卒業研究中間発表用PowerPoint

H14.02.12
Lorenz modelにおける
挙動とそのカオス性
広島大学総合科学部総合科学科
数理情報科学コース
中山研究室
1045006J 有馬和彦
Lorenz model
•対流現象のモデルを簡単化
•非線形常微分方程式
•低次元で起こる“カオス的”現象
(Lorenz Attractor)
目的
•パラメータの変化による構
造
及び挙動の変化の解析
•カオス性の解析
Lorenz model
 dx
 dt   ( y  x)
 dy
  rx  y  xz
 dt
 dz  xy  bz
 dt
8
3
  10, b  , r  28
z
非線形項
 , b, r : 正の定数
y
x
x(t ) : 対流の強さに比例
y (t ) : 対流によって上下する流れの温度差に比例
z (t ) : 上下方向の温度分布の性質を表す量
Lorenz modelの構造
•平衡点（不動点）に着目
時間経過に依存しない点
•パラメータの変化による
Lorenz modelの構造の変化
平衡点 C の安定性
Saddle(鞍点)
Stable(安定)
Unstable(不安定)
安定多様体
C
C
C
不安定多様体
周辺の軌道を吸引
安定方向に吸引
不安定方向に遠ざける
周辺の軌道を遠ざける
各平衡点の安定性
平衡点周辺の解軌道を解析
分岐図
（  , b 固定）
0  r 1
x or y
平衡点：原点のみ（Stable）
全ての解軌道は原点に収束
O
0
1
0  r 1
r'
rH
r
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
分岐図
1  r  r
（  , b 固定）
x or y
平衡点：原点（Saddle）
C1 ,C2 （Stable）
C1
解軌道は
O
C2
C1
C2
0
1
r'
1  r  r
rH
r
C1 ,C2 に収束
O
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
分岐図
r  r
（  , b 固定）
x or y
平衡点：原点（Saddle）
C1 ,C2 （Stable）
C1
原点のホモクリニック軌道
O
C2
C1
C2
O
r'
r  r
rH
r
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
分岐図
r   r  rH
（  , b 固定）
x or y
平衡点：原点（Saddle）
C1 ,C2 （Stable）
C1
O
C2
C1
C2
0
1
r'
rH
r   r  rH
r
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
分岐図
rH  r
（  , b 固定）
x or y
平衡点：原点（Saddle）
C1 ,C2 （Saddle）
C1
O
C2
C1
C2
0
1
r'
rH
rH  r
r
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
Lorenz Attractor
Saddle
z
y
Saddle
Saddle
rH  r
x
収束しない＋発散しない
Lorenz Attractor
Lorenz Attractorの軌道の様子
ポアンカレ切断面
ある平面を軌道が通るようすを観察
規則性を見出す
y
Lorenz Attractor
z
y
C1
得られたポアンカレ切断面を解析し
Lorenz Attractorの
軌道の様子を明らかにしたい
C
2
C1
z  r  1 平面
O
x
Geometric model
C2
x
y
1
Geometric model
安定方向に潰される
x
O
0
c
1
Geometric model
原点周辺（Saddle-point）
Lorenz Attractorの
ポアンカレ切断面
初期値
z
y
O
x
x軸方向の力学系
P(x
W
(x))
y
1
c
0
c
x
Geometric model
W : William’s map
W : I  I  [0,1]
点c(0  c 1)以外で連続かつ微分可能


W : W ( x)  2 (cを除く )
W (1)  W (c)  W (0)

W ( x)  1, lim W ( x)  0,W (c)  c
 xlim
c  0
x c  0
0
c
P : Parry map
( P  a : 一定)
x
1
Lorenz Attractorの切断面
1
y
I
x
0
c
1
a=2,c=0.5
Lorenz Attractorの切断面
1
y
I
G (I )
x
0
c
1
a=2,c=0.5
Lorenz Attractorの切断面
1
y
x
0
c
1
I
G (I )
2
G (I )
a=2,c=0.5
Lorenz Attractorの切断面
1
G
n
n0
( I ) :Lorenz Attractorの切断面
I
G (I )
2
G (I )
常に x 方向全域に存在
x G3 ( I )
1
c
0
どこで切ってもCantor
setを形成
2
a=2,c=0.5
3
G
(I )
G (I )
I
y
G (I )
Lorenz Attractorの切断面
1
y
I
G (I )
x
0
c
1
a=1.5,c=0.5
Lorenz Attractorの切断面
1
y
x
0
c
1
I
G (I )
2
G (I )
a=1.5,c=0.5
Lorenz Attractorの切断面
1
y
切る場所（ｘ座標）によっては
Cantor setを形成しない
x
0
c
1
I
G (I )
2
G (I )
3
G (I )
a=1.5,c=0.5
William’s map
William’s mapにおいて
★初期条件鋭敏性
★位相推移性（l.e.o経由）
を証明
初期条件鋭敏性
a  1.5 , c  0.5
1
P( x2 )
P( x1 )
0
x1
x2
c
1
x
初期条件鋭敏性
a  1.5 , c  0.5
1
2
P ( x2 )
2
P ( x1 )
0
x1
x2
c
1
x
初期条件鋭敏性
a  1.5 , c  0.5
1
3
P ( x2 )
3
P ( x1 )
0
x1
x2
c
1
x
初期条件鋭敏性
P 4 ( x1 )
a  1.5 , c  0.5
1
4
P ( x2 )
0
x1
x2
c
1
x
1
1
傾き　2 (一定)
1
c
2
0
c
1
0
1
2
William’s map 位相共役とは Baker map
限らない
1
Lorenz Attractor
x 方向に初期条件鋭敏性、位相推移性
Lorenz Attractorのポアンカレ切断面上に
初期条件鋭敏性
Lorenz Attractor
は初期条件に鋭敏に
依存することが示せた
まとめ
•Lorenz Attractor形成のメカニズム解明
•ポアンカレ切断面上にCantor setを確認
•Lorenz Attractorの初期条件鋭敏性
以降隠しファイル
非周期点
a  1.5 , c  0.5
1
0
c
1
周期点の調査法
周期点の稠密性
a  2.0 , c  0.5
周期 i の周期点： P i ( x)  x
1
P(x)
0
c
1
x
周期点の稠密性
a  2.0 , c  0.5
周期 i の周期点： P i ( x)  x
1
2
P ( x)
0
c
1
x
周期点の稠密性
a  2.0 , c  0.5
周期 i の周期点： P i ( x)  x
1
3
P ( x)
0
c
1
x
周期点の稠密性
a  2.0 , c  0.5
周期 i の周期点： P i ( x)  x
1
i
P (x)
0
c
1
x
周期点の稠密性～parry map
a  1.5 , c  0.5
1
i
P (x)
0
c
1
x
数値シミュレーションによる初期条件鋭敏性
微小な距離間隔をもつ二つの初期値をとり、その軌道を観測
二点間の距離
100
104
108
1012
t
•微小な初期値の違いが時間経過と共に増大（初期値鋭敏性）
•一定の距離以上離れることはない（有界性）
★初期条件鋭敏性とは（数学）
for



x  J , N : ne igh borho
od of x

yN , n
s.t. d [ f ( x), f ( y )]  
n
f :J J
n
は初期条件に鋭敏である
★初期条件鋭敏性とは
x
y
J 上のどの２点（ x, y）も、
必ずある  より離れるような n
J
が存在する
初期値のどんな小さな差異も、
変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
★初期条件鋭敏性とは
f (x) f ( y )
J 上のどの２点（ x, y）も、
必ずある  より離れるような n
J
が存在する
初期値のどんな小さな差異も、
変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
★初期条件鋭敏性とは
2
f ( x)
2
f ( y)
J 上のどの２点（ x, y）も、
必ずある  より離れるような n
J
が存在する
初期値のどんな小さな差異も、
変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
★初期条件鋭敏性とは
 以上
n
f (x)
n
f ( y)
J 上のどの２点（ x, y）も、
必ずある  より離れるような n
J
が存在する
初期値のどんな小さな差異も、
変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
★位相推移性とは（数学）

for U ,V  J

k  0 s.t. f (U ) V  
f :J J
k
は位相推移的である
★位相推移性とは
U
V
J
任意の集合 U  J を繰り返し変換すると、
やがては J 全体を動きまわる
（ J 中に重ならない集合はない）
★位相推移性とは
f (U )
V
J
任意の集合 U  J を繰り返し変換すると、
やがては J 全体を動きまわる
（ J 中に重ならない集合はない）
★位相推移性とは
2
f (U )
V
J
任意の集合 U  J を繰り返し変換すると、
やがては J 全体を動きまわる
（ J 中に重ならない集合はない）
★位相推移性とは
k
f (U ) V
J
任意の集合 U  J を繰り返し変換すると、
やがては J 全体を動きまわる
（ J 中に重ならない集合はない）
★周期点が稠密とは（数学）
S ,U  S ：集合（特に U は周期点）
U S
（ただし、
U は稠密である
U :U の閉包）
★初期条件鋭敏性とは(old)
x
J
y
 以上
n
n
f (x) f ( y)
J 上のどの２点（ x, y）も、
J
必ずある  より離れるような n が存在する
初期値のどんな小さな差異も、
変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
★位相推移性とは(old)
V
U
k
J
J
f (U ) V
任意の集合 U  J を繰り返し変換すると、
やがては J 全体を動きまわる
（ J 中に重ならない集合はない）
Cantor setとは
カオス
•初期条件鋭敏性
•位相推移性
•周期点の稠密性
以降 back up
線形化解析
平衡点
dx
0
dt
時間
t に依存せず、変化量0
Lorenz modelの平衡点
O （原点）, C1, C2  ( b(r 1) , b(r 1) , r 1)
平衡点
線形化
元のモデル
O
線形モデル
平衡点周辺に限り線形化解析が可能
（Hartmanの定理）
原点の不安定多様体の
周期軌道が存在
分岐図
C1
O
r
O
r'
Stable
C1 ,C2
C2
r
0 1
1
rH
r'
Saddle-point
Stable
Saddle-point
0  r 1
初期値
rH
0  r 1
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
z
O
y
x
原点の不安定多様体の
周期軌道が存在
分岐図
C1
O
r
O
Stable
r'
Saddle-point
C1 ,C2
Stable
C2
r
0 1
rH
r'
1
Saddle-point
1  r  r'
C2
C1
rH
1  r  r'
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
z
O
y
初期値
原点の不安定多様体上
x
原点の不安定多様体の
周期軌道が存在
分岐図
C1
O
r
O
Stable
r'
Saddle-point
C1 ,C2
Stable
C2
r
0 1
rH
r'
1
Saddle-point
r  r'
C2
C1
rH
r  r'
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
t 増加
z
O
y
t 減少
初期値
ホモクリニック軌道
原点の不安定多様体上
x
原点を通る不安定周期軌道
原点の不安定多様体の
周期軌道が存在
分岐図
C1
O
r
O
Stable
Saddle-point
C1 ,C2
Stable
C2
r
0 1
r'
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
Saddle-point
r '  r  rH
C1
rH
r '  r  rH
rH
r'
1
z
O
y
C2
x
初期値
不安定周期軌道
原点の不安定多様体上
分岐図
0 1
x, y
r'
C1
C1
O
O
C2
r
C2
時系列データ
t
C1
rH
r '  r  rH
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
z
y
C2
x
不安定周期軌道
原点の不安定多様体の
周期軌道が存在
分岐図
C1
O
r
1
O
Stable
C1 ,C2
rH
r'
Saddle-point
Stable
Saddle-point
C2
r
0 1
r'
rH  r
C1
rH
rH  r
:Stable
:Saddle-point
:不安定周期軌道
z
y
C2
x
初期値
一次元リターンプロット
y
Pn
O
L
ln 1
C1
C1
x
C2
C1
O
Pn 1
C2
L
Pn
ポアンカレ切断面
C2
ポアンカレ切断面の一次元リターンプロット
Pn と Pn 1の相関関係
ln
有界性
楕円体
V  F ( x, y, z)  rx 2  y 2   ( z  2r )2  k (k  0 : 定数)
N
 dx dy dz 
 , , 
 dt dt dt 
( x0 , y0 , z0 )
 dx dy dz 
 , , N
 dt dt dt 
内積
0
楕円体 V 上でモデルのベクトル
は全て内側を指向
V
有界( k :十分大)
初期条件鋭敏性
a  1.5 , c  0.5
1
P 5 ( x2 )
P5 ( x1 )
0
x1
x2
c
1
x
初期条件鋭敏性
a  1.5 , c  0.5
1
6
P ( x1 )
P 6 ( x2 )
0
x1
x2
c
1
x
初期条件鋭敏性
a  1.5 , c  0.5
1
P 7 ( x1 )
P 7 ( x2 )
0
x1
x2
c
1
x
初期条件鋭敏性
8
P ( x1 )
a  1.5 , c  0.5
1
8
P ( x2 )
0
x1
x2
c
1
x
初期条件鋭敏性
a  1.5 , c  0.5
1
9
P ( x2 )
9
P ( x1 )
0
x1
x2
c
1
x
William’s mapの解析

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