重要性）
– 要因の組み合わせの効果（交互作用）
• 分析方法
– 多要因の分散分析
– 重回帰分析
– 多重分割表の分析（疑似関係，媒介関係の分析によ
く用いられる）
10.2. 2×2 表における
第３の変数の統制
• 多重クロス表：３変数以上の変数のクロス表
• ２変数間の関係がクロス表に整理されている
とする．このとき，第３の変数の影響を検討す
るために，３重クロス表を用いる．
– 立体的な表を作ることは難しいので，第３の変数
の値に応じて，２重クロス表を複数作成する．
– ここでは，どの変数も２値変数である場合を説明
する． 2×2×2表
10.2.1. 仮想例：家族の信仰と
10代の性行動
• 零次の表（zero-order table）：統制される変数
がない分割表
• 信仰の強さと婚前性交の間に相関関係
家族は信仰深い？
いいえ [0]
はい [1]
計
39.1%
16.0%
27.1%
婚前性交ある [1]
60.9%
84.0%
72.9%
ない [0]
計 100% (92) 100% (100) 100% (192)
ファイ係数：φ = -0.26
• 家族の信仰と婚前性交との関係に，何らかの
第３の変数は存在するか？
– 性体験を促す機会が頻繁にあるかどうかが，婚
前性交の有無に影響するのでは？
– 信仰深い家庭は，行動への束縛が強く，そうした
機会が少ないのでは？
– 自動車を日常的に使用しているかどうかを，第３
の変数として検討してみてはどうだろうか．
• 第３の変数の影響を検討するために，１次の
表（first-order table）を作る．
– 第３の変数のカテゴリごとに，興味ある２変数の
クロス表を作成する．
– 次数は統制される変数の数を表す．
• これにより，第３の変数の影響を一定にして
（第３の変数の影響が同じ部分ごとに），興味
ある２変数間の関係を検討できる．
10.2.2. 第３変数に効果がない場合
• １次の表（下位表）で認められる関係が，零次
の表で認められる関係と変わらなかったとす
る（次のスライド）．このとき，第３の変数は
（零次の表での）共変動に効果を持たない．
– 条件つき相関係数（conditional correlation
coefficient）：第３の変数ごとに作った分割表（下
位表）におけるファイ係数．これらの値はほぼ同
じで，零次の表でのファイ係数と変わらない．
– オッズ比も変化していない．（確かめてみよ）
家族は信仰深い？
いいえ
はい
39.7%
15.9%
自動車を日常的に
使用しない
婚前性交
ある
60.3%
ない
計 100% (63)
84.1%
100% (69)
計
27.3% (36)
72.7% (96)
100% (132)
ファイ係数：φ = -0.27
自動車を日常的に使
用する
婚前性交
ある
ない
家族は信仰深い？
いいえ
はい
37.9%
16.1%
62.1%
83.9%
計 100% (29)
ファイ係数：φ = -0.25
100% (31)
計
26.7% (16)
73.3% (44)
100% (60)
• 統制される変数（自動車の使用）と，興味ある
２変数それぞれとのクロス集計表を作成して
みる．
– １次の表での周辺度数を使って作成できる．
– 信仰深い家庭では，そうでない家庭に比べ，自動
車を自由に使用させているのか？
– 自動車を日常的に使用している若者は，そうでな
い若者に比べ，婚前性交の経験率が高いのか？
自動車を使
用？
家族は信仰深い？
いいえ
はい
31.5% (29) 31.0% (31)
計
31.25%
はい
68.75%
いいえ 68.5% (63) 69.0% (69)
計 100% (92) 100% (100) 100% (192)
ファイ係数：φ = -0.006
婚前性交
ある
ない
自動車を使用？
いいえ
はい
27.3% (36) 26.7% (16)
72.7% (96) 73.3% (44)
計 100% (132) 100% (60)
ファイ係数：φ = -0.006
計
27.1%
72.9%
100% (192)
10.2.3. 第３変数が部分的効果を
持つ場合
• 下位表において，興味ある２変数の関係は依
然として認められるが，その関係の強さが弱
くなったとする．（次のスライド）
• このとき，第３の変数は，２変数間の連関を
部分的に説明する．
– 家族が信仰深くてもそうでなくても，自動車を使
用することで，婚前性交の経験率が上昇する．
– 興味ある２変数の共変動関係は，弱くはなったが
残っている．
家族は信仰深い？
いいえ
はい
25.5%
12.9%
自動車を日常的に
使用しない
婚前性交
ある
74.5%
ない
計 100% (47)
87.1%
100% (85)
計
17.4%
82.6%
100% (132)
ファイ係数：φ = -0.16
自動車を日常的に
使用する
婚前性交
ある
ない
家族は信仰深い？
いいえ
はい
53.3%
33.3%
46.7%
66.7%
計 100% (45)
ファイ係数：φ = -0.17
100% (15)
計
48.3%
51.7%
100% (60)
10.2.4. 第３の変数による完全な説明
• ２つの下位表におけるファイ係数がゼロ．つ
まり，第３の変数の影響を一定にすると，興
味ある２変数間の関係が消失したとする．
• このとき，第３の変数は，興味ある２変数間の
関係を完全に説明する．
– 家族の信仰は１０代の若者が自家用自動車を日
常的に使用できるかを規定し，自動車使用機会
が婚前交渉の主要な決定因となる．
自動車を日常的に
使用しない
婚前性交
ある
ない
家族は信仰深い？
いいえ
はい
9.1%
9.1%
90.9%
計 100% (44)
90.9%
100% (88)
計
9.1%
90.9%
100% (132)
ファイ係数：φ = 0.00
自動車を日常的に
使用する
婚前性交
ある
ない
家族は信仰深い？
いいえ
はい
66.7%
66.7%
33.3%
33.3%
計 100% (48)
ファイ係数：φ = 0.00
100% (12)
計
66.7%
33.3%
100% (60)
練習問題
• 第３変数の効果がない場合の表をつくりかえ
たように，第３変数による完全な説明が成り
立つ場合の表を作り変えよ（テキスト表10.4を
作り変える）．２つの下位表の周辺度数を用
いればできる．ファイ係数も計算してみよ．
– 信仰と自動車使用機会の表
– 自動車使用機会と婚前性交の表
自動車を使
用？
家族は信仰深い？
いいえ
はい
52.2%
12.0%
はい
47.8%
いいえ
計 100% (92)
計
31.25%
88.0%
68.75%
100% (100) 100% (100)
ファイ係数：φ = -0.43
婚前性交
自動車を使用？
いいえ
はい
9.1%
66.7%
90.9%
33.3%
ある
ない
計 100% (132) 100% (60)
ファイ係数：φ = 0.60
計
27.1%
72.9%
100% (192)
• 周辺度数分布において，X と Z，および，Z と
Y に関連があるために， X と Y の間に関連が
現れた．
– 周辺度数による elaboration（後述）
– X（家族の信仰）と Z（行動への束縛）の関連につ
いて，次のスライドを参照．
自動車を日常的に
使用しない
婚前性交
ある
ない
家族は信仰深い？
いいえ
はい
9.1%
9.1%
90.9%
計 100% (44)
90.9%
100% (88)
計
9.1%
90.9%
100% (132)
ファイ係数：φ = 0.00
自動車を日常的に
使用する
婚前性交
ある
ない
家族は信仰深い？
いいえ
はい
66.7%
66.7%
33.3%
33.3%
計 100% (48)
ファイ係数：φ = 0.00
100% (12)
計
66.7%
33.3%
100% (60)
• 第３の変数が，元の２変数（X，Y）のいずれと
もゼロでない相関を示すときだけ，この第３の
変数を媒介変数として，もとの２変数の共変
動を説明できる可能性がある．
– 一般には，２変数の相関が正なら，第３の変数と
これら２変数との相関はどちらも正か，あるいは，
どちらも負．（そうでないこともありうる）
– ２変数の相関が負なら，第３の変数との相関は，
一方が正で他方が負．（そうでないことも）
• 第３の変数による完全な説明は，媒介関係の
場合だけでなく，２変数の相関が疑似関係で
あるときにも見られる．
• 第３の変数を媒介変数と考えるか，２変数の
共通原因と考えるかは，理論や解釈のしやす
さによる．統計的な結果からは決められない．
10.2.5. 第３変数の交互作用効果
がある場合
• ２つの下位表で連関の程度（ファイ係数，オッ
ズ比）が大きく異なる．
– 零次の表と比べると，たとえば，一方の下位表で
は連関が減少し，もう一方の下位表では連関が
増大する．
– 連関が逆方向（プラスとマイナス）になることもあ
る．
• 交互作用効果（interaction effect）：第３の変
数の値によって，興味ある２変数の関係が異
なる．
自動車を日常的に
使用しない
婚前性交
ある
ない
家族は信仰深い？
いいえ
はい
50.0%
11.8%
50.0%
計 100% (52)
88.2%
100% (68)
計
28.3% (34)
71.7% (86)
100% (120)
ファイ係数：φ = -0.42
自動車を日常的に
使用する
婚前性交
ある
ない
家族は信仰深い？
いいえ
はい
25.0%
25.0%
75.0%
75.0%
計 100% (40)
ファイ係数：φ = 0.00
100% (32)
計
25.0% (18)
75.0% (54)
100% (72)
自動車を使
用？
家族は信仰深い？
いいえ
はい
43.5%
32.0%
はい
56.5%
いいえ
計 100% (92)
計
37.5%
68.0%
62.5%
100% (100) 100% (100)
ファイ係数：φ = -0.12
婚前性交
自動車を使用？
いいえ
はい
28.3%
25.0%
71.6%
75.0%
ある
ない
計 100% (120) 100% (72)
ファイ係数：φ = -0.04
計
27.1%
72.9%
100% (192)
• ３重クロス表を構成してみないと，交互作用
効果の発見はできない．
• ２変数 X と Y の単純相関が，条件つき相関と，
どのように，どれぐらい異なるのかは，３重ク
ロス表を構成しなければわからない．
10.2.6. 条件つき効果のまとめ
• グラフを利用すると，３重クロス表から明らか
になった関係が，よりわかりやすくなることが
多い（テキスト p.239 ，図10.2）
– ２要因分散分析で学習した図と本質的に同じ．
• 第３の変数を導入して３重クロス集計を行い，
関連の分析を深化させることを，elaboration
と呼ぶ．
– 零次の表での関連が疑似相関かどうか
– 原因と結果の間を媒介する変数は何か
– どんな条件のもとで，零次の表での関連が明確
になるか
• 疑似相関を暴いて，零次の表での単純関連
の見かけ性を説明するタイプの elaboration
を，explanation と呼ぶ．
• 媒介関係の分析は，独立変数と従属変数の
間の間接的な因果関係をより詳しく解釈する
ことに役立つので，interpretation と呼ばれる．
注意：テキスト（p.284）では，explanation と interpretation
の意味を区別していない．
• 交互作用効果を明らかにする elaboration は，
specification と呼ばれる．
– 特に，第３の変数が独立変数 X と関連を持たな
い場合．たとえば，第３の変数が性別，独立変数
が年齢の場合．
10.3. 偏相関係数
• 条件つき相関係数は，第３の変数 Z のカテゴ
リごとに，X と Y の相関係数を計算したもの．
• 第３の変数 Z の影響を一定にしたときの， X
と Y の関連の強さを表す指標はないだろう
か？
– 第３の変数 Z のカテゴリごとに計算される数値で
はなく，条件つき相関係数を合算したもの．
– X と Y それぞれから Z と関連した部分を除去した
ときの，X と Y の相関．
• 偏相関係数（partial correlation）：第３の変数
を統制したときの，興味ある２変数間の相関
係数．
rXY  rXZ rYZ
rXY Z 
2
2
1  rXZ 1  rYZ
• ３変数とも連続変数の場合に定義された式だ
が，これを離散変数間の相関にも適用する．
• 変数 X と Y の相関係数 [XY] は，いくつかの
要素の，ある種の和である．
XY   XY : z1  [ XY : z 2]  XZ ZY 
ここが偏相関係数 [XY: Z]
– [XY: z1]：第３の変数 Z のカテゴリが z1 であるとき
の，X と Y の条件つき相関係数．[XY:z2] も同様．
– [XZ]：X と Z の相関係数．[ZY] も同様．
• 通常の数式のように変形（移項）すると，以下
の式が得られる．これは，偏相関の定義式で
分母を無視した形である．
XY : Z   XY   XZ ZY 
rXY Z 
rXY  rXZ rYZ
1 r
2
XZ
1 r
2
YZ
• [XZ] および [ZY] の両方がゼロでないとき，疑
似関係あるいは媒介関係による elaboration
が可能になる．偏相関係数の値は，零次の
表での単純相関 [XY] よりも小さな値になる．
XY : Z   XY   XZ ZY 
• [XZ] または [ZY] がゼロであるなら，偏相関係
数の値は，零次の表での単純相関 [XY] と近
い値になる．[ZY] = 0 とすると，
XY : Z   XY   XZ ZY 
 XY 
rXY  Z 

rXY  rXZ rYZ
2
1  rXZ
1  rYZ2
rXY
2
1  rXZ
• 偏相関係数がゼロなら，[XY] は [XZ] と [ZX]
の積に等しい．
XY : Z   XY   XZ ZY   0
XY   XZ ZY 
rXY  Z 
rXY  rXZ rYZ
1 r
rXY  rXZ r YZ
2
XZ
1 r
2
YZ
0
• テキスト（p. 294）では，交互作用効果がない
場合に偏相関係数を計算できると書かれて
いる．
• 実際には，交互作用効果の有無にかかわら
ず，偏相関係数を計算することができる．
– 定義式の右辺にある，３つの相関係数が計算で
きればよい．
• ただし，交互作用があるときには，偏相関係
数を計算することにあまり意味はない．
– 交互作用がないとき，２つの条件つき相関係数
は似た値になるので（図10.2参照），これらをあわ
せて偏相関係数としている．
XY : Z   XY : z1  [ XY : z 2]
• 交互作用効果があると，X と Y の偏相関係数
は，単純相関（零次の表での相関係数）と近
い値になることが多い．
– 家族の信仰深さと婚前性交の例では，単純相関
は -0.26 であり，偏相関は -0.27 となる．
– 偏相関係数だけ見ても，Z が無効果の場合（偏相
関係数は単純相関と一致）と区別できない．
• 偏相関係数は３つの単純相関（[XY], [XZ],
[ZY]）から計算する．これら３つの相関を示す
クロス表からは，詳細な関係（たとえば，交互
作用効果）はわからなかったことに注意．偏
相関係数を計算するだけでなく，必ず３重クロ
ス表を検討するべきである．
10.3.1. 例示：３変数間相関
• 外に飲みに行った経験（X）と，婚前性交への
態度（Y）とのクロス表
婚前
性交
外に飲みに行った経験
ない
ある
計
55.2%
19.3%
37.2%
悪い
44.8%
88.2%
71.7%
悪くない
計 100% (774) 100% (781) 100% (1,555)
ファイ係数：φ = -0.371
1983年GSS調査より
• 家庭外で飲酒した経験がある者は，そうでな
い者に比べ，婚前性交を悪くないと考える．
– 「経験がない者は悪いと考える」と言ってもよい
• これら２変数の両方に相関を持つ変数として，
性別（Z）が考えられる．
– 女性は，家庭外での飲酒と，婚前性交の両方に，
あまり寛容ではないだろう．
– 性別を共通原因とする疑似相関ではないのか？
• 性別（Z）と，婚前性交への態度（Y）とのクロス
表
性別
婚前
性交
男
女
計
30.0%
42.6%
37.2%
悪い
70.0%
57.2%
62.8%
悪くない
計 100% (669) 100% (866) 100% (1,555)
ファイ係数：φ = 0.128
1983年GSS調査より
10.3.1. 例示：３変数間相関
• 性別（Z）と，外に飲みに行った経験（X）とのク
ロス表
性別
外に飲みに
行った経験
男
女
61.1%
42.0%
ある
38.9%
58.0%
ない
計 100% (774) 100% (781)
ファイ係数：φ = -0.190
計
50.2%
49.8%
100%
(1,555)
1983年GSS調査より
• 偏相関係数を計算すると，
rXY  Z 

rXY  rXZ rYZ
2
1  rXZ
1  rYZ2
 0.371  (0.190)  (0.128)
1  (0.190)
2
1  (0.128)
2
 0.357
• これは X と Y の単純相関（-0.371）よりも低い
が，その差はわずか．性別による elaboration
はうまくいかない．
• 性別が共通原因である疑似相関を疑ったが，
２変数 X と Y に対して性別（Z）はあまり影響
しておらず，偏相関は単純相関と少ししか違
わなかった．
• 偏相関係数を説明するための例だったので，
３重クロス表の構成は行っていない．もちろん，
実際の分析では３重クロス表を構成するべき
である．
10.3.2. 偏相関係数の有意性検定
• 第３の変数による統制を行っても，興味ある２
変数間には相関が存在する（つまり，母集団
での偏相関係数はゼロではない）と言える
か？
– 帰無仮説 H0：母集団での偏相関係数は０
– 対立仮説 H1：母集団での偏相関係数は０ではな
い（両側検定の対立仮説）
注意：テキストでは，外に飲みに行った経験があると
婚前性交に対して寛容になると考えて，対立仮説を片
側にしている．
• 検定統計量
F1, N 3
2
rXY
 Z ( N  3)

2
1  rXY
Z
t N 3 
rXY  Z N  3
1 r
2
XY  Z
理解確認のポイント
• 第３の変数 Z による，（X と Y の）疑似関係と
は何か，説明できますか？
• 第３の変数 Z による，媒介関係とは何か，説
明できますか？
• 多重クロス表を構成する目的を説明できます
か？
• 多重クロス表を構成することができますか？
– 零次の表
– １次の表
• 条件つき相関係数から，媒介関係あるいは
疑似関係を明らかにすることができますか？
• 条件つき相関係数から，交互作用効果を見
つけることができますか？
• 偏相関係数とは何か，説明できますか？
• 偏相関係数を計算することができますか？
– 定義式は覚えなくてもよい．
• 第３の変数 Z による媒介関係あるいは疑似
関係が存在する場合，X と Y の偏相関係数
は，零次の表での相関係数と比べて，どのよ
うに変化しますか？

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