Funciones polinómicas

Funciones
polinómicas
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4/23/2015
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Funciones Polinómicas
• La ecuación general de una función polinómica de
grado n con coeficientes reales está dada por
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 , an ≠ 0 .
• Los casos n = 0, 1, y 2 ya se han discustido:
Teorema del Valor
Intermedio
• Las funciones polinómicas son contínuas.
• Si f es una función polinómica y si para a < b, f(a) ≠ f(b),
entonces f(x) existe para cada valor en [a,b].
• Las gráficas de las funciones polinómicas son curvas
suaves, sin huecos ni filos.
Teorema del Valor Intermedio
• Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe al menos
un valor x= c entre a y b tal que f(c) = 0 .
los ceros reales de f(x) son interceptos
en x; la función cambia de signo
Usando el teorema de valor intermedio
Mostrar que f(x) tiene un cero en [1,3]:
Si f tiene un cero en [1,3], entonces f(1) y f(3)
tendrán signos diferentes.
f(1) = 1 + 1 – 4 – 4 = - 6
f(3) = 27 + 9 – 12 – 4 = 20
Como f(1) y f(3) tienen signos opuestos,
concluímos que f(x) = 0 para algún valor de x en
[1,3].
Características de
polinomios de grado  3; grado impar
a>0
a<0
puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento;
son A LO MAS n – 1, donde n es el grado del polinomio.
interceptos en x: son A LO MAS n, donde n es el grado del polinomio.
Gráficas de polinomios de grado > 2
Trace la gráfica del polinomio:
f ( x)  x3  7 x 2  10 x
Factorizamos el polinomio para hallar los interceptos en x.
f ( x)  x( x 2  7 x  10)
f ( x)  x( x  5)( x  2)
Esta es la factorización final del polinomio. Los
interceptos en x de la gráfica de f(x) son:
(0,0) (5,0) y (2,0)
El intercepto en y es:
f(0) = 0, el punto (0,0).
Ejemplo (cont.)
f ( x)  x  7 x  10 x
3
f ( x)  x( x  5)( x  2)
Como a>0, f(x) es
creciente en los extremos
signo f(x) en (0,2)
f(1)= 4
f(x) > 0 en (0,2)
signo f(x) en (2,5)
f(3)= -6
f(x) < 0 en (2, 5)
f(4)=
-8
2
Características de
polinomios de grado  2; grado par
puntos de retorno: donde la
gráfica cambia de forma de
crecimiento; son A LO MAS
n – 1, donde n es el grado del
polinomio.
interceptos en x: son A LO
MAS n, donde n es el grado
del polinomio.
comportamiento en los
extremos: Si a>0, la gráfica es
decreciente en el extremo
izquierdo y creciente en otro.
Si a <0, la gráfica es creciente
en el extremo izquierdo y
decreciente en otro.
Trace la gráfica del polinomio:
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
¿Qué sabemos?
• grado:
• número de interceptos en x:
• número de puntos de retorno:
• a=
•
•
•
•
La ecuación está en su forma factorizada
Los ceros son:
Los interceptos en x son:
El intercepto en y es:
Trace la gráfica del polinomio:
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Evaluar para x en 3<x<-1
• evaluar para algún
valor de x en -1<x<1
• evaluar para algún
valor de x en 1<x< 2
Usar toda la
información para crear
una curva suave que
une los puntos.
Multiplicidad (cont)
• Si c es un cero real multiplicidad m , entonces
o uno de los factores de f(x) es (x – c)m y
o la gráfica de f tiene un intercepto en x en c .
• La gráfica de f tiene el siguiente comportamiento
cerca de (c, 0) :
Multiplicidad (cont)
Hallar una posible ecuación para la gráfica
si f tiene 3 ceros de multiplicidad 1 y un
cero de multiplicidad 2
¿Qué sabemos?
• grado es
• signo del coeficiente
principal es
• extremos
• Los interceptos en x son
• El intercepto en y es
División Sintética
• Dividir un polinomio entre x – c se puede realizar
mediante división larga o mediante un algoritmo
conocido como división sintética.
• Para dividir
anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 , entre
x – c utilizando división sintética , trabajamos
únicamente con los coeficientes del polinomio
como se muestra:
Colocar «0»
cuando falta
alguna potencia
de x
División Sintética: dividir
entre x - c
Ejemplo: Dividir f(x) = 2x2 – 5x – 1
Coeficientes de f(x)
c
Se opera:
2
–1
3
2
se suma
–5
entre x – 3
3
2
–5
–1
6
3
1
2
se multiplica por c
Hemos obtenido que: 2x2 – 5x – 1 = (2x + 1 ) (x – 3) + 2
r
División Sintética: dividir
entre x - c
Ejemplo: Dividir P(x) = 2x3 – 7x2 – 4x + 14 entre x + 2
Coeficientes de P
c
Se opera:
2
–7
–4
14
–2
2
–7
–4
14
se suma
–2
2
–4
–11
22
18
-36
-22
se multiplica por c
Hemos obtenido que: 2x3 – 7x2 – 4x + 14 = (2x2 – 11x +18) (x + 2) + (-22)
r
División Sintética para
factorizar
Ejemplo: Factorizar f(x) = x4 + 3x3 – x2 – 3x
Teoremas
• Los dos ejemplos anteriores ilustran el siguiente
teorema.
• Como consecuencia de este teorema tenemos:
Teorema del Factor
• Demostrar que x – 2 es un factor de
f(x)= x3 - 4x2 + 3x + 2
Ceros Racionales
• Las posibilidades para los ceros racionales de un
polinomio con coeficientes enteros se limitan
mediante el siguientes teorema:
• Sea f(x) = anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 , con
coeficientes enteros.
• Si c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no
tienen ningún factor primo común entonces
o c es un factor del término constante a0
o d es un factor del coeficiente principal an
Ceros racionales
• El siguiente cociente nos ayuda a enumerar los
posibles candidatos:
𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝟎
𝑷𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 =
𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝒏
Ejemplo: Hallar los posibles ceros racionales de
f(x) = x3 – 4x – 2
factores de ao : 2, 1
factores de an : 1
2 1
posibles ceros:
,
esto es, 𝟐, 1
1 1
Ejemplo
Ejemplo: Demostrar que f(x) = x3 – 4x – 2
NO tiene ceros racionales
Determinamos en el ejemplo anterior que los posibles
ceros son:, 𝟐, 1. Si ninguno de los candidatos es un
cero, el polinomio NO tiene ceros racionales.
f(x) NO tiene ceros racionales.
Teorema del Factor
Ejemplo: Hallar un polinomio, f(x), de grado 3 cuyos
ceros son 2, -1 y 3 y que cumple la condición que
f(1)=8.
Por el teorema del factor, f(x), tiene factores x – 2,
x + 1, y x – 3. Por lo tanto,f(x) = a(x – 2)(x + 1)(x – 3).
Utilizando el hecho de que f(1)=8, sustituimos
8 = a(1 – 2)(1 + 1)(1 – 3) que simplificando para a nos
da 8 = 4a o sea que a = 2 y
f(x) = 2(x – 2)(x + 1)(x – 3).
Ejemplo
Hallar los ceros racionales de la función
f(x) = 3x4 + 14x3 + 14x2 – 8x – 8
utilizando división sintética.
Primero hallamos los candidatos a ceros racionales:
𝑷𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 =
𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝟎
𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝒏
Example (cont’d)
Tres aseveraciones
equivalentes
• Las siguientes aseveraciones son equivalentes para
una función polinómica f :
o El punto (a, b) está en la gráfica de f .
o El valor de f en x = a es b ;
o sea , f(a) = b .
o Si se divide f(x) entre x – a , el residuo de la
división es b .
Cuatro aseveraciones
equivalentes
• Además, si b = 0 , entonces las siguientes
aseveraciones son equivalentes:
o El número a es un cero de la función f .
o El punto (a, 0) está en la gráfica de f ;
esto es, a es un intercepto en x.
o El número a es una solución de la ecuación f(x) = 0 .
o El binomio x – a es un factor del polinomio f(x) .
Ejemplos adicionales
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Trace la gráfica de
¿Qué sabemos?
• grado
grado:impar; n = 5
• factoriza:
• número de ceros en x: 3 (x = 0, x=-3, x=-2)
• número de puntos de retorno,
retorno: a lo más 4
• a= -1; gráfica sube en el extremo izquierdo y
• baja en el extremo derecho
• Los interceptos en x son
son: {(0,0), (-3,0), (-2,0)}
• El intercepto en y es
es:(0,0).
Trace la gráfica de
grado 5; tiene 3 ceros o
interceptos en x
a = -1 < 0
extremo izquierdo:
gráfica sube
extremos derecho:
gráfica baja
signo f(x) para -3<x<-2 :
evaluar f(-2.5)
signo f(x) para -2<x<0:
evaluar f(-1.5) o f(-0.5)
División Larga
• Si f(x) y g(x) son dos polinomios y g(x) es un
factor de f(x) , entonces f(x) es divisible entre
g(x) o g(x) divide a f(x).
• Por ejemplo, x4 – 16 es divisible entre…
o x2 + 4 ,
ox+2,y
ox–2
o por que
• 𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝒙𝟐 + 𝟒 (𝒙 + 𝟐) 𝒙 − 𝟐
División Larga
• Podemos usar división larga para hallar el
cociente y el residuo como de dos polinomios.
• El proceso de división larga termina cuando el
residuo
o es igual a 0
o o tiene un grado menor que el grado del
divisor
• Si durante el proceso de división larga llegamos
a 0, el cociente y el divisor son factores del
dividendo.
2
Dividir: (2𝑥 −5𝑥 − 1) ÷ (𝑥 − 3)
• El resultado anterior se puede escribir
•
𝟐𝒙𝟐 −𝟓𝒙−𝟏
𝒙−𝟑
= 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟑 +
𝟐
𝒙−𝟑
• Multiplicando en ambos lados por x – 3 nos da
• 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟑 + 𝟐
Dividir: (𝑥 4 −16) ÷ (𝑥 2 + 3𝑥 + 1)
División Larga
División Larga
• El resultado anterior se puede escribir


x  16
21x  24
2
  x  3x  8   2
.
2
x  3x  1
x  3x  1
4
• Multiplicando en ambos lados por
x2 + 3x + 1 nos da
x  16   x  3x  1 x  3x  8    21x  24  .
4
2
2

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