Contenidos
1. Introducción
1.1. La Mecánica Clásica de Medios Continuos . . . . .
1.2. Las Variables Fundamentales en la Mecánica de los
Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Sistemas Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Vectores y Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Tensores de orden cero y de orden uno . . .
1.4.2. Tensores de orden dos . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Ejemplo de tensor de segundo orden . . . .
1.5. Operador Diferencial: Gradiente y Divergencia . . .
1.6. Teorema de la Divergencia. Integral por Partes. . .
1.7. Contenidos de Estas Notas . . . . . . . . . . . . . .
. .
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17
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23
2. Análisis General de Tensiones
2.1. Concepto de Tensión Asociada a un Plano . . . . . . .
2.2. El Tensor de Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Relaciones entre el Vector de Tensión y el Tensor
de Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Propiedades del Vector de Tensión . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Transformación de Tensiones con Cambio de Ejes
Coordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Condición de Reciprocidad de Vectores Tensión.
2.5. Propiedades del Tensor de Tensiones . . . . . . . . . .
2.5.1. Simetría del Tensor de Tensiones . . . . . . . .
2.5.2. Transformación del tensor de tensiones con cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Direcciones Principales de Tensión . . . . . . .
2.5.3.1. Consideraciones Físicas . . . . . . . .
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5
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32
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35
35
36
36
36
2
Introducción a la Teoría de Elasticidad
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.5.3.2. Una Forma Explícita de las Tensiones
Principales . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4. Círculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5. Componentes Esféricas y Desviadoras del
Tensor de Tensiones . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5.1. Invariantes del Tensor Desviador . . .
Estados Tensionales en el Espacio de las Tensiones Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Componentes Esféricas y Desviadoras . . . . . .
2.6.2. Tensión de Corte en los Planos Octaédricos . . .
Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio . . . . . . . . . .
2.7.1. Equilibrio de Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2. Equilibrio de Momentos . . . . . . . . . . . . .
2.7.3. Condiciones de Borde de Tensión . . . . . . . .
2.7.4. Forma Integral de las Condiciones de Equilibrio∗
Comentarios Sobre el Origen de los
Conceptos de Tensión∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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50
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58
3. Análisis General de Deformaciones
3.1. Posición y desplazamiento de un punto. Medidas de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Medidas en la geometría indeformada . . . . . .
3.2. El gradiente de deformación. . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Deformación específica longitudinal . . . . . . . . . . .
3.4. Deformación específica angular . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Deformación Específica Volumétrica . . . . . . . . . . .
3.6. Sobre el tensor de deformaciones . . . . . . . . . . . . .
3.7. Vector deformación y vector rotación . . . . . . . . . .
3.7.1. Transformación de Componentes de Rotación .
3.8. Ecuaciones de Compatibilidad∗ . . . . . . . . . . . . .
3.9. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4. Relaciones Constitutivas de un Material
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Materiales Linealmente Elásticos . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Estado Unidimensional de Tensiones y
Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
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72
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76
76
80
83
Contenidos
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
3
4.2.2. Estado Tridimensional de Tensiones y
Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.3. Material Elástico, Lineal e Isótropo . . . . . . . 85
4.2.4. Relaciones entre las direcciones principales de
tensión y de deformación en elasticidad lineal . 88
Deformaciones de Origen Térmico . . . . . . . . . . . . 89
Energía Interna de Deformación . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.2. Efectos Térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.3. Energía de Distorsión . . . . . . . . . . . . . . . 94
Materiales Visco-Elásticos∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5.1. Modelo de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.2. Modelo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Materiales Elasto-Plásticos . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6.1. Estado Uniaxial de Tensiones y Deformaciones,
Tensión de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6.2. Estado Tridimensional de Tensiones y Deformaciones, Función de fluencia . . . . . . . . . . . . 100
4.6.3. Criterio de Fluencia de Rankine . . . . . . . . . 102
4.6.4. Criterio de Fluencia de Tresca . . . . . . . . . . 103
4.6.5. Criterio de Fluencia de von Mises . . . . . . . . 104
4.6.6. Criterio de Fluencia de Mohr-Coulomb . . . . . 106
4.6.6.1. Criterio de Mohr-Coulomb en Hormigón 108
4.6.7. Criterio de Fluencia de Drucker-Prager . . . . . 111
4.6.8. Teorías de Plasticidad . . . . . . . . . . . . . . 112
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5. Técnicas de Solución
119
5.1. Ecuaciones Generales de la
Elasticidad Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2. Método de los Desplazamientos,
Ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3. Formulación Integral (Formulación Débil) . . . . . . . . 125
5.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3.2. Funciones de prueba . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3.3. Desplazamientos virtuales y velocidades virtuales 127
5.3.4. La integral por partes y el Principio de
Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4. Elasticidad Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4
Introducción a la Teoría de Elasticidad
5.4.1. Estados Bidimensionales de Deformación (Deformación Plana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2. Estados Bidimensionales de Tensión (Tensión Plana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3. Sólido Asilsimétrico . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Notación matricial de los tensores involucrados . . . . .
5.5.1. Elasticidad Bidimensional . . . . . . . . . . . .
5.5.1.1. Relaciones constitutivas . . . . . . . .
5.5.1.2. Relaciones cinemáticas . . . . . . . . .
5.5.1.3. Formulación Diferencial . . . . . . . .
5.5.1.4. Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . .
5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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139
139
140
140
141
142
Capítulo 1
Introducción
En este capítulo se presentan algunos elementos importantes en los
que se basa la mecánica de medios continuos y la mecánica de los sólidos como un caso particular. A continuación, se muestran los campos
de variables en términos de los cuales se escribirán las relaciones de
la mecánica de los sólidos. Se discuten las posibilidades de elección
de sistemas coordenados a los cuales referir las ecuaciones y se justifica el empleo en este texto de sistemas cartesianos ortogonales. En el
capítulo también se explica la notación vectorial a ser usada, que permite simplificar la presentación. Por último se presentan nociones sobre
tensores, el operador diferencial y la integral por partes en problemas
tridimensionales.
1.1.
La Mecánica Clásica de Medios Continuos
La mecánica de los medios continuos estudia los medios sólidos o fluidos
desde un punto de vista macroscópico, o sea sin llegar al detalle de
estudiar el comportamiento de su microestructura o de las moléculas
que lo forman. Además, la mecánica del continuo que se discutirá en
adelante es la llamada mecánica clásica, en oposición a la mecánica
cuántica y a la mecánica relativista, que han comenzado a desarrollarse
principalmente en el siglo XX.
En la mecánica clásica se supone que la materia está distribuida de
manera continua en el volumen del cuerpo considerado. La posición
de la materia en el espacio se puede establecer por medio de un sistema
5
6
Introducción a la Teoría de Elasticidad
de referencia. De esta forma hablaremos de puntos para referirnos a
las coordenadas de posición de la materia.
Asociado a lo anterior, es necesario definir el concepto de densidad
de materia como el límite de la relación entre la masa y el volumen,
cuando el volumen considerado tiende a cero. Se hablará entonces de
densidad de la materia en el entorno de un punto y con ese sentido se
emplea la palabra partícula (o sea, para referirnos a diferenciales del
medio continuo y no queriendo significar una agregación de la materia
en forma discreta).
Lo anterior permite comenzar con los conceptos fundamentales de
masa y geometría y establecer relaciones diferenciales para estudiar la
variación de desplazamientos, deformaciones y tensiones en el medio
considerado.
Este texto se concentra en la mecánica de los sólidos, pero se plantean los conceptos de una manera general de modo que su extensión a
medios fluidos resultaría sencilla. Tratamientos más generales desde el
punto de vista de la mecánica del continuo pueden encontrarse en la
bibliografía citada al final de estas notas.
1.2.
Las Variables Fundamentales en la Mecánica de los Sólidos
Dentro de la mecánica trabajaremos con variables que identifican los
desplazamientos de puntos del cuerpo, las deformaciones y tensiones
que ocurren en el entorno de un punto y las fuerzas o acciones exteriores
sobre el cuerpo. Los desplazamientos se definen por medio de vectores,
mientras que las deformaciones y tensiones se definen por medio de
tensores. La Figura 1.1 muestra los campos de esas variables.
Más de 2000 años de trabajo en la mecánica han permitido establecer relaciones entre esos campos. En primer lugar, los campos de
deformaciones y de desplazamientos se pueden vincular entre sí y a las
relaciones que se establecen entre ellos se denominan relaciones cinemáticas. Estas relaciones son de tipo geométrico. En segundo lugar,
pueden relacionarse las tensiones con las fuerzas aplicadas, denominándose a estas relaciones de equilibrio, que son esencialmente de
tipo físico. En tercer lugar, las deformaciones y tensiones del cuerpo
se vinculan por medio de relaciones constitutivas, así llamadas por-
7
Introducción
Campos
Vectoriales
u
F
Desplazamientos
Fuerzas
Campos
Tensoriales
ε
σ
Deformaciones
Tensiones
Variables referidas
a la geometría
Variables referidas
a la estática
Figura 1.1: Variables geométricas y mecánicas
que dependen de las propiedades del material que constituye el cuerpo.
Tradicionalmente se afirma que estas relaciones son de tipo experimental. La Figura 1.2 muestra lo anterior en forma sintética. En resumen,
el conocimiento de las relaciones entre las variables puede expresarse
a través de ecuaciones cinemáticas, constitutivas y de equilibrio.
Las relaciones anteriores permitirán describir el comportamiento
mecánico en el interior del cuerpo considerado, pero para definir completamente el problema es necesario establecer las llamadas condiciones
de contorno, o sea, conocer de que manera ese medio continuo está vinculado con medios exteriores a él. Esas condiciones en la mecánica de
los sólidos pueden ser de tipo cinemático, de fuerzas, de temperatura, etc. En general trabajaremos con las dos primeras, de forma que
hablaremos de condiciones de contorno geométricas y condiciones de
contorno mecánicas.
Un ejemplo sencillo de medio continuo es una barra en tracción
como la indicada en la Figura 1.3. Las fuerzas están representadas por
F , los desplazamientos por u, las deformaciones por ε y las tensiones
por σ. Las ecuaciones cinemáticas en este caso son
1
(1.1)
ε= u
l
Las de equilibrio resultan en la forma
F =σA
(1.2)
8
Introducción a la Teoría de Elasticidad
u
Relaciones
Cinemáticas
F
ε = ε(u)
ε
Relaciones
de Equilibrio
f = f(σ)
σ = σ(ε)
σ
Relaciones
Constitutivas
Figura 1.2: Relaciones entre las variables en mecánica de sólidos
Las ecuaciones constitutivas, de acuerdo a la ley de Hooke, están
dadas por
σ=Eε
(1.3)
Las tres ecuaciones 1.1–1.3, constituyen un sistema en el que las
incógnitas son σ, ε y u que deberán ser evaluadas a partir de la información sobre la barra dada por l, A, E y F .
Nótese que debido a las relaciones que existen, es posible vincular
F con u. En efecto,
F = σA = EεA = EA
u
l
(1.4)
Resultando una ecuación que gobierna el comportamiento del problema,
EA
F =
u
(1.5)
l
El procedimiento empleado para obtener la ecuación 1.5 se conoce
como el método de los desplazamientos y es un procedimiento estándar
para compactar la información en mecánica de los sólidos.
Aunque el método de resolución que se resume en la ecuación (1.5)
es el más conocido, no es el único, como se verá en el Capítulo 5.
Identificando las variables de este problema elemental con el planteo general de la Figura 1.1, anticipamos que F y u son vectores de
9
Introducción
l
u
F
l+u
Figura 1.3: Barra en tracción
dirección coincidente con el eje de la barra, mientras que σ y ε son las
componentes no nulas de los tensores de tensión y deformación.
1.3.
Sistemas Coordenados
Para el manejo de las variables en mecánica de los sólidos, existen
en esencia dos posibilidades: la primera es trabajar sin el empleo de un
sistema coordenado específico, de modo de establecer expresiones generales válidas para cualquier sistema coordenado. Para poder realizar
evaluaciones numéricas, estas expresiones deben ser luego particularizadas para un sistema coordenado.
La segunda posibilidad es trabajar en un sistema coordenado específico. Esta alternativa es menos general y exige replantear las ecuaciones del problema si se necesitan para otro sistema de coordenadas.
Aunque la primera posibilidad es muy atractiva por su generalidad,
(por ejemplo, permite que las ecuaciones de láminas delgadas sean
obtenidas como particularización de las ecuaciones generales) requiere
un mayor grado de abstracción y manejo de elementos del análisis
matemático. Este tratamiento puede encontrarse, por ejemplo, en las
Referencias [5, 13, 18] y las allí indicadas.
Este texto introductorio se presenta siguiendo la segunda posibilidad, de modo que las ecuaciones se escriben en un sistema coordenado
cartesiano y ortogonal y en lo posible se mencionarán las ecuaciones
10
Introducción a la Teoría de Elasticidad
generales correspondientes. El empleo de otros sistemas coordenados
era frecuente cuando las soluciones a los problemas se buscaban exclusivamente por vía analítica. Por ejemplo, el libro de Timoshenko
[19] explora en detalle el empleo de coordenadas cartesianas, polares,
elípticas y curvilíneas de acuerdo a la aplicación que se desea resolver. Con la aparición de técnicas numéricas como diferencias finitas o
elementos finitos la formulación cartesiana recuperó su interés, dado
que es posible resolver problemas de contornos arbitrarios empleando
coordenadas de este tipo. Una excepción a lo anterior lo constituyen
las láminas delgadas, en las que tanto el planteo de las ecuaciones como
su solución numérica pueden simplificarse enormemente con el empleo
de un sistema intrínseco de coordenadas curvilíneas.
1.4.
Vectores y Tensores
En los problemas de mecánica de sólidos que se presentan, intervienen diferentes tipos de elementos o entidades matemáticas, cada una de
ellos con un significado físico determinado. Por su propio significado físico la naturaleza de estas entidades debe ser independiente del sistema
coordenado que se elija. Como se dijo antes, se trabajará con sistemas
coordenados cartesianos y en general se emplearán las componentes de
los distintos elementos expresadas en tales sistemas cartesianos.
Los principales elementos serán tensores de diferente orden. Básicamente un tensor es un elemento matemático que representa una entidad
física y para su definición unívoca basta tener sus componentes referidas a un sistema cartesiano. Las componentes del tensor dependen del
sistema coordenado elegido y si se utilizan dos sistemas diferentes, las
componentes de un mismo tensor resultan diferentes. Sin embargo por
ser componentes de una misma entidad física, existe una relación entre
ellas que permite, conocidas las componentes referidas a un sistema
coordenado, evaluar las componentes respecto a cualquier otro. La expresión que liga las componentes referidas a dos sistemas coordenados
diferentes define el orden del tensor.
En lo que sigue veremos algunos aspectos elementales de vectores y
tensores, pero para un tratamiento más riguroso el lector deberá usar
las referencias del álgebra de tensores [16, 17] o los capítulos introductorios al tema de las Referencias [12, 11]. Al respecto es útil definir
el símbolo δij , llamado delta de Kronecker, que toma los siguientes
11
Introducción
valores:
δij = 1
cuando i = j
(1.6)
δij = 0
cuando i 6= j
Visto como las componentes de una matriz, el delta de Kronecker
corresponde a la matriz identidad.
1.4.1.
Tensores de orden cero y de orden uno
Los tensores más sencillos son los de menor orden. Las magnitudes
escalares, que no dependen del sistema coordenado elegido, son tensores
de orden 0. Ejemplos de ello son la temperatura, la densidad, la energía
interna, la energía cinética, etc.
Le siguen en orden de complejidad los vectores. Resulta ilustrativo
imaginar un vector v como un segmento orientado en un espacio tridimensional. Las componentes de este vector v referidas a un sistema
coordenado definido por una terna ortonormal (t1 , t2 , t3 )1 resultan de
proyectar el vector sobre cada versor de la terna
vi = t i · v = v · t i
(1.7)
donde el operador “·” (producto punto) indica la proyección del operando de la izquierda (v) sobre el operando de la derecha (ti ). Una
forma conveniente de expresar la proyección es transponer el operador
de la izquierda, es decir escribir la ecuación 1.7 como
vi = tTi v
(1.8)
Definida una base (la terna ortonormal) se puede escribir un vector
en función de sus componentes como una lista ordenada de sus componentes. Aquí se usarán corchetes para delimitar las componentes que
se ordenarán verticalmente (vector columna)


v1
v t =  v2 
(1.9)
v3
1
Una terna ortonormal es aquella en que los vectores que la definen son de
longitud unitaria (versores) y ortogonales entre sí ti · tj = δij
12
Introducción a la Teoría de Elasticidad
donde el subíndice t indica que son las componentes respecto a dicha
base. En general si se trabaja con una única base, o no hay posibilidades de confusión se prescinde del subíndice, por lo cual v hace referencia indistintamente a un vector y a sus componentes en el sistema
coordenado en que se está trabajando.
Dada la ortonormalidad de la base, v puede escribirse como la
sumatoria


3
v1
X
ve =
vi ti = [t1 , t2 , t3 ]  v2 
(1.10)
i=1
v3
donde e indica la base canónica, es decir la base respecto de la cual
están escritas las componentes de los ti .
Tres direcciones ortogonales ordenadas (es decir una terna derecha) se pueden expresar como una matriz que representa un conjunto
particular de ejes cartesianos en un punto
T = [t1 , t2 , t3 ]
(1.11)
luego el vector ve (1.10) puede verse como el producto entre una matriz
y un vector
(1.12)
ve = Tvt
Si se quiere expresar v respecto a una terna ortonormal diferente,
por ejemplo una terna L = [l1 , l2 , l3 ], basta proyectarlo sobre cada
componente de ella. Denominando con vj′ las componentes referidos a
la nueva terna, se tendrá:
vj′ = lj · v = lTj v
vl = L T v
(1.13)
(1.14)
A continuación buscamos relacionar las componentes del vector en el
sistema ti con las componentes en el sistema lj . Para ello escribimos
vl en la 1.14 usando la 1.12, y queda
vl = LT (Tvt ) = LT Tvt
(1.15)
A la proyección de cada versor de la terna original ti sobre cada versor
de la nueva terna lj se la denotará por
λij = lj · ti = lTj ti = tTi lj
(1.16)
13
Introducción
Nótese que en el segundo miembro tenemos el producto escalar de
dos vectores de módulo unitario; por lo tanto, el significado de λij
en el primer miembro es el coseno del ángulo comprendido entre las
direcciones ti y lj . que son las componentes de la matriz
Λ = TT L
(1.17)
Cada versor de la base original puede escribirse en función de la nueva
terna multiplicando la ecuación (1.16) por lj y sumando
ti =
3
X
λij lj
(1.18)
j=1
que escrita para los tres vectores ti simultáneamente es
T = ΛL
(1.19)
Recíprocamente, por la conmutatividad del producto punto entre
vectores, se tiene
L = ΛT T
(1.20)
luego
v l = ΛT v t
(1.21)
Se dice que v es un tensor de primer orden porque en la expresión
que transforma sus componentes aparece un coeficiente (λij ) multiplicando a cada componente.
Ejemplos de vectores son el campo gravitatorio, una fuerza, la velocidad de una partícula (nótese que los distintos sistemas cartesianos
que se tratan aquí están fijos en el tiempo y en el espacio), los desplazamientos, etc.
1.4.2.
Tensores de orden dos
De acuerdo a lo visto en la sección anterior, se puede pensar entonces a un tensor de primer orden como a una entidad física que a
cada dirección del espacio le asocia un escalar (su componente o proyección). Por extensión, puede interpretarse a un tensor de segundo
orden como a una entidad física que a cada dirección del espacio le
asigna un vector, como la componente (proyección) del tensor en esa
dirección.
14
Introducción a la Teoría de Elasticidad
¯ un tensor de segundo orden para el que aún no hemos usado
Sea σ
ningún sistema de referencia y sea el vector ν una dirección cualquiera.
¯ en la dirección ν resulta de proyectar σ
¯
La componente del tensor σ
2
sobre ν (en forma similar al caso de vectores)
¯ ·ν =σ
¯Tν
σν = σ
(1.22)
En la ecuación 1.22 hemos usado la definición que el producto punto
de un tensor de segundo orden por un tensor de primer orden es un
tensor de primer orden.
Para un sistema cartesiano T = (t1 , t2 , t3 ) se tendrán vectores σ i
¯
que son las componentes cartesianas del tensor de segundo orden σ
¯ · ti = σ
¯ T ti
σi = σ
(1.23)
A su vez el vector σ i puede escribirse en función de sus componentes
sobre el sistema cartesiano elegido. Llamaremos σij al resultado del
producto escalar
¯ j = σij
σ i · tj = σ Ti tj = tTj σ i = tTi σt
(1.24)
Multiplicando ambos miembros por tj y sumando se obtiene
3
X
j=1
tj
tTj σ i
=
3
X
tj tTj
σi = σi =
j=1
3
X
σij tj
(1.25)
j=1
P
(la suma indicada 3j=1 tj tTj = 1 es igual a la identidad)
¯ respecto al sistema
Diremos que las σij son las componentes de σ
cartesiano elegido. La expresión del tensor en función de sus componentes resulta entonces:
3
3 X
3
X
X
¯=
σ
ti σ Ti =
ti tTj σij
(1.26)
i=1
i=1 j=1
2
El símbolo · usado indica que debe contraerse un índice entre los elementos
involucrados, así en el caso que se use entre dos vectores se obtiene el tradicional
producto escalar
X
a·b=
a i bi
i
si es entre un vector y un tensor se obtiene un vector, lo cual puede verse como
una multiplicación entre una matriz (las componentes del tensor) y un vector
X
σ·ν =
σij νj ti
i,j
15
Introducción
Esta expresión es equivalente a la 1.10 para vectores. Nótese que aquí
aparece el producto de dos versores ti tTj que no es un escalar, sino que
es un producto denominado tensorial (es decir da lugar a un tensor).
Este producto tensorial no es conmutativo, es decir ti tTj 6= tj tTi . En
la literatura se lo suele denominar por ti tTj = ti ⊗ tj y se cumple que
P
para una terna ortonormal que 3i=1 ti ⊗ ti = 1.
La expresión 1.26 implica la suma de nueve tensores ti tTj escalados
por las componentes σij . Estos escalares son, como se anticipara antes,
las componentes del tensor respecto al sistema cartesiano (t1 , t2 , t3 ).
Trabajando exclusivamente con las componentes, las expresión 1.22
puede escribirse de la siguiente manera

 


σ11 σ21 σ31
σν1
ν1
 σν2  =  σ12 σ22 σ32   ν2 
(1.27)
σν3
σ13 σ23 σ33
ν3
Particularizando para una cualquiera de las direcciones coordenadas, sus componentes serán


σi1
σ i =  σi2 
(1.28)
σi3
¯ en componentes respecto a un nuevo sisteSi se desea expresar σ
ma coordenado (l1 , l2 , l3 ), relacionado con el anterior por 1.19 basta
reemplazar los versores ti en la ecuación 1.26
! 3
"! 3
"
3 X
3 X
3
3
X
X
X
X
¯=
σ
ti tTj σij =
λim lm
λjn lTn σij
i=1 j=1
=
3 X
3
X
m=1 n=1
i=1 j=1
lm lTn
!
3 X
3
X
m=1
λim λjn σij
i=1 j=1
n=1
"
=
3 X
3
X
′
lm lTn σmn
(1.29)
m=1 n=1
′
donde se ha denominado por σmn
a las componentes del tensor de
¯ referidas al sistema coordenado cartesiano li .
segundo orden σ
¯ referidas a la nueva base son
Luego las componentes de σ
′
σmn
=
3
3 X
X
i=1 j=1
λim λjn σij
(1.30)
16
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Se puede ver que son necesarios dos coeficientes para expresar las
componentes en el nuevo sistema de coordenadas y por ello se dice que
el tensor es de segundo orden. La última expresión permite escribir la
relación entre componentes en distintos sistemas coordenados mediante
la siguiente multiplicación de matrices

 



′
′
′
σ11
σ11 σ12 σ13
λ11 λ12 λ13
λ11 λ21 λ31
σ12
σ13
′
′
′ = λ
 σ21
σ22
σ23
12 λ22 λ32   σ21 σ22 σ23   λ21 λ22 λ23 
′
′
′
σ31 σ32 σ33
λ13 λ23 λ33
σ31 σ32 σ33
λ31 λ32 λ33
(1.31)
′
Como en el caso de la ecuación 1.14 de vectores en este caso σmn
y
σij representan las componentes del mismo tensor en distintos sistemas
coordenados.
Queda claro entonces que las componentes escalares de un tensor
de segundo orden se obtienen mediante una doble proyección
¯ T ti
¯ · ti ) · tj = (σ
¯ · ti ) T tj = σ
σij = (σ
1.4.3.
T
¯ j
tj = tTi σt
(1.32)
Ejemplo de tensor de segundo orden
Ejemplos de tensores de segundo orden se verán en los próximos
capítulos. Un ejemplo sencillo corresponde al tensor de inercia (momentos de inercia considerados en cursos de Mecánica Analítica y Resistencia de Materiales) de un sólido respecto al centro de coordenadas.
Si se conocen los momentos de inercia del sólido respecto a un sistema
cartesiano dado (t1 , t2 , t3 )
Iij =
ˆ
(1.33)
ρ xi xj dV
V
y se desean conocer los momentos de inercia respecto a un nuevo sistema cartesiano (l1 , l2 , l3 ) relacionado con el anterior de forma tal que
el vector posición está definido por
r=
3
X
i=1
xi ti =
3
X
i=1
xi
3
X
j=1
λij lj =
3
X
j=1
yj lj
(1.34)
17
Introducción
entonces es posible expresar
′
Imn
=
=
ˆ
ˆ
ρ ym yn dV =
V
ρ
V
3
3 X
X
λim λjn
ˆ
3
3 X
X
(1.35)
i=1 j=1
ρ xi xj dV =
V
i=1 j=1
(λim xi λjn xj ) dV
3
3 X
X
λim λjn Iij
i=1 j=1
Esto demuestra que el tensor de inercia es un tensor de segundo orden.
Puede entonces decirse que las Iij son las componentes de un tensor
¯I =
3
3 X
X
j=1 i=1
Iij ti tTj =
3 X
3
X
′
Imn
lm lTn
(1.36)
m=1 n=1
Finalmente mencionaremos aquí que en algunos capítulos será necesario emplear tensores de orden superior, como tensores de cuarto
orden. Estos tensores aparecen en el Capítulo 4, cuando se relacionan
tensores de segundo orden entre sí.
1.5.
Operador Diferencial: Gradiente y Divergencia
Para trabajar con ecuaciones en derivadas parciales resulta útil definir
un operador ∇ que agrupe las derivadas parciales respecto a cada una
de las variables espaciales
3
X ∂
∂
∂
∂
t1 +
t2 +
t3 =
ti
∇=
∂X1
∂X2
∂X3
∂Xi
i=1
(1.37)
Este operador se denomina “Nabla” y permite escribir en forma compacta algunas operaciones sobre tensores. El operador ∇ puede referirse a derivadas parciales con respecto a otro sistema coordenado, en
cuyo caso resulta
3
X ∂
∂
∂
∂
∇=
l1 +
l2 +
l3 =
lj
∂Y1
∂Y2
∂Y3
∂Yj
j=1
(1.38)
18
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Este operador tiene la forma de un vector y en general puede interpretarse como tal. Escrito en componentes se tiene




∂
∂
 ∂X1 
 ∂Y1 
 ∂ 
 ∂ 




∇l = 
(1.39)
∇t = 


 ∂X2 
 ∂Y2 
 ∂ 
 ∂ 
∂X3
∂Y3
donde usamos un subíndice t o l para denotar respecto a que terna
está referido.
Nótese que por ser ∇ un vector sus componentes respecto a una
terna pueden también escribirse respecto a otra
3
3
3 X
3
X
X
X
∂
∂
∂
∇=
ti =
λij lj =
lj
∂Xi
∂Xi
∂Yj
i=1
j=1 i=1
j=1
(1.40)
donde las derivadas parciales cumplen la relación
3
X
∂
∂
=
λij
∂Yj
∂Xi
i=1
En forma matricial, la ecuación anterior resulta



∂
∂



 ∂Y1 
λ11 λ21 λ31  ∂X1
 ∂ 
 ∂

 

 = λ12 λ22 λ32  

 ∂Y2 
2
λ13 λ23 λ33  ∂X
 ∂ 
∂
∂Y3
∂X3







(1.41)
Veamos como se aplica el operador sobre escalares, vectores y tensores de segundo orden.
(a) El operador ∇ aplicado sobre un campo escalar a (X) (tensor
de orden 0) conduce al vector “gradiente de a”, que es un tensor de
primer orden
3
∇a =
X ∂a
∂a
∂a
∂a
t1 +
t2 +
t3 =
ti
∂X1
∂X2
∂X3
∂X
i
i=1
(1.42)
19
Introducción
Para otro sistema coordenado se tiene
3
X
∂a
∇a =
lj
∂Yj
j=1
(1.43)
Usando las dos ecuaciones anteriores se puede escribir la 1.41 como




∂a
∂a

 ∂X1  

λ11 λ12 λ13  ∂Y1 
 ∂a 
∂a


 

(1.44)
 = λ21 λ22 λ23  


 ∂X2 
 ∂Y2 
λ
λ
λ
 ∂a 
 ∂a 
31
32
33
∂X3
∂Y3
(b) Para el caso de tensores de primer orden (vectores) hay dos
formas de aplicar el operador Nabla
1. Se puede aplicar ∇ sobre un vector en forma similar al caso de
escalares, lo que conduce al “gradiente de un campo vectorial”
que por conveniencia se define como
3
X ∂v
X ∂ (vj tj )
X ∂vj
.
tTi =
tTi =
tj tTi
gradv = ∇v = v∇T =
∂X
∂X
∂X
i
i
i
i,j
i,j
i=1
(1.45)
cuyas componentes quedan definidas por
(∇t v)ji =
∂vj
∂Xi
(1.46)
En otro sistema coordenado el gradiente se computa como
∇v =
X ∂v ′
m
m,n
∂Yn
lm lTn
(1.47)
En general se supondrá que el sistema coordenado es fijo y no se
utilizará el subíndice en ∇t .
2. La segunda forma de aplicar el operador Nabla sobre un vector
es mediante el operador proyección o producto punto “·” que da
20
Introducción a la Teoría de Elasticidad
lugar a la “divergencia del vector”:
∇·v =
=
3 X
3
X
j=1 i=1
3
ti ·
3
∂ (vj tj ) X X ∂vj
=
(ti · tj )
∂Xi
∂Xi
j=1 i=1
3
3 X
3
X
X
∂vj
∂vi
δij =
= div (v)
∂X
∂X
i
i
j=1 i=1
i=1
(1.48)
(c) En el caso de tensores de segundo orden interesa principalmente el
segundo caso de lo visto para vectores. Resulta así la “divergencia de
un tensor de segundo orden”:
! 3 3
"
3
3 X
3 X
3
X
XX
X
∂
∂σjk
¯=
∇·σ
ti ·
σjk tj tTk =
(ti · tj ) tk
∂X
∂X
i
i
i=1
j=1 k=1
i=1 j=1 k=1
=
3 X
3
3 X
X
∂σjk
i=1 j=1 k=1
∂Xi
δij tk =
3
3 X
X
∂σik
i=1 k=1
∂Xi
tk
¯ resulta lo siguiente
En componentes ∇t · σ


∂σi1


3  ∂Xi 
X
 ∂σi2 


 ∂Xi 
i=1 
∂σi3 
(1.49)
(1.50)
∂Xi
En resumen, el gradiente de un tensor aumenta el orden de ese
tensor; mientras que la divergencia de un tensor disminuye el orden.
1.6.
Teorema de la Divergencia. Integral por
Partes.
El teorema de Gauss o de la Divergencia expresa, bajo ciertas condiciones, una integral de volumen en términos de una integral sobre
la superficie frontera de ese volumen. Dado un campo vectorial u (x);
este teorema expresa que la integral en el volumen (V ) de la divergencia del vector es igual al flujo del vector a través del contorno (A) del
21
Introducción
volumen, es decir
ˆ
ˆ
ˆ
∇ · u dV =
div (u) dV =
(u · ν) dA
V
(1.51)
A
V
donde ν es la normal saliente al contorno. Escrito en componentes
resulta
3 ˆ
3 ˆ
X
X
∂ui
dV =
ui νi dA
(1.52)
∂Xi
i=1 V
i=1 A
¯ que
En forma similar puede escribirse para un tensor S
ˆ
ˆ
¯ · ν dA
¯ dV =
S
∇·S
V
3 ˆ X
3
X
∂ (Sik )
tk dV =
∂Xi
i=1 V k=1
A
3 ˆ
X
i=1
3
X
A k=1
(1.53)
(Sik · νi ) tk dA
Escrito en componentes resulta


∂Si1




ˆ X
ˆ X
3  ∂Xi 
3
Si1 νi
 ∂Si2 
 Si2 νi  dA

 dV =
V i=1  ∂Xi 
A i=1
Si3 νi
 ∂Si3 
(1.54)
∂Xi
Sea entonces w un vector arbitrario. Podemos aplicar la ecuación
¯ w, previamente notemos que
1.51 al producto u = S
X ∂Sij
X ∂
∂w
j
¯
∇ · (Sw)
=
(Sij wj ) tj =
wj + Sij
tj
∂X
∂X
∂X
i
i
i
i,j
i,j
X ∂Sij X ∂wj
=
wj
tj +
Sij tj
∂Xi
∂Xi
i,j
i,j
¯ T + ∇w : S
¯T
=w·∇·S
(1.55)
donde el símbolo “:” indica una doble suma3 , luego reemplazado en el
3
en este caso debe sumarse sobre dos índices. En el caso de dos elementos con
dos subíndices cada uno el resultado es un escalar, por ejemplo si son dos tensores
22
Introducción a la Teoría de Elasticidad
teorema de Gauss 1.51 se tiene
ˆ
ˆ
T
T
¯ + ∇w : S
¯ dV =
¯ w · ν dA
w·∇·S
S
V
A
X ˆ ∂Sij
Xˆ
∂wj
wj
(Sij wj ) νi dA
+
Sij dV =
∂Xi
∂Xi
V
A
i,j
i,j
El segundo miembro de 1.56 puede a su vez reescribirse como
ˆ
ˆ
¯ T ν dA
¯
S w · ν dA =
wT S
A
3 ˆ X
3
X
i=1
A j=1
(Sij wj ) νi dA =
A
3 ˆ
X
i=1
3
X
wj (Sij νi ) dA
(1.56)
(1.57)
(1.58)
(1.59)
A j=1
Resumiendo resulta la forma útil como integral por partes
ˆ
ˆ
ˆ
T
T
¯
¯
¯ T ν dA
∇w : S dV = − w · ∇ · S dV +
wT S
(1.60)
v
v
A
ˆ
X ˆ
X ˆ ∂wj
∂Sij
Sij dV =
wj
dV +
wj (Sij νi ) dA
−
∂xi
V ∂xi
V
A
i,j
i,j
(1.61)
La última expresión puede particularizarse para el caso de que el
¯ sea simétrico S
¯=S
¯ T (en componentes significa que Sij = Sji ).
tensor S
Luego si reescribimos
1 ∂wj ∂wi
1 ∂wj
∂wi
∂wj
+
(1.62)
=
+
−
∂xi
2 ∂xi
∂xj
2 ∂xi
∂xj
1
1
∇w + ∇T w +
∇w − ∇T w = ∇sim w + ∇asim w
∇w =
2
2
(1.63)
de segundo orden
σ:ε=
X
σij εij
i,j
Si es el caso de un elemento con cuatro subíndices (un tensor de cuarto orden)
con un tensor de segundo orden, el resultado es un tensor de segundo orden
X
σij =
Cijkl εkl
k,l
σ=C:ε
23
Introducción
donde se ha descompuesto el gradiente del vector en sus componentes
simétrica y antisimétrica. Entonces debido a la hipótesis de simetría
¯ resulta que
de S
∂wj
1 ∂wj ∂wi
∂wi
1 ∂wj
Sij =
+
−
(1.64)
+
Sij
∂xi
2 ∂xi
∂xj
2 ∂xi
∂xj
1 ∂wj ∂wi
=
+
Sij
2 ∂xi
∂xj
¯ = ∇sim w : S
¯
∇w : S
(1.65)
Llevando este resultado a 1.60 se obtiene
X ˆ 1 ∂wj ∂wi X ˆ
∂Sij
+
Sij dV =
−
wj
dV
2
∂x
∂x
∂x
i
j
i
V
V
i,j
i,j
ˆ
+ wj (Sij νi ) dA
A
ˆ
ˆ
ˆ
sim
¯
¯
¯ dA
∇ · S · wdV +
S : ∇ wdV = −
wT Sν
v
v
A
(1.66)
Esta expresión se denominará identidad fundamental que será de
utilidad al estudiar el principio de trabajos virtuales en el Capítulo 5.
1.7.
Contenidos de Estas Notas
En los dos capítulos siguientes se estudian formulaciones generales
de tensiones y deformaciones, con énfasis en problemas lineales. En el
Capítulo 2 se definen vectores y tensores de tensión, sus propiedades
y características. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos
son parte fundamental del capítulo. En el Capítulo 3 se definen desplazamientos, deformaciones específicas y el tensor de deformaciones.
También se estudian las características y propiedades de esas entidades. Las ecuaciones centrales son aquí son las cinemáticas y de compatibilidad. El Capítulo 4 trata de modelos de materiales elásticos y
los límites de validez tal como los suponen las superficies de fluencia.
Los elementos de los Capítulos 2 a 4 se combinan en el Capítulo 5 para plantear métodos de resolución que permitan una formulación más
compacta. Allí se establecen formulaciones diferenciales y en particular
24
Introducción a la Teoría de Elasticidad
se explora el método de desplazamientos y luego se introducen las formulaciones integrales como una alternativamente conveniente para las
técnicas de solución. Finalmente se definen los estados de elasticidad
bidimensional.
Capítulo 2
Análisis General de Tensiones
En este capítulo se definen los estados tensionales en el entorno de
un punto a través del tensor de tensiones y se demuestra que efectivamente se tiene un tensor de segundo orden. Para planos que pasan
por un punto se obtiene el vector tensión y sus componentes y se lo
relaciona con el tensor de tensiones. Las condiciones de simetría del
tensor se demuestran y se deducen condiciones de reciprocidad entre
vectores tensión. Se discute el problema de direcciones principales y
valores principales de tensión y sus interpretaciones gráficas conocidas
como Círculos de Mohr. Se presenta una descomposición del tensor
de tensiones en componentes esféricas y desviadoras. Finalmente, se
escriben las ecuaciones de equilibrio y de contorno de fuerzas.
2.1.
Concepto de Tensión Asociada a un
Plano
Consideremos un cuerpo sólido arbitrario en tres dimensiones, como
el representado en la Figura 2.1, en el cual se busca poner de manifiesto
el estado de tensiones que existe en un plano determinado α. Para ello
se encuentra la intersección del cuerpo con el plano α y se separa
imaginariamente una de las mitades en que el cuerpo queda dividido.
Para caracterizar al plano α se usará el versor ν normal al mismo y se
adopta la convención que ν es positivo cuando su sentido es saliente del
cuerpo. Dentro del plano α se individualiza un elemento de área ∆A,
de modo de observar allí el estado tensional. Sobre el área ∆A deberá
actuar una fuerza ∆F que representa la interacción entre la mitad
25
26
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Figura 2.1: Vector tensión
eliminada del cuerpo y la que conservamos para su estudio. Dado que
∆F puede ser variable en ∆A tomaremos a la relación ∆F/∆A como
un valor medio de fuerza por unidad de área.
De acuerdo con el principio de tensión (formulado por A. Cauchy
en 1822), si el área ∆A tiende a cero, entonces la fuerza por unidad de
área tiende a un valor definido, que llamaremos tensión, de modo que
σν =
dF
dA
(2.1)
σ ν es un vector que representa el estado de tensiones en el plano normal
a ν y se denomina vector tensión. Nótese que la intensidad y el sentido
del vector tensión varían de punto a punto en el plano, de modo que
en general la dirección de σ ν no es coincidente con la de ν. Además, si
consideramos un punto del cuerpo y por allí hacemos pasar dos planos,
cada uno tendrá un vector de tensión diferente.
Cada vector tensión puede descomponerse en dos componentes: una
contenida en el plano α, que se denominará σνs y otra normal al plano
α, que se denominara σνν . En forma vectorial puede escribirse
σ ν = σνν ν + σνs s
(2.2)
donde ν es el versor normal al plano α y s es un versor contenido en
el plano α, como se muestra en la Figura 2.2. La ecuación 2.2 permite
evaluar el vector σ ν dadas sus componentes normal y tangencial al
plano.
Análisis General de Tensiones
27
Figura 2.2: Componentes del vector tensión
2.2.
El Tensor de Tensiones
Considérese un cuerpo arbitrario en tres dimensiones, representado
en la Figura 2.3, en el cual se busca poner de manifiesto el estado
de tensiones que existe en el entorno de un punto determinado del
cuerpo, O. Para individualizar el punto se usará un sistema cartesiano
ortogonal como el indicado en la Figura 2.3, por simplicidad y sin falta
de generalidad, se hará coincidir el origen de los ejes con el punto O.
Figura 2.3: Componentes cartesianas de tensión
Con el fin de poner en evidencia el estado tensional en el entorno del
punto O, se supondrá un elemento cúbico cuyos lados son diferenciales
(también llamado cubo elemental), en el que tres de sus caras coinciden
con planos coordenados. Cada cara del cubo está contenida en un plano
28
Introducción a la Teoría de Elasticidad
cuya normal t es paralela a ejes coordenados: por ejemplo, la cara
contenida en el plano que definen X1 y X2 tendrá por normal a t3 ,
que es paralelo a X3 y en sentido saliente del cubo. Para cada cara se
adoptará signo positivo si el sentido de su vector normal coincide con
el sentido positivo del eje al cual es paralelo.
Sobre cada cara del cubo actúa un vector tensión σ i : por ejemplo, sobre la cara cuya normal es +t2 actuará σ 2 dA2 y sobre la cara
opuesta, normal a −t2 actuará −σ 2 dA. Nótese que como se están considerando tensiones en el entorno de un punto no interesa la variación
de tensiones que puede haber entre caras opuestas, de modo que por
estar tan próximas las caras no hay que distinguir entre las tensiones
en una cara y su opuesta salvo que tienen dirección opuesta. La variación de tensiones entre caras se tomará en cuenta para las ecuaciones
diferenciales de equilibrio.
En la sección anterior se mencionó que cada vector tensión tiene dos
componentes: por ejemplo, el vector σ 2 tiene por componente normal
al plano a σ22 y tiene una componente σ2s contenida en el plano. A
su vez, σ2s tiene dos componentes, en las direcciones coordenadas X1
y X3 del plano y las denominaremos σ21 y σ23 respectivamente. Las
componentes cartesianas de cada vector tensión sobre las caras del
cubo se representan en la Figura 2.4 y son:
para σ 1 −→ σ11
para σ 2 −→ σ21
para σ 3 −→ σ31
σ12
σ22
σ32
σ13
σ23
σ33
Cuando los dos índices son iguales, se tendrán componentes normales de tensión y cuando sean distintos se tendrán componentes cortantes
o tangenciales de tensión.
Habiendo denominado con t1 , t2 , t3 a los versores en dirección X1 ,
X2 , X3 respectivamente (Figura 2.3), cada vector tensión sobre caras
coordenadas podrá escribirse como
σ 1 = σ11 t1 + σ12 t2 + σ13 t3
σ 2 = σ21 t1 + σ22 t2 + σ23 t3
σ 3 = σ31 t1 + σ32 t2 + σ33 t3
(2.3)
29
Análisis General de Tensiones
Figura 2.4: Componentes del tensor de tensiones
O en forma genérica (en donde el índice fijo i toma valores de 1 a 3)
σi =
3
X
σij tj
(2.4)
j=1
Del estudio del estado tensional en el entorno de un punto se obtuvieron nueve componentes cartesianas, que se pueden escribir en forma
de matriz 3 × 3:


σ11 σ12 σ13
[σij ] =  σ21 σ22 σ23 
(2.5)
σ31 σ32 σ33
En la Sección 2.5 se demostrará formalmente que σij constituye un
tensor de tensiones y en lo sucesivo se lo denominará de esa manera.
2.3.
Relaciones entre el Vector de Tensión
y el Tensor de Tensiones
Para estudiar la relación que existe entre las componentes σij y los
vectores σ ν se hará pasar un plano oblicuo por el punto O, cuya normal
llamaremos ν (ver Figura 2.5). El plano oblicuo que en realidad pasa
por O, ha sido desplazado en la Figura 2.5 con el objeto de definir un
tetraedro elemental cuyos lados ortogonales son diferenciales.
30
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Figura 2.5: Equilibrio de un tetraedro elemental
Consideremos la tensión σ ν actuando sobre el plano oblicuo y las
tensiones σ 1 , σ 2 , σ 3 actuando sobre los planos coordenados. La condición de equilibrio de fuerzas en el tetraedro puede expresarse como
σ ν dA − σ 1 dA1 − σ 2 dA2 − σ 3 dA3 = 0
(2.6)
Cada área dAi puede evaluarse proyectando el área oblicua dA sobre
el plano coordenado correspondiente, de modo que
dAi = dA νi
(2.7)
donde νi es el coseno del ángulo que existe entre las normales a dA y
dAi (ν y ti ). Nótese que el versor ν tiene componentes cartesianas νi
tal que


3
ν
1
X
ν=
νi ti = [t1 , t2 , t3 ]  ν2 
(2.8)
i=1
ν3
Reemplazando la ecuación 2.7 en la 2.6 resulta
σ ν dA −
3
X
σ i νi dA = 0
(2.9)
i=1
Simplificando el factor común dA se llega a
σν −
3
X
i=1
σ i νi = 0
(2.10)
31
Análisis General de Tensiones
o bien
σν =
3
X
σ i νi
(2.11)
i=1
Reemplazando la ecuación 2.4 en la 2.11 se tiene finalmente
σν =
3 X
3
X
σij νi tj
(2.12)
i=1 j=1
a su vez la ecuación 2.11 escrita matricialmente es sencillamente
σν = σT ν
(2.13)
es decir la proyección del tensor σ sobre la dirección ν.
La ecuación 2.13 se conoce como fórmula de Cauchy y permite
encontrar el vector de tensión σ ν dadas las componentes del tensor de
tensiones σij y la dirección ν. De modo que el tensor σ en un punto
resume a todos los vectores σ ν que actúan sobre planos que pasan por
ese punto.
Las componentes σνν y σνs de la ecuación 2.2 también pueden ser
escritas en función de σij : la componente normal se puede obtener
proyectando σ ν sobre la dirección ν
σνν = σ ν · ν
Usando la ecuación 2.13 se tiene
σνν = σ T ν · ν = ν T σν
(2.14)
(2.15)
Escrito desarrollado
σνν =
3
3 X
X
σij νi νj
(2.16)
i=1 j=1
La componente tangencial σνs se obtiene a partir de la suma de
módulos siguiente:
2
2
σνs
= |σ ν |2 − σνν
(2.17)
En la ecuación anterior, el módulo del vector σ ν se puede evaluar a
partir de la ecuación 2.11 como
|σ ν |2 = σ ν · σ ν = ν T σσ T ν
(2.18)
32
Introducción a la Teoría de Elasticidad
2
|σν | =
3 X
3
3 X
X
σik σjk νi νj
(2.19)
i=1 j=1 k=1
Reemplazando las ecuaciones 2.18 y la 2.15 en la 2.17 resulta
2
= ν T σσ T ν − ν T σν
σνs
2.4.
2.4.1.
2
(2.20)
Propiedades del Vector de Tensión
Transformación de Tensiones con Cambio de
Ejes Coordenados.
Si se conocen los componentes de un tensor de tensiones σij asociadas a ejes de referencia Xi es posible evaluar las componentes referidas
a un sistema nuevo Yi . También es posible evaluar las componentes de
un vector σνi en el nuevo sistema.
Figura 2.6: Transformación de sistemas coordenados
Sean li los versores del sistema Yi ; y ti los versores de sistema Xi .
Dado que cada ti es un vector, podrá expresarse en el sistema Yi a
través de relaciones del tipo
ti =
3
X
j=1
λij lj
(2.21)
33
Análisis General de Tensiones
donde λij = ti ·lj son las proyecciones de ti en las direcciones lj . Escrita
en forma matricial, la ecuación 2.21 será


λ11 λ21 λ31
t1 t2 t3 = l1 l2 l3  λ12 λ22 λ32 
(2.22)
λ13 λ23 λ33
T = LΛT
(2.23)
o

 
 T 
tT1
l1
λ11 λ12 λ13
 tT2  =  λ21 λ22 λ23   lT2 
tT3
λ31 λ32 λ33
lT3
TT = ΛLT
(2.24)
(2.25)
λij son entonces las componentes de una matriz Λ que se llamará
matriz de rotación. Λ es una matriz ortogonal, cuya inversa es igual a
su transpuesta, de modo que invirtiendo la 2.23 se llega a
lm =
3
X
λnm tn
(2.26)
n=1
L = TΛ
(2.27)
Consideremos en primer lugar un vector σ ν arbitrario. Referido al
sistema Xi , σ ν se escribe como


3
σν1
X
(2.28)
σν =
σνi ti = T  σν2 
i=1
σν3
Si se lo refiere al sistema Yi , σ ν se escribirá como
 ′ 
3
σν1
X
′
′ 

σνj lj = L σν2
σν =
′
j=1
σν3
(2.29)
donde el prima indica componentes en el nuevo sistema Yi . En general,
′
, pero como se trata de un único vector σ ν debe cumplirse
σνi 6= σνj
que

 ′ 

σν1
σν1
′ 



σ
σ
σν = T
=L
(2.30)
ν2
ν2
′
σν3
σν3
34
Introducción a la Teoría de Elasticidad
De acuerdo con la 2.23 se reemplazan los ti resultando

 ′ 

σν1
σν1
T 
′ 


σ
σ
=L
LΛ
ν2
ν2
′
σν3
σν3
o bien




′
σν1
σν1
′ 
 σν2
= ΛT  σν2 
′
σν3
σν3
(2.31)
(2.32)
La ecuación anterior muestra como se expresan las componentes de
un vector σ ν cuando se cambia el sistema de referencia. De modo que
conociendo las componentes σνi en el sistema original Xi , se pueden
′
empleando los cosenos directoencontrar las nuevas componentes σνj
res. Nótese que la ecuación 2.32 contiene un solo coseno director en
cada término, que es la característica de transformación de un vector,
o tensor de primer orden.
2.4.2.
Condición de Reciprocidad de Vectores Tensión.
Por un punto de un sólido se consideraran dos planos, cuyas normales
sean ν y µ. Asociados a esos planos existirán los vectores de tensión
σ ν y σ µ , como se muestra en la Figura 2.7.
Se demostrará que la proyección del vector σ ν sobre la normal µ es
igual a la proyección del vector σ µ sobre la normal ν. Analíticamente
esta condición puede escribirse a través de los productos escalares
σν · µ = σµ · ν
(2.33)
Para demostrarlo se evaluará cada miembro de 2.33 por separado.
Para el miembro de la izquierda y recordando que σ µ = σ T µ de la
2.13 resulta
(2.34)
σµ · ν = ν T σT µ
De igual manera,
σ ν · µ = µT σ T ν = ν T σµ
(2.35)
Para que las últimas dos expresiones coincidan es necesario que
σ = σ, es decir que σij = σji , que se demostrará en las propiedades
T
Análisis General de Tensiones
35
Figura 2.7: Reciprocidad de vectores de tensión
del tensor de tensiones, de donde
σµ · ν = σν · µ
(2.36)
que es la ecuación 2.33 propuesta.
Nótese que el valor resultante del producto escalar no es una constante o invariante del estado tensional del sólido en ese punto, sino que
depende de los dos planos específicos considerados.
2.5.
2.5.1.
Propiedades del Tensor de Tensiones
Simetría del Tensor de Tensiones
El tensor de tensiones definido anteriormente tiene en principio nueve componentes cartesianas. Una propiedad fundamental de ese tensor
de tensiones es que sus componentes son simétricas, o sea satisfacen la
condición
σij = σji
(2.37)
La demostración de esa propiedad se verá en la sección de equilibrio
de momentos. Además de aquí en más no se distinguirá entre σ y σ T .
36
Introducción a la Teoría de Elasticidad
2.5.2.
Transformación del tensor de tensiones con
cambio de coordenadas
Para obtener la ley de transformación de las componentes del tensor σij correspondiente al sistema (X1 , X2 , X3 ) a las componentes del
′
tensor σmn
referido al sistema (Yi , Y2 , Y3 ) se recurre a la definición de
′
σmn
′
σmn
= lTm σln
(2.38)
P3
a su vez reemplazando usando 2.26 en la forma ln =
j=1 λjn tj y
P3
T
T
lm = i=1 λim ti se tiene
′
σmn
=
#
3
X
i=1
λim tTi
%
σ
#
3
X
%
λjn tj =
j=1
3
3 X
X
j=1 i=1
λim λjn tTi σtj
(2.39)
donde por definición el corchete es σij = tTi σtj luego
σmn =
3
3 X
X
λim λjn σim
(2.40)
j=1 i=1
que matricialmente puede escribirse
[σmn ] = ΛT [σij ] Λ
′
T
σ = Λ σΛ
(2.41)
(2.42)
donde σ y σ ′ son las componentes del tensor de tensiones referidos a
los dos sistemas, escritos en forma matricial. Similarmente, se tendrá
la transformación inversa:
σij =
3
3 X
X
σmn λim λjn
(2.43)
m=1 n=1
2.5.3.
Direcciones Principales de Tensión
2.5.3.1.
Consideraciones Físicas
Se vio anteriormente que por un punto de un sólido pasan infinitos
planos y hay por lo tanto infinitos vectores tensión. Interesa determinar
los valores extremos de las tensiones, y las direcciones en que ocurren
Análisis General de Tensiones
37
y esos valores se denominarán tensiones principales y direcciones principales de tensión.
Se verá que los valores extremos de la tensión normal están asociados a planos donde la tensión de corte es nula. El criterio de búsqueda
será entonces el inverso, determinar aquellas direcciones ν asociadas
a un plano donde no haya tensiones de corte (es decir, donde la componente tangencial σνs sea nula) y luego verificar que corresponden a
valores extremos.
La condición analítica para que los vectores σ ν y ν sean paralelos
puede escribirse como
(2.44)
σν = σ ν
donde σ es un escalar a determinar. Reemplazando σ ν de la expresión
(2.11), se tendrá:
σν = σ ν = σ 1 ν
(2.45)
que pasando todo al primer miembro resulta
[σ − σ1] ν = 0
que puede escribirse en forma matricial como


  
σ21
σ31
ν1
σ11 − σ
0
 σ12
σ22 − σ
σ32   ν2  =  0 
0
σ13
σ23
σ33 − σ
ν3
(2.46)
El problema de encontrar los valores de σ y las componentes del
vector dirección ν1 , ν2 , ν3 que satisfacen la expresión 2.46 se conoce
como un problema de vectores y valores propios. Dado que proponemos
que existe una dirección en la que se cumple la condición propuesta,
entonces los valores de ν1 , ν2 , ν3 no pueden ser todos nulos. Pero como
se trata de un versor, sus componentes deben satisfacer la condición
de módulo unitario:
ν12 + ν22 + ν32 = 1
(2.47)
pues son los cosenos directores de alguna dirección.
Pero para que se satisfaga la condición 2.46 sin ser ν el vector
nulo, entonces necesariamente el determinante de la matriz principal
deberá ser nulo. Desarrollando el determinante se llega a una ecuación
de tercer grado en σ de la forma
σ 3 − I1 σ 2 + I2 σ − I3 = 0
(2.48)
38
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Esta expresión se conoce como la ecuación característica del tensor σij
y los escalares I1 , I2 , I3 están dados por
I1 = tr(σ) = σ11 + σ22 + σ33
2
2
2
I2 = σ11 σ22 + σ11 σ33 + σ22 σ33 − σ12
− σ13
− σ23
(2.49)
2
2
2
I3 = det σ = σ11 σ22 σ33 + 2σ12 σ23 σ31 − σ11 σ23 − σ22 σ31 − σ33 σ12
Las tensiones y direcciones principales son características del estado
tensional en un punto, por lo tanto no dependen del sistema coordenado
utilizado para encontrarlas. Por esa razón, los coeficientes I1 , I2 , I3 de
la ecuación 2.48 deben ser independientes del sistema de referencia
utilizado.
Los valores I1 , I2 , I3 se denominan invariantes de tensión. Generalizando, todo tensor de segundo orden tiene tres invariantes.
La ecuación 2.48 tiene tres raíces reales, que llamaremos σI , σII ,
σIII y cuyo valor no depende del sistema de referencia empleado para
obtenerlas. La forma más compacta de expresar el estado de tensiones en un punto es usando las tensiones principales, porque sólo es
necesario especificar tres valores


0
σI 0
0 
(2.50)
σij =  0 σII
0 0 σIII
Se puede demostrar que las tensiones σI , σII , σIII son valores extremos comparados con las tensiones normales en direcciones vecinas.
Obtenidos los valores σ de la ecuación 2.48 se podrán evaluar las
direcciones en las que se da cada tensión principal. Para ello se cuenta
con la ecuación 2.46. Por ejemplo, sustituyendo el primer valor principal σI se tiene
 I   

ν1
0
σ11 − σI
σ21
σ31
I 




σ12
σ22 − σI
σ32
ν2 = 0 
(2.51)
0
σ13
σ23
σ33 − σI
ν3I
Nótese que, como los valores de σ se obtuvieron con la condición
que el determinante de la matriz principal sea nulo (esto es, que la
matriz principal sea singular), la ecuación 2.46 resulta un sistema singular, que no tiene inversa. Una de las tres ecuaciones será linealmente
dependiente de las otras dos y para encontrar la dirección asociada a
Análisis General de Tensiones
39
σI hay que fijar una de las componentes de ν I , por ejemplo ν1I = 1. y se
calculan las otras componentes resolviendo el sistema de dos ecuaciones
simultáneas lineales resultante de eliminar la primera fila y cambiar de
miembro la primera columna: :
I σ32
ν2
−σ12
σ22 − σI
=
(2.52)
σ23
σ33 − σI
ν3I
−σ13
Adicionalmente, se sabe que el versor ν debe satisfacer la condición de módulo unitario 2.47, que permite escalar los componentes de
ν. Las componentes de ν deben estar referidas a un sistema coordenado, de modo que si se cambia el sistema de referencia, cambiarán las
componentes de ν. Siempre que los valores principales sean distintos,
σI 6= σII 6= σIII , se tendrá que las direcciones ν I , ν II y ν III resultarán
ortogonales entre si, ya que son los vectores propios de un matriz real
y simétrica σij .
2.5.3.2.
Una Forma Explícita de las Tensiones Principales
Las tensiones principales σI , σII y σIII pueden ser obtenidos por
las expresiones explícitas siguientes [15]
2
I1
2
¯ sin ψ + π +
σI = √ σ
3
3
3
2
I1
σII = √ σ
(2.53)
¯ sin ψ +
3
3
4
I1
2
σIII = √ σ
¯ sin ψ + π +
3
3
3
donde se obtiene ( σI ≥ σII ≥ σIII ). Los parámetros de la ecuación
anterior toman los siguientes valores:
"
!√
¯
π
3σ
1
π
para − ≤ ψ ≤
ψ = arcsen
3
3
2 σ
¯
6
6
1 (2.54)
σ
¯ = √ (σ11 − σ22 )2 + (σ11 − σ33 )2 + (σ22 − σ33 )2
6
1
2
2
2
2
+6 σ12
+ σ13
+ σ23
2
¯ = I1 I2 − I13 − 3I3
σ
9
40
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Se puede demostrar que σ
¯ puede escribirse de una manera más
compacta como
r
1 2
σ
¯=
(2.55)
(I − 3I2 )
3 1
¯ y ψ son también invariantes del tensor σij y sus
Debe notarse que σ
¯, σ
valores pueden ser expresados en función de los invariantes I1 , I2 , I3 .
2.5.4.
Círculos de Mohr
Interesa saber si cualquier par de componentes σvv y σνs elegidas
arbitrariamente constituyen realmente un vector de tensiones σ ν . Para
estudiar cuales son las condiciones que deben cumplir las componentes
normal y tangencial de un vector usaremos la forma principal del tensor
de tensiones.
Supongamos por simplicidad que las direcciones coordenadas X1 ,
X2 , X3 coinciden con las direcciones principales, de modo que σij tiene
la forma


0
σI 0
0 
[σij ] =  0 σII
(2.56)
0 0 σIII
Usaremos tres ecuaciones que involucran las componentes principales
del tensor, las componentes del vector tensión y las componentes del
versor dirección. De acuerdo con la 2.14, podemos calcular la componente normal del vector tensión en función de tensiones principales
σvv = σij νi νj = σI ν12 + σII ν22 + σIII ν32
(2.57)
Además, de la 2.17 se tiene que el módulo del vector tensión está dado
por
2
2
2 2
2
|σν |2 = σνν
+ σνs
= σI2 ν12 + σII
ν2 + σIII
ν32
(2.58)
Por último, la condición de módulo unitario resulta:
ν12 + ν22 + ν32 = 1
(2.59)
Las ecuaciones 2.57–2.59 forman un sistema con tres incógnitas: ν12 ,
ν22 , ν32 :
 2  


1
ν1
1 1
1

 σI σII σIII   ν22  = 
σνν
(2.60)
2
2
2
2
2
2
σI σII σIII
ν3
σνν + σνs
41
Análisis General de Tensiones
Resolviendo el sistema 2.60 se determinan
(σνν − σII ) (σνν − σIII ) + (σνs )2
(σI − σII ) (σI − σIII )
(σνν − σIII ) (σνν − σI ) + (σνs )2
2
ν2 =
(σII − σIII ) (σII − σI )
(σνν − σI ) (σνν − σII ) + (σνs )2
2
ν3 =
(σIII − σI ) (σIII − σII )
ν12 =
(2.61)
Nótese que νi2 es siempre positivo. Si se ordenan las tensiones principales de modo que σI > σII > σIII , los denominadores de la primera
y la tercera de las ecuaciones 2.61 serán siempre positivos, en tanto
que el denominador de la segunda será siempre negativo, de modo que
los numeradores tendrán los signos:
(σνν − σII ) (σνν − σIII ) + (σνs )2 ≥ 0
(σνν − σIII ) (σνν − σI ) + (σνs )2 ≤ 0
(2.62)
2
(σνν − σI ) (σνν − σII ) + (σνs ) ≥ 0
Para que un par de componentes σνν , σνs representen un estado
de tensión posible en un punto de la estructura, deberán ser tales que
satisfagan las 2.62. La segunda desigualdad es satisfecha por los puntos
internos (o en el contorno) de un círculo de radio R = (σI − σIII )/2
III
, 0 , en tanto que la primera
centrado en el punto (σvv , σνs ) = σI +σ
2
y la tercera de las desigualdades son satisfechas por puntos que se
encuentran sobre o fuera de círculos similares. La Figura 2.8 muestra
ese conjunto de posibles valores σνν y σνs como una zona sombreada
y limitada por tres círculos definidos por las 2.62. El punto A en la
figura está asociado a un plano en el que la componente cortante de
la tensión es máxima y su valor puede obtenerse de la semidiferencia
entre las tensiones principales mayor y menor.
La representación de tensiones por medio de estos círculos fue presentada por el ingeniero alemán Otto Mohr en 1882.
2.5.5.
Componentes Esféricas y Desviadoras del
Tensor de Tensiones
Todo tensor σij puede descomponerse como la suma de dos tensores,
uno hidrostático y otro desviador. Esa descomposición toma la forma
42
Introducción a la Teoría de Elasticidad
σν s
A
σ ΙΙΙ
σ ΙΙ
σΙ σ
νν
Figura 2.8: Círculos de Mohr
siguiente:

 

0
σ12
σ13
σM 0
σ11 − σM

σ21
σ22 − σM
σ23
σij =  0 σM 0  + 
σ31
σ32
σ33 − σM
0
0 σM
(2.63)
donde
σ11 + σ22 + σ33
I1
σM =
=
(2.64)
3
3
El primer término, es conocido como tensor esférico y el segundo
como tensor desviador. El tensor esférico está asociado a un estado
hidrostático de tensión de intensidad σM en todas las direcciones; el
carácter de hidrostático indica la ausencia de componentes cortantes en
cualquier dirección. Esta primera componente es propia de los fluidos
en reposo.
El tensor desviador, cuyas componentes serán designadas por sij ,
está asociado con esfuerzos o tensiones de corte. La descomposición
puede escribirse como
σij = δij σM + sij
σ = 1σM + s
(2.65)
(2.66)
Análisis General de Tensiones
43
Es fácil demostrar que la componente desviadora tiene traza nula,
o sea
tr(s) = s11 + s22 + s33 = 0
(2.67)
de donde una de las componentes de la diagonal principal es función
de las otras dos:
s22 = −s33 − s11
(2.68)
Es posible descomponer al tensor sij en la suma de cinco estados
de corte puro, tres de ellos según los planos cartesianos y dos en planos
a 45 grados con respecto a los cartesianos. En efecto:

 
 

0 s12 0
0 0 s13
0 0
0
[sij ] =  s21 0 0  +  0 0 0  +  0 0 s23 
0
0 0
s13 0 0
0 s32 0
 


0
0
0
s11
0
0
(2.69)
+  0 −s11 0  +  0 −s33 0 
0
0
0
0
0
s33
Los tres primeros tensores son evidentemente estados de corte puro,
mientras que los dos últimos son estados de corte puro en un elemento
diferencial a 45 grados del coordenado, como se ilustra en la Figura
2.9.
Figura 2.9: Componentes del tensor desviador
Esta descomposición aditiva del tensor σij permite un mejor tratamiento de dos aspectos importantes:
(a) Permite establecer una relación entre las tensiones σij y las deformaciones correspondientes a través de las ecuaciones constitutivas.
44
Introducción a la Teoría de Elasticidad
(b) Permite una descripción conveniente de los fenómenos de plasticidad y rotura de los materiales.
2.5.5.1.
Invariantes del Tensor Desviador
Dada la linealidad de las expresiones de transformación de las componentes de tensión σij ya vista, los componentes desviadores también
se transformaran según dicha ley y sij constituye un tensor. Por lo tanto, será posible definir los invariantes del tensor sij y se denominarán
J1 , J2 y J3 . Como ya se vio, el primer invariante del tensor desviador
es nulo en tanto que los otros resultan
J1 = tr (s) = s11 + s22 + s33 = 0
J2 = s11 s22 + s11 s33 + s22 s33 − s212 − s213 − s223
2
I1 I2
(I1 )3 −
J3 = det [sij ] = det [σij ] +
27
3
(2.70)
Que se pueden escribir en función de los invariantes I1 I2 I3 :
I12
3
2
I1 I2
(I1 )3 −
J3 = I 3 +
27
3
J2 = I 2 −
(2.71)
¯ se llega a
o también en función de los invariantes σ
¯yσ
σ2
J2 = −¯
¯
σ
J3 = −
3
2.6.
(2.72)
Estados Tensionales en el Espacio de
las Tensiones Principales
Cuando se estudiaron las propiedades del tensor de tensiones (Sección 2.5) se vio que siempre es posible rotar el sistema coordenado de
modo de obtener el estado principal. En lugar de trabajar con las seis
componentes distintas del tensor de tensiones, que no permiten realizar
Análisis General de Tensiones
45
representaciones gráficas, muchas veces es más conveniente trabajar en
el espacio de tensiones principales.
Veremos a continuación representaciones de tensiones en un espacio
cuyos ejes con las tensiones principales σI σII σIII . Este se denomina
espacio de Westergaard. En este espacio, un punto representa las componentes de un tensor. Hay una dirección que está formada por los
puntos que son equidistantes de los tres ejes y cumple con la condición
σI = σII = σIII
(2.73)
y se define como eje hidrostático. El plano normal al eje hidrostático
y contiene al origen del sistema de coordenadas σI = σII = σIII = 0
se denomina plano desviador (ver Figura 2.10).
Se definen como planos octaédricos aquellos cuya normal equidista
de los direcciones principales de tensión en el punto. Supongamos que
el sistema de referencia cartesiana (X1 , X2 , X3 ) coincide con las direcciones principales (I, II, III), entonces los cosenos directores de las
direcciones octaédricas son
1
ν12 = ν22 = ν32 =
(2.74)
3
Un punto cualquiera en el espacio de tensiones principales representa un tensor de tensiones. Si se lo desea, es posible visualizar ese
estado mediante un vector que une el punto con el origen y representa
el tensor. Ese vector puede ser descompuesto de varias formas, pero
resulta muy útil encontrar sus componentes sobre el eje hidrostático y
sobre el plano desviador. Esas componentes son ampliamente usadas
para estudiar plasticidad.
2.6.1.
Componentes Esféricas y Desviadoras
Consideremos la descomposición del tensor de tensiones en componentes esféricas y desviadoras, pero usando las tensiones principales.
Se tiene así


0
σI 0
=
(2.75)
σij =  0 σII 0
0 0
σIII

 

0
0
0
σM 0
σI − σ M

σM 0  + 
0
σII − σM
0
= 0
0
0
σM
0
0
σIII − σM
46
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Figura 2.10: Espacio de tensiones principales. Eje hidrostático y plano
desviador
1
(σI + σII + σIII ) = I31 . La componente desviadora es
3
tal que su traza (primer invariante J1 ) es cero, luego
donde σM =
(σII − σM ) = − (σI − σM ) − (σIII − σM )
Es posible entonces descomponer Sij en dos tensores

σ I − σM

0
[Sij ] =
0
 

0
0
0
0
0

0
− (σI − σM ) 0 + 0 − (σIII − σM )
0
0
0
0
σIII − σM
(2.76)
donde cada tensor representa un estado de corte puro. Nótese que
cuando σij se escribe para ejes cartesianos cualquiera, sij se descompone en cinco componentes de corte puro, pero cuando σij se refiere a
planos principales bastan dos componentes de corte puro para definir
Sij .
Análisis General de Tensiones
47
Como conclusión se tiene que cualquier tensor de tensiones σij puede escribirse usando sus componentes principales y cuando se lo dibuja en el espacio principal da un vector. Ese vector se puede descomponer
en √
una componente sobre el eje hidrostático, cuyo valor es
√
3σM = I1 / 3 y en otra componente ubicada en el plano desviador, cuyo módulo al cuadrado vale −2 J2 . Las dos componentes de Sij
también están en el plano desviador, como se muestra en la figura.
Figura 2.11: Descomposición en componentes esféricas y desviadoras
en el espacio de tensiones principales
2.6.2.
Tensión de Corte en los Planos Octaédricos
Como se mencionó anteriormente, un plano octaédrico es un plano
que forma ángulos iguales con respecto a las direcciones principales de
tensión en un punto determinado de una estructura (hay 8 planos que
cumplen esa condición). De modo que el tensor de tensiones referido a
48
Introducción a la Teoría de Elasticidad
ejes X1 , X2 , X3 resulta en la forma


0
σI 0
0 
[σij ] =  0 σII
0 0 σIII
(2.77)
Un versor ν normal al plano octaédrico (equidistante de los ejes) puede
escribirse como
1
ν = √ (±t1 ± t2 ± t3 )
(2.78)
3
Con referencia a la Figura 2.5, denominaremos σ0 al vector de tensiones
asociado al plano octaédrico cuya normal es ν. Este vector tensión σ 0
tiene dos componentes, una normal que designaremos por el escalar σ0
y una tangencial τ 0 .
La componente normal se calcula mediante la expresión general de
σνν
σ0 = σνν
= σI ν12 + σII ν22 + σIII ν32
(2.79)
Pero la normal al plano octaédrico tiene sus componentes iguales, con
lo que σ0 se reduce a
σ0 =
σI + σII + σIII
I1
=
3
3
(2.80)
De modo que la tensión normal en los planos octaédricos es igual a
la tensión media
1
(2.81)
σM = (σI + σII + σIII )
3
Buscaremos a continuación la componente cortante de este vector.
El vector tensión en el plano octaédrico σ 0 es un vector y se puede
escribir como σ ν
σ 0 = +σI ν1 t1 + σII ν2 t2 + σIII ν3 t3
1
= √ (±σI t1 ± σII t2 ± σIII t3 )
3
(2.82)
El módulo de ese vector se calcula como el producto escalar del vector
por si mismo
σ 0 · σ 0 = |σ0 |2 =
1 2
2
2
σI + σII
+ σIII
3
(2.83)
49
Análisis General de Tensiones
Por otra parte, el módulo del vector tensión σ 0 resulta
Despejando se obtiene
|σ 0 |2 = σ02 + τ02
(2.84)
τ02 = |σ 0 |2 − σ02
(2.85)
Sustituyendo en la ecuación de τ02 , resulta
1
1 2
2
2
2
2
σ + σII + σIII − (σI + σII + σIII )
τ0 =
3 I
9
(2.86)
Desarrollando, la ecuación anterior puede escribirse como
1 2
2
2
+ 2σIII
− 2σI σII + 2σII σIII + 2σI σIII
2σI + 2σII
9#
%
2 (σI − σII )2 (σI − σIII )2 (σII − σIII )2
(2.87)
+
+
=
9
2
2
2
τ02 =
Introduciendo la notación
σe2 =
1
σ2
(σI − σII )2 + (σI − σIII )2 + (σII − σIII )2 = 3¯
2
(2.88)
Reemplazando σe en la ecuación de τ02 se llega a
2
τ02 = σe2
9
(2.89)
Como se verá más adelante, σe representa una tensión efectiva o
tensión de comparación, también llamada tensión de von Mises, que es
de gran utilidad para evaluar el efecto de un estado complejo de tensiones en un material. Este valor σe interesa principalmente en metales
dúctiles, pero también es de utilidad en la evaluación de las solicitaciones en otros materiales, como hormigones.
Se demuestra fácilmente que una forma alternativa de escribir la
tensión efectiva es
(2.90)
σe2 = −3J2
Otras formas de escribir τ02 en función de invariantes son
2
τ02 = − J2
3
y
2 2
¯
τ02 = σ
3
(2.91)
50
2.7.
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio
En las secciones anteriores solamente se definieron las variables que
caracterizan el estado tensional en un punto de un sólido y ahora se
mostrará qué relaciones tienen esas variables con las fuerzas externas. Estas relaciones tienen la forma de ecuaciones diferenciales, que
permiten equilibrar las fuerzas másicas e inerciales actuantes con las
tensiones que se desarrollan en el cuerpo sólido.
Para plantear equilibrio se estudiará la suma de fuerzas en un elemento diferencial o cubo elemental perteneciente a la estructura indeformada (Figura 2.12), en el cual se pondrán en evidencia las acciones
de las fuerzas másicas y de las tensiones. En realidad la definición de
las tensiones y las ecuaciones de equilibrio deberían plantearse en la
configuración deformada del sólido; sin embargo, aquí supondremos
que los desplazamientos son pequeños y que no es necesario distinguir
entre ambas configuraciones a este fin.
Figura 2.12: Equilibrio de un cubo elemental
2.7.1.
Equilibrio de Fuerzas
Si se suman los vectores de tensión σ i asociados a cada cara del
cubo elemental más las fuerzas másicas ρb, aplicando la segunda ley
de Newton y simplificando factores comunes, se llega a la ecuación
51
Análisis General de Tensiones
diferencial:
3
X
∂σ i
+ ρb = ρa
∂Xi
i=1
(2.92)
donde b es la fuerza másica por unidad de masa, a es la aceleración
y ρ es la densidad del material. En general se considerarán problemas
de equilibrio estático por lo que se supondrá a = 0 y reemplazaremos
F = ρb (fuerza másica por unidad de volumen).
El equilibrio en componentes escalares se puede encontrar en función de las componentes cartesianas (cada dirección tj ). Para ello se
proyecta la ecuación 2.92 en cada una de dichas direcciones tj :
3 X
∂σi
(2.93)
tj ·
+ tj · F = 0
∂Xi
i=1
Sustituyendo σ i de la 2.4, y notando que tj · tk = δjk
#
! 3
"%
3
X
X
∂
tj ·
σik tk
+ tj · F = 0
∂Xi k=1
i=1
3 X
3
X
∂ (σik )
i=1 k=1
∂Xi
δjk + Fj = 0
(2.94)
(2.95)
Finalmente resultan las ecuaciones escalares
3
X
∂σij
i=1
∂Xi
+ Fj = 0
(2.96)
La ecuación 2.96 representa tres ecuaciones escalares de equilibrio
de fuerzas,
∂σ11 ∂σ21 ∂σ31
+
+
+ F1 = 0
∂X1
∂X2
∂X3
∂σ12 ∂σ22 ∂σ32
+
+
+ F2 = 0
∂X1
∂X2
∂X3
∂σ13 ∂σ23 ∂σ33
+
+
+ F3 = 0
∂X1
∂X2
∂X3
(2.97)
Se trata de un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales. Las
tres ecuaciones de equilibrio contienen seis incógnitas, de modo que
el problema es estáticamente indeterminado, aún sin considerar las
condiciones de vínculo.
52
Introducción a la Teoría de Elasticidad
2.7.2.
Equilibrio de Momentos
Se escribe a continuación la condición vectorial de equilibrio de momentos en la Figura 2.12, con respectoal centro del cubo elemental.
∂σ i
Las resultantes de las tensiones σ i y σ i +
dXi se consideran
∂Xi
aplicadas en los centros de las caras, en tanto que la fuerza másica se
considera aplicada en el centro del elemento y por lo tanto su contribución es nula. Resulta así:
3 X
1
∂σ i
1
dXi
− ti dXi × (−σ i ) + ti dXi × σ i +
dAi = 0
2
2
∂Xi
i=1
(2.98)
donde dAi es el área de la cara normal a ti
dA1 = dX2 dX3
dA2 = dX3 dX1
dA3 = dX1 dX2
(2.99)
Dejando de lado términos de orden cuarto (dAi dXi dXi ), simplificando
los diferenciales
(2.100)
dXi dAi = dX1 dX2 dX3
queda
3
X
i=1
ti × σ i = 0
Sustituimos σ i de la ecuación 2.4,
!
"
3
3
X
X
ti ×
σij tj = 0
i=1
(2.101)
(2.102)
j=1
Recordando que el producto vectorial de versores de una terna es:

 0 si i = j
el tercer vector si están ordenados, por ej. t1 × t2 = t3
ti ×tj =

menos el tercer vector si no lo están, por ej. t3 × t2 = −t1
(2.103)
se tiene:
t3 (σ12 − σ21 ) + t2 (σ31 − σ13 ) + t1 (σ23 − σ32 ) = 0
(2.104)
53
Análisis General de Tensiones
Pero como ti 6= 0 e independientes, entonces necesariamente debe
ocurrir que
σ21 − σ12 = 0
σ13 − σ31 = 0
σ23 − σ32 = 0
(2.105)
o, lo que es lo mismo,
σij = σji
(2.106)
Esta es la demostración de la simetría del tensor, o condición de
reciprocidad del tensor de tensiones, mencionada en la ecuación 2.37.
Se concluye que las tensiones tangenciales recíprocas en planos ortogonales son iguales entre sí. Recién aquí hemos justificado que usaremos
seis componentes de tensión σij en lugar de las nueve que contiene el
tensor.
2.7.3.
Condiciones de Borde de Tensión
Supondremos que en el contorno del cuerpo estudiado existen fuerzas de superficie


f1
(2.107)
f =  f2 
f3
Estas fuerzas están expresadas por unidad de superficie, es decir que
tienen dimensiones similares a las de una tensión y actúan sobre el
plano cuya normal es ν (en este caso también normal al cuerpo). La
condición de equilibrio exige que
f = σν
(2.108)
Reemplazando σ ν en función del tensor de tensiones de la 2.11,
f = σν
o bien, en componentes,
fj =
3
X
σij νi
(2.109)
i=1
Las 2.109 son tres ecuaciones escalares que deben satisfacer las
componentes del tensor de tensiones en el borde del cuerpo donde se
54
Introducción a la Teoría de Elasticidad
conoce el valor de la fuerza f (nula o no)
f1 = σ11 ν1 + σ21 ν2 + σ31 ν3
f2 = σ12 ν1 + σ22 ν2 + σ32 ν3
f3 = σ13 ν1 + σ23 ν2 + σ33 ν3
(2.110)
Notar que f no es necesariamente normal a la superficie, sino que
también puede incluir componentes tangenciales.
Figura 2.13: Condición de equilibrio en el borde
En resumen, las componentes σij del tensor de tensiones deben ser
tales que satisfagan las ecuaciones de equilibrio 2.96 en el interior del
cuerpo y las 2.109 en el contorno cargado o libre del cuerpo.
2.7.4.
Forma Integral de las Condiciones de Equilibrio∗
Si se cumplen las ecuaciones diferenciales de equilibrio en el interior
del cuerpo (V ) y las condiciones de contorno de fuerzas en la superficie
(S)
3
X
∂σ i
+F=0
en V
(2.111)
∂Xi
i=1
3
X
i=1
σ i νi = f
en S
(2.112)
55
Análisis General de Tensiones
entonces también se cumplen las ecuaciones globales de equilibrio de
fuerzas y de momentos, es decir
ˆ
ˆ
F dV + f dS = 0
(2.113)
V
ˆ
V
S
(d × F) dV +
ˆ
S
(d × f ) dS = 0
(2.114)
donde d es el vector posición respecto de un punto arbitrario, para lo
cual se puede elegir al origen del sistema de coordenadas (X1 , X2 , X3 )
como punto respecto al cual tomar momentos:
d = X i ti
(2.115)
Demostración: Integrando la ecuación de equilibrio de fuerzas resulta:
"
ˆ !X
3
∂σ i
+ F dV = 0
(2.116)
∂Xi
V
i=1
e integrando el primer término con la expresión de Gauss
ˆ X
ˆ X
ˆ
3
3
∂σ i
dV =
σ i νi dS =
f dS
V i=1 ∂Xi
S i=1
S
(2.117)
Luego:
ˆ
V
F dV +
ˆ
f dS = 0
(2.118)
S
que son las ecuaciones de equilibrio de fuerzas globales del cuerpo.
Para encontrar la ecuación de momentos global se tomará momentos de cada término de la ecuación de equilibrio de fuerzas también
con respecto al origen de coordenadas:
"
ˆ !
ˆ
3
X
∂σ i
(d × F) dV = 0
(2.119)
d×
dV +
∂X
i
V
V
i=1
Por otro lado:
∂d
∂σ i
∂
(d × σ i ) =
× σi + d ×
∂Xi
∂Xi
∂Xi
(2.120)
56
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Además
∂d
=
∂Xi
∂
P
3
j=1
Xj tj
∂Xi
=
3
X
∂Xj
j=1
∂Xi
tj =
3
X
δij tj = ti
(2.121)
j=1
Luego
3
3
3
X
X
X
∂
∂σ i
(d × σ i ) =
ti × σ i +
d×
∂Xi
∂Xi
i=1
i=1
i=1
(2.122)
Como ya se ha demostrado, el primer término del segundo miembro
se anula debido al equilibrio local de momentos que se satisface en
forma idéntica si σij = σji . Aplicando nuevamente el teorema de Gauss
ˆ X
3 V i=1
∂σ i
d×
∂Xi
ˆ X
3
∂
dV =
(d × σ i ) dV
(2.123)
V i=1 ∂Xi
ˆ X
ˆ X
3
3
(d × σ i ) νi dS =
(d × σ i νi ) dS
=
S i=1
S i=1
Finalmente, usando las condiciones de borde resulta
ˆ
ˆ
(d × f ) dS +
(d × F) dV = 0
S
2.8.
(2.124)
V
Comentarios Sobre el Origen de los
Conceptos de Tensión∗
Agustín Cauchy presentó oralmente su teoría sobre esfuerzos internos en sólidos el 30 de septiembre de 1822 y en forma escrita en
1823 en Bulletin de la Societe Philomatique. También expandió esos
conceptos en su texto Excercises de Mathematiques, de 1829, en donde
aparecen las ecuaciones diferenciales de equilibrio. El concepto de tensión fue posteriormente generalizado a situaciones no contempladas por
Cauchy, pero el detalle y los conceptos que enseñamos en la actualidad
a los ingenieros siguen la letra de Cauchy. Los escritos de Cauchy son
muy claros y rigurosos y la lectura de su contribución original puede
ser hecha en la actualidad con mucho beneficio para el lector.
Análisis General de Tensiones
57
El principio de tensión no resulta evidente ni puede medirse directamente la tensión sobre un plano, de modo que no se trata de un
término observacional sino de un término teórico. Nadie había generado el concepto de tensión en sólidos con anterioridad y la enorme
contribución de Cauchy consistió en formularlo, a partir del cual fue
posible construir el resto de la teoría de elasticidad. La génesis del
concepto de tensión ha sido reconstruida por Truesdell1 , quien mostró
que los elementos conceptuales que eran necesarios para establecer una
teoría de esfuerzos en sólidos ya se encontraban en trabajos anteriores a Cauchy. Sin embargo, se trataba de contribuciones sobre casos
particulares y que nunca fueron puestos juntos como lo hizo Cauchy.
La idea de aislar el sistema continuo y cortarlo imaginariamente
en dos partes para representar la acción de una de ellas sobre
la otra mediante campos definidos en la frontera entre ambos se
debe a Euler (de un trabajo de 1750).
Cauchy señala que la tensión sobre una superficie es de la misma naturaleza que la presión hidrostática que hace un fluido en
reposo sobre la superficie externa de un cuerpo. Pero la tensión
no permanece perpendicular a la superficie sobre la que actúa, ni
es igual en todas direcciones para un punto del sólido. De modo
que el origen del vector de tensiones parece ser la hidrostática.
Esta idea de presión de Euler fue a su vez tomada y refinada de
la contribución de John Bernoulli (de un trabajo de 1743), quien
usaba la presión como una fuerza interior.
Para concebir un comportamiento de tensión sobre una superficie diferente de la presión, es necesario considerar la influencia de
esfuerzo de corte. Eso había sido estudiado por Coulomb en 1773
para una viga, quien también llegó a plantear las ecuaciones de
equilibrio, pero sin escribirlas en forma de ecuaciones diferenciales.
1
Truesdell, C. A. (1968), Essays in the History of Mechanics, Springer Verlag,
Berlin. Traducido al español como Ensayos de Historia de la Mecánica, Editorial
Tecnos, Madrid, 1975.
58
2.9.
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Ejercicios
Ejercicio 2.1. En un punto en el interior de una estructura se ha
computado el tensor de tensiones σij y resulta


1 3 4
[σij ] =  3 2 5  M P a
4 5 6
(a) Determine el valor de la tensión σ v asociada a un plano que
pasa por el punto y cuya normal es:
ν = 0,768 t1 − 0,548 t2 − 0,329 t3
(b) Evalúe las componentes σνν y σνs del vector tensión. (c) Evalúe
el vector tensión σ µ asociado al plano cuya normal es
µ = 0,329 t1 − 0,768 t2 − 0,548 t3
(d) Compruebe que
σν · µ = σµ · ν
Ejercicio 2.2. Para el tensor de tensiones del ejercicio 2.1: (a) Encuentre las direcciones y valores principales de tensión. (b) Descomponga el
tensor en sus componentes esférica y desviadora. (c) Obtenga el tensor
σij′ referido a un sistema nuevo, empleando la matriz de rotación:


0,669
0,743 0
Λ =  −0,743 0,669 0 
0
0
1
Ejercicio 2.3. Las componentes de tensión en todo el volumen de una
estructura están dadas por
σ11 = A (X1 + 3X32 + 5X2 )
σ22 = A (X1 + 4X2 + X3 )
σ33 = A (2X1 + X3 )
σ12 = A (X32 + X13 )
σ23 = A (X12 )
σ31 = A (X1 + X22 )
donde A es una constante. Determine qué distribución de fuerzas másicas debe existir para que el cuerpo esté en equilibrio.
Ejercicio 2.4. Escriba las componentes del vector de tensiones en
un plano genérico si se tiene el tensor de tensiones en las direcciones
principales.
Análisis General de Tensiones
59
Ejercicio 2.5. Un tensor de tensiones está dado por


1 a b
σij =  a 1 c 
b c 6
Qué valores deben tener a, b, c si se requiere que el vector de tensiones
asociado a la dirección normal µ sea cero, donde
√
√
√
µ = 1/ 3 t1 + 1/ 3 t2 + 1/ 3 t3
Solución: a = b = c = −1/2.
Ejercicio 2.6. Para el tensor


10 −6 0
[σij ] =  −6 10 0  M P a
0
0
1
(a) Obtenga las componentes esféricas y desviadoras; (b) Compute las
tensiones principales de la componente desviadora.
Ejercicio 2.7. Calcule las componentes principales de tensión y sus
direcciones asociadas para un tensor que tiene todas sus componentes
√
igual
√ a uno, σ
√ij = 1. Solución: σI = 3, σII = σIII = 0. ν=1/ 3 t1 +
1/ 3 t2 + 1/ 3 t3 .
Ejercicio 2.8. Sea Φpq un tensor simétrico de segundo orden, tal
que las componentes del tensor de tensiones σij sean computables a
partir de Φpq en la forma:
2
∂ 2 Φqp
∂ 2 Φjp
∂ 2 Φpi
∂ Φqq
σij = δij
−
+
+
∂x2p
∂xp ∂xq
∂xp ∂xj ∂xp ∂xi
−
∂ 2 Φpp
∂ 2 Φji
−
∂xi ∂xj
∂x2p
Demuestre que, con esa definición de σij , las ecuaciones de equilibrio
en el volumen se satisfacen automáticamente en ausencia de fuerzas
másicas. Ese tensor Φpq es el equivalente a la función de tensión de
Airy en elasticidad bidimensional.
60
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Capítulo 3
Análisis General de
Deformaciones
En este capítulo se estudian las deformaciones de un cuerpo en el
entorno de un punto. Se supone que los desplazamientos y giros del sólido son pequeños y que las deformaciones son pequeñas. En la primera
parte se evalúan deformaciones específicas longitudinales, angulares y
volumétricas, y al relacionarlas con el campo de desplazamientos surge
la necesidad de definir un tensor de deformaciones. En la segunda parte
se investiga ese tensor; se demuestra que es un tensor de segundo orden;
se encuentran sus valores y direcciones principales; y sus componentes
esférica y desviadora. En la tercera parte se estudia la rotación de una
fibra.
3.1.
Posición y desplazamiento de un punto. Medidas de deformación
Hipótesis:
Partimos de un cuerpo en un estado inicial libre de deformaciones
y del cual conocemos su geometría. Este cuerpo B cuyos puntos materiales designaremos como P que referidos a un sistema coordenado
cartesiano estarán definidos por el vector X
XT = (X1 , X2 , X3 )
(3.1)
Denominaremos al cuerpo B y a las posición de los puntos en esta
configuración indeformada como la configuración de referencia. Debido
61
62
Introducción a la Teoría de Elasticidad
a alguna acción externa el cuerpo B cambiará de forma y ocupará una
forma distinta que denominaremos con b. Los puntos materiales P
pasarán a ocupar posiciones diferentes que denotaremos por el vector
x
xT = (x1 , x2 , x3 )
(3.2)
Resulta inmediato introducir los desplazamientos u como la diferencia entre la posición final y la inicial por lo cual es posible escribir
x(X1 , X2 , X3 ) = X + u (X)
(3.3)
sencillamente esto expresa que la nueva posición x de un punto material
P está dada por la posición original X más los desplazamientos u
que sufre en el proceso de deformación. El campo de desplazamientos
u debe ser continuo para asegurar que el cuerpo deformado b sea
continuo es decir que no aparezcan brechas o solapamientos.
Objetivo
Conocido entonces el campo de desplazamientos, es decir conocidos
la posición original y deformada de cada punto material P que conforman el cuerpo B interesa poder medir las deformaciones que ocurren
en el entorno de un punto cualquiera. Básicamente las deformaciones
que nos interesa conocer son:
Cambio de volumen
Cambio de la longitud de una fibra, originalmente en una dirección cualquiera ν
Cambio de ángulo entre dos fibras, originalmente en dos direcciones cualesquiera ν y µ (en particular nos interesarán dos fibras
que originalmente sean ortogonales, es decir µ · ν = 0 )
Metodología
Para medir deformaciones en el entorno de un punto mediremos
longitudes, ángulos y volúmenes antes y después del movimiento. La
comparación adecuada entre magnitudes originales y finales permite
evaluar deformaciones.
3.1.1.
Medidas en la geometría indeformada
Sea entonces un punto cualquiera A en el entorno del cual nos
interesa evaluar las deformaciones que se han producido. Consideremos
63
Análisis General de Deformaciones
ρ
D
ν
B
A
Z
C
Y
X
µ
Figura 3.1: Hexaedro elemental
tres puntos B, C, y D suficientemente cercanos al punto A, que junto
con él definan un hexaedro de caras ortogonales (ver Figura 3.1). Como
caso particular podría ser un hexaedro elemental de caras paralelas a
los planos cartesianos a partir de incrementos infinitesimales de las
coordenadas
dXT = (dX1 , dX2 , dX3 )
(3.4)
Por ahora nos mantendremos en la hipótesis de que las caras del
hexaedro no coinciden con los planos cartesianos
Denominaremos con ν a la dirección de la fibra orientada del punto
A al punto B. Con µ denominaremos a la dirección de la fibra orientada
del punto A al punto C que por lo pedido al hexaedro es ortogonal a
ν.
Llamando al vector orientado de A a B
∆XAB = XB − XA
y a la longitud de dicho vector
p
∆SAB = (∆XAB · ∆XAB )
(3.5)
donde se ha introducido la noción habitual de distancia en el espacio
euclidiano. Con lo cual tenemos la primera magnitud, una longitud en
64
Introducción a la Teoría de Elasticidad
este caso, medida sobre la geometría indeformada de una fibra orientada en una dirección cualquiera ν. Es fácil ver que
o
∆XAB = ∆SAB ν
ν=
∆XAB
∆SAB
(3.6)
Si acercamos el punto B a lo largo de la dirección ν hasta una
distancia infinitesimal
o
dXAB = dSAB ν
ν=
dXAB
dSAB
(3.7)
Notar que la dirección ν es completamente arbitraria, es decir puede
ser cualquier dirección en el espacio.
Similarmente el punto C define junto con el A la dirección µ
µ=
dXAC
dSAC
o
dXAC = dSAC µ
(3.8)
Notar que la única condición pedida a µ es que sea perpendicular a
ν. Una forma de evaluar el ángulo entre fibras es través de la expresión
del producto escalar de dos vectores
−1
−1 dXAB dXAC
α = cos [ν · µ] = cos
·
(3.9)
dSAB dSAC
π
Por la forma en que se han elegido las fibras α =
2
Finalmente el punto D define una tercera dirección ρ en el espacio
que debe ser ortogonal a las anteriores
ρ=ν ×µ=
dXAD
dSAD
o
dXAD = dSAD ρ
(3.10)
El volumen de un paralelepípedo puede obtenerse mediante el triple
producto vectorial de sus aristas
dV = (dXAB × dXAC ) · dXAD = (ν × µ) · ρ dSAB dSAC dSAD
= dSAB dSAC dSAD
La elección de las direcciones persiguen el siguiente objetivo
Nos interesa medir la deformación longitudinal de una fibra orientada en la dirección ν
Análisis General de Deformaciones
65
Nos interesa medir el cambio de ángulo entre las fibras ν y µ que
originalmente son ortogonales
Nos interesa medir el cambio de volumen del hexaedro elemental
definido.
Ya hemos evaluado entonces las magnitudes de interés en la geometría
original.
3.2.
El gradiente de deformación.
Las deformaciones son medidas locales, las cuales excluyen movimientos y rotaciones de cuerpo rígido. Para medir deformaciones debemos observar como cambian los desplazamientos localmente, modificando la forma y el tamaño.
Veamos ahora como se transforma el hexaedro elemental cuando se
produce el movimiento. Los puntos materiales A,B,C y D se mueven
a sus nuevas posiciones que denominaremos respectivamente a,b,c y
d. Analicemos el comportamiento de una fibra cualquiera, por ejemplo
la definida por los puntos A y B. El punto A de coordenadas


X1
(3.11)
XA =  X2 
X3
va a parar a la posición:
xa = XA + uA
(3.12)
en tanto que el punto B (y en forma similar los puntos C y D) de
coordenadas


X1 + dX1
(3.13)
XB = XA + dSAB ν = XA + dXAB =  X2 + dX2 
X3 + dX3
va a la posición
xb = xa + dxab = XA + uA + dXAB + duAB
(3.14)
66
Introducción a la Teoría de Elasticidad
donde el diferencial de desplazamientos entre los puntos A y B (duAB ),
se expresa en función de la derivada direccional (en la dirección ν) del
campo de desplazamiento evaluada en el punto A


∂u1 ∂u1 ∂u1



 ∂X1 ∂X2 ∂X3  
dX1
du1
 ∂u

∂u2 ∂u2  

2
dX2 
duAB =  du2  = 

 ∂X1 ∂X2 ∂X3 
du3 AB  ∂u3 ∂u3 ∂u3 
dX3 AB
∂X1 ∂X2 ∂X3 A
= ∇uA dXAB = ∇uA ν dSAB
(3.15)
con lo cual
dxab = dXAB + duAB = (1 + ∇u|A ) dXAB = FA dXAB
(3.16)


 
∂u1 ∂u1 ∂u1









 



∂X
∂X
∂X


1
2
3
dX1


 1
 ∂u
∂u2 ∂u2 
2
 dX2 
+
1
= 






∂X
∂X
∂X

dX3 AB
1


 ∂u31 ∂u32 ∂u33  






∂X1 ∂X2 ∂X3 A
Donde a FA = (1 + ∇u|A ) lo llamaremos gradiente de deformación
(valuado en el punto A).
Para interpretar físicamente a F observemos en que se transforman
las aristas de un hexaedro elemental cuyas caras coincidan con los
planos cartesianos. Supongamos que las aristas de este hexaedro midan
sobre cada eje cartesiano dX1 , dX2 y dX3 . Analicemos, por ejemplo,
la que está orientada en la dirección 1 (t1 dX1 ) , para esto basta dar
valores a dX = (dX1 , 0, 0) con lo que resulta




∂u1
∂x1
 ∂X1 
 1 + ∂X1 

 ∂x 
 ∂u



2 
2
dX
dx1 = 
=
(3.17)

 dX = F1 dX1

 ∂X1  1  ∂X1  1

 ∂x3 
 ∂u3
∂X1
∂X1
Que es la primera columna del gradiente de deformación multiplicada por la longitud original. Lo mismo podemos decir respecto a las
otras direcciones coordenadas.
67
Análisis General de Deformaciones
El hexaedro deformado se ha convertido ahora en un paralelepípedo
cuyo volumen puede calcularse como el triple producto vectorial de sus
aristas
dv = (F1 × F2 ) · F3 dX1 dX2 dX3 = det(F) dV
(3.18)
3.3.
Deformación específica longitudinal
Estudiemos ahora como se ha modificado la longitud de la fibra
A-B. Originalmente su longitud era dSAB y ahora resulta
q
p
(3.19)
dsab = dxab · dxab = dxTab dxab
q
= ν T [1 + ∇u]T [1 + ∇u] ν dSAB
El producto bajo la raíz puede desarrollarse como
ν T 1 + ∇T u + ∇u + ∇T u∇u ν
(3.20)
En este curso nos concentraremos en problemas con pequeños giros,
∂ui
lo que está asociado básicamente a que todas las componentes
≪
∂Xj
1, con lo cual podemos despreciar productos entre derivadas frente a la
derivada misma. Luego como primera aproximación al radicando nos
quedaremos con
ν T 1 + ∇T u + ∇u ν
(3.21)
Por otro lado también supondremos que las deformaciones son pequeñas, es decir que la relación entre las longitudes final dsab y original
dSAB de la fibra es muy similar a 1, es decir que
q dsab
= ν T 1 + ∇T u + ∇u ν ≈ 1
(3.22)
dSAB
lo que permite escribir como aproximación lineal (recurriendo a un
desarrollo en serie de Taylor)
dsab
1
T
T
=ν 1+
(3.23)
∇ u + ∇u ν
dSAB
2
Al término
1
∇T u + ∇u = ε
2
(3.24)
68
Introducción a la Teoría de Elasticidad
lo denominaremos “tensor lineal de deformación” ε (en lo sucesivo sencillamente tensor de deformación). Luego demostraremos que es un
tensor de segundo orden. Su definición en componentes resulta
1 ∂uj
∂ui
εij =
+
(3.25)
2 ∂xi ∂xj
por lo que es simétrico. Puede también verse como la parte “simétrica”
del gradiente de desplazamiento, si se escribe al mismo como:
∇u =
1
1
∇u + ∇T u +
∇u − ∇T u = ∇sim u + ∇asim u (3.26)
2
2
En definitiva la relación entre longitud final y original (notando que
ν T 1 ν = ν T ν = ν · ν = 1) resulta
dsab
= 1 + ν T ε ν = λν
dSAB
(3.27)
Con λν hemos denominado la relación entre la longitud final y original de una fibra que originalmente estaba en la dirección ν. Claramente
un valor de λν > 1 indica que la fibra se ha alargado, un valor λν < 1
que se ha acortado, un valor λν = 1 indica que no cambió su longitud.
Existen diferentes formas de definir una deformación longitudinal.
Dicha definición no es única, existen múltiples definiciones que responden a diferentes conceptos u objetivos, las más usadas son:
Ingenieril :
E=
ds − dS
=λ−1
dS
(3.28)
Logarítmica o natural
eln = ln
#
2
ds
dS
= ln (λ)
(3.29)
%
(3.30)
Lagrangeana
1
EL =
2
ds
dS
−1 =
1 2
λ −1
2
69
Análisis General de Deformaciones
Euleriana
#
2 %
1
dS
1
ee =
1−
1 − λ−2
=
2
ds
2
(3.31)
Para pequeñas deformaciones todas son similares y resulta indistinto
el uso de cualquiera de ellas, en tal caso resulta más sencillo usar la
primera que es una relación lineal.
Concentrándonos en la deformación ingenieril veamos entonces como evaluarla en función del tensor de deformación. Conceptualmente
de lo visto hasta ahora, podemos concluir a partir de la expresión (3.27)
que:
E ν = λν − 1 = ν T ε ν
(3.32)
Notar que esta expresión puede aplicarse a cualquier dirección ν.
Por lo cual el tensor ε guarda toda la información referida a los cambios
de longitudes de las fibras en el punto considerado. En particular si
elegimos como ν a las direcciones asociadas a los ejes coordenados ti ,
tendremos
∂u1
∂X1
∂u2
=
∂X2
∂u3
=
∂X3
E1 = (1, 0, 0) · ε · (1, 0, 0) = ε11 =
E2 = (0, 1, 0) · ε · (0, 1, 0) = ε22
E3 = (0, 0, 1) · ε · (0, 0, 1) = ε33
(3.33)
Luego los elementos de la diagonal del tensor de deformación ε
son las deformaciones específicas longitudinales en las correspondientes
direcciones cartesianas.
3.4.
Deformación específica angular
Veamos ahora como se ha modificado el ángulo entre las fibras que
originalmente estaban en las direcciones ν y µ. Las posiciones actuales
de dichas fibras son:
dxab = Fν dSAB = (1 + ∇u) ν dSAB
dsab = kdxab k = (1 + Eν ) dSAB = λν dSAB
(3.34)
(3.35)
70
Introducción a la Teoría de Elasticidad
dxac = Fµ dSAC = (1 + ∇u) µ dSAC
dsac = kdxac k = (1 + Eµ ) dSAC = λµ dSAC
(3.36)
(3.37)
Llamando ν ∗ y µ∗ a las direcciones finales, realizando el producto
punto, el coseno del ángulo que forman resulta:
dxab dxac
(1 + ∇u) ν (1 + ∇u) µ
·
=
·
(3.38)
dsab dsac
λν
λµ
π
en este caso, siendo el ángulo original α = , la relación entre ángulos
2
complementarios permite escribir (llamando ϕνµ al cambio de ángulo
entre las fibras )
π
− α∗ = sin (α − α∗ ) = sin ϕνµ ≃ ϕνµ
cos α∗ = sin
(3.39)
2
donde al final se usa que el cambio de ángulo es pequeño.
Desarrollando la expresión del coseno 3.38, despreciando los términos cuadráticos en las derivadas e introduciendo la definición del tensor
de deformaciones
3 X
3
X
ν T (2ε) µ
ϕνµ =
≃ ν T (2ε) µ = 2
νi εij µj
(3.40)
λν λ µ
i=1 j=1
cos α∗ = ν ∗ · µ∗ =
Donde se ha supuesto que el denominador (λν λµ ) es suficientemente
cercano a la unidad.
Entonces a partir de ε es posible evaluar el cambio de ángulo entre dos fibras cualesquiera originalmente ortogonales, es decir que ε
guarda también toda la información respecto a cambios de ángulo en
el entorno del punto. En particular si tomamos de a pares las fibras en
las direcciones coordenadas tendremos
∂u1
∂u2
ϕ12 = (1, 0, 0) · (2ε) · (0, 1, 0) = 2ε12 =
+
= ϕ21
∂X2 ∂X1
∂u3
∂u1
+
= ϕ31
(3.41)
ϕ13 = (1, 0, 0) · (2ε) · (0, 0, 1) = 2ε13 =
∂X3 ∂X1
∂u2
∂u3
+
= ϕ32
ϕ23 = (0, 1, 0) · (2ε) · (0, 0, 1) = 2ε23 =
∂X3 ∂X2
En consecuencia es posible dar un significado físico a las componentes no diagonales del tensor de deformación con lo cual este resulta


E1 12 ϕ12 12 ϕ13
E2 12 ϕ23 
ε=
(3.42)
sim.
E3
71
Análisis General de Deformaciones
3.5.
Deformación Específica Volumétrica
Finalmente analicemos como ha cambiado el volumen del hexaedro
original. Utilizando la expresión del triple producto vectorial
dv = (dxab × dxac ) · dxad = (ν ∗ × µ∗ ) · ρ∗ λν λµ λρ dSAB dSAC dSAD
= λν λµ λρ dV0 = (1 + Eν ) (1 + Eµ ) (1 + Eρ ) dV
(3.43)
La expresión obtenida resulta de suponer que los cambios de ángulo entre las direcciones ν ∗ ,µ∗ y ρ∗ son pequeños, si bien ahora no
son mutuamente ortogonales, el triple producto vectorial entre ellas es
muy cercano a la unidad (la diferencia es proporcional al cuadrado del
cambio de ángulo por lo cual puede despreciarse en aproximaciones
lineales). Desarrollando ahora el producto entre los binomios y despreciando productos entre las deformaciones longitudinales, el volumen
actual resulta
dv = [1 + (Eν + Eµ + Eρ )] dV
(3.44)
Podemos ahora definir la deformación volumétrica
dv
dv − dV
=
−1
dV
dV
= Eν + Eµ + Eρ
∆=
(3.45)
(3.46)
Es decir que la deformación específica volumétrica puede calcularse
como la suma de las deformaciones específicas longitudinales en tres direcciones mutuamente ortogonales. Si elegimos como dichas direcciones
a las direcciones cartesianas tendremos
∆ = E1 + E2 + E3
= ε11 + ε22 + ε33 = tr(ε)
∂u1
∂u2
∂u3
=
+
+
= div (u)
∂X1 ∂X2 ∂X3
(3.47)
(3.48)
(3.49)
Naturalmente la deformación volumétrica en el punto no depende
de la elección del sistema cartesiano, esto se ve en la última expresión
(div(u)). El valor exacto de la deformación volumétrica puede calcularse a partir de la expresión (3.18) y la definición (3.45):
∆ = det (F) − 1
que linealizada conduce a la expresión (3.49).
72
Introducción a la Teoría de Elasticidad
3.6.
Sobre el tensor de deformaciones
Los desarrollos anteriores han permitido expresar las componentes
del tensor de deformaciones (3.25) invirtiendo las expresiones obtenidas
para deformaciones longitudinales y angulares, obteniendo la relación
(3.42).
Resulta necesario demostrar que efectivamente ε es un tensor de
segundo orden, es decir que son necesarias dos matrices de transformación para obtener las componentes del tensor en un sistema (l1 , l2 , l3 )
a partir de las componentes en un sistema (t1 , t2 , t3 ). Sea Λ la matriz
de transformación que liga ambos sistemas, es decir
[t1 , t2 , t3 ] = [l1 , l2 , l3 ] ΛT
[l1 , l2 , l3 ] = [t1 , t2 , t3 ] Λ
λij = ti · lj
(3.50)
(3.51)
Cualquier vector en el nuevo sistema puede expresarse en función
de sus componentes en el sistema original, en particular el vector de
coordenadas y el de desplazamientos
Y = ΛT X
T
v=Λ u
(3.52)
(3.53)
notemos que el gradiente de los desplazamientos en el nuevo sistema
resulta ahora: (al tener dos sistemas de coordenadas independientes
denotemos con un subíndice en ∇ respecto a que sistema estamos derivando)
# 3
! 3
"
%
X ∂
X
∂
∂X
∂vm
∂X
j
=
=
ΛT u
λim ui
∇l v =
∂Yn
∂X
∂Y
∂X
∂Y
j
n
j=1
i=1
(3.54)
=
#
3 X
3
X
i=1 j=1
λim
∂ui
∂Xj
%
λjn = ΛT (∇t u) Λ
(3.55)
donde hemos usado la condición de que Λ−1 = ΛT . Reemplazando en
¯ en el nuevo sistema de coordenadas
la definición del tensor ε
1
1
¯=
ε
(3.56)
∇l v + ∇Tl v = ΛT ∇t u + ∇Tt u Λ = ΛT ε Λ
2
2
lo que demuestra que el tensor de deformaciones es efectivamente un
tensor de segundo orden.
73
Análisis General de Deformaciones
Debido a que es un tensor de 2do orden simétrico (similar al de tensiones), tendrá tres autovalores reales (εI , εII , εIII ) y tres autovectores
asociados mutuamente ortogonales (ν I , ν II ,ν III ). El tensor de deformación expresado en el sistema cartesiano asociado a las direcciones
principales resulta por supuesto diagonal


εI

εII
ε=
(3.57)
εIII
Esto significa que las direcciones principales no cambian de ángulo
entre si y sólo sufren deformaciones longitudinales. Luego estas tres
fibras tienen la particularidad de que siendo ortogonales en la geometría original también lo son en la geometría deformada, es decir que en
cada punto del cuerpo, no importa el nivel de deformaciones siempre
hay tres direcciones que mantienen su ortogonalidad y son las que tienen las deformaciones longitudinales extremas (máximas y mínimas).
Si se visualiza el entorno de un punto como una esfera antes de la deformación, dicha esfera se transforma en un elipsoide cuyos ejes son la
posición deformada de las direcciones principales del tensor.
Similarmente al tensor de tensiones es posible descomponer al tensor de deformaciones en una parte volumétrica y en una parte desviadora. La componente volumétrica es un tercio de la traza del tensor
1
∆
1
εM = tr (ε) = (ε11 + ε22 + ε33 ) =
3
3
3
Multiplicada por el tensor identidad

εM

εM
εv =
εM


(3.58)
(3.59)
La componente desviadora resulta entonces de la diferencia entre
el tensor y la componente volumétrica


ε12
ε13
ε11 − εM

ε21
ε22 − εM
ε23
(3.60)
e = ε − εv = 
ε13
ε32
ε33 − εM
Similarmente al caso del tensor de tensiones es posible definir invariantes del tensor de deformaciones y de su componente desviadora.
74
Introducción a la Teoría de Elasticidad
3.7.
Vector deformación y vector rotación
Si se observan las expresiones obtenidas para las deformaciones
específicas longitudinales ενν y angulares ενµ y se las compara con
las obtenidas para las componentes de tensión normal σνν y tangencial
σνµ se observará una total analogía
Deformaciones
Longitudinal ενν = ν T εν
Angular
ενµ = µT εν
Tensiones
Normal σνν = ν T σν
Cortante σνµ = µT σν
A su vez en el caso de tensiones hemos definido el concepto de
“vector tensión” asociado con una dirección ν cuyas componentes son
precisamente las indicadas arriba. Sin embargo para el caso de deformaciones no lo hemos hecho pues a un tal “vector deformación” asociado
a dirección ν
(3.61)
εν = εν
que si bien permite determinar la componente ενν proyectándolo sobre
el plano y el cambio de ángulo con cualquier fibra µ contenida en el
planoενµ no presenta una interpretación física clara.
Por otro lado al tratar el movimiento de una fibra, la expresión
3.15 expresa el desplazamiento relativo de los extremos de una fibra
infinitesimal en la dirección ν
1
1
duν
= ∇u ν =
∇u + ∇T u ν +
∇u − ∇T u ν
dSν
2
2
= εν + ων
(3.62)
(3.63)
en tanto que ya en 3.26 ya habíamos utilizado la descomposición de
∇u en sus partes simétrica y antisimétrica.
La expresión anterior dice que el desplazamiento relativo entre dos
puntos a lo largo de una dirección arbitraria ν está compuesto de
una deformación (εν) y de algo más (ων). Esto último no puede ser
deformación ya que hemos visto que toda la deformación está incluida
en el término εν, por lo cual el segundo término implica sólo rotación
de cuerpo rígido. Esta rotación queda definida por el tensor ω (puede
demostrarse que es un tensor en la misma forma que ε ) que de su
75
Análisis General de Deformaciones
definición es antisimétrico
1
∇u − ∇T u
2
1 ∂ui
∂uj
−
ωij =
2 ∂Xj
∂Xi
(3.64)
ω=
ωii = 0
ωij = −ωji
Geométricamente sabemos que una rotación finita se define por
una matriz orto-normal (Λ−1 = ΛT ) que para el caso de una rotación
pequeña se puede escribir en forma aproximada como la suma de la
identidad 1 y un tensor antisimétrico.
Λ=1+ω
(3.65)
de esta forma si se tiene un vector cualquiera ν y se lo rota, su nueva
posición es
ν ∗ = Λν = (1 + ω) ν = ν + ων
(3.66)
luego la diferencia entre el vector final (rotado) y el inicial es
ν ∗ − ν = ∆ν = ων
(3.67)
A diferencia de un tensor simétrico que tiene 3 autovalores reales,
un tensor antisimétrico tiene 2 autovalores imaginarios puros y un autovalor nulo. El autovector asociado al autovector nulo se denomina
vector axial w que por definición satisface
ωw = 0w = 0
(3.68)
puede mostrarse fácilmente que las componentes de este vector son


 


w1
ω32
ω23
w =  w2  =  ω13  = −  ω31 
(3.69)
w3
ω21
ω12
y además que
ων = w × ν
Al vector w se lo denomina “vector rotación lineal” y define localmente el giro promedio del sólido en el punto. Decimos promedio
porque no todas las fibras giran lo mismo, esto depende también del
tensor de deformaciones ε. Si el sólido no sufriera deformación alguna
durante el movimiento (ε = 0) entoncesw definiría completamente el
76
Introducción a la Teoría de Elasticidad
giro de todas las fibras en el punto. La dirección del vector w indica
el eje de rotación y su módulo el ángulo girado. Cada componente wi
expresa el promedio que han girado alrededor del eje ti las fibra ubicadas en el plano normal a dicho eje. Si interesa conocer el giro promedio
alrededor de cualquier otro eje, hay que calcular la componente dew
sobre dicho eje.
3.7.1.
Transformación de Componentes de Rotación
Se ha visto que de los componentes de rotación ωij hay sólo tres
independientes y que constituyen las componentes de un vector, por lo
tanto transforman de un sistema coordenado a otro empleando solamente un coseno director. Por lo cual la transformación de coordenadas
toma la forma
w ′ = ΛT w
(3.70)
En apariencias existe una incongruencia pues el tensor de rotación
ω transforma como un tensor de segundo orden
¯ = ΛT ωΛ
ω
(3.71)
Para demostrar que la contradicción es sólo aparente, notemos que
¯ debiera ser w,
¯ observemos
por definición el único autovector real de ω
que es así
¯w
ω
¯ = ΛT ωΛ
ΛT}w = ΛT (ωw) = 0
(3.72)
| {z
1
3.8.
Ecuaciones de Compatibilidad∗
Si se conocen los componentes de desplazamiento ui en un cuerpo
deformado, las seis ecuaciones cinemáticas 3.25, permiten evaluar las
componentes del tensor de deformaciones ε. Sin embargo, el problema inverso no es tan simple: si se conocen las seis componentes del
tensor de deformaciones, deberán integrarse seis ecuaciones en derivadas parciales de las ui para encontrar los desplazamientos. La dificultad
matemática radica en que se tienen seis ecuaciones en derivadas parciales para solamente tres funciones desconocidas, lo que sobredetermina
las tres funciones incógnitas ui .
77
Análisis General de Deformaciones
Físicamente sabemos que dado un campo de deformaciones, los desplazamientos asociados son únicos (a excepción de un movimiento de
cuerpo rígido). De modo que puede anticiparse que deben existir por
lo menos tres ecuaciones adicionales, que liguen los εij entre sí. Esas
ecuaciones a que se hace referencia son las ecuaciones de compatibilidad.
Para deducir las ecuaciones de compatibilidad, supóngase que existe una solución ui a las ecuaciones cinemáticas 3.25 y que esa solución
es continua en sus derivadas terceras. Las derivadas parciales mixtas
de los desplazamientos son iguales cuando se cambia el orden de derivación.
Si se deriva ε12 respecto a X1 y X2 y se expresa el resultado en
términos de desplazamientos, se tiene:
∂ 2 ε12
∂ 3 u1
∂ 3 u2
=
+
∂X1 ∂X2
∂X22 ∂X1 ∂X12 ∂X2
(3.73)
Por otra parte, sumando
∂ 2 ε11 ∂ 2 ε22
y
∂X22
∂X12
y expresando el resultado en términos de desplazamientos, se tiene
∂ 3 u2
∂ 3 u1
∂ 3 u2
∂ 3 u1
+
=
+
∂X22 ∂X1 ∂X12 ∂X2
∂X22 ∂X1 ∂X12 ∂X2
(3.74)
Igualando las ecuaciones 3.73 y 3.74 se deduce que
∂ 2 ε11 ∂ 2 ε22
∂ 2 ε12
+
=
2
∂X22
∂X12
∂X1 ∂X2
Intercambiando índices, pueden obtenerse otras dos ecuaciones similares.
Otras tres ecuaciones pueden obtenerse de la siguiente forma: se
deriva ε12 respecto a X1 y X3 ; ε13 respecto a X2 y X1 y se suman los
resultados:
2
∂ ε12
∂ 2 ε31
2
+
∂X1 ∂X3 ∂X2 ∂X1
=2
∂ 3 u1
∂ 3 u2
∂ 3 u3
+
+
∂X1 ∂X2 ∂X3 ∂X12 ∂X3 ∂X12 ∂X2
(3.75)
78
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Por otra parte, se deriva ε11 respecto a X2 y X3 ; ε23 respecto a Xi
dos veces; y se suman los resultados; se logra así:
2
∂ 2 ε23
∂ ε11
2
+
∂X2 ∂X3
∂X12
=2
∂ 3 u1
∂ 3 u2
∂ 3 u3
+
+
∂X1 ∂X2 ∂X3 ∂X12 ∂X3 ∂X12 ∂X2
(3.76)
Igualando las ecuaciones 3.75 y 3.76 se llega a
∂ 2 ε12
∂ 2 ε31
∂ 2 ε23
∂ 2 ε11
=
+
−
∂X2 ∂X3
∂X1 ∂X3 ∂X2 ∂X1
∂X12
Intercambiando subíndices, pueden lograrse otras dos ecuaciones.
El conjunto de seis ecuaciones al que se ha llegado puede entonces
escribirse de la siguiente forma:
∂ 2 ε12
∂ 2 ε11 ∂ 2 ε22
+
−
2
=0
∂X22
∂X12
∂X1 ∂X2
∂ 2 ε22 ∂ 2 ε33
∂ 2 ε23
=
+
−
2
=0
∂X32
∂X22
∂X2 ∂X3
∂ 2 ε11 ∂ 2 ε33
∂ 2 ε13
=
+
−
2
=0
∂X32
∂X12
∂X1 ∂X3
−s33 =
−s11
−s22
(3.77)
2
−s12
∂ε12 ∂ε31 ∂ε23
∂ ε11
∂
+
+
−
=0
∂X2 ∂X3 ∂X1 ∂X3 ∂X2 ∂X1
∂ε23 ∂ε12 ∂ε31
∂ 2 ε22
∂
=−
+
+
−
=0
∂X1 ∂X3 ∂X2 ∂X1 ∂X3 ∂X2
∂ 2 ε33
∂ε23 ∂ε13 ∂ε12
∂
=−
+
+
−
=0
∂X1 ∂X2 ∂X3 ∂X1 ∂X2 ∂X3
−s23 = −
−s31
Con la definición de variables sij de las ecuaciones 3.77, las mismas
pueden escribirse como
sij = 0
(3.78)
Estas seis ecuaciones 3.77 son las condiciones que deben cumplir las
deformaciones εij para que sean integrables y se denominan ecuaciones
de compatibilidad de Saint Venant. Las componentes sij constituyen
79
Análisis General de Deformaciones
el llamado tensor de incompatibilidad y la ecuación de compatibilidad
hace que cada componente de sij se anule.
Nótese que las condiciones para compatibilidad desarrolladas están
restringidas a pequeñas deformaciones y giros, debido a que se ha usado
la relación cinemática lineal. En el desarrollo anterior no se impuso
ninguna condición sobre las características del material y por lo tanto
las ecuaciones de compatibilidad deben satisfacerse también en la teoría
de plasticidad.
El significado físico de las ecuaciones de compatibilidad puede comprenderse si se imagina al cuerpo dividido en pequeños cubos antes del
proceso de deformación. Después de las deformaciones, cada cubo habrá sufrido su propia deformación y la piezas no podrán ensamblarse
entre si, dejando huecos entre ellos. Pero si las deformaciones de cada
cara se relacionan con los de la cara correspondiente del cubo vecino
mediante las ecuaciones de compatibilidad, entonces las piezas volverán a ensamblarse para formar un cuerpo continuo. Por lo tanto, estas
ecuaciones garantizan que no se producirán huecos ni superposiciones
en el cuerpo deformado.
Resta discutir el número de ecuaciones de compatibilidad que son
independientes. Los valores de sij definidos en las ecuaciones 3.77 cumplen con algunas relaciones independientemente que serán cero si son
compatibles. Se pueden demostrar que tales relaciones son que la divergencia del tensor de incompatibilidad es nula
3
X
∂sij
i=1
∂Xi
=0
(3.79)
Las tres ecuaciones anteriores fueron formuladas por primera vez
por S. Moriguti en 1947. Por lo tanto, se deduce que las seis ecuaciones
de compatibilidad no son independientes entre sí, sino que sólo tres
resultan independientes. De todos modos, el procedimiento usual para
verificar compatibilidad es satisfacer las seis ecuaciones de compatibilidad en el interior del cuerpo.
Es posible demostrar que las ecuaciones de compatibilidad son condición necesaria y suficiente para obtener un campo de desplazamientos único en dominios simplemente conexos. Se dice que un dominio es
simplemente conexo cuando cualquier curva cerrada puede reducirse
en sus dimensiones hasta llegar a un punto (vale decir, es un dominio
que no tiene agujeros interiores). Esa demostración no será realizada
80
Introducción a la Teoría de Elasticidad
aquí.
3.9.
Conclusión
Se ha demostrado que en cada punto de un sólido deformado es
posible descomponer la deformación local de todas las fibras en una
deformación sin rotación más una posterior rotación de cuerpo rígido.
Nótese que en cada punto del sólido hay tres direcciones ortogonales
(fibras) que se deforman longitudinalmente pero que no cambian de
ángulo entre si (las direcciones principales asociadas a las deformaciones principales). Esto permite pensar a la deformación en un punto
como la deformación longitudinal de tres fibras ortogonales más una
rotación de dicha terna. Las componentes wi son las componentes del
vector rotación correspondiente, definido el vector rotación como el eje
alrededor del cual se rota con módulo igual al ángulo que se rota.
Capítulo 4
Relaciones Constitutivas de un
Material
El tipo de material que constituye un sólido interviene, en general, como una transformación que relaciona los tensores de tensiones
y de deformaciones en el entorno de un punto. Hay muchos modelos
propuestos para expresar esas propiedades, de los cuales se estudian en
primer lugar los correspondientes a materiales elásticos e isótropos, que
conducen a ecuaciones sencillas y que por mucho tiempo fueron la base
de la mecánica de los sólidos, convirtiéndola en Teoría de Elasticidad.
En segundo lugar, se presentan modelos visco-elásticos. Finalmente, se
discuten distintos criterios de fluencia y sus características principales.
4.1.
Introducción
En los capítulos anteriores se vio que las ecuaciones de equilibrio y
las cinemáticas resultaban independientes del material que constituye
el cuerpo estudiado. Sin embargo, para poder definir un problema en
forma completa es necesario incluir relaciones que caractericen el comportamiento del material. El objetivo de este capítulo es plantear ecuaciones que sean propias del comportamiento de determinados modelos
de materiales y que representen materiales empleados en ingeniería.
Los materiales sólidos, aun restringiéndonos a aquellos que se emplean frecuentemente en ingeniería, tienen gran variedad de comportamiento. Además, para un material determinado (por ejemplo, un
acero), el comportamiento depende a su vez de varios factores, como
81
82
Introducción a la Teoría de Elasticidad
el nivel tensional, la temperatura y el tiempo durante el cual se mantienen aplicadas las cargas. Para representar el comportamiento de
materiales se emplean modelos o idealizaciones de los mismos, a través
de funciones f1 (σ, T , t) y f2 (ε, T , t), donde T representa la variable
temperatura y t el tiempo.
Existe una base física y experimental que permite incluir, en la
definición de un modelo en mecánica, las características del material a
través de relaciones entre tensiones y deformaciones desde un punto de
vista macroscópico. Tales relaciones pueden tomar la forma siguiente
f1 (σ) = f2 (ε, T, t)
(4.1)
que se denominan ecuaciones constitutivas del material. Estas ecuaciones serán adecuadas en la medida que se aproximen a los resultados
experimentales para el rango de carga, temperatura y tiempo considerados.
Como casos particulares pueden establecerse modelos de materiales
en los cuales la respuesta es independiente de la temperatura y del
tiempo (como son la mayoría de los que vemos en este capítulo). En
ese caso, las ecuaciones se reducen a la forma
f1 (σ) = f2 (ε)
(4.2)
Adicionalmente, las relaciones tensiones-deformaciones pueden ser
de tipo elástico o presentar plasticidad a partir de un cierto nivel tensional. En todo caso debe recordarse que los modelos que se discuten
son aproximaciones, cuya exactitud depende del material y del rango de las variables en el cual se pretende representar la respuesta del
material.
Se dice que un material es isótropo cuando sus propiedades son
las mismas en cualquier dirección que se considere. En caso contrario, el material es anisótropo. Pueden existir planos de simetría en
el material; si existen tres planos de simetría el material se denomina ortótropo. Los modelos discutidos en este capítulo corresponden
a idealizaciones de materiales isótropos, salvo que se indique expresamente lo contrario.
En lo que sigue se comenzarán estudiando los modelos más simples
de materiales, para luego discutir modelos de comportamiento más
complejo en los cuales aparecen límites de inicio de plasticidad
83
Relaciones Constitutivas de un Material
4.2.
Materiales Linealmente Elásticos
4.2.1.
Estado Unidimensional de Tensiones y
Deformaciones
En un material elástico existe una relación biunívoca entre tensiones
y deformaciones, de modo que tanto para carga como para descarga,
puede escribirse la relación
σij = f2 (ε)
(4.3)
εij = f1 (σ)
(4.4)
o bien
En la figura 4.1 se muestra el diagrama entre tensiones y deformaciones que ocurren en la misma dirección. Estos estados se denominan
unidimensionales cuando no hay tensiones o deformaciones en las otras
direcciones.
σ
0
ε
Figura 4.1: Comportamiento elástico no lineal en una dimensión.
Si la función f2 es lineal se podrá escribir una relación del tipo
0
0
σ11 = c ε11 − ε011 + σ11
= cε11 − cε011 + σ11
(4.5)
para estado unidimensional en sentido X1 y se dice que el material
es linealmente elástico. Por mucho tiempo, la mecánica de cuerpos
deformables se basó en la llamada Ley de Hooke, que se expresa como
σ11 = E ε11
(4.6)
84
Introducción a la Teoría de Elasticidad
donde E es el módulo de elasticidad longitudinal del material. La figura 4.2 ejemplifica este tipo de material. No existe ningún material
que reaccione elásticamente ante todo sistema de esfuerzos, pero para
valores pequeños de deformación y tensión el empleo de la ley de Hooke
es una buena aproximación en muchos materiales.
El factor de proporcionalidad difiere según se trate de efectos isótropos o bien de efectos distorsionales. Para efectos distorsionales en un
único plano (un estado de corte uniforme aparece por ejemplo en la
torsión de un tubo de pared delgada) se tiene
(4.7)
σ12 = 2Gε12
donde G es el módulo de elasticidad transversal del material, que se
relaciona con E mediante la expresión:
E
G=
(4.8)
2 (1 + ν)
donde ν es la relación de Poisson del material. Los valores de E y G
o de E y ν deben ser determinados en forma experimental para cada
material.
σ
E
σ
1
0
0
ε0
ε
Figura 4.2: Sólido elástico lineal en una dimensión.
4.2.2.
Estado Tridimensional de Tensiones y
Deformaciones
Cuando el estado tensional es tridimensional, en lugar de relacionarse individualmente las tensiones con las deformaciones asociadas,
Relaciones Constitutivas de un Material
85
será necesario encontrar la relación entre los tensores de tensión y de
deformación en el entorno de un punto, de modo que resultarán ecuaciones constitutivas para material elástico lineal del tipo
σij =
3 X
3
X
Cijkl εkl
(4.9)
k=1 l=1
σ=C:ε
(4.10)
Estas son ecuaciones de origen experimental. donde Cijkl es un tensor
de cuarto orden, llamado tensor de elasticidad, y contiene 81 componentes que son coeficientes de elasticidad del material. Debido a la
simetría de los tensores de tensiones y deformaciones existen sólo seis
componentes independientes de cada uno de ellos, luego Cijkl = Cjikl =
Cjilk = Cijlk por lo que la cantidad de componentes independientes del
tensor de elasticidad no podrá ser mayor de 36. Consideraciones referidas al estado libre de tensiones (σ = 0 en correspondencia con ε = 0)
y a la existencia de una energía de deformación elástica, limitan la
cantidad de componentes independientes a sólo 21.
En el caso de materiales ortótropos el número de componentes independientes se reduce a nueve. Si el material es isótropo, las componentes Cijkl no dependen del sistema coordenado utilizado. Un análisis
de los tensores isótropos de cuarto orden conduce a que no puede haber
más de dos constantes independientes. Expresado en términos de estas
dos constantes (λ y µ), se puede demostrar que el tensor de elasticidad
resulta
(4.11)
Cijkl = δij δkl λ + (δik δjl + δil δjk ) µ
4.2.3.
Material Elástico, Lineal e Isótropo
Se desarrollarán a continuación las ecuaciones constitutivas para
material elástico, isótropo, con relaciones de tipo lineal. Para ello se
distinguen las componentes esféricas y desviadoras de los tensores σ y
ε, como se vio en los capítulos anteriores:
σ = 1σM + s
(4.12)
ε = 1εM + e
(4.13)
Las componentes esféricas σM = p y εM = ∆3 , que representan tensión hidrostática uniforme y dilatación cúbica respectivamente, pueden
86
Introducción a la Teoría de Elasticidad
relacionarse a través del módulo volumétrico, K. Este módulo se define
en resistencia de materiales como
K=
E
3(1 − 2ν)
(4.14)
Se recuerda que en materiales isótropos el rango del módulo de
Poisson es
0 ≤ ν ≤ 0,5
(4.15)
Las relación constitutiva para la componente esférica resulta así
p = K∆ = K (ε11 + ε22 + ε33 )
(4.16)
Las componentes desviadoras sij y eij , que representan tensiones
cortantes y deformaciones angulares, pueden relacionarse a través del
módulo de elasticidad transversal, G
sij = 2Geij
s = 2Ge
(4.17)
(4.18)
Reemplazando las ecuaciones 4.16 y 4.17 en la 4.12 resulta
σij = δij K∆ + 2Geij
σ = K∆1 + 2Ge
(4.19)
(4.20)
o escrito en función de E y ν
ν
E
∆
εij + δij
σij =
1+ν
1 − 2ν
E
ν
∆1
σ=
ε+
1+ν
1 − 2ν
(4.21)
(4.22)
La ecuación anterior relaciona cada una de las componentes del
tensor de tensiones σij con las componentes del tensor de deformaciones
ειj . Se observa que las ecuaciones 4.21 dependen de sólo dos constantes
de elasticidad: E y ν. Para un material como el acero, estas ecuaciones
lineales son adecuadas si las deformaciones son inferiores a 0,001 y si
no hay cambios apreciables en la temperatura.
Relaciones Constitutivas de un Material
87
Particularizando para i = j = 1 se tiene:
E
ν
σ11 =
(ε11 + ε22 + ε33 )
ε11 +
1+ν
1 − 2ν
1−ν
ν
ν
E
ε11 +
ε22 +
ε33
=
1 + ν 1 − 2ν
1 − 2ν
1 − 2ν
Generalizando,
σ11
σ22
σ33
E
=
1+ν
E
=
1+ν
E
=
1+ν
ν
1−ν
ε11 +
(ε22 + ε33 )
1 − 2ν
1 − 2ν
1−ν
ν
ε22 +
(ε11 + ε33 )
1 − 2ν
1 − 2ν
ν
1−ν
ε33 +
(ε11 + ε22 )
1 − 2ν
1 − 2ν
(4.23)
Se concluye que para un sólido isótropo, las componentes normales
de tensión (las de la diagonal principal del tensor) sólo dependen de
las componentes normales de deformación.
De manera similar se pueden obtener los otros valores de σij explícitamente:
E
σ12 =
ε12
1+ν
E
ε13
σ13 =
(4.24)
1+ν
E
σ23 =
ε23
1+ν
Nótese que σ12 sólo depende de ε12 . La conclusión general para
sólidos lineales, elásticos e isótropos, en estados tridimensionales de
tensiones y deformaciones, es que las componentes de la diagonal principal de σij sólo dependen de las componentes de la diagonal principal
de εij ; mientras que las componentes fuera de la diagonal de σij se
relacionan con las correspondientes de εij .
De las ecuaciones 4.21 también se pueden explicitar las deformaciones en función de las tensiones, resultando
1+ν
ν
εij =
3p
(4.25)
σij − δij
E
1+ν
ν
1+ν
σ−
3p1
(4.26)
ε=
E
1+ν
88
Introducción a la Teoría de Elasticidad
En lugar de usar los parámetros E y ν las ecuaciones 4.21 y 4.25
se pueden simplificar empleando los llamados parámetros de Lamé
λ y µ y resultan
(4.27)
(4.28)
σij = 2µεij + δij λ∆
σ = 2µε + λ∆1
1
λ
σij − δij
3p
2µ
2µ (3λ + 2µ)
1
λ
ε=
σ−
3p1
2µ
2µ (3λ + 2µ)
εij =
(4.29)
(4.30)
donde los parámetros de Lamé se definen como:
λ=
2
νE
=K− G
(1 + ν) (1 − 2ν)
3
(4.31)
E
=G
2 (1 + ν)
(4.32)
µ=
4.2.4.
Relaciones entre las direcciones principales
de tensión y de deformación en elasticidad
lineal
En el capítulo de tensiones vimos que las direcciones principales de
tensión cumplen con la condición
(σ − σ1) ν = 0
o bien
σν = σ ν
donde σ es un escalar que anula el problema de valores propios. Para
las deformaciones principales, se tendrá
(ε − ε1) µ = 0
o bien
εµ = ε µ
Supongamos inicialmente que las direcciones ν y µ no son coincidentes. Computaremos σµ, o sea el producto del tensor de tensiones
por una dirección principal de deformaciones, usando las ecuaciones
constitutivas elásticas
E
ν
σµ =
∆1 µ
ε+
1+ν
1 − 2ν
89
Relaciones Constitutivas de un Material
Usando la condición de autovalores de deformación, se puede sustituir εµ = ε µ y 1µ = µ
E
ν
σµ =
∆1 µ
ε+
1+ν
1 − 2ν
Si llamamos
resulta
E
σ=
1+ν
ν
ε+
∆
1 − 2ν
σµ = σ µ
que es la condición de estado principal de tensiones. Por lo tanto, las
direcciones ν y µ son coincidentes. En resumen, en elasticidad lineal,
las direcciones principales de tensión coinciden con las de deformación.
Los valores principales de tensión no resultan proporcionales directamente a los respectivos valores principales de deformación. De
acuerdo a lo visto anteriormente,
E
ν
σI =
εI +
∆
1+ν
1 − 2ν
E
ν
εII +
∆
σII =
1+ν
1 − 2ν
E
ν
σIII =
∆
εIII +
1+ν
1 − 2ν
Esto significa que en el espacio de deformaciones principales, los
tensores de deformaciones no aparecen en puntos correspondientes a
los del espacio de tensiones, aun a pesar de la diferencia de escalas que
existe entre ambos espacios, debido al término asociado a ∆.
4.3.
Deformaciones de Origen Térmico
Si bien supondremos que la influencia de los cambios térmicos sobre las constantes del material son despreciables; sin embargo, debemos
considerar las dilataciones que traen aparejadas, con valores de desplazamientos que pueden ser del orden de los que producen las cargas.
Si un material es térmicamente isótropo, es decir que la temperatura
produce iguales efectos independientemente de la dirección considerada, las deformaciones térmicas producidas por una ley de variación de
90
Introducción a la Teoría de Elasticidad
temperaturas ∆T en el cuerpo, son:
ε011 = ε022 = ε033 = α∆T
(4.33)
ε012 = ε013 = ε023 = 0
donde α es el coeficiente de dilatación térmica que debe ser determinado en forma experimental. Observar que el cambio térmico produce
sólo deformaciones volumétricas (∆0 = 3α∆T ) pero no distorsiones.
Las deformaciones térmicas de las 4.33 deberán sumarse a las debidas a tensiones de la 4.25, de modo que
1+ν
ν
ε=
p 1 + ε0
σ−
E
1+ν
o bien
1+ν
ν
p 1 + α∆T 1
ε=
σ−
E
1+ν
ν
1+ν
=
σ + − p + α∆T 1
E
E
(4.34)
(4.35)
Debe aclararse que hay casos en los que una variación térmica no
produce tensiones y por lo tanto no interesa ser considerada:
(a) Si se estudian las ecuaciones de compatibilidad, se ve que si la
ley de variación de ∆T es lineal en X1 , X2 , X3 no producirá
ningún efecto en las ecuaciones de compatibilidad (que dependen
de derivadas segundas de εij ) y no habrá tensiones inducidas.
Pero si ∆T es no lineal y las deformaciones térmicas no cumplen
las condiciones de compatibilidad, entonces surgirán tensiones
internas y deformaciones adicionales.
(b) Si la variación térmica es tal que se cumplen las condiciones de
compatibilidad y no hay restricciones geométricas externas a las
deformaciones térmicas no habrá tensiones inducidas por efectos
térmicos. Pero si las condiciones de contorno del cuerpo no permiten que se produzcan los desplazamiento asociados al cambio
de temperatura, entonces surgirán tensiones de origen térmico.
Relaciones Constitutivas de un Material
4.4.
4.4.1.
91
Energía Interna de Deformación
Definición
Sea la función ω, que llamaremos densidad de energía de deformación, tal que para un material elástico bajo un estado tensional dado, el
incremento en la misma debido a un incremento de deformación vale:
X
dω =
σij dεij = σ : dε
(4.36)
i,j
La densidad ω se define de modo que sólo depende de εij , por lo
cual su diferencial se calcula en la forma
X ∂ω
∂ω
dεij =
dω =
: dε
(4.37)
∂εij
∂ε
i,j
Comparando la 4.36 con la 4.37, se desprende que
∂ω
(4.38)
∂εij
∂ω
(4.39)
σ=
∂ε
La ecuación anterior nos indica que la función ω es tal que derivándola con respecto a las componentes del tensor de deformaciones
se obtienen las correspondientes componentes del tensor de tensiones;
de manera que ω implica la existencia de una relación constitutiva. En
la Figura 4.3 se muestra una relación constitutiva en una dimensión
y se ve que la energía de deformación está representada por el área
encerrada debajo de la curva.
La densidad de energía interna de deformación es la energía por
unidad de volumen llevado a cabo sobre un elemento durante la deformación, y existe para ciertos procesos reversibles, o sea cuando el
comportamiento del material es elástico, sea lineal o no.
Para un sólido linealmente elástico, la energía interna de deformación almacenada por unidad de volumen está dada por
1
1X
εij σij = σ : ε
(4.40)
ω=
2 i,j
2
σij =
Cada término de la suma en el segundo miembro de la ecuación
4.40 está producido por las fuerzas internas σij actuando sobre las
92
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Figura 4.3: Energía interna de deformación
deformaciones εij . El factor 12 obedece a la linealidad supuesta entre
σij y εij .
Si además de ser lineal, el sólido elástico es isótropo, se tendrá (ver
ecuación 4.21 ):
σij = 2µεij + λδij ∆
(4.41)
Sustituyendo en la 4.40, se llega a
1X
[(2µεij + δij λ∆)εij ]
2 i,j
X
λ
2
=
µεij + δij εij ∆
2
i,j
ω=
(4.42)
Finalmente,
ω=
X
i,j
µε2ij
λ
+ ∆2
2
= µε : ε +
λ
(trε)2
2
(4.43)
que es la expresión de ω como una función cuadrática de εij . La ecuación 4.43 se escribe en forma desarrollada como
λ
ω = µ ε211 + ε222 + ε233 + 2µ ε212 + ε231 + ε223 + ∆2
2
(4.44)
93
Relaciones Constitutivas de un Material
Nótese que si εij = 0 entonces ω = 0. Además, si εij 6= 0, entonces ω > 0. Por lo tanto ω es una función positiva definida de las
deformaciones.
Si en la ecuación 4.43 se reemplazan las deformaciones por desplazamientos, se podrá obtener
µX
ω=
4 i,j
∂ui
∂uj
+
∂Xj ∂Xi
2
+
λ X ∂ui ∂uj
2 i,j ∂Xi ∂Xj
λ
= µ ∇sim u : ∇sim u + (∇ · u)2
2
(4.45)
(4.46)
donde se observa que ω es función cuadrática de derivadas primeras de
desplazamientos.
4.4.2.
Efectos Térmicos
Si hubiesen efectos térmicos, sería necesario tener presente que para
εii = 0 existe una tensión térmica σiio 6= 0, que puede ser evaluada según
la ley de Hooke como:
σiio = −
E
α∆T = − (2µ + 3λ) α∆T
1 − 2ν
(4.47)
donde α es el coeficiente de dilatación térmica del material, ∆T es el
E
= 2µ + 3λ.
cambio de temperatura y se ha usado la relación 1−2ν
o
Estas tensiones σii son iguales para todas las direcciones. En este
caso, ω deberá contener los términos adicionales
X
i
σiio εii = −
E
α∆T (ε11 + ε22 + ε33 )
1 − 2ν
= − (2µ + 3λ) α∆T (ε11 + ε22 + ε33 )
E
1
1 o o 1
p ∆ = K∆o ∆o =
∆0 ∆0
2
2
2 3 (1 − 2ν)
3
3 (2µ + 3λ)
E
=
(α∆T )2 =
(α∆T )2
2 (1 − 2ν)
2
(4.48)
(4.49)
94
Introducción a la Teoría de Elasticidad
con lo que ω resulta
ω=
X
i,j
λ
µε2ij + ∆∆ − (2µ + 3λ) α∆T ∆
2
3 (2µ + 3λ)
(α∆T )2
2
X
K − 23 G
2
∆∆ − K 3α∆T ∆
ω=G
εij +
2
i,j
+
+
K
(3α∆T )2
2
(4.50)
(4.51)
(4.52)
La Figura 4.4 muestra la situación cuando hay efectos térmicos, en
una dimensión.
Figura 4.4: Energía interna cuando hay efectos térmicos
4.4.3.
Energía de Distorsión
La energía de deformación para material elástico lineal expresada
en la ecuación 4.40 puede ser reescrita teniendo en cuenta la descomposición de los tensores de tensiones y deformaciones en sus componentes
esféricas y desviadoras. En efecto, siendo
σij = sij + δij p
∆
εij = eij + δij
3
(4.53)
(4.54)
Relaciones Constitutivas de un Material
95
la densidad de energía interna de deformación, w, resulta:
1X
1
ω=
(sij + δij p) eij + δij ∆
2 i,j
3
1X
1
1
=
sij eij + δij sij ∆ + δij peij + δij δij p∆
2 i,j
3
3
Pero
P
i,j δij sij = 1 : s = trs = 0 y
P
i,j
(4.55)
δij eij = tre = 0, luego
"
!
1
1 X
sij eij + p∆ = (s : e + p∆)
ω=
2 i,j
2
P
p2
s:s
p2
i,j sij sij
=
+
=
+
4G
2K
4G
2K
(4.56)
(4.57)
La primera componente es la energía de distorsión, mientras que
la segunda componente es la energía debida al cambio de volumen. Se
puede demostrar que la energía de distorsión se puede escribir en la
forma
ωd =
1 (σI − σII )2 + (σII − σIII )2 + (σIII − σI )2
12G
que se emplea en varios criterios de falla de materiales, como el criterio
de fluencia de von Mises .
4.5.
Materiales Visco-Elásticos∗
Muchos materiales tienen comportamiento que depende fuertemente del tiempo, de manera que parte de sus propiedades se asemejan a
las de un fluido viscoso. En estos casos, el material combina respuestas de sólido elástico y también de fluido viscoso. Ejemplos de esos
materiales son plásticos, polímeros amorfos, alimentos, tejidos del pulmón humano, capas de hielo polar, goma natural no vulcanizada, fibras
textiles, vidrio a temperatura de transición y otros.
Dentro de los modelos visco-elásticos existen algunos que son muy
sencillos y de gran importancia conceptual, que se discutirán a continuación.
96
4.5.1.
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Modelo de Kelvin
En este modelo se supone que un esfuerzo aplicado al material hace
que éste responda con sus propiedades elásticas y viscosas al mismo
tiempo. Una parte del esfuerzo produce una deformación elástica y
otra parte produce una deformación viscosa. La magnitud de cada
componente de deformación depende de los módulos elástico y viscoso
del sólido.
Para el caso uniaxial, la siguiente figura muestra el modelo mecánico
que representa al material de Kelvin formado por un pistón viscoso (de
viscosidad η) y un resorte elástico (de elasticidad C) que trabajan en
paralelo. Por condición de equilibrio, la tensión total σ se transmite en
parte al resorte y en parte al amortiguador:
σ = σe + σv
donde la tensión en el elemento elástico está dada por
σ e = Cε
y la tensión en el elemento viscoso se calcula como
σ v = η ε˙
donde ε˙ = dε/dt. Reemplazando en la condición de equilibrio se tiene
σ = Cε + η ε˙
que es la relación entre tensión, deformación y tiempo para estado
uniaxial.
Para establecer el comportamiento tridimensional de un material
visco-elástico se procede igual que en elasticidad, separando las componentes esféricas y desviadoras. Específicamente, hay evidencia que comprueba que prácticamente todos los materiales responden elásticamente
a cargas hidrostáticas moderadas, mientras que las características vis˙ Usando la
cosas se presentan en las componentes desviadoras s = 2η e.
˙
definición de componente desviadora de deformación, e˙ = ε˙ − 13 1trε,
resulta:
1
E
ν
˙
trε1 + 2η ε˙ − trε1
σ=
ε+
1+ν
1 − 2ν
3
Relaciones Constitutivas de un Material
97
Figura 4.5: Modelo de Kelvin en una dimensión.
Esta es la ecuación constitutiva en tres dimensiones para un material
que se comporta como modelo de Kelvin y provee la tensión en función
de la deformación y de la tasa de deformación. La parte esférica solo
reacciona elásticamente, pero la desviadora tiene las dos componentes.
Al inicio, la parte viscosa no deja que la elástica desarrolle toda la
deformación que necesita y la tensión elástica no llega a su máximo.
Con el tiempo, la parte viscosa cede y queda actuando la elástica, que
frena la deformación de acuerdo a sus valores de módulos elásticos.
4.5.2.
Modelo de Maxwell
En el modelo de Maxwell, la parte elástica y la viscosa actúan en
serie. Para el caso 3D, la relación de equilibrio es
σ = σe = σv
La deformación total es la suma de ambas componentes:
ε = εe + εv
Diferenciando con respecto al tiempo
ε˙ = ε˙ e + ε˙ v
98
Introducción a la Teoría de Elasticidad
donde la tasa elástica es
1+ν
ε˙ =
E
e
ν
σ˙ −
trσ˙ e 1
1+ν
e
La tasa viscosa se despeja de s = 2η e˙
1
1
v
v
v
e˙ =
σ − trσ 1
2η
3
Figura 4.6: Modelo de Maxwell en una dimensión.
Sumando ambas contribuciones se llega a
1+ν
1
ν
1
˙
ε˙ =
trσ1
+
σ˙ −
σ − σ1
E
1+ν
2η
3
Nótese que en esta relación no aparece ε sino su tasa y depende del
tensor de tensiones y de su tasa. Si se aplica al material un esfuerzo
determinado, la figura muestra que éste responde primeramente con
sus propiedades elásticas para el tiempo inicial, pero posteriormente,
si se mantiene el esfuerzo, responde con sus propiedades viscosas.
Otros modelos combinan elementos en serie con elementos en paralelo, de modo de representar respuestas más complejas, como el modelo
de Burgers.
99
Relaciones Constitutivas de un Material
4.6.
4.6.1.
Materiales Elasto-Plásticos
Estado Uniaxial de Tensiones y Deformaciones, Tensión de fluencia
Una característica fundamental de la plasticidad es la presencia de
deformaciones irrecuperables que quedan en el sólido aún después de
ser retiradas las cargas. El comportamiento plástico de los sólidos se
caracteriza por un relación entre tensiones y deformaciones que no es
única (al contrario de lo que sucede en materiales elásticos, sean estos
lineales o no lineales). Si se considera solamente el comportamiento
uniaxial de un material, una relación σ − ε no lineal en el proceso de
carga no determina si el comportamiento es de tipo plástico o no lineal
elástico. La descarga permitirá inmediatamente descubrir la diferencia, dado que el material elástico recorrerá el mismo camino de carga,
mientras que el plástico seguirá un camino diferente, que depende de
la historia de carga. Esta respuesta se ha ejemplificado en la figura
4.7. Allí se ve que el material se comporta en forma elástica hasta el
estado indicado por A y a partir de allí ya hay deformaciones plásticas. La tensión correspondiente a A, indicada por σy , es la tensión de
fluencia.
σ
Campo
Plástico
B
σy
A
Campo
Elástico
0
p
ε
εe
ε
Figura 4.7: Sólido elasto-plástico en una dimensión.
Muchos materiales tienen un comportamiento que para pequeñas
deformaciones plásticas se aproxima a un plástico ideal. En plasticidad
ideal existe una tensión de fluencia σy para la que el estado de defor-
100
Introducción a la Teoría de Elasticidad
maciones se halla indeterminado. Para todas las tensiones inferiores a
la de fluencia se supone una relación elástica σ − ε.
Para el estado indicado por B en la figura 4.8, existirá una parte
de las deformaciones que permanece elástica εe11 y otra parte que será
plástica εp11 de modo que la deformación total ε11 será
ε11 = εe11 + εp11
σ
σy
A
B
E
1
0
(4.58)
E
1
εp
εe
ε
Figura 4.8: Sólido Elasto-plástico Ideal en una dimensión.
Para la parte elástica serán válidas las expresiones de la Sección
4.2.1, de modo que
σ11
εe11 =
E
Pero las relaciones constitutivas de la parte plástica no pueden ser
escritas directamente en términos de tensiones y deformaciones sino
que es necesario introducir incrementos diferenciales de deformación
ε11 y de tensión σ11 . El estado tensional elasto-plástico requiere la
integración de las ecuaciones diferenciales resultantes.
4.6.2.
Estado Tridimensional de Tensiones y Deformaciones, Función de fluencia
En lugar de estudiar en detalle el proceso progresivo de plastificación de un cuerpo sólido, en este texto introductorio nos limitaremos a
Relaciones Constitutivas de un Material
101
estudiar hasta qué estados tensionales son válidas las relaciones elásticas y cuál es el límite en el que se comienzan a plastificar las primeras
fibras del sólido.
Cuando se estudia un estado tensional tridimensional, el concepto
de tensión de fluencia ya no es suficiente y es necesario definir una
función de fluencia que determine que combinación de las componentes
de tensión produce la fluencia del material. Una función de ese tipo
puede escribirse de la forma
f (σ) − cy = 0 o
f (σ, cy ) = 0
(4.59)
donde cy es una constante (o más de una) que depende del material.
En general ésta u otras constantes se determinan en base a ensayos
sencillos donde todo el espécimen está bajo el mismo estado tensional
y donde la terna de direcciones principales no cambia durante todo el
ensayo. Los más utilizados son el ensayo de tracción simple en metales
o el de compresión simple y triaxial en materiales que resisten principalmente compresión. En materiales isótropos, en lugar de escribir
la ecuación 4.59 en función de las seis componentes cartesianas del
tensor σij resulta más conveniente hacerlo en función de las tensiones
principales u otros invariantes, de modo que
f (σI , σII , σIII , cy ) = f (I1 , I2 , I3 , cy ) = 0
(4.60)
Existen varios criterios para establecer un límite al comportamiento
elástico del material, y cualquiera de estos criterios graficado en el espacio de tensiones principales da lugar a una superficie de fluencia. Los
puntos interiores a la superficie definen los posibles estados elásticos
que puede alcanzar el material. Los puntos ubicados sobre la superficie representan el límite del comportamiento puramente elástico y el
comienzo de un comportamiento elasto-plástico. Estados tensionales
exteriores a la superficie no son posibles en plasticidad ideal.
En general, esos criterios dependen del material de que se trate.
En algunos de ellos, por ejemplo el acero, la condición de plasticidad
no depende de las componentes hidrostáticas o esféricas de tensión y
deformación, sino fundamentalmente de las componentes desviadoras;
en materiales como suelos, por el contrario, la condición de plasticidad
sí depende de la presión hidrostática (que es el nivel de confinamiento
del suelo). Veremos algunos criterios que son de utilidad en la representación de la plasticidad de algunos materiales.
102
Introducción a la Teoría de Elasticidad
4.6.3.
Criterio de Fluencia de Rankine
El criterio de Rankine dice que en un estado tridimensional de
tensiones se llega a fluencia cuando una tensión principal de tracción
se hace igual a la tensión de fluencia uniaxial.
Las expresiones que resumen este criterio pueden escribirse como
σI − σy = 0
σII − σy = 0
σIII − σy = 0
(4.61)
Cada una de las tres ecuaciones 4.61 define un plano en el espacio de
tensiones principales, paralelo a un plano coordenado delimitando un
prisma de tres caras que contiene los posibles estados elásticos del
material. Este criterio se adapta a representar metales frágiles que
fallan por tracción, como fundición y es usado aún en la actualidad a
pesar de haber sido formulado a mediados del siglo XIX. Este criterio
puede ser adaptado para materiales que fallan también por compresión
independientemente de los otros valores de tensiones principales. En tal
caso y asumiendo que las tensiones de fluencia en compresión y tracción
son las mismas, la superficie de fluencia queda descripta por un cubo
centrado en el origen como se muestra en la figura 4.9.
σΙΙΙ
σΙΙ
σy
σy
0
σy
σy
σΙΙ
0
σΙ
Figura 4.9: Superficie de Fluencia de Rankine.
σy σΙ
Relaciones Constitutivas de un Material
4.6.4.
103
Criterio de Fluencia de Tresca
El Criterio de Tresca dice que una partícula de un sólido en estado
tridimensional de tensiones se plastifica cuando el corte máximo alcanza la máxima tensión de corte a que se llega en un estado uniaxial que
alcanza fluencia.
Como se vio en el análisis general de tensiones al considerar círculos
m´
ax
de Mohr, en el entorno de un punto la máxima tensión cortante σνs
puede expresarse en función de las tensiones principales como
1
m´
ax
= ± (σI − σIII )
σνs
2
1
m´
ax
σνs
= ± (σII − σIII )
2
(4.62)
1
m´
ax
= ± (σI − σII )
σνs
2
En un estado uniaxial se tiene
σII = σIII = 0
1
m´
ax
σνs
= ± σI
(4.63)
2
Cuando el estado uniaxial alcanza fluencia entonces se verifica que
σI = σy
de modo que
1
m´
ax
σνs
= ± σy
2
Igualando las ecuaciones 4.64 y 4.62 se tendrá
(4.64)
σI − σIII = ±σy
σII − σIII = ±σy
σI − σII = ±σy
(4.65)
104
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Cada una de las seis ecuaciones 4.65 define un plano en el espacio de
tensiones principales, que limitan una superficie cilíndrica de sección
hexagonal mostrada en la figura 4.10.a cuyo eje es el eje hidrostático.
La intersección del cilindro con el plano desviador se muestra en la
figura 4.10.b. Nótese que un estado hidrostático, dado por
σI = σII = σIII
(4.66)
nunca alcanzará fluencia según este criterio. Lo mismo es válido para
el criterio de von Mises que se verá a continuación. Ambos criterios se
emplean en la actualidad en modelos de metales dúctiles, en particular
acero.
Un problema en el cual una de las tensiones principales es cero,
por ejemplo σIII = 0, se denomina problema de tensión plana. En este
caso es posible graficar el criterio de Tresca en el plano σI σII y resulta
un hexágono, como se muestra en la figura 4.10.c. Este hexágono es
sencillamente la intersección de la superficie tridimensional de Tresca
(prisma hexagonal) con el correspondiente plano coordenado.
Las hipótesis de este criterio fueron inicialmente propuestos por
Coulomb en 1773 y Tresca lo desarrolló en 1868.
4.6.5.
Criterio de Fluencia de von Mises
En el criterio de von Mises se considera que un estado tridimensional alcanza fluencia cuando se llega al valor de la energía de distorsión
igual al de la energía de distorsión en un estado uniaxial de fluencia.
Como se verá en el Capítulo 6, la energía de distorsión resulta
1
1 wd = s : e =
(σI − σII )2 + (σI − σIII )2 + (σII − σIII )2
2
12G
−J2
=
(4.67)
2G
Para un estado uniaxial,
σII = σIII = 0
y la ecuación 4.67 se reduce a
wd =
σI2
6G
105
Relaciones Constitutivas de un Material
σΙΙΙ
f4
f5
Eje Hidrostático
σ 1 = σ 2 = σ3
f3
von Mises
σΙΙ
f6
Intersección con
Plano desviador
σΙ
f1
f2
(a)
σΙΙΙ
von Mises
f5
σy
√3/2
f2
σy
f2
f3
−σy
f3
f1
(b)
R=
f4
f6
σΙ
σΙΙ
Intersección con
Plano desviador
f6
f4
σΙΙ
f1
f5
σy
σΙ
−σy
(c)
Figura 4.10: Superficies de Fluencia de Tresca y von Mises (a, b) en
tres dimensiones; (c) en dos dimensiones.
Cuando ese estado uniaxial alcanza fluencia, se tiene
σI = σy
σy2
6G
Igualando las ecuaciones 4.67 y 4.68 se llega a
wd =
(σI − σII )2 + (σI − σIII )2 + (σII − σIII )2 = 2σy2 = −6J2
(4.68)
(4.69)
que determina un cilindro de sección circular en el espacio de tensiones
principales. Como se muestra en la figura 4.10.a, el criterio de von
106
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Mises determina una superficie en la que queda inscripta la superficie
de Tresca.
Observar en la ecuación 4.69 que es suficiente evaluar J2 para determinar si el estado tensional es elástico. Estados tensionales en los
que
(σI − σII )2 + (σI − σIII )2 + (σII − σIII )2 = −6J2 < 2σy2
son elásticos de acuerdo con el criterio de von Mises.
En un estado tensional plano, en el que σIII = 0, el criterio de
fluencia de von Mises delimita una elipse en el plano σI σII , como
se muestra en la figura 4.10.c. El criterio de von Mises no permite
especificar cuál es el plano de falla en un caso concreto.
4.6.6.
Criterio de Fluencia de Mohr-Coulomb
En el criterio de Mohr-Coulomb se considera que en un estado tridimensional de tensiones se llega a fluencia cuando la tensión cortante
alcanza el valor definido por la ecuación
σνs = c − σνν tg ϕ
(4.70)
La ecuación 4.70, escrita por Coulomb en 1775, depende de dos
parámetros de fluencia: la cohesión o resistencia intrínseca al corte, c;
y el ángulo de fricción interna, ϕ.
Con referencia a la figura 4.11, las componentes cortante y normal
de tensión resultan
1
σνs = (σI − σIII ) cos ϕ
2
1
1
(4.71)
(σI + σIII ) + (σI − σIII ) sen ϕ
2
2
Notar que se ha graficado la parte negativa del eje σνν hacia la
derecha como es habitual en mecánica de suelos.
Reemplazando las 4.71 en la 4.70 se obtiene la condición
σνν =
1
1
(σI + σIII ) sen ϕ + (σI − σIII ) = 0
2
2
Esta ecuación puede escribirse alternativamente como
−c cos ϕ +
σIII =
1 + sen ϕ
2 cos ϕ
σI −
c
1 − sen ϕ
1 − sen ϕ
(4.72)
(4.73)
107
Relaciones Constitutivas de un Material
σνs
φ
tan φ
σ
ν
ν
σ ν s=c
c
c cot φ
σΙ
σΙΙΙ
−σνν
Figura 4.11: Criterio de Mohr-Coulomb en tres dimensiones.
o en términos de la máxima tensión de corte en el punto
c cos ϕ − σI sen ϕ
σI − σIII
=
1 − sen ϕ
2
Para las otras posibilidades de tensiones principales máximas y mínimas, se llega a
(c cos ϕ − σI sen ϕ) 1
+ (σI − σIII ) = 0
σIII < σII < σI
1 − sen ϕ
2
(c cos ϕ − σIII sen ϕ) 1
+ (σIII − σI ) = 0
=−
σI < σII < σIII
1 − sen ϕ
2
(c cos ϕ − σII sen ϕ) 1
+ (σII − σI ) = 0
=−
σI < σIII < σII
1 − sen ϕ
2
(c cos ϕ − σI sen ϕ) 1
=−
σII < σIII < σI
+ (σI − σII ) = 0
1 − sen ϕ
2
(c cos ϕ − σII sen ϕ) 1
+ (σII − σIII ) = 0
=−
σIII < σI < σII
1 − sen ϕ
2
(c cos ϕ − σIII senϕ) 1
=−
σII < σI < σIII
+ (σIII − σII ) = 0
1 − senϕ
2
(4.74)
f1 = −
f2
f3
f4
f5
f6
Un estado tridimensional es elástico de acuerdo con el criterio de
Mohr-Coulomb si por ejemplo (de la primera de las ecuaciones)
1
(c cos ϕ − σI sen ϕ)
(σI − σIII ) <
2
1 − sen ϕ
108
Introducción a la Teoría de Elasticidad
y se verifican desigualdades similares para el resto de las ecuaciones
4.74, es decir que todas las fi < 0.
En las ecuaciones 4.74 se observa que la condición de plasticidad
está determinada por dos parámetros (c y ϕ) en lugar de emplearse
uno como en los criterios anteriores (que sólo dependían de σy ). El
criterio de Mohr-Coulomb conduce a un cono de sección hexagonal (no
regular, sino deformado), donde cada cara del prisma responde a cada
una de la fi y en el que el vértice se encuentra sobre el eje hidrostático.
Reemplazando las 4.66 en las 4.74 se obtienen las coordenadas del
vértice como
(4.75)
σI = σII = σIII = −c cot ϕ
Este criterio se emplea en materiales que presentan un distinto comportamiento en tracción y compresión. Bajo tracciones, en hormigones
y suelos se alcanza un estado hidrostático que produce la falla del material.
Nótese que si en las 4.74 hacemos
1
c = σy
(4.76)
2
se obtienen las ecuaciones 4.65. De modo que el criterio de Tresca es
un caso particular del criterio de Mohr-Coulomb.
ϕ=0
f5
f4
−σΙΙΙ
Eje Hidrostático
σ 1 = σ2 = σ3
f3
f6
Intersección con
Plano desviador
−σΙ
f2
f1
−σΙΙ
√ 3 c cot φ
Figura 4.12: Superficies de fluencia de Mohr-Coulomb
4.6.6.1.
Criterio de Mohr-Coulomb en Hormigón
Los parámetros c y ϕ del material deben ser determinados a través
de ensayos. Si el material es un suelo, estos parámetros surgen direc-
Relaciones Constitutivas de un Material
109
tamente de la envolvente de la resistencia al corte que se obtiene con
ensayos triaxiales. Para materiales como el hormigón, los parámetros
c y ϕ se obtienen en función de ensayos que miden la resistencia a la
compresión simple (σc ) y la resistencia a la tracción (σt ) a través de
las siguientes expresiones (ver Figuras 4.13.a y 4.13.b). Aplicando 4.73
a ambos casos se tiene (con σc el valor absoluto de la resistencia a la
compresión)
1 + sin ϕ
2 cos ϕ
σt −
c
1 − sin ϕ
1 − sin ϕ
2 cos ϕ
−σc = −
c
1 − sin ϕ
restando ambas expresiones desaparece la cohesión y despejando sin ϕ
σc − σt
sin ϕ =
σc + σt
0=
Una vez determinado ϕ la cohesión resulta:
c = σc
1 − sin ϕ
2 cos ϕ
En la Figura 4.13.b se ilustra la intersección de la superficie de falla con el plano σIII = 0, en la que se pone en evidencia que, para el
caso del hormigón, la transición lineal entre σc y σt es muy empinada,
y que basta que σI (o que σII ) sea de tracción para que se reduzca
muy marcadamente la resistencia a la compresión en la dirección σII
(o viceversa para el caso que σII sea de tracción). También se puede
apreciar que los materiales cuyas resistencias a tracción y compresión
uniaxial son iguales (metales dúctiles, por ejemplo), el ángulo de fricción ϕ resulta igual a cero. Según se puede deducir del círculo de Mohr
de la Figura 4.13.a, el plano de falla para el estado de compresión simple está representado por el punto C. Dicho punto corresponde a un
plano de falla que forma con el eje de máxima compresión principal un
ángulo igual a (45◦ − ϕ/2).
Una característica general de interés práctico de los materiales en
los que es aplicable el criterio de Mohr-Coulomb, es que la resistencia
a la compresión en la dirección principal de máxima tensión de compresión puede resultar mucho mayor que la resistencia a la compresión
simple.
110
Introducción a la Teoría de Elasticidad
(a)
(b)
Figura 4.13: Superficie de fluencia de Mohr-Coulomb para hormigones.
(a) Envolvente de corte, (b) Intersección con el plano σIII = 0
A manera de ejemplo, para un hormigón sometido a tensiones de
confinamiento (de compresión) σIII = σII = p igual a solo al 5 % de σI ,
la resistencia a compresión según σI resulta aproximadamente 1,5 veces
la resistencia a compresión simple. Esta característica es la que justifica
que la resistencia al aplastamiento bajo cargas exteriores limitadas a
una fracción de la superficie plana de una masa de hormigón (como
en apoyos de máquinas o insertos metálicos) sea considerablemente
superior a la resistencia a la compresión confinada, a diferencia de lo
que ocurre en materiales dúctiles (ϕ = 0), en los cuales esos mismos
valores de tensiones de confinamiento solo producirían un incremento
de la tensión de fluencia en el orden del 5 % de la tensión de fluencia
uniaxial, en contraste con el 50 % arriba indicado para el hormigón.
111
Relaciones Constitutivas de un Material
4.6.7.
Criterio de Fluencia de Drucker-Prager
El criterio de Drucker-Prager es un generalización del criterio de
von-Mises, en el que se considera un estado hidrostático para el que el
material falla en tracción. La ecuación de la superficie de fluencia en
este criterio está dada por
6c
2
cos ϕ
sen ϕ
−√
+√
(σI + σII + σIII )
3
−
sen
ϕ
3
−
sen ϕ
3
3
1/2
1
2
2
2
+
=0
(σI − σII ) + (σII − σIII ) + (σI − σIII )
6
(4.77)
que define un cono de sección circular. En la figura 4.14 se muestra la
intersección de dicha superficie con el plano desviador y con el plano
σIII = 0.
Intersección con
Plano desviador
−σΙΙΙ
+σΙΙ
Drucker
Prager
f5
f5
f3
f6
−σΙ
f6
f4
f1
f2
−σΙΙ
f4
+σΙ
f3
f1
f2
Drucker
Prager
Figura 4.14: Superficies de fluencia de Mohr-Coulomb y DruckerPrager (a) en tres dimensiones, (b) en dos dimensiones.
El criterio de Drucker-Prager puede escribirse en forma más sencilla
en función de los invariantes I1 y J2 , resultado
p
α I1 + −J2 = κ
(4.78)
112
Introducción a la Teoría de Elasticidad
donde
2
sen ϕ
α= √
3 3 − sen ϕ
(4.79)
6c
cos ϕ
κ= √
3 3 − sen ϕ
Por otro lado si en la ecuación 4.77 se reemplazan las 4.76 se obtienen las 4.69 del criterio de von Mises. Este criterio fue formulado en
1952.
4.6.8.
Teorías de Plasticidad
Una vez que el material ha alcanzado la superficie de fluencia en
alguna partícula del cuerpo, las ecuaciones de la elasticidad ya no serán válidas en todo el cuerpo y se requiere integrar las correspondientes
ecuaciones diferenciales para poder considerar la existencia de deformaciones plásticas. Su tratamiento escapa al alcance de este texto introductorio y el lector interesado deberá consultar textos más avanzados
de mecánica de los sólidos o algún tratado sobre teoría de Plasticidad.
4.7.
Ejercicios
Ejercicio 4.1. En un punto de una estructura, el tensor lineal de
deformaciones se ha medido en laboratorio y resultan ε11 = 0,001;
ε22 = 0,002; ε33 = 0,006; ε12 = 0,003; ε13 = 0,004; ε32 = 0,005.
Evaluar las componentes del tensor de tensiones teniendo en cuenta
que E = 200GP a y ν = 0,3.
Ejercicio 4.2. En un punto de una estructura, el tensor de tensiones se ha computado como


100 70 90
240 130  M P a
σ=
250
siendo E = 200GP a y ν = 0,3. Demuestre numéricamente que las
direcciones principales de tensión coinciden con las de deformación.
Ejercicio 4.3. Calcule los invariantes del tensor de deformaciones
en función de los invariantes del tensor de tensiones.
Relaciones Constitutivas de un Material
113
Solución: Los invariantes de un tensor se pueden calcular en función de los invariantes del otro tensor usando las relaciones elásticas
lineales. Operando, resultan:
ν 2
1 − 2ν σ
I1
I2ε = [3 − 4 (1 + ν)]
(I1σ )2
E
E
3 2
ν
ν
1
+
ν
ε
σ
σ 3
σ σ
I3 =
I3 +
(I1 ) −
I I
E
1+ν 1 2
(1 + ν)3
I1ε =
Ejercicio 4.4. Estado plano de tensiones. A partir del tensor de
tensiones que se indica, teniendo en cuenta que se trata de un material caracterizado por las constantes elásticas E (módulo de Young)
y ν (relación de Poisson) determinar las componentes del tensor de
deformaciones. Establecer una expresión que relacione a ambos para
i, j = 1, 2


σ11 σ12 0
σij =  σ21 σ22 0  ; σi3 = 0
0
0
0
Ejercicio 4.5. Estado plano de deformaciones. A partir del tensor
de deformaciones que se indica, teniendo en cuenta que se trata de un
material caracterizado por las constantes elástica E (módulo de Young)
y ν (relación de Poisson), determinar las componentes del tensor de
tensiones. Establecer una expresión que relacione a ambos para i, j =
1, 2


ε11 ε12 0
εij =  ε21 ε22 0  ; εi3 = 0
0
0
0
Ejercicio 4.6. En un estado plano de tensiones se han encontrado los valores de σ11 = 20M P a; σ22 = 25M P a; ε11 = 214 × 10−6 ;
ε22 = 300 × 10−6 . Calcule cuánto valen los módulos de elasticidad y de
Poisson.
Ejercicio 4.7. Se tiene un cilindro confinado lateralmente como
se indica en la figura 4.15 y bajo la acción de una carga p1 = 70kP a
actuando en la dirección X1 . Se pide determinar el estado de esfuerzos
y deformaciones en el interior.
Ejercicio 4.8. El cubo de acero de la figura 4.16 tiene 12,7mm de
lado y está sometido a una presión uniforme p1 = 600M P a en dos de
sus caras. Las otras cuatro caras pueden desplazarse hasta 0,381mm
114
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Figura 4.15: Cilindro confinado lateralmente del Ejercicio 4.7
y si el cubo alcanza ese desplazamiento estará confinado a partir de
esa carga. (a) Encuentre la presión para la que el cubo se desplaza
0,381mm. (b) Encuentre la presión que el cubo ejercerá finalmente
sobre el confinamiento.
Solución: Este problema es de tipo no-holónomo, dado que las
condiciones de contorno cambian durante el proceso de deformación.
(a) Mientras el cubo no toca el confinamiento, el estado está representado por




σ11 0 0
ε11 0
0
0 0  ; εij =  0
ε22 0 
σij =  0
0
0
ε33
0
0 0
donde σ11 = −p, ε22 = ε33 = 0,0006. Las ecuaciones constitutivas
elásticas son
E
[(1 − ν) ε11 + 2 × 0,0006ν]
σ11 =
(1 + ν) (1 − 2ν)
E
0=
[0,0006 + νε11 ]
(1 + ν) (1 − 2ν)
De la segunda ecuación, ε11 = 0,0006/ν. De la primera ecuación, σ11 =
420M P a.
(b) A partir del momento en que el material toca el confinamiento,
los tensores pasan a tener la forma




0
∆σ11 0
∆ε11 0 0
σ22 0  ; εij =  0
0 0 
σij =  0
0
0 0
0
0
σ22
115
Relaciones Constitutivas de un Material
donde ∆σ11 = σ11 − (−420M P a); ∆ε11 = ε11 − 0,002. Para la carga final de p1 = 600M P a se tiene ∆σ11 = 180M P a. Las ecuaciones
constitutivas resultan
∆σ11 = 180M P a =
E (1 − ν)
∆ε11
(1 + ν) (1 − 2ν)
∆ε11 = −0,000637
Eν
σ22 =
∆ε11
(1 + ν) (1 − 2ν)
de donde
de donde
σ22 = −77M P a
Cuando la carga alcanza el valor máximo de p1 = 600M P a, los tensores
resultan




−600 0
0
−26,37 0 0
 M P a ; εij =  0
−77 0
6 0  10−4
σij =  0
0
0
−77
0
0 6
Figura 4.16: Cubo confinado sometido a presión, Ejercicio 4.8
Ejercicio 4.9. Dado el cuerpo libre de restricciones de desplazamiento en un espacio tridimensional, como se indica en la figura 4.17,
sometido al campo de salto térmico que también se indica, determinar: (a) si para todo punto del mismo se satisfacen las ecuaciones de
compatibilidad. (b) para un estado de coacción interno tal que haga,
para todo punto del cuerpo, εij ≡ 0 (idénticamente nulo), las fuerzas
másicas y de contorno que equilibren a las tensiones que dicho estado
provoca.
Ejercicio 4.10. Un cilindro de material visco-elástico de propiedades E = 50KP a, η = 1000KP a.s, ν = 0,12, se encuentra confinado
lateralmente y cargado axialmente. El material se comporta como un
modelo de Kelvin. Para una presión p = 1KP a, calcule la deformación
116
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Figura 4.17: Cuerpo sometido a un campo térmico, Ejercicio 4.9.
axial a tiempo inicial, a t = 30s y t = 200s. Calcule las tensiones sobre
las paredes del confinamiento a los mismos tiempos.
Solución: Suponemos que la dirección axial es x1 , con lo que ε12 =
ε13 = ε23 = 0 y debido al confinamiento, ε22 = ε33 = 0. Se supone
que los materiales responden elásticamente ante cargas hidrostáticas
moderadas, de modo que σmm = 3Kεmm , que en este caso resulta en
σ11 + 2σ22 =
E
ε11
1−ν
La deformación elástica instantánea es
ε11 =
(1 + ν) (1 − 2ν) p
(1 − ν)
E
Por condición de equilibrio, σ11 = −p. Las ecuaciones constitutivas
de Kelvin se reducen a
(1 − ν) E
ε11 +
(1 + ν) (1 − 2ν)
νE
ε11 −
=
(1 + ν) (1 − 2ν)
−p =
σ22
4
η ε˙11
3
2
η ε˙11
3
La ecuación diferencial de σ11 es de la forma
dε11
+ Bε11 + G = 0
dt
donde
B=
3E
1
(1 − ν)
= 0,0388
4η (1 + ν) (1 − 2ν)
s
G=
3p
1
= 75 × 10−5
4η
s
Relaciones Constitutivas de un Material
117
Para integrar la ecuación se emplea separación de variables
ˆ
ˆ
dε11
−
= dt
Bε11 + G
Integrando, resulta
− ln(Bε11 + G) = B (t + C)
donde C es la constante de integración. Exponenciando ambos miembros de la ecuación se tiene
Bε11 + G = e−Bt e−BC
Para calcular C hay que fijar condiciones iniciales. Para t = 0, ε011 = 0.
Sustituyendo,
1
C = − ln(G) = 185,60s
B
La deformación axial resulta
ε11 (t) =
1 −Bt −BC
− G = 0,0194(e−0,0387t − 1)
e e
B
La deformación crece según una función exponencial. Para t = 30s,
ε11 = −0,0133; para t = 200s, ε11 = −0,0193. Quiere decir que para
un tiempo de 200s ya se alcanzó la deformación elástica que tendría el
material.
Ejercicio 4.11. Para el cilindro de material visco-elástico del problema anterior, encuentre las deformaciones suponiendo que no existe
confinamiento lateral.
Ejercicio 4.12. El cubo de la figura 4.18 se encuentra confinado
en sentido X3 y libre en los otros sentidos. Bajo la acción de una carga
se tensiona σ11 en sentido X1 . Se supone un material elasto-plástico
perfecto.(a) Usando el criterio de fluencia de von Mises, determinar el
estado de tensiones y deformaciones en el momento de producirse la
fluencia. (b) Encuentre el punto de fluencia en la elipse de von Mises.
118
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Figura 4.18: Cubo confinado en dirección x3 y libre en la otras dos,
Problema 4.12.
Capítulo 5
Técnicas de Solución
En capítulos anteriores se estudió que las tensiones, deformaciones
y desplazamientos en cada punto de un sólido deben satisfacer ecuaciones de equilibrio, cinemáticas y constitutivas, que se expresan por
medio de 15 incógnitas. Hay métodos generales de agrupar esas ecuaciones, aquí veremos el llamado Método de los Desplazamientos donde
se llega a tres ecuaciones diferenciales de equilibrio con las tres componentes de desplazamiento como incógnitas. Además veremos una forma
alternativa de plantear esta ecuación a través de una expresión integral
que se conoce en el campo de la mecánica como “Principio de Trabajos
Virtuales” y es más amena para su solución por técnicas numéricas.
Adicionalmente se discuten algunas aproximaciones a problemas especiales de elasticidad. Al final del capítulo se introduce una notación
que facilita el tratamiento numérico de la elasticidad.
5.1.
Ecuaciones Generales de la
Elasticidad Lineal
La mecánica del continuo trata con tres clases distintas de variables:
tensiones, deformaciones y desplazamientos. Las tensiones describen
esfuerzos que actúan en el interior de un cuerpo; las deformaciones
describen distorsiones locales; y los desplazamientos describen el movimiento de un punto durante el proceso de deformación con referencia
a un sistema de coordenadas fijo. Las tensiones, deformaciones y desplazamientos se relacionan entre sí a través de tres grupos de ecuaciones
según se vio en los capítulos anteriores:
119
120
Introducción a la Teoría de Elasticidad
(a) Las ecuaciones de equilibrio se escriben para un elemento
infinitesimal del volumen. Son relaciones que contienen las tensiones
y las fuerzas por unidad de volumen (ρb = F es la fuerza másica por
unidad de volumen, ρ es la densidad de masa, b es la fuerza másica
por unidad de masa):
3
X
∂σij
+ Fj = 0
(5.1)
∂Xi
i=1
o escrita en forma vectorial
∂
∂
∂
,
,
∂X1 ∂X2 ∂X3
∇ · σ + F (X) = 0
(5.2)

(5.3)
 

σ11 σ12 σ13
F1
 σ21 σ22 σ23  +  F2  = 0
σ31 σ32 σ33
F3
donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy que es simétrico. Estas
son ecuaciones de origen físico. La expresión anterior lleva implícita la
hipótesis de pequeños desplazamientos, ya que las derivadas se realizan
respecto a las posiciones de los puntos en la geometría indeformada
(Xi ).
(b) Las ecuaciones cinemáticas relacionan deformaciones con
desplazamientos. Dado que la deformación de un cuerpo se puede evaluar si se conocen los desplazamientos de cada punto del mismo, es
posible calcular las deformaciones específicas partiendo de componentes de desplazamiento. Para pequeñas deformaciones y pequeños giros,
esa relación puede escribirse como
1 ∂ui
∂uj
εij =
+
(5.4)
2 ∂Xj ∂Xi
o en forma vectorial
ε = ∇sim u =
1
∇u + ∇T u
2
(5.5)
Estas son ecuaciones de origen geométrico.
(c) Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones. Para un material elástico lineal e isótropo resultan:
σ = 2µε + λ∆1
(5.6)
121
Técnicas de Solución
donde las constantes de Lamé se definen como
E
2(1 + ν)
µ=G=
λ=
νE
(1 + ν)(1 − 2ν)
(5.7)
(5.8)
que puede escribirse con mayor generalidad como
σ=C:ε
X
σij =
Cijkl εkl
(5.9)
k,l
Estas son ecuaciones de origen experimental.
(d) Las ecuaciones de compatibilidad. Como hay más relaciones cinemáticas que componentes de desplazamiento, se pueden eliminar los desplazamientos y llegar a ecuaciones que sólo contengan
deformaciones. Esas constituyen las ecuaciones de compatibilidad, que
se escriben en la forma:
∂ 2 ε11
∂X22
∂ 2 ε11
∂X32
∂ 2 ε22
∂X32
∂ 2 ε12
∂ 2 ε13
+
∂X1 ∂X3 ∂X1 ∂X2
∂ 2 ε32
∂ 2 ε31
+
∂X2 ∂X3 ∂X1 ∂X3
∂ 2 ε32
∂ 2 ε21
+
∂X1 ∂X2 ∂X2 ∂X3
+
+
+
−
−
−
∂ 2 ε22
∂X12
∂ 2 ε33
∂X12
∂ 2 ε33
∂X22
∂ 2 ε23
∂X12
∂ 2 ε12
∂X32
∂ 2 ε31
∂X22
∂ 2 ε12
∂X1 ∂X2
∂ 2 ε13
=2
∂X1 ∂X3
∂ 2 ε23
=2
∂X1 ∂X3
∂ 2 ε11
=
∂X2 ∂X3
∂ 2 ε33
=
∂X1 ∂X2
∂ 2 ε22
=
∂X1 ∂X3
=2
(5.10)
Resumiendo, la Tabla 5.1 muestra el número de ecuaciones de cada
tipo y las variables de cada una de ellas. Nótese que hay 15 incógnitas:
seis σij , seis εij , y tres ui , mientras que empleando las ecuaciones de
equilibrio, constitutivas y cinemáticas se tienen 15 ecuaciones. Por lo
tanto, el problema queda perfectamente determinado a través de 15
ecuaciones con 15 incógnitas.
122
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Ecuaciones
Número Variables
Equilibrio
3
6σij
Constitutivas
6
6σij , 6εij
Cinemáticas
6
3ui , 6εij
Compatibilidad
6
6εij
Cuadro 5.1: Ecuaciones que gobiernan la elasticidad
Existen métodos generales que permiten reducir las ecuaciones a
formas más compactas y tratables para su resolución. Los dos procedimientos generales clásicos en el análisis de cuerpos elásticos deformables (también aplicables a configuraciones estructurales como pórticos,
reticulados, láminas delgadas, etc.), son:
1. Método de los desplazamientos, o de rigidez, o de equilibrio.
2. Método de las tensiones, o de las fuerzas, o de compatibilidad.
Se estudiará a continuación el primero de los métodos para el análisis
tridimensional de tensiones y deformaciones.
5.2.
Método de los Desplazamientos,
Ecuaciones de Navier
Se parte de las tres ecuaciones de equilibrio fuerzas. En ellas se reemplazan las tensiones σij por las deformaciones εij usando las constitutivas. Se tienen así tres ecuaciones de equilibrio que incluyen Fi
y seis incógnitas εij . A continuación se reemplazan las deformaciones
por desplazamientos ui usando las cinemáticas. Quedan tres ecuaciones de equilibrio en función de tres componentes de desplazamiento ui
(incógnitas) y tres componentes de fuerzas másicas Fi (datos).
Veamos el desarrollo en más detalle para un elemento de volumen:
partimos de las ecuaciones de equilibrio
3
X
∂σij
i=1
+ Fj = 0
(5.11)
∇·σ+F=0
(5.12)
∂Xi
123
Técnicas de Solución
NAVIER
Desplazamientos
u
µ∇2+(λ+µ)∇(∇•u)+F=0
Cinemáticas
Fuerzas
F
Equilibrio
∇•σ+F=0
ε=½(∇ u+∇u)
T
Deformaciones
ε
Constitutivas
Tensiones
σ
Figura 5.1: Variables de la teoría de la elasticidad
Como
σij = 2µεij + λδij ∆
σ = 2µε + λ∆1
(5.13)
(5.14)
reemplazamos 5.13 en 5.11 y, suponiendo que el material es homogéneo
(las constantes elásticas del material no cambian de un punto a otro),
tenemos
2µ
3
X
∂εij
3
X
∂∆
+ Fj = 0
∂Xi
(5.15)
2µ∇ · ε + λ∇ · (trε1) + F = 0
(5.16)
i=1
∂Xi
+
i=1
λδij
A continuación usaremos las cinemáticas
1 ∂ui
∂uj
+
εij =
2 ∂Xj ∂Xi
1
ε=
∇u + ∇T u
2
(5.17)
(5.18)
124
Introducción a la Teoría de Elasticidad
con lo cual las ecuaciones 5.15 de equilibrio quedan en la forma:
#
! 3
"%
3
X
X ∂um
∂
∂
∂ui
∂ 2 uj
+µ
+ δij λ
µ
+ Fj = 0
∂Xi ∂Xi
∂Xi ∂Xj
∂Xi m=1 ∂Xm
i=1
(5.19)
µ∇ · ∇u + ∇ u + λ∇ · [(∇ · u) 1] + F = 0
(5.20)
T
Reagrupando se llega a tres ecuaciones escalares
! 3
"
3
X
X ∂um
∂ 2 uj
∂
+ (µ + λ)
+ Fj = 0
µ
∂Xi ∂Xi
∂Xj m=1 ∂Xm
i=1
(5.21)
En forma vectorial, las 5.21 pueden expresarse como
µ div (grad u) + (µ + λ) grad (div u) + F = 0
µ ∇ · ∇u + (µ + λ) ∇ (∇ · u) + F = 0
(5.22)
(5.23)
que se deben satisfacer en el dominio V del sólido que se estudia. Las
variables de esta ecuación son los desplazamientos u; por lo tanto, el
problema sólo admitirá condiciones de contorno escritas en función de
u.
En la parte del contorno que tiene restricciones en desplazamientos,
denominada Sd , se deberán satisfacer condiciones del tipo de
ui − u¯i = 0
(5.24)
donde u¯i son desplazamientos conocidos. Esta condición ya está escrita
en términos de desplazamientos y no requiere ningún cambio.
Para el borde con fuerzas conocidas, denominado Sf , se debe cumplir la condición de equilibrio
σν − f = 0
(5.25)
Para expresar esta condición en función de desplazamientos, hay
que seguir el mismo método explicado para equilibrio en el volumen.
Para ello usamos ecuaciones constitutivas, quedando
2µεij νi + δij λεmm νi − fj = 0
(2µε + 1λ∆) ν − f = 0
(5.26)
(5.27)
125
Técnicas de Solución
A continuación se emplean las ecuaciones cinemáticas, para obtener
# %
3
3
X
X
∂um
∂uj
∂ui
+
(5.28)
+ δij λ
µ
ν i − fj = 0
∂X
∂X
∂X
j
i
m
i=1
m=1
(5.29)
µ ∇u + ∇T u + λ (∇ · u) 1 ν − f = 0
en Sf .
La solución del problema elástico lineal según el método de los desplazamientos está dada por un vector u que satisfaga simultáneamente
las tres ecuaciones 5.21 de Navier en el dominio y las condiciones de
fuerzas 5.28 y desplazamientos 5.24 en el contorno.
Una vez conocidos las componentes ui , se pueden usar las cinemáticas para averiguar las deformaciones εij y las constitutivas para calcular
σij .
5.3.
5.3.1.
Formulación Integral (Formulación Débil)
Introducción
La formulación diferencial (y las condiciones de borde asociadas)
que se vio en la sección previa se denomina también “Formulación Fuerte” y es la forma habitual de establecer una ecuación de balance en la
física (la mecánica en este caso). Existe una forma alternativa de plantear esta ecuación a través de una expresión integral en la cual el orden
de derivación de las variables involucradas es la mitad que en el caso de
la formulación fuerte. Esta forma alternativa se conoce en el campo de
la mecánica como “Principio de Trabajos Virtuales” y es más amena
para su solución por técnicas numéricas como se verá en el próximo
capítulo.
5.3.2.
Funciones de prueba
La ecuación de equilibrio (o ley de balance local) sobre la que interesa trabajar es de la forma
∇·σ+F=0
Observemos primero que (5.30):
en V
(5.30)
126
Introducción a la Teoría de Elasticidad
es una ecuación vectorial, es decir que son 3 ecuaciones de equilibrio, una en cada dirección coordenada
sus unidades son fuerzas por unidad de volumen LF3
Definamos una “función de prueba” vectorial v (X) (de momento adimensional) sobre el dominio V con componentes vi en las tres direcciones del espacio. Esta función es de momento tan arbitraria como
se quiera, con la única condición de que sea finita. Supongamos que
multiplicamos cada ecuación de equilibrio por la correspondiente componente de la función de prueba, las sumamos, con lo cual tenemos un
escalar y lo integramos en el volumen del sólido, es decir
ˆ
v · [∇ · σ + F] dV
(5.31)
I=
V
Notar que I tiene unidades de fuerza y que:
Si el campo de tensiones σ (X) está en equilibrio con las fuerzas F (X), con lo cual se anula el corchete, la integral I se anula
independientemente de la función v. Luego si conocemos la solución σ (X) que mantiene al sólido en equilibrio con las fuerzas
másicas I = 0 ∀v.
Si por el contrario existe algún punto del sólido Xa en el cual no
se cumple el equilibrio en alguna dirección del espacio j , ocurre
que debido a la continuidad del campo de tensiones σ no se cumple equilibrio en un entorno (también definido arbitrariamente)
de Xa . En dicho entorno el signo del corchete tendrá un signo
único (positivo o negativo) en la dirección j, entonces es posible
definir una función vj con el mismo signo que el corchete en dicho entorno y nula en todo el resto del sólido, de tal forma que
la integral I > 0. Luego si el sólido no está en equilibrio en algún
punto es siempre posible encontrar una función de prueba que
haga positiva la integral.
Lo anterior permite decir que para que campo σ (X) de un sólido esté en equilibrio con las fuerzas másicas F (X) actuantes es
condición necesaria y suficiente que I = 0 ∀v.
Que σ (X) equilibre a F (X) no significa que sea “la solución del
problema”, en realidad hay infinitas campos σ (X) que satisfacen
127
Técnicas de Solución
equilibrio, para ser “la solución” debe además satisfacer las condiciones de contorno de equilibrio (5.25) en Sf y las condiciones
de contorno esenciales (5.24) en Sd .
5.3.3.
Desplazamientos virtuales y velocidades virtuales
Volviendo sobre la función de prueba v le demos una interpretación
física, supongamos que sea un incremento de desplazamiento (desde la
condición de equilibrio) factible δu. Esto implica que δu:
debe ser continuo, de otra forma se violaría la continuidad del
sólido deformado, lo cual también hace posible evaluar ∇δu en
todos los puntos.
debe cumplir que δu = 0 en Sd , pues la solución de equilibrio
¯ , por
buscada debe satisfacer las condiciones esenciales allí u = u
lo cual todo incremento factible ha de ser nulo en tales puntos.
Además supondremos que δu es tan pequeño como se quiera, de tal
forma que no cambia la configuración del sólido. Una segunda interpretación es ver a v como un campo de velocidades compatible con los
vínculos, con lo cual debe cumplir las dos condiciones indicada para
δu y no es necesario suponer que es tan pequeño como se quiera ya
que la velocidad de por sí no modifica la configuración.
Si con esta redefinición de la función de prueba reinterpretamos la
integral I, si se usa δu esta resulta con unidades de trabajo en tal caso
diremos que los distintos términos realizan un “Trabajo Virtual” y si
se supone que es un campo de velocidades la integral tiene unidades
de potencia, y diremos que se trata de una “Potencia Virtual”.
5.3.4.
La integral por partes y el Principio de
Trabajos Virtuales
Con las condiciones indicadas sobre v trabajemos sobre la integral
(5.31), primero separemos los dos términos
ˆ
ˆ
v · (∇ · σ) dV +
v · F (x) dV
(5.32)
I=
V
V
128
Introducción a la Teoría de Elasticidad
reemplacemos del Cap. 1 la identidad fundamental (1.66)
ˆ
ˆ
ˆ
T
sim
v σν dδV −
∇ v : σdV +
vT F (x) dV
I=
S
V
(5.33)
V
Observemos ahora que:
S
1. S = Sf Sd y que en Sd v = 0 por lo cual la primera integral de
(5.33) se puede reducir a Sf
2. que en Sf se conocen las fuerzas de contacto y que σν = f lo
cual permite introducir esta condición en la solución buscada
luego
I=−
ˆ
V
∇sim v : σdV +
ˆ
vT f dδV +
Sf
ˆ
vT F (x) dV
(5.34)
V
Si v son desplazamientos virtuales δu entonces la suma de las últimas dos integrales son el “Trabajo Virtual de las fuerzas Externas”
conocidas (de contorno y másicas).
ˆ
ˆ
TVE =
δu · F (x) dV
δu · f dδV +
Sf
V
Recordando la definición del tensor de deformación lineal
ε = ∇sim u =
1
∇T u + ∇u
2
(5.35)
se puede definir un tensor de deformación virtual
δε = ∇sim δu
(5.36)
Con lo cual el segundo término de (5.34) se puede escribir como
ˆ
δε : σdV
(5.37)
TVI =
V
que es el “Trabajo Virtual de las fuerzas Internas”. La condición de que
la integral I sea nula para toda función de prueba v = δu se escribe
ahora como
TVI = TVE
(5.38)
129
Técnicas de Solución
que se conoce como el “Principio de Trabajos Virtuales”.
Esta “ecuación de trabajos virtuales” puede escribirse en función de
los desplazamientos usando las constitutivas
(5.39)
σ=C:ε
con lo cual
ˆ
ˆ
sim
sim
∇ δu : C : ∇ u dV =
V
Sf
δu · f dδV +
ˆ
V
δu · F (x) dV (5.40)
Notemos que en esta expresión
f y F a la derecha son conocidos
u debe permitir calcular ∇u es decir debe ser derivable y por lo
tanto continua
¯ en Sd
u debe satisfacer u = u
el máximo orden de derivación de u es 1 a diferencia de las ecuaciones de Lamé que es 2.
la función de prueba δu cumple condiciones similares a u, debe
ser continua y derivable y debe satisfacer las condiciones “homogéneas” de contorno δu = 0 en Sd
La ecuación de trabajos virtuales plantea la condición necesaria y suficiente para que el sistema esté en equilibrio, pero no es “una” condición,
son “infinitas” condiciones, pues esta ecuación debe satisfacerse para
todas las posibles funciones de prueba compatibles con las condiciones
indicadas. Por otro lado la función u es desconocida.
Habitualmente las técnicas numéricas escriben la función incógnita
u en función de un conjunto finito n de parámetros (las incógnitas del
problema) y utilizan también n funciones de prueba (distintas) que
permiten plantear n condiciones en función de n incógnitas.
5.4.
Elasticidad Bidimensional
En la presentación hasta el momento se ha supuesto que todas las
componentes de tensión y deformación son diferentes de cero. Pero
130
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Figura 5.2: Estados de elasticidad bidimensional
existen algunos casos especiales interesantes en los que alguna de las
componentes son nulas, en especial los conocidas como Tensión Plana,
Deformación Plana y Axilsimetría. En estos casos especiales el dominio
de análisis puede reducirse a dos dimensiones y correspondientemente
las incógnitas de desplazamiento también se reducen a las componentes
en el plano de trabajo. En la Figura 5.2 se muestra para los tres casos
a estudiar el plano al que se reduce el análisis
5.4.1.
Estados Bidimensionales de Deformación (Deformación Plana)
Un estado de deformación plana puede ocurrir en un sólido prismático
Para que sea válido utilizar esta aproximación debe ocurrir que en
una dirección del espacio (se adopta X3 )
Que la geometría no cambie, es decir que cortes normales a X3
sean iguales
Que las cargas actúen en el plano normal (X1 − X2 ) y sean constante en X3
Que el material no cambie en X3 y si no es isótropo que X3 sea
dirección principal de ortotropía
Que las condiciones de contorno esenciales (¯
ui en Sd ) no cambien
en X3
131
Técnicas de Solución
Que en los extremos del sólido los desplazamientos u3 estén impedidos
Si las condiciones anteriores se cumplen
La geometría queda definida por la sección X1 − X2
Las cargas másicas y de contorno pueden escribirse




F1
f1
f (X1 , X2 ) =  f2  (X1 , X2 )
F (X1 , X2 ) =  F2  (X1 , X2 )
0
0
(5.41)
Los desplazamientos se reducen a


u1
u (X1 , X2 ) =  u2  (X1 , X2 )
0
(5.42)
El tensor de deformaciones resulta entonces
 ∂ui


ε11 ε12 0
 ∂X3 = 0


ε = ε12 ε22 0
pues
 ∂u3
0
0 0
=0
∂Xi
(5.43)
donde claramente X3 es una dirección principal.
Para un material elástico, la forma
debe ser

σ11
[σij ] =  σ21
0
del tensor de tensiones asociado

σ12 0
σ22 0 
(5.44)
0 σ33
En este problema existe una restricción dada por ε33 = 0, que puede escribirse usando las ecuaciones constitutivas, para el caso de un
material isótropo:
1+ν
ν
ε33 = 0 =
(σ11 + σ22 + σ33 )
σ33 −
(5.45)
E
1−ν
Despejando, se llega a
σ33 = ν (σ11 + σ22 )
(5.46)
132
Introducción a la Teoría de Elasticidad
De modo que solamente hay tres componentes de tensión independientes, que son σ11 , σ22 , σ12 . Las ecuaciones constitutivas pueden ahora
compactarse introduciendo las restricciones en tensiones y deformaciones, con lo que resultan:
E (1 − ν)
ν
σ11 =
ε11 +
ε22
(1 + ν) (1 − 2ν)
1−ν
E (1 − ν)
ν
ε22 +
ε11
(5.47)
σ22 =
(1 + ν) (1 − 2ν)
1−ν
E
ε12
σ12 =
1+ν
Finalmente, las ecuaciones de equilibrio resultan en el dominio:
∂σ11 ∂σ21
+
+ F1 = 0
∂X1
∂X2
∂σ12 ∂σ22
+
+ F2 = 0
∂X1
∂X2
y en el contorno con normal ν:


ν1
ν =  ν2 
0
5.4.2.

t1
tν = σν =  t2 
0

(5.48)
(5.49)
Estados Bidimensionales de Tensión (Tensión
Plana)
Un estado plano de tensiones puede ocurrir en en una pieza plana
de espesor h uniforme relativamente pequeño respecto a las otras dimensiones. Para que sea válido utilizar esta aproximación debe ocurrir
que en la dirección normal al plano de la pieza (se adopta X3 )
Que la dimensión (espesor) sea pequeña y constante frente a las
otras dos
Que las cargas actúen en el plano normal (X1 − X2 )
Que si el material no es isótropo que X3 sea dirección principal
de ortotropía
Técnicas de Solución
133
Que las condiciones de contorno esenciales (¯
ui en Sd ) no cambien
en X3
Que los desplazamientos u3 no estén impedidos
Entonces EPT implica
La geometría queda definida en el plano X1 − X2
Las cargas másicas y de contorno se expresen como




F1
f1
f (X1 , X2 ) =  f2  (X1 , X2 )
F (X1 , X2 ) =  F2  (X1 , X2 )
0
0
(5.50)
El tensor de tensiones se supone que tendrá solo las componentes
no nulas indicadas


σ11 σ12 0
σ =  σ12 σ22 0 
(5.51)
0
0 0
donde claramente X3 es una dirección principal
Los desplazamientos tendrán la forma


u1 (X1 , X2 )
u =  u2 (X1 , X2 ) 
u3 (X1 , X2 , X3 )
(5.52)
Respecto a las deformaciones, para un material elástico e isótropo puede mostrarse que las direcciones principales de los tensores ε y σ coinciden luego


ε11 ε12 0
ε =  ε12 ε22 0  (X1 , X2 )
(5.53)
0
0 ε33
Para un material además lineal:
E
ν
σ33 =
(ε11 + ε22 + ε33 ) = 0
ε33 +
1+ν
1 − 2ν
ν
ε33 = −
(ε11 + ε22 )
1−ν
(5.54)
134
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Luego ε33 no es independiente de las otras deformaciones
Las ecuaciones de Equilibrio son las mismas que para un estado
plano de deformación
En el dominio
∂σ11 ∂σ12
+
+ F1 = 0
∂X1
∂X2
∂σ12 ∂σ22
+
+ F2 = 0
∂X1
∂X2
(5.55)
En el contorno resultan
t1
σ11 σ12
ν1
σ11 ν1 + σ12 ν2
f1
=
=
=
t2
σ11 σ22
ν2
σ12 ν1 + σ22 ν2
f2
(5.56)
Ecuaciones Constitutivas
Al escribir ε en función de σ, se usan las habituales
1+ν
ν
σij −
δij σmm
i, j, m = 1, 2
εij =
E
1+ν
(5.57)
y la obtenida arriba
ε33 = −
ν
(ε11 + ε22 )
1−ν
(5.58)
De modo que solamente hay tres componentes de deformación independientes, que son ε11 , ε22 , ε12 .
Si se escriben σ en función de ε, las deformaciones se transforman
reemplazando ε33
E
ν
E
(ε11 + ε22 ) =
σ11 =
ε11 +
[ε11 + νε22 ]
1+ν
1−ν
1 − ν2
E
σ22 =
[ε22 + νε11 ]
(5.59)
1 − ν2
E
ε12
σ12 =
1+ν
Técnicas de Solución
5.4.3.
135
Sólido Asilsimétrico
Un Sólido Axilsimétrico se obtiene haciendo rotar una figura plana
(sección meridional) alrededor de un eje contenido en el plano de la
curva (eje de revolución X2 ). Para que pueda verse como un problema
2D debe ocurrir que en la dirección del paralelo (se adopta X3 o se
asocia con el ángulo θ)
Que la geometría no tenga discontinuidades
Que las cargas que actúen en el plano normal (X1 − X2 ) y sean
constante en θ
Que el material no cambie en θ y si no es isótropo que X3 sea
dirección principal de ortotropía
Que las condiciones de contorno esenciales (¯
ui en Sd ) no cambien
en θ
Entonces un sólido axilsimétrico implica
La geometría queda definida por la sección X1 − X2
Las cargas másicas (actúan sólo en X2 ) y de contorno son de la
forma




0
f1
F (X1 , X2 ) =  F2  (X1 , X2 )
f (X1 , X2 ) =  f2  (X1 , X2 )
0
0
(5.60)
Los desplazamientos se reducen a
u1
u (X1 , X2 ) =
(X1 , X2 )
u2
(5.61)
Para escribir el tensor de deformaciones (cinemáticas) es necesario recurrir a coordenadas cilíndricas (r = X1 , z = X2 , θr = X3 )


ε11 ε12 0
u1
ur
=
(5.62)
ε =  ε12 ε22 0  donde ε33 =
r
X1
0
0 ε33
donde claramente X3 es una dirección principal
136
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Si consideramos un material elástico e isótropo las direcciones principales de los tensores ε y σ coinciden luego, el tensor de tensiones tiene
la forma


σ11 σ12 0
σ =  σ12 σ22 0  (X1 , X2 )
(5.63)
0
0 σ33
Pero a diferencia con el Estado Plano de Deformaciones :
6 0
ε33 =
σ33 =
6 ν (σ11 + σ22 )
(5.64)
(5.65)
Luego σ33 es independiente de las otras tensiones. Notar que ε33 = urr
, es decir que depende de desplazamientos en el plano.
En el contorno con normal ν las cargas externas son de la forma:




t1
ν1
ν =  ν2 
tν = σν =  t2 
(5.66)
0
0
Respecto a las ecuaciones de equilibrio
En el dominio quedan dos ecuaciones de equilibrio (coordenadas
cilíndricas)
∂σ11 ∂σ12 (σ11 − σ33 )
1 ∂σ11 X1 ∂σ12 −σ33
+
+
=
+
+
=0
∂X1
∂X2
X1
X1 ∂X1
∂X2
X1
1 ∂σ12 X1 ∂σ22
∂σ12 σ12 ∂σ22
+
+
+ F2 =
+
+ F2 = 0
∂X1
X1
∂X2
X1 ∂X1
∂X2
(5.67)
En el contorno resultan
t1
σ11 σ12
ν1
σ11 ν1 + σ12 ν2
f1
=
=
=
t2
σ11 σ22
ν2
σ12 ν1 + σ22 ν2
f2
(5.68)
En cuanto a las ecuaciones constitutivas, para escribir tensiones en
función de deformaciones, se usan las habituales
E
ν
δij εmm
εij +
i, j, m = 1, 3
(5.69)
σij =
1+ν
1 − 2ν
137
Técnicas de Solución
Si se escriben deformaciones en función de tensiones
1+ν
εij =
E
ν
σij −
δij σmm
1+ν
(5.70)
donde
ε13 = ε23 = σ13 = σ23 = 0
5.5.
(5.71)
Notación matricial de los tensores involucrados
En este tipo de problemas resulta necesario manejar tensores de
4to. orden, desde el punto de vista computacional esto no es deseable,
y si bien analíticamente y conceptualmente es conveniente y necesario
trabajar con ellos, a veces es más visual manejarlos en la forma que
se detalla a continuación. Los tensores de segundo orden se manejan
como vectores y los tensores de 4to orden como matrices, así al tensor
de deformaciones que tiene 9 componentes, pero sólo seis diferentes
debido a su simetría, lo manejaremos como un arreglo (vector) de seis
componentes ordenados de la forma




ε=



ε11
ε22
ε33
2ε12
2ε23
2ε13








(5.72)
la razón de por qué considerar dos veces las deformaciones de corte
quedará claro más adelante. Este tensor que depende de tres componentes de desplazamiento puede escribirse como un operador lineal B
138
Introducción a la Teoría de Elasticidad
sobre el vector u




ε=




ε11
ε22
ε33
2ε12
2ε23
2ε13
∂
 ∂x1

 
 0

 
  0
 
=
  ∂
 
  ∂x2


 0

 ∂
∂x3
0
∂
∂x2
0
∂
∂x1
∂
∂x3
0

0



0 



∂ 
 u1

∂x3   u  = B u
2

0 
u
3


∂ 

∂x2 
∂ 
∂x1
(5.73)
Similarmente el tensor de tensiones lo podemos expresar como un vector de seis componentes ordenado de la siguiente forma




σ=



σ11
σ22
σ33
σ12
σ23
σ31








(5.74)
La relación que liga tensiones con deformaciones está definida por el
tensor de elasticidad C (de cuarto orden), esta relación cuando se
expresa en términos de los tensores de 2do orden expresados como
arreglos de una dimensión conduce a la siguiente expresión (material
elástico lineal e isótropo):




σ=



σ11
σ22
σ33
σ12
σ23
σ31




= E
 1+ν










1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
σ = CBu

1
2
1
2
1
2







ε11
ε22
ε33
2ε12
2ε23
2ε13




 = Cε



(5.75)
(5.76)
139
Técnicas de Solución
Dado que tratamos con el tensor de deformación lineal, las deformaciones virtuales pueden escribirse de la misma forma que las reales


δε11
 δε22 


 δε33 

 = B δu
(5.77)
δε = 

2δε
12


 2δε23 
2δε13
Notar que en la expresión del trabajo virtual interno (5.37) podemos escribir en lugar del producto interno de tensores de 2do. orden
δε : σ ≡ δε · σ = δεT σ, donde en el primer miembro de la equivalencia
estamos considerando tensores y en el segundo miembro la notación
vectorial. El segundo miembro de esta igualdad indica la forma estándar de expresar un producto interno de dos vectores columnas como
una multiplicación de matrices. Si reemplazamos (5.73 y 5.77) este
producto interno puede escribirse finalmente:
δεT σ = δuT B T C B u
5.5.1.
Elasticidad Bidimensional
5.5.1.1.
Relaciones constitutivas
Las ecuaciones constitutivas pueden escribirse como producto de
matrices σ = Cε
EPT


0
ε11
0   ε22 
1−ν
2ε12
2


1 ν
σ11
 σ22  = E  ν 1
1 − ν2
0 0
σ12

EPD


σ11
 σ22  = E 
1+ν
σ12

SA

σ11
 σ22 
E


 σ12  = 1 + ν
σ33





1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
0
0
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
0
0
ν
1−2ν
ν
1−2ν
0
0
1
2


0
ε11
0   ε22 
1
2ε12
2
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν


ε11
  ε22 


  2ε12 
ε33
140
Introducción a la Teoría de Elasticidad
5.5.1.2.
Relaciones cinemáticas
En tanto que las cinemáticas se escriben como los operadores ε =
B u:
EPT y EPD
SA
5.5.1.3.

 
ε11
 ε22  = 
2ε12
∂
∂X1

∂
∂X1
 
ε11
 ε22  

 
 2ε12  = 
ε33
∂
∂X2
∂
∂X2
1
X1
∂
∂X2
∂
∂X1
∂
∂X2
∂
∂X1






u1
u2
u1
u2
Formulación Diferencial
En todos los casos las ecuaciones de equilibrio son 2 (en las direcciones en el plano X1 − X2 ) y pueden escribirse en función de las dos
componentes de desplazamiento (u1 − u2 ). Para ello se sigue el camino
ya descripto para el caso tridimensional.
Partiendo de las ecuaciones de equilibrio
Se reemplazan las tensiones en función de las deformaciones usando constitutivas
Se reemplazan las deformaciones en función de los desplazamientos usando cinemáticas
Para EPD y EPT Las condiciones de equilibrio son
∂σ11 ∂σ12
+
+ F1 = 0
∂X1
∂X2
∂σ12 ∂σ22
+
+ F2 = 0
∂X1
∂X2
que pueden escribirse
∂
∂X1
∂
∂X2
∂
∂X2
∂
∂X1


σ11
F
1
 σ22  +
= Sσ + F = 0
F2
σ12
141
Técnicas de Solución
notar que
S = BT
Reemplazando σ = CB u se tiene
SCB u + F = 0
Para SA
∂
∂X1
+
1
X1
∂
∂X2
∂
∂X2
∂
∂X1
+
1
X1
− X11

σ11
 σ22 
 + 0 = Sσ + F = 0

 σ12 
F2
σ33

Reemplazando σ = CB u se tiene
SCB u + F = 0
5.5.1.4.
Trabajos Virtuales
En el caso que se utilice el Principio de trabajos Virtuales. Debemos
definir además en forma análoga
δε = B δu
luego el trabajo virtual interno es
ˆ
ˆ
T
δε σdV =
δεT CεdV
TV I =
V
ˆV
T
=
(B δu) CB udV
ˆV
δuT B T CB udV
=
V
Trabajo Virtual Externo Las cargas externas son similares al caso
3D. Debe tenerse en cuenta el dominio de integración
ˆ
ˆ
T
TV E =
δu FdV +
δuT f dS
V
Sσ
Donde el diferencial de área dS depende del tipo de estado (ds es
la longitud de arco sobre el contorno)
142
Introducción a la Teoría de Elasticidad
EPT dS = h ds con h el espesor
EPD dS = ds y se supone que se analiza un espesor unitario
SA dS = r ds donde r = X1 es el radio y en la integral se
considera un ángulo unitario (θ = 1 rad)
5.6.
Ejercicios
Ejercicio 5.1. Consideremos un elemento estructural elástico de
forma cúbica de lados unitarios. El campo de desplazamientos se ha
encontrado que vale
u1 = a X1 X2 X3 + b X12 X2
u2 = c X1 X2 X3 + d X22 X3
u3 = e X1 X2 X3 + f X32 X1
para 0 ≤ Xi ≤ 1. Calcule las fuerzas másicas que satisfacen equilibrio
en el volumen, usando las ecuaciones Navier.
Solución: En el dominio V , se deben satisfacer las ecuaciones de
Navier:


X ∂ 2 uj
X
∂um 
∂ 
µ
+ (µ + λ)
+ Fj = 0
2
∂X
∂X
P ∂Xm
j
i
i
m
para j = 1,
∂ 2 u 1 ∂ 2 u1 ∂ 2 u1
F1 = −µ
+
+
∂X12
∂X22
∂X23
2
∂ u1
∂ 2 u2
∂ 2 u3
− (λ + µ)
+
+
∂X12 ∂X1 ∂X2 ∂X1 ∂X3
Evaluando las derivadas de u1 , u2 , u3 se llega a
F1 = − (2bX2 ) µ − (2bX2 + cX3 + eX2 ) (λ + µ)
Para j = 2 y j = 3 se obtiene
F2 = − (2X3 d) µ − (aX3 + 2bX1 + 2X3 d + eX1 ) (λ + µ)
F3 = − (2gX1 ) µ − (aX2 + cX1 + 2X2 d) (λ + µ)
143
Técnicas de Solución
Fi son las fuerzas en equilibrio con las tensiones que surgen de los
ui datos.
Ejercicio 5.2. Para el problema anterior, calcule cuanto valen las
fuerzas sobre la parte del contorno Sf .
Solución: En el contorno S, las fuerzas fj resultan
# %
X
X ∂um
∂ui
∂uj
+ δij λ
fj =
µ
+
νi
∂X
∂X
∂X
j
i
m
m
i
Consideremos la componente f1
∂u1
∂u1
∂u2
∂u3
f1 = 2µ
+λ
+
+
ν1 +
∂X1
∂X1 ∂X2 ∂X3
∂u3
∂u1
∂u1
∂u2
ν2 + µ
ν3
+
+
+ µ
∂X1 ∂X2
∂X1 ∂X3
Para la cara donde X1 = 0, X2 , X3 6= 0,
X1 = 0
ν1 = −1
X2 , X3 6= 0
ν2 = ν3 = 0
resulta
f1 = −µ (2aX2 X3 ) − λ (aX2 X3 + 2dX2 X3 )
o bien
f1 = − (2µa + λa + 2λd) X2 X3
De manera similar, es necesario evaluar f2 , f3 , para las otras caras
del sólido en estudio.
Ejercicio 5.3. Derive las ecuaciones de un estado plano de tensiones, en el que además se cumple que σ22 = 0.
Ejercicio 5.4. Derive las ecuaciones de un estado unidimensional
de tensiones, en el que solamente hay una componente no nula, σ11 .
Ejercicio 5.5. Derive las ecuaciones de un estado unidimensional
de deformaciones, en el que solamente hay una componente no nula,
ε11 .
Ejercicio 5.6. Se quiere descomponer un tensor de tensiones tridimensionales como la suma de un estado plano de deformaciones más
otro tensor. ¿Cuánto valen las componentes de ese segundo tensor?
144
Introducción a la Teoría de Elasticidad
Bibliografía
[1] Davis, R. O., Selvadurai, A. P. S., Elasticity and Geomechanics,
Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, 1996.
[2] Dym, C. y Shames, I., Solid Mechanics: A Variational Approach,
McGraw-Hill, 1973.
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Dr. José Emiliano Martínez Ordaz jose.martinez

Poster[+] - Departamento Académico de Matemáticas

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