El grupo de Isometrias del plano

El grupo de Isometrias del plano
Para dar una descripcion algebraica del grupo de isometrias del plano, necesitamos describir a
todas las isometrias de una manera comun. Para esto son muy utiles las coordenadas.
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Isometrias que fijan el (0,0)
Son funciones lineales determinadas por las imagenes de los puntos (1,0) y (0,1).
Rotaciones
Si la imagen del vector (1,0) bajo una rotacion es el vector unitario (a,b), la imagen del vector (0,1) bajo la
rotacion debe el vector (b,-a), asi que la rotacion esta dada por
R(x,y) = xR(1,0) + y(R(0,1) = (ax-by,bx+ay)
Esto puede escribirse usando matrices como
R
x
y
=
a -b
x
b a
y
(-b,a)
(a,b)
Reflexiones
(-b,a)
Si la reflexion envia el punto (1,0) al punto (a,b), entonces
debe enviar el punto (0,1) al punto (b,-a), asi
que la reflexion esta dada por:
Я(x,y) = xЯ(1,0)+yЯ(0,1) = (ax+by,-bx+ay)
(a,b)
(a,b)
En notacion matricial:
R
x
y
=
a -b
x
b
y
a
(b,-a)
En resumen, las isometrias que fijan el origen son funciones lineales
I(X) = MX
donde X es un vector y M es una matriz cuyas columnas son vectores unitarios ortogonales.
Como la composicion de isometrias que fijan el origen corresponde a la multiplicacion de
matrices, el grupo de isometrias del plano que fijan el origen es isomorfo al grupo de matrices
ortonormales de 2x2.
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Todas las isometrias del plano
Como todas las isometrias de E2 son composiciones de una isometria que fija el origen con una
traslacion, podemos escribir cada isometria del plano como
I(X) = MX+V
Asi que hay una biyeccion entre el conjunto de isometrias y el conjunto de parejas (Matriz
ortonormal, vector)
I ↔ (M,V)
Ademas, si I'(X)=M'X+V' entonces I'I(X) = I'(MX+V) = M'(MX+V) + V' = M'MX + M'V + V'
Asi que el grupo de isometrias del plano es isomorfo al grupo cuyos elementos son los pares
(M,V), con M una matriz ortonormal y V un vector, con el producto
(M,V) ● (N,W) = (MN,MW+V)
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Isometrias y numeros complejos
Si pensamos en los puntos del plano como numeros complejos, entonces cada isometria I que
preserva la orientacion puede expresarse como una funcion lineal compleja:
I(z) = az + b donde a, b son numeros complejos y |a|=1
Asi que el grupo de isometrias del plano que preservan orientacion es isomorfo al grupo formado
por las parejas de numeros complejos (a,b) donde |a|=1, con el producto
(a,b) x (a',b') = (aa',b+ab')
(Cada isometria que invierte la orientacion es la composicion de la conjugacion compleja con una
funcion lineal compleja, asi que podriamos expresarla como I'(z) = aẑ + b pero esto ya no es
una manera comun de expresar a todas las isometrias)
El espacio de las isometrias del plano
Las isometrias del plano no solo forman un grupo, también forman un espacio:
Las traslaciones forman un espacio de 2 dimensiones (cada traslacion esta determinada por un
vector).
Las rotaciones forman un espacio de 3 dimensiones (hay 3 grados de libertad para elegir una
rotacion: las dos coordenadas del centro y el angulo de rotacion).
Las reflexiones forman un espacio de 2 dimensiones, ya que las rectas del plano forman un espacio
de esa dimension (tarea)
Los pasos forman un espacio de 3 dimensiones (cada reflexion esta determinada por una recta y una
distancia -que puede ser positiva o negativa-).
La union de estos 4 espacios es el espacio de todas las isometrias, que debe tener 3 dimensiones.
Podemos hablar de la forma de estos espacios:
Las isometrias que fijan un punto corresponden a las matrices ortonormales, y cada matriz esta dada
por un angulo y un signo, asi que el espacio de isometrias del plano que fijan un punto tiene la forma
de dos circulos: uno formado por rotaciones y el otro por reflexiones.
El espacio de traslaciones puede identificarse natiralmente con el espacio de vectores en el plano,
asi que el espacio de traslaciones tiene la forma de un plano.
Se puede ver que el espacio de reflexiones tiene la forma de una banda de Moebius (Tarea).
La identificacion del espacio de las isometrias con el conjunto de parejas (M,V) da una manera de
medir distancias entre isometrias: podemos medir la distancia entre (M,V) y (N,U) como la suma de
la distancia entre las matrices M y N y la distancia entre los vectores U y V). Esto convierte al
espacio de isometrias en un espacio metrico.
Ejemplos:
Una sucesión de traslaciones converge a una traslación T si sus vectores de traslación convergen al vector de
traslación de T.
Una sucesión de rotaciones converge a una rotación R si sus centros de rotación convergen al centro de R y
los ángulos de rotación convergen al ángulo de rotación de R.
Y una sucesión de reflexiones converge a una reflexión Я si las lineas de reflexión convergen a la linea de
reflexión de Я (el problema es decidir cuando una sucesión de lineas converge a una linea...)
Un conjunto de isometrias del plano es discreto si no contiene una sucesión de isometrias que
converjan a otra isometria. La clasificacion de los grupos discretos de isometrias del plano equivale
la clasificacion de todos los grupos finitos, los grupos de frisos y los grupos de mosaicos.
Tarea 8
Entregar 1 el viernes 13 y (2 o 3) el lunes 16.
1. (en equipos de 2 o 3) El conjunto de reflexiones en el plano tiene la forma de una
banda de Moebius.
Sugerencia: A cada pareja (θ,t) formada
por un angulo θ y un numero real t,
podemos asociarle la recta en el plano
cuyo punto mas cercano al origen se
encuentra en la dirección θ a una
distancia t (t puede ser positiva o
negativa), asi que el conjunto de rectas
se obtiene del conjunto de parejas
haciendo algunas identificaciones.
t
0
θ
2. El grupo de isometrías de R3 que fija el origen es isomorfo al grupo de matrices
ortonormales de 3x3.
3. ¿Que dimensión tiene el grupo de isometrías de R3 que fija el origen?
¿Y que dimensión tiene el grupo completo de isometrías de R3?

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