Átomo de Helio y Modelo de Thomas-Fermi

Mecánica Cuántica II
Práctica 9
Átomo de Helio y Modelo de Thomas-Fermi
Instituto Balseiro
29 de abril de 2015
60 Un átomo de He está excitado en un estado autoionizante 2s4p. Para describirlo utilizamos un
modelo donde suponemos que el electrón 2s se mueve en el campo del núcleo sin apantallar y
que el electrón 4p se mueve en el potencial coulombiano completamente apantallado −1/r,
(a) obtenga la diferencia de energía del estado ionizante con el fundamental y la longitud de
onda de la radiación ultravioleta que emitiría si decae al estado 1s2 .
(b) encuentre la velocidad con que es emitido el electrón en el proceso de autoionización, cuando
el estado metaestable 2s4p decae en un electrón libre y un ión He+ en su estado fundamental.
61 Suponga que se tiene un átomo hidrogenoide de carga nuclear Z, con dos electrones.
(a) Usando como función variacional un determinante de Slater de dos orbitales 1s del átomo de
hidrógeno con carga efectiva Zef f en el estado de espín singlete, determine Zef f en función
de Z y la energía del estado fundamental Ef (Z).
(b) Si I1 e I2 son los potenciales de ionización del primer y segundo electrón, se cumple Ef =
−(I1 + I2 ), y el valor exacto de I2 es I2 = (Ze)2 /(2ao ). Con esta información calcule I1 para
el H− , He, Li+ , Be+2 y B+3 , y compare con los resultados experimentales (en eV):
I1,H− = 0,75
I1,Be2+ = 154,1
I1,He = 24,6
I1,B3+ = 259,5
I1,Li+ = 75,7
62 Para el estado fundamental del He calcule los valores medios de r12 + r22 , y δ(r12 ) utilizando:
(a) El producto de funciones hidrogenoides con Z = 2.
(b) La función variacional que se obtiene como producto de funciones hidrogenoides con Z
variable, Z = 27/16.
(c) La función de onda de Byron y Joachain,
1 −αr
ψ(r1 , r2 ) = u1s (r1 ) u1s (r2 ) con u1s (r) = √
Ae
+ Be−βr
4π
con A = 2,60505, B = 2,08144, α = 1,41, β = 2,61.
Compare estos resultados con los valores “exactos” (en u.a.): hr21 + r22 i = 2,39, y hδ(r12 )i = 0,106.
63 Sea un ion cuyo núcleo tiene carga Z y con N electrones. Demostrar que la recta tangente a la
función de Thomas-Fermi Φ(x) en el punto de intersección con el eje x, corta al eje de ordenadas
en un punto cuyo valor es el grado de ionización del ion (Z − N )/Z.
64 Usando el modelo de Thomas-Fermi demostrar:
(a) La mayor parte de los electrones en un átomo de número atómico Z se encuentra a una
distancia del núcleo que es del orden de 1/Z 1/3 .
(b) La energía total de ionización E, es decir, la energía necesaria para separar todos los electrones del átomo neutro, depende de Z como Z 7/3 .
(c) La velocidad media v de los electrones en el átomo es proporcional a Z 2/3 .
65 Usando el modelo de Thomas-Fermi para un átomo neutro, demostrar lo siguiente:
(a) La energía cinética total puede escribirse como
T =
3Z 3
3Z 3
d r n(r)EF (r) = −
d r n(r) [Ven (r) + Vee (r)]
5
5
donde EF (r) es la energía de Fermi local y Ven (r), Vee (r) las energías potenciales de interacción electrón-núcleo y electrón-electrón, respectivamente.
Mecánica Cuántica II
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Átomo de Helio y Modelo de Thomas-Fermi
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29 de abril de 2015
(b) La energía total puede escribirse como:
2
1
Et ≡ T + Ut = Uen − Uee
5
5
donde Uen = d3 r n(r) Ven (r), y Uee = 12 d3 r n(r) Vee (r) son las energías (totales) de
interacción electrón-núcleo y electrón-electrón, respectivamente, y Ut = Uen + Uee .
R
R
(c) Utilizando el teorema del virial probar las siguientes relaciones:
1
Uee = − Uen
7
;
3
T = − Uen
7
;
3
Et = Uen .
7
(d) Expresar la integral Uen en términos de la función de Thomas-Fermi
2 Φ(x), y utilizando la
∼
aproximación Φ(x) = 1−1,59 x (x 1), probar que Et = −0,77 ae0 Z 7/3 = −20,9 Z 7/3 [eV ].

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