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“More is different”の話
東京工業大学
大学院総合理工学研究科
樺島祥介
2006/12/17
H18年度DEX-SMIチュートリアル
＠大手町サンケイプラザ
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概要
• More is different というモノの見方
– P.W. Andersonの論文から
• モノにおける More is different
– 磁石のモデルを例として
• コトにおける More is different
– CDMAマルチユーザ復調問題を例として
2006/12/17
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More is different というモノの見方
• More is different
– P.W. AndersonのScience(1972)誌掲載の論文の題名
– 要素還元論一辺倒の当時の風潮への反論
– 複雑系科学の源流の一つ
• 自然の階層性（絶対的な事実として存在している）
– 素粒子⇒原子⇒分子⇒細胞⇒生物⇒社会⇒…
– 下位階層を支配する法則を明らかにしたところで，かならずしも上位階
層にある集合体の振る舞いの理解にはつながらない
• 構成要素が沢山集まると予想もつかないことが起こる
• 予言力の高い法則は階層毎に異なり得る
• 下位⇒上位を導く研究も重要な基礎研究（構成的接近法）
モノの科学には，量が増えれば（階層が上がれば）質が変わる，
という身体的な感覚がある
2006/12/17
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例）アンモニアNH3
• 大学院時代のAnderson氏の混乱
– 化学：アンモニアはピラミッド型をした極性分子
– 物理：定常状態においてアンモニアには極性はない
• 矛盾しないか？
N
H
-
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H
(a)
+
H
+
H
H
H
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-
N
(b)
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ダブルウエルポテンシャル
• ２つの配置はH3の面に関する反転に関して
エネルギーが不変（対称性）
N
H
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H -
H
+
H
+
-
N
(b)
(a)
¡ a
H
H
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a
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トンネル効果
• 古典系では障壁を越えることのできない低エネルギーでも量
子系では「トンネル効果」ですり抜けることが可能
– 反転運動
¡ a
a
• アンモニアの場合
– ３×１０10回／秒
– ものすごく頻繁
⇒定常状態ではプラスとマイナスがキャンセル
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見たい現象と意味のある理論
• 化学の講義の目的
– 反応現象の解説
– 瞬間が大切
• 物理の講義の目的
– 簡単な系の解析で勘所をつかむ
– 定常状態が大切
• 化学も物理も両方が正しい
– 知りたいこと，やりたいことで実質的に意味のあ
る理論，法則が変わる
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分子量を増やしてみる
• PH3
– アンモニアの約２倍の質量．トンネル効果の頻度は約1／10
• PF3
– アンモニアの約５倍の質量．トンネル効果は実験的に観測
できない
• 量子力学による「極性はない」という結論は徐々にと
意味がなくなる（対称性が実質的に破れる）
→徐々に化学が基礎理論になってくる
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分子量をもっと増やしてみる
• 量の増加に伴い現れる現象の理解には対称性へ
の着眼が有用
–糖
• 約４０個の原子．生物が作るのは右手系ばかり．
– 超伝導
• N無限大の極限で対称性が破れる（相転移）
– DNA，文章，映画
• ある種の規則性があるが，情報を表現する個別性がある
– それ以上になると対称性の破れというより，複雑性の増
大と呼んだほうが良い．
• 量の増加に伴い現れる対称性の破れに呼応して，
有用な基礎理論が移り変わっていく
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Anderson論文からの教訓
• すべてのスケールに対し単一の理論で立ち
向かうのは無理
– 心の問題を素粒子理論で解決するのは無理
• 見たいスケール，見たい現象に応じてコロア
イの良い理論のあり方が定まる
– 量が増えると難しくなる一方で，自然は（対称性
の破れの結果）新しい規則性を示す
• このモノの見方は，様々なスケールで簡単な法則に従
う，という自然の客観的姿に寄り掛かっている
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コトの科学にも有用ではないか
• 量が増えれば質が変わる
– 量が増えれば難しくなる
• 組み合わせ爆発で手に負えない
– 量が増えれば易しくなる
• 視点を適切に選ぶと単純な法則が見えてくる
– 適切なモデル，接近法，理論の推移
• コトの科学にもAIC理論などはあるが，もっと踏み込めないか
• 対象に対する楽観的な姿勢
– 証明されていなくても実在する
– 実験（事実）を（「証明する」のではなく）理解する理論
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教材としてのモノの科学
• スローガンを理論の中に反映させるためには
それなりの練習が必要
– 観念論には陥りたくない
• モノの科学は優れた教材
– 自然という「正解つき」の問題集
– More is differentがモノの科学の実際においてど
のように反映されているかもう少し詳しく見てみる
2006/12/17
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磁石のモデル
• 磁石は微小磁石（スピン）の集合体
– 実験事実として解っている
• イジングスピンモデル
– スピンを上向き，下向きで表現
– スピンどうしを相互作用させる
• 伏見-テンパリーモデル
J X
H (S) = ¡
Si Sj
N i> j
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Si = + 1
Si = ¡ 1
(J > 0)
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同じ向きになる方が得13/31
磁石の平衡統計力学
• ボルツマン分布
P(S) / exp [¡ ¯H (S)]
• 磁化
N X
N
X
X
1
1
m=
Si P(S) =
hSi i
N i= 1
N i= 1
S
ボルツマン分布での平均値
これが有限の値をとれば磁石
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伏見-テンパリーモデルは磁石に
なれない！？
• 伏見-テンパリーモデルの磁化は必ずゼロ
– 理由：対称性
J X
J X
H (S) = ¡
Si Sj = ¡
(¡ Si )(¡ Sj ) = H (¡ S)
N i> j
N i> j
P(S) = P(¡ S)
プラスとマイナスが打ち消しあう
• 実際 N = 2では
hS1 i / + 1e
¯J
2
(+ + )
2006/12/17
¡
+ 1e
¯J
2
(+ ¡ )
¡
¡ 1e
¯J
2
+
¡ 1e
(¡ + )
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¯J
2
= 0
(¡ ¡ )
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それでも伏見-テンパリーモデル
は磁石になる
•N
!
1
となる確率
では
無限小の外場
T=2
² = 0:1N ¡
2006/12/17
T=0.8
1=2
² = 0:1N ¡
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1=2
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磁
石
が
出
来
た
！
磁石モデルにおける“More is
different”
• 法則の実質的変化（cf. 大数の法則）
– 少数自由度では：確率的（＝ボルツマン分布）
– 大自由度極限では：決定論的（＝自由エネルギー）
少数のマクロ変数に関する自己無撞着方程式に帰着
される
m = tanh (¯J m)
• 対称性の破れ
– 法則の実質的変化に伴い，下位階層の法則が有する
対称性が破れる
予期しない現象（不連続性）の創発
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情報学における“More is different”
• こういう視点を情報学にも取り入れよう
• 例）CDMAマルチユーザ復調問題
1
1
1
1
t
t
(-1)x
Noise
1
2
1
(+1)x
0
1
2
1
1
同期した２値の信号をNビッ
トのランダム系列で変調
2006/12/17
1 2
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18
s = (s ; s ; : : : ; s )
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CDMAモデル
• K ユーザモデル
s  s s  拡散系列
K bits
b1
b2



1
2
K


bK
復調問題：
2006/12/17


y 



から
 n 

0
N received
signals
ノイズ
を推定する
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復調問題に求められること
• リアルタイム通信の制約
– すばやく出来ないとダメ
– エラーが多いとダメ
•
は離散変数
⇒これらを両立させるのは容易ではない
線形方程式：
でも離散変数だと
解くのは大変
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便利な性質
• ランダム系列の性質
– ランダムな系列は統計的にほぼ直交している
User k’s SS
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User j’s SS
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シングルユーザ復調
• 簡便な復調方式（実用化されている）
– 受信信号
に拡散系列
Signal
を作用させる
Cross-talk noise Channel noise
• 利点
– 計算コストが掛からない
• 欠点
– ビット誤り率が大きい（＃ユーザが増えると）.
通信効率の向上のためもっと良い方法が求められる
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最適な復調方式
• 曲がったコインの問題
表が確率 p で出ることが解っている曲がったコイ
ンがある．トスをした際に出る目を予想する場合，ど
のような予測法が最適か？
Head:
Tail:
2006/12/17
p
1¡ p
Head or
Tail?
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ベイズ決定理論
q
• 混合戦略：確率
で表を予想
• 予想が的中する確率
R  q | p   p  q  (1  p)  (1  q)
 (2 p 1)q  1  p
混合戦略
p
R(qjp)
1
2
p
1
2
• 最適戦略
½
p > 1=2 !
p < 1=2 !
q = 1 （表）
q = 0 （裏）
0
1 q
2006/12/17
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確率的要素があっても最適な戦略は決定論的
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CDMAにおけるベイズ決定
• CDMAに対しても同様の議論を行う
Prior Prob.: P (b) =
1
2K
(uniform dist.)
¹
¹
P
(y
jb;
f
s
k = 1;2;:::;K g)
Channel:
"
#
K
1
1
1 X ¹
¹
2
p
= p
exp ¡
(y
¡
s
b
)
k
(Gaussian)
k
2¾2
N k= 1
2¾2
• y = f y¹ gを受信した後の事後確率
YN
P (bjy ; f sk g) / P (b)
¹=1
"
P (y¹ jb; f s¹k = 1;2;::::K
N
XK ¹
1 X
1
g) / exp ¡
(y¹ ¡ p
sk bk ) 2
2
2¾ ¹ = 1
N k= 1
#これがコイン問題の「表が出る真の確率」に対応
2006/12/17
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#
マルチユーザ復調
• 最適戦略は目的関数に依存する
^6
– MAP 復調：Minimizes Prob( b
= b0 ) (block-wise)
^ = argmaxf P(bjy ; f sk g)g
b
b
– MPM 復調：Minimizes Prob( b^k 6
= b0k ) (bit-wise)
^bk = argmaxf P (bk jy ; f sk g)g
bk
All users’ SSs
X
= argmaxf
P (bjy ; f sk g)g
bk
bnbk
– これらはマルチユーザ復調と呼ばれる
最適性が示されてもどのくらい良いかはわからない
2006/12/17
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マルチユーザ復調問題における
“More is different”
• 基礎法則（ベイズの公式：確率的）
P(y jb; f sk g)P(b)
P(bjy ; f sk g) = P
b P(y jb; f sk g)P(b)
量が増えると
質が変わる！
• 大自由度極限では（自己無撞着方程式：決定論的）
Z
m=
Z
q=
¡ z 2 =2
dze
p
2¼
¡ z 2 =2
dze
p
2¼
tanh
tanh2
³p
³p
´
q^z + m
^
´
q^z + m
^
m
^ =
1
¾2 + ¯(1 ¡ q)
¯(1 ¡ 2m + q) + ¾02
q^ =
[¾2 + ¯(1 ¡ q)]2
2006/12/17
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大自由度極限で，どのくらい良いか，がわかる！
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理論と実験の比較
• 理論は実験結果を舞いを精度良く予言する
Comparison with MCMC experiments of K = 1000.
2
¾ =
2
¾0
= 1=20
+：SUD
x：MPM
Pb
Waterfalling
（不連続性）
x：MAP
Uda&Tanaka (2000)
® = ¯¡
2006/12/17
1
= N=K
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復調アルゴリズムの開発
• 実際的な復調アルゴリズムの開発にもつながる
: Proposed
X : MSD
+ : TAP eq.
Lines : Theory
YK (2003)
‘Exact values’ predicted
by the replica method.
2006/12/17
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まとめ
• More is different
– 量が増えれば（法則，現象ともに）質が変わる
– 「モノの科学」の特徴を際立たせる視点
• 情報学でも“More is different”！
– 情報学の多体問題に対しても“More is different”
は有用
– 理論研究にもっと Physical な感覚を！
– コトの研究に新しい潮流を生み出せる可能性
2006/12/17
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最後に
（Anderson 論文の締めくくりから）
In closing, I offer two examples from economics of
what I hope to have said. Marx said that
quantitative differences become qualitative ones,
but a dialogue in Paris in the 1920’s sums it up
even more clearly:
FITZGERALD: The rich are different from us.
HEMINGWAY: Yes, they have more money.
2006/12/17
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