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東大生研
池内研究室
ウェーブレットによる
信号処理と画像処理
宮崎大輔
2004年9月17日（金）
PBVセミナー
東大生研
池内研究室
ウェーブレットによる信号処理と画像処理





中野宏毅，山本鎭男，吉田
靖夫
1999
共立出版
ISBN4-320-08549-3
ソースコード

2004/Sep/17
http://homepage3.nifty.com/
wavelet/
10th Physics Based Vision Seminar
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東大生研
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第1章
信号のフーリエ級数，複素フーリエ級数展
開とフーリエ変換
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フーリエ級数展開(Fourier series expansion)


周期Tの周期関数： f (t )  f (t  T )
この関数のフーリエ級数展開：

1
f (t )  a0   an cos n0t  bn sin n0t 
2
n 1
2 T
a0   f (t )dt
T 0
2 T
(n  1,2,)
an   f (t ) cos n0tdt
0
T
2 T
(n  1,2,)
bn   f (t ) sin n0tdt
T 0
0  2 T
aとbはf(t)とcos,sinとが似ている度合いを表す
aやbが1に近いと良く似てる
1ならf(t)はcosやsinそのもの
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コサイン波のフーリエ級数展開
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矩形パルス列のフーリエ級数展開
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パルス列のフーリエ級数展開
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複素フーリエ級数

先程のフーリエ級数

のcos,sinを複素形で表す

1
f (t )  a0   an cos n0t  bn sin n0t 
2
n 1
f (t ) 

in0t
c
e
n
n  
1 T2
cn   f (t )e in0t dt
T T 2
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(n  ,1,0,1,)
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フーリエ変換(Fourier transform)と
フーリエ逆変換(Fourier inverse transform)
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
フーリエ変換

F ( )   f (t )e
it


フーリエ逆変換
1
f (t ) 
2



dt
F ( )eit d
周期TだったのがT→∞となったもの
－∞～∞でe-iωtとの類似度を計算する
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無限に続くコサイン波のフーリエ変換
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有効幅dのコサイン波のフーリエ変換
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矩形パルスのフーリエ変換
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インパルスのフーリエ変換
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インパルス列のフーリエ変換
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第2章
信号の窓フーリエ変換，ウェーブレット変
換
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矩形窓フーリエ変換(rectangular window
Fourier transform)
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
矩形窓Rd

矩形窓フーリエ変換

( Fp f )(b,  )   Rd (t  b) f (t )e it dt

時間-周波数解析
コサイン波
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カサ形窓(umbrella window)adによる窓フーリ
エ変換
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
カサ形窓ad
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ガボール変換(Gabor transform)，ガウス関数
を用いた窓フーリエ変換
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
(Gb f )( )   f (t )Gb, (t )dt


ガボール関数：

it
Gb, (t )  e g (t  b)
ガウス関数gα：
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2Hz→
さ数窓
れ分幅
る解を
は狭
山全く
と域す
谷でる
が定
一数デ
番ル
エエタ
ネネ
ルル関
ギギ数
ーーに
がのな
大みる
きが
い検周
出波
窓
幅
が
大
き
い
と
周
波
数
の
分
解
能
が
良
く
な
る
→
→
→
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→
連
続
し
た
コ
サ
イ
ン
波
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
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東大生研
振
幅
が
断
続
し
た
コ
サ
イ
ン
波
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
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周
波
数
が
断
続
し
た
コ
サ
イ
ン
波
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
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の周
窓波
フ数
ーが
リ連
エ続
変し
換て
変
わ
る
コ
サ
イ
ン
波
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横
長
の
矩
形
パ
ル
ス
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
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縦
長
の
矩
形
パ
ル
ス
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
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東大生研
の矩
窓形
フパ
ール
リス
エの
変組
換合
（
横せ
に
長よ
のり
矩合
形成
波し
）た
孤
立
波
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の矩
窓形
フパ
ール
リス
エの
変組
換合
（
縦せ
に
長よ
のり
矩合
形成
波し
）た
孤
立
波
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周
期
1
秒
の
パ
ル
ス
列
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
え（（
る（
中
右
左
ら
れ端央細端
）
）
な）
窓パか上
い幅ルいの
ス間
がは隔２
十全でつ
で
分領窓は
広域を捕
くのシ捉
な周フで
く波トき
，数すな
周をる
波持必い
パ
数つ要ル
をがス
とあが
らるあ
→
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周
期
02
.
秒
の
パ
ル
ス
列
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
（
左（
中る（
右
端央端
細
）
）
十縦か）
上
分線いの
にと間２
周横隔つ
波線でで
数が窓は
を混を捕
分ざシ捉
解っフで
き
してト
す
てるな
いるい
る必パ
要ル
がス
あが
るあ
→
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ウェーブレット変換(wavelet transform)

ウェーブレット変換： (W f )(b, a) 

1 t b 


基底：  a ,b (t ) 
a  a 




R
t b 
f (t ) 
dt
 a 
a:スケール
b:シフト
アナライジングウェーブレット/ウェーブレット： 
2
f
(
t
)

 逆変換：
C

1
a


0
  {(W f )(b, a)} (t )db da
a ,b
 
 a 2
ˆ ( )
ただし： C  
d



2
なお，  は  の複素共役
また，ˆ は  のフーリエ変換
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ガボールウェーブレット変換(Gabor wavelet
transform)
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
 (t )  g (t ) e
i0t
e
 ( 0 ) 2

gはガウス関数
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２次元ガボールウェーブレット
 x  x0 y  y0 
a r
,

j
j
a 
 a
j
 r ( x, y)   ( x, y )
 x   cos  r
 y    sin 
  
r

sin  r   x 
cos  r   y 
 ( x, y)  g ( x, y) e
iu0 x
e
i ( u0 ) 2

gは２次元ガウス関数
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ドベシィ(Daubechies)，メイエ(Meyer)，メキシカンハッ
ト(Mexican hat)，ガボール(Gabor)ウェーブレット
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コサイン波のウェーブレット変換
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矩形パルスのウェーブレット変換
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パルス列のウェーブレット変換
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ハールウェーブレット(Haar wavelet)

ウェーブレットψを２進化(jはレベル)：

j
2
 j ,k (t )  2  (2 j t  k )

ハールウェーブレット：

信号f(t)は基底（ウェーブレット）の線形和で表せる：
f (t )   wk( j ) j ,k (t )
j

展開係数（信号とウェーブレットの似ている度合い）：
( j)
k
w
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k

  f (t ) j ,k (t )dt

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スケーリング関数

ハールのスケーリング関数φ：

スケーリング関数を２進化：

j
2
 j ,k (t )  2  (2  j t  k )

レベルjの近似関数fj(t)をス
ケーリング関数の線形和で表
す： f j (t )   sk( j ) j ,k (t )

k
スケーリング係数：
s
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( j)
k

  f j (t ) j ,k (t )dt

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多重解像度解析

f0=g1+g2+f2
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レベルjの近似関数fjにレベルj
のウェーブレット成分gjから１つ
精度の高いレベルj-1の近似関
数fj-1を合成する
f j 1 (t )  f j (t )  g j (t )
f j (t )   sk( j ) j ,k (t )
k
g j (t )   wk( j ) j ,k (t )
k

すなわち，一番精度の低いレ
ベルJの近似関数にレベル0～
Jのウェーブレット成分を足して
いくと信号f0(t)になる
f 0 (t )  g1 (t )  g 2 (t )    g J (t )  f J (t )
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ツースケール関係とドベシィのウェーブレット
(Daubechies’ wavelet)
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
ハールのスケーリング関数にお
けるツースケール関係（レベルj
のスケーリング関数はレベルj-1
のスケーリング関数の線形和で
表せる）  j ,k (t )   pn2k j 1,n (t )

ドベシィのウェーブレットとスケー
リング関数

これのpkとqkは下表で与えられる
n

ハールウェーブレットにおける
ツースケール関係（レベルjの
ウェーブレットはレベルj-1のス
ケーリング関数の線形和で表せ
る）
 j ,k (t )   qn2 k j 1,n (t )
pk 
n
qk  (1) k pk
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レベルj-1のスケーリング係数から，１レベル精度の低いレベルj
のウェーブレット展開係数およびスケーリング係数の導出


信号fとレベル0のスケーリング係数はほぼ同じ f (n)  sn( 0)
レベルj-1のスケーリング係数からレベルjのスケーリング係数が求まる
sk( j )   pn  2 k sn( j 1)
n

レベルj-1のスケーリング係数からレベルjのウェーブレット展開係数が求
まる
wk( j )   qn 2 k sn( j 1)
n
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レベルjのウェーブレット展開係数およびスケーリング係数から，
１レベル精度の高いレベルj-1のスケーリング係数の再構成

レベルjのウェーブレット展開係数とスケーリング係
数からレベルj-1のスケーリング係数が求まる

sn( j 1)   pn2 k sk( j )  qn2 k wk( j )

k
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２次元離散ウェーブレット変換
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終了
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次回



11月を予定
発表者２名＋宮崎
宮崎はウェーブレットの後半をやる



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9月
ウェーブレット前半
11月
ウェーブレット後半
１月～以下のどれか
 変分法と有限要素法
 外積展開
 テンソル積展開
 レベルセット
 リーマン幾何
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© Daisuke Miyazaki 2004
All rights reserved.
http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/

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