temas 7, 8, 9, 10

CENTRO ITALICA
Arguijo 5-7
SEVILLA 41003
Matemáticas II – 3ª EV. – 14/5/2015
Nombre:_____________________________________________________
Ejercicio 1: Considera el siguiente sistema de ecuaciones
mx  2 y  z  1 

x  2my  z  2 
x  2 y  mz  1 
a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.
mx  2 y  z  1 
 m 2 1 1 



x  2my  z  2   A '   1 2m 1 2 


x  2 y  mz  1 
 1 2 m 1 
A  2m3  2  2  2m  2m  2m  2m3  6m  4
2
0 6 4
1
2 2 4  m  1  2m 2  2m  4   0
2 2 4
0
m 1
2  4  32 2  6  m  1
m


4
4  m  2
Si m  2  1 , rg ( A)  3 

rg ( A ')  3 SCD
n  3 
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Nombre:_____________________________________________________
m  2
 2 2 1 1 


A'   1
4
1 2 


2 2 1 
 1


2  2
 8  2  6  0  rg ( A)  2
1 4




2 2 1

1 4 2  8  4  2  4  2  8  0  rg ( A ')  2  SCI

1 2 1


n3


m 1
1

A'   1
1

rg ( A)  1
2 1 1 

2 1 2 
2 1 1 


1 1
 SI
 3  0  rg ( A ')  2 
1 2

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b) Si es posible, resuelve el sistema para m = −2 y m = 0.
m  2
2 x  2 y  z 
1
3x  6 y  3




x  4 y  z  2  F2  F1 x  4 y  z  2 
x  2y
 1
x
 1  2 y 


x  4 y  z  2  1  2 y  4 y  z 
2 
x  1  2 y 

z  1  2 y 
x  1  2
y  
z  1  2
m0
2 y  z  1 
 0 2 1 1 



xz
 2   A '   1 0 1 2 


x  2 y  1 
 1 2 0 1 
A  4
1 2
2 0
1 2
x
4
0 1
1 2
1 1
y
4
0 2
1 0
1 2
z
4
1
1
0
1
1
0


1
2
1
2  4  2
 1
4
11 2
 1
4

422
 1
4
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Ejercicio 2:
Considera los vectores u 1, 1, 0  , v  0, 1, 2  , w 1   , 2 , 2  3  . Halla los valores de  en
cada uno de los siguientes casos:
a) u , v , w están en el mismo plano.
1
0
1
0
1
2  0
1
2 2  3 1   1  3
1
0
1 
0
1
2 
1  3
2  3
2

2  3
2  3  2  6  9  0    0
b) w es perpendicular a u y a v , .
u 1,  1, 0  , v  0, 1, 2  , w 1   , 2 , 2  3 
w  u  1    2  0  1    0    1
w  v  2  4  6  0  4  4  0    1
Por tan to
 1
c) El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores u , v , w , es 1/6.
1
V
6
1
1
0
0
1 
1
2
2
2  3
1

6
1
0
0
1
1   1  3
1
9 1
1
 
 2  3  2  6  
6
6
6
9
0
1 1
2 
6 1  3
2  3
2
2  3

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x  2 y  z  3
Ejercicio 3: Sea r la recta definida por r : 
 2x  y  z  1
a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de
coordenadas.
Consideramos el haz de planos que contiene a la recta r :
H : x  2 y  z 3   2 x  y  z 10
El plano 2 x  y  z 10 no es solución pués no contiene al punto.
Sustituimos el punto (0,0,0) en la ecuacion del haz: 3 0 3
Por tan to el plano es  x  2 y  z 33 2 x  y  z 10
5x 5 y  4 z 0
b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto
(1, 1, 0).
i j k
x  2 y  z  3
r:
 d r 1 2 1  1,  3,  5 
2
x

y

z

1

2 1 1
Como r y  son perpendiculares : n  d r
Entonces  : x  3 y  5 z  D  0
Y como contiene al punto 1, 1, 0   1  3  D  0  D  2
Por tan to  : x  3 y  5 z  2  0
En paramétricas , como x  3 y  5 z  2 :
 x  2  3  5

 : y 

z 


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 x  1 
x 1 y z 1

Ejercicio 4: Sea r la recta definida por r :  y  1   y s la recta dada por s :
 

2
1 2
 z

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s.
 x  1 

r :  y  1 
 z

 x  1  2
x 1 y z 1

s:
 
 s: y  
2
1
2
 z  1  2

Igulamos las ecuaciones paramétricas :
1    1  2 
  2   0


      1
 1   
   1  2
   2  1


SI (las ecuaciones 1ª y 3ª son claramente incompatibles )
como además d r 1,1,1 y d s  2, 1,  2  no son proporcionales : las rectas se cruzan.
Vamos a hallar los dos puntos de " enfrente "
Pr 1   , 1   ,  
Ps 1  2 ,  , 1  2 
Ps Pr    2  , 1     ,  1    2  
Obligamos que dicho vector sea ortogonal a ambos vectores directores :
Ps Pr · d r  0    2   1      1    2   0  3  3  0
Ps Pr · d s  0  2    2    1      2  1    2    0  3  9   3
  0
  1/ 2   Pr 1/ 2, 1/ 2,  1/ 2 


  3  1   1/ 2   Ps  0,1/ 2, 0 
La recta pdida pasa por Ps  0,1/ 2, 0  y tiene dirección 1/ 2, 0,  1/ 2  / / 1, 0,  1
1

x y  1/ 2 z
 y
t: 

 
2
1
0
1
 x  z  0
b) Calcula la distancia entre r y s.
 Pr 1/ 2, 1/ 2,  1/ 2 

 Ps  0,1/ 2, 0 
Ps Pr 1/ 2, 0,  1/ 2 
d  r , s   d  Pr , Ps   Ps Pr 
1
1
1
2
0 

4
4
2
2

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