3. Plano y espacio - Mauricio Contreras

3.
Plano y
espacio
Matemáticas 4º ESO Opción B
1. Áreas y volúmenes de
troncos de pirámide y conos
2. Tramas
3. Observar e imaginar
4. Poliedros
5. Movimientos en el plano
6. Cónicas y lugares
geométricos
50
Plano y espacio
1. Áreas y volúmenes de troncos de pirámide y conos

DEL TRONCO A LA PIRÁMIDE
Si conocemos las dimensiones de un tronco de pirámide, ¿podemos determinar las
dimensiones de la pirámide de la que procede?. Observa en la figura adjunta que, por
semejanza de los triángulos AMN y ABC, se cumple:
AM MN

AB
BC
y
AN MN

AC BC
lo que permite calcular la altura y la arista lateral de la pirámide si se conocen la altura, la
arista lateral y las aristas básicas del tronco de pirámide. Para hallar los segmentos MN y
BC puedes usar el teorema de Pitágoras o propiedades del polígono de que se trate.
1) Una pirámide cuadrangular regular tiene de arista básica 8 cm y de arista lateral 9 cm. Trazamos
un plano paralelo a la base a 2 cm de ella, obteniendo así un tronco de pirámide. ¿Cuál es la
arista lateral de este tronco de pirámide?.
2) Las aristas de las bases de un tronco de pirámide hexagonal regular miden 18 cm y 8 cm, y su
arista lateral es de 26 cm. Calcula la altura y la arista lateral de la pirámide correspondiente.
Ten en cuenta que el lado de un hexágono regular coincide con el radio de su circunferencia
circunscrita.
51
Matemáticas 4º ESO Opción B

TRONCO DE CONO
En la industria encontramos con frecuencia piezas de forma cónica, si bien, puede suceder
que éstas no sean un cono propiamente dicho, sino una parte de él; por ejemplo, vasos,
tapones de corcho, etc.
Si nos imaginamos un cono cortado por un determinado plano obtenemos otra cuerpo
geométrico denominado tronco de cono. Si el cono es recto y el plano de corte es paralelo a
la base, obtenemos un tronco de cono recto. En otro caso, obtenemos un tronco de cono
oblicuo, como puedes ver en la siguiente figura.
Tronco de cono recto Tronco de cono oblicuo
Un cono de revolución tiene 13 cm de generatriz y 5 cm de radio de la base. Si lo cortamos con un
plano paralelo a la base que pasa por un punto de la generatriz distante del vértice 5’2 cm, calcula la
altura del tronco de cono recto resultante.

RELACIÓN EN UN TRONCO
1) Sean R y r los radios de las bases de un tronco de cono recto, cuya altura es h
y cuya generatriz es g. ¿Qué relación existe entre R, r, h y g?.
2) Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución son 80 cm y 40
cm, y la altura 30 cm. Calcula la generatriz de dicho tronco de cono. Calcula
también la altura del cono del cual procede dicho tronco de cono.

DESARROLLO PLANO DE UN TRONCO DE CONO
Para obtener el desarrollo plano de un tronco de cono recto haremos un corte a dicho tronco
a lo largo de la generatriz y desplegaremos la figura sobre el plano. El resultado es el
siguiente:
Dibuja en una cartulina, utilizando regla y compás, el desarrollo plano de un tronco de cono recto de
altura 12 cm, cuyas bases menor y mayor tengan por diámetros 4 cm y 22 cm, respectivamente. A
continuación, recórtalo y móntalo.
52
Plano y espacio

ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
Si cortamos una pirámide por un plano paralelo a la base se obtiene un tronco de pirámide,
que es el sólido comprendido entre la base y el plano de corte.
En un tronco de pirámide recto y regular, sus caras son trapecios isósceles y como el área
del trapecio es A =
1
b + b'  a , contando el número de trapecios es fácil deducir que:
2
AL 
1
 P + P'   a
2
AT  AL  Ab  Ab'
donde P y P’ representan los perímetros de las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas.
1) Halla las áreas lateral y total de un tronco de pirámide regular cuadrangular sabiendo que su
altura es 20 cm, la base mayor está inscrita en una circunferencia de 4 cm de radio y el área de la
base menor es la mitad del área de la mayor.
2
2) El área de la superficie total de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas es 1666 cm .
2
2
Las áreas de las bases son 144 cm y 324 cm respectivamente. Halla la apotema del tronco.

COMPARA VOLÚMENES
1) Construye un prisma y una pirámide de igual base e igual altura. Móntalos prescindiendo de la
cara básica y comprueba que el volumen del prisma es triple que el de la pirámide, llenando la
pirámide de arena tres veces consecutivas y vertiendo su contenido en el prisma.
2) En una pirámide, la sección producida por un plano paralelo a la base
determina con el vértice una nueva pirámide semejante a la anterior.
Halla la razón entre sus volúmenes teniendo presente la razón entre
las áreas de sus bases, así como la razón entre sus alturas.
1
 Ab  h
VPIRAMIDEGRANDE
3
Comprueba que se cumple que:

 k3
VPIRAMIDEPEQUEÑA 1
 A'b h'
3
siendo k la razón entre las alturas de dichas pirámides.
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Matemáticas 4º ESO Opción B

VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
Al cortar una pirámide por un plano paralelo a su base, se obtiene una
pirámide más pequeña y un tronco de pirámide.
Para hallar el volumen de un tronco de pirámide basta considerarlo como
diferencia de dos pirámides:
VTRONCO  VPIRAMIDEGRANDE  VPIRAMIDEPEQUEÑA
1) Las aristas de las bases de un tronco de pirámide hexagonal regular miden 18 cm y 8 cm, y su
arista lateral es de 26 cm. Calcula su volumen, así como su área total.
2) Una pirámide cuadrangular regular tiene de arista básica 8 cm y de arista lateral 9 cm. Se desea
calcular el volumen del tronco de pirámide producido por un plano paralelo a la base a 2’1 cm de
distancia de ella.

ÁREA Y VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO
Observa el desarrollo plano de un tronco de cono y fíjate que se parece al desarrollo plano
de un tronco de pirámide regular.
1) Utilizando el teorema de Pitágoras, averigua la relación existente entre R, r, h y g, siendo R y r los
radios de las bases del tronco de cono, h su altura y g su generatriz.
2) Teniendo en cuenta las expresiones del área lateral y total correspondientes al tronco de
pirámide, deduce que el área lateral y total de un tronco de cono vienen dados por las fórmulas:
A L    g  R + r 
y

A T    g  R + r   R 2  r 2

3) Utilizando la expresión del volumen de un tronco de pirámide, deduce que el volumen de un
tronco de cono viene dado por la fórmula: V =

SÓLIDO
Calcula el volumen de este cuerpo:
54

1
  h  R 2  r 2  R  r
3

Plano y espacio
2. Tramas

TRAMAS REGULARES Y SEMIRREGULARES
Una trama es un conjunto de polígonos del mismo tipo que se repite a lo largo del plano,
siempre de la misma forma, repitiendo un motivo mínimo.
Una trama regular es la formada por polígonos regulares del mismo tipo. Las únicas tramas
regulares que existen son las formadas por cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos
regulares.
a) Construye, en una hoja de tamaño DIN – A4, una trama formada por triángulos equiláteros de 3
cm de lado. Busca un algoritmo lo más rápido posible.
b) Construye, en una hoja de tamaño DIN – A4, una trama formada por cuadrados de 3 cm de lado.
Busca el algoritmo más rápido.
c) En otra hoja de tamaño DIN –A4, construye una trama formada por hexágonos regulares de 2 cm
de lado. Explica el algoritmo utilizado. ¿Puedes aprovechar alguna trama de que ya dispongas?.
d) ¿Puedes construir una trama formada solamente por pentágonos regulares de lado 2 cm?. ¿Y por
octógonos regulares de 2 cm de lado?. ¿Por qué?.
e) ¿Puedes construir una trama formada solamente por rombos de 3 cm de lado?. ¿Puedes
aprovechar alguna trama ya construida?. ¿Consideras que esta trama es del mismo tipo que las
obtenidas anteriormente?. ¿Qué diferencias observas?.
f)
¿Se pueden construir tramas utilizando dos o más tipos de polígonos regulares, con la condición
de que todos ellos tengan lados de la misma longitud?. Investiga si son posibles dichas
construcciones combinando:

triángulos equiláteros y cuadrados.
 triángulos equiláteros y hexágonos regulares

cuadrados y octógonos regulares.
 triángulos equiláteros y octógonos regulares.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
 CUADRADOS
¿Cuál es el cuadrado más pequeño que tiene sus vértices en puntos de esta trama?.
¿Cuál es el siguiente cuadrado en tamaño?. ¿Y el siguiente?.
¡Ten cuidado!. El siguiente de este cuadrado
no es este otro
Hay otro cuadrado comprendido entre los dos.
Continúa dibujando cuadrados con vértices en puntos de la trama y ordénalos según su tamaño. En
caso de duda, calcula el área de cada uno. ¿Cómo puedes hacerlo?
 TRIÁNGULOS
¿Cuál es el triángulo más pequeño que tiene sus vértices en puntos de la trama?.
¿Cuál es el siguiente triángulo en tamaño?. ¿Hay sólo uno?.
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Plano y espacio
¡Ten cuidado!. El siguiente de este triángulo
no es este otro
Este está comprendido entre los dos:
Dibuja, por lo menos, los seis primeros triángulos que tengan sus vértices en puntos de la trama.
Calcula su área y perímetro y utiliza los resultados para ordenarlos.
 ÁREA 2
¿Cuántos triángulos distintos crees que se pueden dibujar en esta trama, de manera que todos ellos
tengan área 2?.
 NUEVE PUNTOS
Dibuja todos los triángulos de distinto tamaño que tengan sus vértices en puntos de esta trama.
¿Cuántos hay?.
Calcula sus áreas y perímetros. Recuerda que esto
es la unidad de área y que esto
es la unidad de longitud. Ordena los triángulos por orden creciente de áreas y de
perímetros.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
 MÁS TRIÁNGULOS
¿Cuál es el triángulo más pequeño que tiene sus vértices en puntos de esta trama?.
¿Cuál es el triángulo que le sigue en tamaño?. ¿Y el siguiente?.
Ordena los triángulos obtenidos.
 ÁREA 6
El área de este triángulo es 1.
¿Cuál es el área de este hexágono?.
Dibuja hexágonos en una trama triangular que tengan área 6. Han de tener distintas formas, pero
siempre deben tener 6 unidades de área.
 TRANSPARENCIAS
Sobre un cristal de la ventana coloca a contraluz dos tramas ( cuadrada - cuadrada, cuadrada isométrica, isométrica - isométrica ) y desliza una sobre otra. ¿Qué observas?.
¿Pasaría lo mismo si utilizases tramas rayadas y no punteadas?. Comenta los resultados.
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Plano y espacio
 ¿CUÁNTOS CUADRADOS?
En
solamente hay un cuadrado, naturalmente. Pero en
hay seis cuadrados.
Cinco de ellos se ven enseguida, pero hay otro:
¿Cuántos cuadrados hay en
?.
 CUBOS
a) ¿Se puede representar un cubo en esta trama?. ¿Cómo?.
b) ¿Se puede representar un cubo en esta otra trama?. ¿Cómo?.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
3. Observar e imaginar

RECTÁNGULOS EN EL CUBO
Imagina un cubo sólido. Córtalo por un plano de manera que el corte sea un cuadrado.
Cuidado ahora: corta el cubo por un plano de manera que el corte sea un rectángulo no cuadrado.
¿Ya lo tienes?.
Córtalo por otro plano de manera que el rectángulo sea más pequeño que el anterior. Aún más
pequeño. Aún más... hasta que no tengas cuatro lados sino sólo uno.

TRIÁNGULOS EN EL CUBO
Imagina un cubo sólido. Fíjate en uno de sus vértices. ¿Cuántas aristas van a ese vértice?.
Toma el punto medio de cada una de las tres aristas que van a ese vértice. Si ahora cortases con una
cuchilla dando un corte plano que pase por esos tres puntos medios, el cubo quedará cortado en dos
trozos, uno más pequeño y otro más grande. Fíjate en el pequeño. ¿Qué figura es?.
¿Qué forma tiene el sitio por donde has dado el corte?.
¿Puedes imaginar otros cortes al cubo de manera que también salgan triángulos equiláteros pero
más grandes?. ¿Y más pequeños?.
¿Y triángulos que no sean equiláteros?.

CILINDRO
Imagina un cilindro. Que la altura sea aproximadamente tres veces el diámetro.
Córtalo por un plano perpendicular al eje del cilindro. ¿Qué figura queda como corte?.
Inclina un poco el plano de corte. ¿Qué figura queda ahora como corte?.
Sigue inclinando el plano más y más. ¿Qué figuras van quedando como cortes?.
Si sigues inclinando el plano verás que las figuras dejan de ser elipses. ¿Qué son?.
60
Plano y espacio

ROTACIONES
Imagina un segmento. Ese segmento es el diámetro de una semicircunferencia.
semicircunferencia da una vuelta completa en torno al diámetro. ¿Qué figura se ha formado?.
La
Vuelve a imaginar el mismo segmento. Imagina ahora un segmento paralelo a él y de igual longitud.
Une los segmentos por sus extremos. ¿Se ha formado un rectángulo?. Si es así, gira el segundo
segmento una vuelta completa en torno al primero. ¿Qué figura se ha formado?. Si no era un
rectángulo, ¿qué figura era?. Gira el segundo segmento una vuelta completa en torno al primero.
¿Qué figura sale?.
Vuelve a imaginar el mismo segmento inicial. Extendiéndolo por sus extremos. Más, más, hasta que
veas una recta.
Ahora imagina una circunferencia que no corte a esa recta. Gira la circunferencia una vuelta completa
en torno a la recta. ¿Ves la figura que has descrito?. Se llama toro.
Imagina la misma recta. Y ahora una circunferencia que la toque solamente en un punto. Haz que la
circunferencia dé una vuelta completa en torno a la recta. ¿Ves lo que sale?.
Imagina ahora que la circunferencia corta a la recta en dos puntos. La circunferencia está partida en
dos. Quédate con uno de los trozos y olvídate del otro. Haz que el trozo con el que te has quedado dé
una vuelta completa en torno a la recta. ¿Ves la figura que se ha formado?.

SOMBRAS
Imagina un marco rectangular de madera que apoyado en el suelo sea más alto que ancho. El marco
está perpendicular al suelo. Siguiendo hacia arriba el filo del marco hay una luz situada a una altura
sobre doble que la del marco. Entonces el marco arroja una sombra sobre el suelo. ¿La ves?.
¿Cuánto crees que mide la longitud de la sombra?.
Ahora la luz la vas bajando poquito a poco. ¿Qué le va ocurriendo a la sombra?. Sigues bajando la
luz hasta que casi toque el marco. ¿Cómo es la sombra ahora?. La luz está ya justamente en la
esquina del marco. ¿Cómo es la sombra?.
El mismo proceso, pero con la luz situada en el vértice del punto medio del lado superior del marco.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
 FIGURAS IMPOSIBLES
Aquí tienes dos figuras imposibles, dos figuras que no pueden existir en nuestro espacio de tres
dimensiones (¿Por qué?). Utiliza una trama isométrica de puntos como esta para dibujar otras figuras
imposibles que se te ocurran.
62
Plano y espacio

CINTAS DE MÖEBIUS Y FALSAS CINTAS
Se hace un giro de 180º y se superponen A 1 con B 2 . Lo que se obtiene es una cinta de Möebius,
que tiene una sola cara y una sola arista.
Si en lugar de un solo giro de 180º se dan dos giros seguidos de 180º en el mismo sentido, se obtiene
una falsa cinta de Möebius; falsa porque tiene dos caras y dos aristas.
a) Cuando tengas hecha una cinta de Möebius, imagina lo que pasaría si cortases por el centro
siguiendo una recta paralela a los bordes. Después de pensar lo que saldría, corta para saber si
estabas en lo cierto.
b) Haz lo mismo con una falsa cinta de Möebius.
c) ¿Qué ocurriría en cada uno de los casos (a) y (b) si volvieras a cortar de la misma manera cada
cosa que hubieras obtenido?.
d) ¿Y si sigues cortando de la misma manera una y otra vez?. ¿Qué quedará en cada caso después
de n cortes?.

CINTAS EN LOS ESPEJOS
Utilizando dos espejos cuadrados de 15 cm de lado, celo y cinta aislante, puedes construir un libro de
espejos, tal como indica la siguiente figura:
Utiliza el libro de espejos y una tira rectangular de cartulina para generar diversas cintas de Möebius y
falsas cintas. ¿Cómo puedes hacerlo?.
63
Matemáticas 4º ESO Opción B
4. Poliedros
 CORTANDO EL CUBO
a) ¿Cómo hay que cortar un cubo para que la sección obtenida sea un cuadrado?. ¿Y para que sea
un rectángulo?.
b) ¿Cómo hay que cortar un cubo para que la sección obtenida sea un rombo?. ¿Y para que sea un
hexágono regular?.
Utiliza, si es preciso, cutters y cubos de estiropor para responder estas cuestiones y describe lo
mejor posible las secciones obtenidas.
 BUSCA POSIBILIDADES
¿Es posible cortar un cubo de manera que la sección obtenida sea un octógono regular?. ¿Es posible
obtener como sección un pentágono?.
 SECCIONES MODULARES
Como puedes apreciar en las siguientes figuras, las secciones cuadrada y rectangular del
cubo tienen una interesante propiedad: dividen al cubo en dos partes “iguales”, es decir en
dos sólidos que, teniendo el mismo volumen, forman por yuxtaposición el cubo completo.
Las secciones que tienen esta propiedad se llaman modulares.
a) Expresa el perímetro de cada una de las secciones en función de la arista a del cubo.
b) Halla el área de cada una de las secciones.
64
Plano y espacio
 ÁREA Y PERÍMETRO
Las secciones rómbica y hexagonal del cubo que puedes ver en la siguiente figura, ¿son secciones
modulares?. ¿Por qué?.
a) Expresa el perímetro de cada una de estas secciones en función de la arista a del cubo.
b) Halla el área de cada una de las secciones.
 RECORTABLES
Con estos recortables podrás obtener algunos sólidos interesantes. Si los unes adecuadamente,
obtendrás un poliedro conocido. Inténtalo.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
66
Plano y espacio
 EL CUBO SOMA
Juntando adecuadamente estas siete piezas podrás obtener un cubo. Inténtalo.
¿Tienen todas las piezas el mismo volumen?. ¿Tienen todas ellas la misma superficie?. Compara el
volumen y la superficie de cada una con el volumen y la superficie del cubo total.
Cuando hallas conseguido una solución, no te conformes. Averigua si hay más soluciones.
 TRUNCANDO POLIEDROS
¿Cuántas aristas concurren en un vértice de un cubo?. Elige sobre ellas tres puntos próximos al
vértice que equidisten de él. Corta el cubo de manera que la sección pase por esos puntos. Repite la
operación en las ocho esquinas. ¿Qué poliedro resulta?.
a) Las caras de este poliedro, ¿son polígonos regulares?. ¿Cómo hay que cortar el cubo para que lo
sean?.
b) Si seccionas el cubo por los puntos medios de las aristas, ¿qué poliedro obtienes?.
c) Construye los sólidos anteriores utilizando polígonos de cartulina y gomas elásticas.
Contesta las mismas cuestiones que en el problema anterior partiendo de un tetraedro y un octaedro.
Describe en cada caso los poliedros obtenidos. ¿Son regulares?. ¿Por qué?.
OCTAEDRO
CUBO
TETRAEDRO
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Matemáticas 4º ESO Opción B
 POLIEDROS SEMIRREGULARES
Los sólidos que has obtenido en los problemas anteriores se llaman poliedros
semirregulares.
Partiendo del cubo, se obtiene el cubo truncado, formado por 6 octógonos regulares y 8
triángulos equiláteros. ¿Cuántos vértices tiene?. ¿Cuántas aristas?.
Cortando el cubo por los puntos medios de las aristas se obtiene el cubo octaedro, formado
por 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros. ¿Cuántos vértices tiene?. ¿Cuántas aristas?.
Seccionando el octaedro por las aristas a un tercio del vértice se obtiene el sólido de Kelvin,
formado por 8 hexágonos regulares y 6 cuadrados. ¿Cuántos vértices tiene?. ¿Cuántas
aristas?.
Al cortar el octaedro por los puntos medios de las aristas se obtiene de nuevo el cubo
octaedro.
cubo truncado
cubooctaedro
octaedro truncado (Kelvin)
Si cortamos las aristas de un icosaedro a un tercio del vértice obtenemos el icosaedro
truncado (o balón de fútbol), cuyas caras son hexágonos y pentágonos regulares. ¿Cuántos
hexágonos?. ¿Cuántos pentágonos?.
Al seccionar un icosaedro por los puntos medios de las aristas obtenemos el
icosidodecaedro, cuyas caras son pentágonos regulares y triángulos equiláteros. ¿Cuántos
pentágonos?. ¿Cuántos triángulos?.
Partiendo de un dodecaedro obtenemos el dodecaedro truncado, cuyas caras son
decágonos regulares y triángulos equiláteros. ¿Cuántos polígonos de cada tipo?.
Al cortar las aristas de un dodecaedro por su punto medio obtendremos, de nuevo, el
icosidodecaedro.
icosaedro
truncado
icosidodecaedro
¿Cumplen estos poliedros la fórmula de Euler: C + V = A + 2 ?.
68
Dodecaedro
truncado
Plano y espacio
 ARISTAS
a) Suponiendo que la arista del octaedro es 1 metro, ¿cuánto mide la arista del sólido de Kelvin
obtenido a partir de él?.
b) La arista de un cubo mide 1dm.¿Cuánto medirá la arista del cubo-octaedro resultante al cortar
dicho cubo?. ¿Cuál será la longitud de la arista del cubo truncado correspondiente?.
 SUPERFICIE Y VOLUMEN
a) Hemos obtenido un cubo – octaedro partiendo de un octaedro de arista 8cm. Halla la superficie y
el volumen del cubo – octaedro.
b) Averigua la superficie y el volumen de un sólido de Kelvin construido a partir de un octaedro de 16
cm de arista.
 BALÓN DE FÚTBOL
El balón de fútbol de la figura está formado por 12 pentágonos regulares y 20 hexágonos regulares.
El lado del hexágono mide 4’3 cm y el radio de la circunferencia inscrita en el pentágono 2’96 cm.
Calcula la cantidad de cuero que se necesitará para hacer este balón.
 DUALIDAD
Partiendo del cubo y del octaedro, obtienes un mismo poliedro, el cubo – octaedro. El número de
vértices del cubo coincide con el número de caras del octaedro, y viceversa. Según esto, es posible
inscribir uno en otro, de manera que los vértices de uno sean lo puntos medios de las caras del otro.
Este fenómeno se conoce como dualidad y se dice que el cubo y el octaedro con poliedros duales.
¿Son duales el icosaedro y el dodecaedro?.
69
Matemáticas 4º ESO Opción B
 DESARROLLOS PLANOS
Para obtener el desarrollo plano de un cubo, basta que apoyes una a una todas sus caras
sobre el papel, sin recorrer la misma cara dos veces. Al mismo tiempo, dibujarás con el lápiz
el contorno de cada cara. Después debes pensar cómo situar las pestañas en el recortable
para hacer cómoda la tarea de pegar.
a) Usando un procedimiento parecido, obtén el desarrollo plano del cubo – octaedro y del sólido de
Kelvin.
b) ¿A qué sólidos pueden corresponder los siguientes desarrollos planos?. Añade las pesatañas
necesarias, recórtalos y construye los poliedros correspondientes.
70
Plano y espacio
71
Matemáticas 4º ESO Opción B
 MACIZAMIENTO
a) El cubo maciza el espacio, es decir, al unir unos cubos con otros por sus caras, se llena el
espacio, sin que queden huecos. Puedes comprobarlo juntando cubos del mismo tamaño o
usando un triedro trirectángulo de espejos.
¿Se puede macizar el espacio con tetraedros?.
Investiga con otros poliedros regulares.
b) El sólido de Kelvin es un poliedro semirregular que maciza el espacio. ¿Con qué otros poliedros
semirregulares o combinaciones de ellos puedes hacerlo?.
 EL ROMBODODECAEDRO
Si trazas las cuatro diagonales del cubo, éste queda dividido en seis pirámides iguales de
base cuadrada cuyo vértice común es el centro del cubo.
Si añades a las caras del cubo seis pirámides iguales a las anteriores, obtendrás un nuevo
poliedro semiregular cuyas caras son romboides. Se llama rombododecaedro.
a) Suponiendo que la arista del cubo inicial mide 1 metro, ¿cuánto mide la arista del
rombododecaedro?.
b) ¿Se puede macizar el espacio con rombododecaedros?.
72
Plano y espacio
 EL TETRAEDRO TRUNCADO
¿Cuántas aristas concurren en un vértice de un tetraedro?. Elige sobre ellas tres puntos próximos al
vértice que equidisten de él. Corta el tetraedro de manera que la sección pase por esos puntos.
Repite la operación en las cuatro esquinas. ¿Qué poliedro resulta?.
a) Las caras de este poliedro, ¿son polígonos regulares?. ¿Cómo hay que cortar el tetraedro para
que lo sean?.
b) ¿Qué poliedro se obtendrá al cortar el tetraedro por los puntos medios de las aristas?.
Cuando seccionamos el tetraedro por las aristas a un tercio del vértice, obtenemos un
nuevo poliedro semirregular, llamado tetraedro truncado. Tiene ocho caras, 4 hexágonos
regulares y 4 triángulos equiláteros.
c) Suponiendo que la arista del tetraedro inicial mide 1 dm. ¿cuánto medirá la arista del tetraedro
truncado?. ¿Cuál es su superficie?. ¿Y su volumen?.
d) ¿Se puede macizar el espacio con tetraedros truncados?.
e) ¿Pueden 5 tetraedros de la misma arista llenar el hueco que aparece al combinar tetraedros
truncados?.

EL OCTAEDRO
Material:
Palillos de varios colores, pegamento, hilo, plastilina de varios colores.
Un octaedro tiene ocho caras triangulares, seis vértices y 12 aristas. Haz un octaedro usando doce
palillos y pon las diagonales usando un hilo de algodón.
73
Matemáticas 4º ESO Opción B
1) ¿Cuántos triángulos hay?. ¿Cuántos cuadrados?.
2) ¿Cuántos ángulos rectos puedes ver?. ¿Cuántos planos de simetría?.
3) ¿Cuántos tetraedros puedes ver?. ¿Son regulares?.
4) ¿Cuántos pares de aristas oblicuas hay?
5) Si las aristas paralelas se pintan del mismo color, ¿cuántos colores se necesitan?.
6) Si las aristas adyacentes (inmediatas una a otra) se pintan de colores diferentes, ¿cuál es el
menor número de colores necesario?.
7) Si se dispone de dos colores para marcar los vértices, ¿cuántos octaedros diferentes hay?.
8) ¿Podrías encontrar un itinerario que recorriese cada arista y diagonal usándolas sólo una vez?.
9) ¿Hay algún itinerario posible si se eliminan las diagonales?.
5. Movimientos en el plano
 MOSAICOS
Te presentamos a continuación algunos tipos de mosaicos. Observa que en todos ellos hay siempre
un motivo mínimo que se repite, de manera que trasladando este motivo en todas direcciones se
“llena” el plano, es decir no quedan huecos entre las piezas, ni montan unas piezas sobre otras.
Observa detenidamente cada uno de estos mosaicos. ¿Cómo se han construido?. ¿Podrías
diseñarlos haciendo uso de tramas de puntos?.
74
Plano y espacio
 MÓDULOS PLANOS
Una trama (cuadrada, isométrica, de hexágonos regulares) es ella misma un mosaico.
Estos tres son los únicos mosaicos regulares que existen. Están construidos con polígonos
regulares del mismo tipo.
Un módulo plano es una figura plana que por sucesivas yuxtaposiciones llena el plano. El
cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular son módulos planos.
A partir de un módulo plano pueden obtenerse otros distintos, utilizando para ello el criterio
de conservar la superficie del módulo inicial. Los módulos equisuperficiales así obtenidos
también llenarán el plano, por hacerlo el módulo inicial.
Este proceso es el que se ha seguido para construir algunos de los mosaicos anteriores,
como puedes apreciar en las figuras que siguen:
Como el triángulo equilátero llena el plano, también lo hará el módulo obtenido. Observa que
el área de este módulo es la misma que la del triángulo equilátero inicial.
Como el hexágono regular llena el plano, también lo hará el módulo obtenido. Observa que
el área de este módulo es la misma que la del hexágono regular inicial.
a) Aquí tienes algunos ejemplos de módulos planos. ¿A partir de qué polígonos se han diseñado?.
75
Matemáticas 4º ESO Opción B
b) Averigua con ayuda de tramas cómo se ha construido el siguiente mosaico:
 DISEÑA MOSAICOS
Para producir mosaicos, puedes utilizar un método modular, como el anteriormente descrito,
o bien hacer uso de un método combinatorio, combinando distintas formas planas para
formar el motivo mínimo. Por ejemplo, en este mosaico:
el motivo mínimo está formado por el módulo
que, a su vez, es combinación de otras dos piezas:
Estas dos piezas no llenan el plano separadamente, pero si lo hacen conjuntamente, cuando
forman el módulo anterior.
Utilizando diferentes tipos de tramas de puntos, construye un mosaico. Puedes hacer uso de un
método combinatorio o uno modular. Procura que el resultado sea lo más estético posible. Para ello,
te vendrán bien algunas recomendaciones:
 No abuses de las curvas;
 No utilices demasiados colores;
 Usa siempre colores armoniosos. ¿Qué entiendes por “armoniosos”?.
76
Plano y espacio
 MOSAICOS
a) Haciendo uso de distintos tipos de tramas, investiga cómo se han hecho cada uno de los
mosaicos que siguen.
Busca un motivo mínimo, es decir, la menor porción del plano que por traslaciones sucesivas
genere todo el mosaico. En cada uno de ellos, ¿puedes transformar la pieza negra en la pieza
blanca? ¿Cómo?.
b) En el siguiente mosaico, ¿qué debes hacer para transformar A en B?. ¿Y para transformar A en
C?. Explica detenidamente como lo haces.
 TRASLACIONES
Una traslación queda definida si se conoce la dirección, sentido y longitud de la traslación.
Estas tres magnitudes se representan por una flecha, llamada vector de la traslación, cuyo
origen y destino indican, respectivamente, las posiciones inicial y final del objeto trasladado.
a) A las siguientes figuras aplícales una traslación de vector a y otra de vector 2b. ¿Cuál es el
resultado final?.
77
Matemáticas 4º ESO Opción B
Podemos representar la traslación de vector a por medio de dos números, llamados
componentes del vector a: el primero indica cuántas unidades debe desplazarse el objeto en
la dirección horizontal (si es positivo a la derecha, si es negativo a la izquierda); el segundo
indica cuántas unidades debe desplazarse el objeto en la dirección vertical (si es positivo
hacia arriba, si es negativo hacia abajo).
b) En la figura hemos efectuado una traslación de vector (3, 2). Aplícale a esta figura una traslación
de vector (2, -4), otra de vector (-4, 3) y otra de vector (-2,-3). ¿Cuál es el resultado final?.
 MÓDULO DE UN VECTOR
Los elementos que definen un vector son:
a) Origen: punto de partida de la traslación.
b) Extremo: punto de llegada de la traslación.
c) Dirección: recta en la que está contenido el vector.
d) Sentido: el que va del origen al extremo.
e) Módulo: es la longitud del vector, es decir, la distancia entre el origen y el extremo.
a) Halla las componentes y el módulo de los siguientes vectores:
b) Halla el módulo de los vectores: a=(3, 2), b=(2, 4), c=(3, 4) y d=(2, 3). Dibuja dichos vectores.
78
Plano y espacio
 OPERACIONES CON VECTORES
a) Suma de vectores
Para sumar dos vectores se procede de la siguiente manera: partiendo del extremo del
primer vector se dibuja el segundo. El vector suma es aquel que tiene como origen el origen
del primero y como extremo el extremo del segundo.
Por ejemplo, en la siguiente figura, la suma de los vectores a y b es el vector c.
Observa que las componentes de los vectores son a=(1, 2), b=(2, 2), c=(3, 0). Se cumple
que las componentes del vector suma son igual a la suma de las componentes de los
vectores dados:
a + b = (1, 2) + (2, 2) = ( 1 + 2, 2 + (2) ) = (3. 0) = c
b) Producto de un número real por un vector
Para multiplicar un número por un vector hay que dibujar dicho vector tantas veces como
indique el número. El vector resultante tiene el mismo sentido que el inicial, si el número es
positivo, y sentido contrario, si el numero es negativo. Las componentes de dicho vector se
obtienen multiplicando por el número las componentes del vector inicial.
Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra el vector 2b:
Observa que las componentes de estos vectores son: b=(2, 2) y 2b=(4, 4). Se cumple, por
tanto:
2b= 2 (2, 2) =( 22, 2(2) ) = (4, 4)
79
Matemáticas 4º ESO Opción B
Dados los vectores a y b de la siguiente figura, dibuja los vectores 3a, 2b y 3a2b. Halla el módulo y
las componentes de todos los vectores:
 COMBINACIÓN LINEAL
La figura adjunta sugiere que entre los vectores dibujados existe la relación: d= 2a+3b.
¿Qué relación existe entre los vectores a, b y d de la siguiente figura?.
80
Plano y espacio
6. Cónicas y lugares geométricos
 SECCIONES CÓNICAS
Las distintas figuras que se pueden obtener al cortar una superficie cónica por un plano se llaman
secciones cónicas o, simplemente, cónicas.
a) Si el plano corta a todas las generatrices de la superficie, se obtienen curvas denominadas
elipses. Intenta describir lo mejor posible este tipo de curvas. ¿Es posible obtener en este caso
circunferencias?. ¿Cómo?.
b) Si el plano corta a todas las generatrices, excepto a una, a la cual es paralelo, se obtienen
curvas denominadas parábolas. ¿Tienen estas parábolas siempre la misma abertura, o por el
contrario, es posible conseguir unas parábolas más dilatadas y otras menos ?.
c) Si el plano corta a todas las generatrices, excepto a dos, a las cuales es paralelo, se obtienen
curvas denominadas hipérbolas. Intenta describir estas curvas lo mejor que puedas.

CONO TRANSPARENTE
Toma un cono transparente e introduce cierta cantidad de líquido de color en su interior. Sitúa el cono
en distintas posiciones y apreciarás como la superficie del líquido adquiere distintas siluetas curvas.
Describe con precisión dichas curvas.
a) ¿Se puede obtener una circunferencia?. ¿Cómo?.
b) ¿Cómo debes situar el cono para que la curva obtenida sea una elipse?.
c) ¿Y para que sea una parábola?. ¿Y una hipérbola?.
d) En cada caso, describe con precisión cómo habría que cortar un cono de plastilina para que la
sección tuviese la misma forma que la curva obtenida.
81
Matemáticas 4º ESO Opción B

COMETAS
Dibuja dos circunferencias secantes que tengan distintos radios. Une los puntos de intersección de
las dos circunferencias con sus centros. ¿Qué figura se obtiene?
Investiga las propiedades de esta figura:

¿Qué ocurre si las circunferencias son secantes exteriores?. ¿Y si son secantes interiores?.

¿Qué ocurre al doblar el papel por una diagonal?. ¿Es simétrica?. ¿Cuántos ejes de simetría
tiene?. ¿Cuál es el eje de simetría?. ¿Cómo puedes saber si una recta es o no eje de simetría?.

¿Cuánto suman los ángulos interiores?

¿Son iguales los ángulos?.

¿Hay parejas de ángulos iguales?.

¿Las diagonales se cortan en su punto medio?.

¿Las diagonales son perpendiculares?.

CONSTRUYE Y CLASIFICA COMETAS
a) Dibuja un cometa, sabiendo que sus diagonales son los segmentos AC y BD de la siguiente figura
y que el eje de simetría es la diagonal AC.
b) Clasifica los cometas que has construido en los apartados anteriores. ¿Alguno de ellos es un
rombo?. ¿Alguno es un cuadrado?.
82
Plano y espacio

CON EL MISMO PERÍMETRO
a) Construye un cometa cuyo semiperímetro es el segmento PQ de la siguiente figura. ¿Cuántas
soluciones crees que hay?.
b) Seguramente has elegido al azar una longitud para el lado AB y, a partir de ésta, has determinado
la longitud del otro lado BC. Una cosa así:
Pero la longitud de AB puede ser diferente de la que has utilizado. Construye otro cometa
manteniendo fijos los vértices A y C, pero variando AB y BC.
Construye tres cometas más que tengan los mismos vértices A y C, el mismo perímetro, pero
con longitudes AB y BC distintas que los anteriores.
Fíjate en los vértices B y D de cada uno de los cinco cometas que has dibujado. Si dibujases
muchos más cometas que cumplan las mismas condiciones, ¿qué lugar geométrico formarán los
vértices B y D de cada uno?.
 LA ELIPSE
En un tablero de corcho fija una cartulina y clava dos chinchetas con 12 cm de separación entre ellas.
Enlaza en cada una de ellas los extremos de un hilo de 20 cm de longitud. Manteniendo el hilo tenso
con la punta del lápiz, dibuja la curva que éste te permita trazar.
a) ¿Qué cónica representa el trazo obtenido?.
b) Para un punto cualquiera P, ¿a qué es igual la suma de las distancias de P a cada una de las
chinchetas?. Puesto que P es un punto cualquiera, ¿cuál es la condición general de los puntos de
la cónica?.
c) ¿Qué curva obtendrías si las dos chinchetas estuviesen situadas en el mismo punto?. ¿Y si están
separadas una distancia de 20 cm ?.
83
Matemáticas 4º ESO Opción B
 EXCENTRICIDAD
En una elipse ( ver figura ) podemos distinguir los siguientes elementos:

Centro: es el punto O.

Vértices: son los puntos A, A’, B y B’. La distancia OA=OA’=a se llama semieje mayor
y la distancia OB=OB’=b se llama semieje menor. Las rectas AA’ y BB’ son ejes de
simetria.

Focos: son los puntos F y F’. Para cualquier punto P de la elipse se cumple que
PF+PF’ es constante. La distancia entre los focos, FF’=2c, se llama distancia focal.

El mayor o menor achatamiento de una elipse se mide por su excentricidad, que es el
cociente:
e
c
a
y oscila entre 0 y 1, ya que c está comprendido entre 0 y a.
a) ¿Cuánto vale la suma AF+AF’ ?. ¿Cuánto valdrá esta suma para cualquier otro punto P de la
elipse ?. Más concretamente, ¿qué relación existe entre el semieje mayor, a, y la suma de
distancias PF+PF’ ?.
b) ¿Qué relación existe entre a, b y c ?.
c) ¿Qué elipse se obtiene si la excentricidad vale e = 0 ?.
 ÓRBITA PLANETARIA
En el dibujo puedes observar “a escala” la órbita elíptica de Mercurio alrededor del Sol. Calcula su
excentricidad, haciendo uso de los datos que aparecen.
84
Plano y espacio
 DOS ELIPSES
a) El eje mayor de una elipse mide 15 cm y su eje menor 8 cm. Averigua su distancia focal, así
como la excentricidad de ésta.
b) La excentricidad de una elipse es 0’8 y uno de sus puntos dista de los focos 18 cm y 12 cm
respectivamente. Calcula la longitud de sus ejes.
 ÁREA DE UNA ELIPSE
Si sobre una goma elástica dibujamos un cuadrado y una circunferencia inscrita en él, al estirar la
goma observamos que el cuadrado se convierte en un rectángulo y la circunferencia en una elipse.
Se cumple entonces la siguiente proporción de áreas:
A elipse A rectángulo
=
A círculo A cuadrado
a) Utilizando esta proporción y las fórmulas que dan las áreas de cuadrado, rectángulo y círculo,
halla una fórmula que permita hallar el área de la elipse, en función de los semiejes a y b.
b) ¿Cuál es el área encerrada por una elipse de distancia focal 7 cm y de eje mayor 9 cm ?.
 LA PARÁBOLA
Sobre un tablero de corcho fija una cartulina y clava chinchetas en el punto F y en el extremo B del
cartabón. A continuación fija los extremos de un hilo en cada chincheta. La longitud del hilo debe ser
mayor que la distancia del punto F a la regla. Apoya el lápiz sobre el cartabón, manteniendo tenso el
hilo. Empujando con la punta del lápiz, desplaza el cartabón sobre la regla. Al hacer este movimiento,
el lápiz dibujará una curva.
85
Matemáticas 4º ESO Opción B
a) ¿Qué cónica representa el trazo obtenido?.
b) Para cualquier punto, P, de la curva obtenida, mide las distancias de P a F y de P a la regla (
recta r, denominada directriz ). ¿Cómo son estas distancias?. Haz lo mismo eligiendo otros
puntos de la curva. ¿Qué observas?. ¿Qué condición deben cumplir todos los puntos de esta
cónica?.
 LA HIPÉRBOLA
En un tablero de corcho fijamos una cartulina y tres chinchetas en los puntos F, F’ y en el extremo B
de la regla. A continuación, fijamos los extremos de un hilo a las chinchetas situadas en F’ y B. La
longitud del hilo debe ser un poco superior a la mitad de la distancia entre F y F’.
Apoyamos el otro extremo de la regla en la chincheta situada en el punto F. Apoyamos el lápiz sobre
la regla, de forma que tensione el hilo y haga girar la regla con centro de giro en F.
Al hacer este movimiento, la punta del lápiz dibuja una curva. Si repites todos los pasos,
intercambiando los papeles de los puntos F, F’ y los dos extremos de la regla, obtendrás otra rama
de la curva.
a) ¿Qué cónica representa el trazo obtenido?.
b) Para cualquier punto P de una misma rama de la curva, mide las distancias PF y PF’ y calcula la
diferencia PF  PF’ (o bien PF’  PF). Haz lo mismo con otros puntos de la curva. ¿Qué
observas?. ¿Qué condición deben cumplir todos los puntos de esta cónica?.
 MAS EXCENTRICIDAD
En una hipérbola ( ver figura ) podemos distinguir los siguientes elementos:
 Centro: es el punto O.
 Focos: son los puntos F y F’. Para cualquier punto P de la hipérbola se cumple que PF 
PF’ es constante. La distancia entre los focos, FF’=2c, se llama distancia focal.
 Vértices: son los puntos A, A’, B y B’. La distancia OA=OA’=a se llama semieje mayor y
la distancia OB=OB’=b se llama semieje menor. Los puntos B y B’ se determinan con la
condición de que AB=AB’=c. La recta AA’ se llama eje real y la recta BB’ se llama eje
imaginario. Ambas rectas son ejes de simetría.
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Plano y espacio
 La mayor o menor abertura de las ramas de la hipérbola se mide por su excentricidad,
que es el cociente:
e
c
a
y es siempre mayor que 1, ya que c es siempre mayor que a.
a) ¿Cuánto vale la diferencia A’F  A’F’ ?. ¿Cuánto valdrá esta diferencia para cualquier otro punto
P de la hipérbola ?. Más concretamente, ¿qué relación existe entre el semieje mayor, a, y la
diferencia de distancias PF  PF’ ?.
b) ¿Qué relación existe entre a, b y c ?.
 TRES HIPÉRBOLAS
a) Una hipérbola tiene de eje real 16 cm y de eje imaginario 12 cm. ¿Cuál es la distancia que separa
a los focos?. ¿Cuál es su excentricidad?.
b) La excentricidad de una hipérbola vale 2’6 y el semieje real mide 10 cm. Halla su distancia focal y
el valor del semieje imaginario.
c) Un punto P de una hipérbola dista 8 cm y 4 cm respectivamente de sus focos, y la distancia focal
de dicha hipérbola es 10 cm. Halla la longitud de sus semiejes.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
 DIBUJANDO CÓNICAS
a) Ayúdate de este papel para dibujar diversas hipérbolas ( recordando la condición que deben
cumplir todos los puntos de la hipérbola...).
Utiliza la misma trama para dibujar elipses de distintos tamaños.
b) Utiliza la trama que sigue para dibujar parábolas, tomando como directriz cualquiera de las rectas
marcadas.
88
Plano y espacio
 LUGARES GEOMÉTRICOS
Lugar geométrico es el conjunto de puntos del plano o del espacio que cumplen cierta
condición.
a) Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que están situados a una misma distancia de
un punto fijo O. ¿Cuál sería este lugar geométrico en el espacio?.
b) Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al punto A sea la misma
que al punto B.
¿De qué otra forma puedes caracterizar el lugar obtenido?. ¿Cómo se llama?. Justifica cómo
podrías obtener dicho lugar con ayuda de regla y compás.
c) Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que están situados a la misma distancia de una
recta dada r. ¿Cuál sería este lugar geométrico en el espacio?.
d) Apoyamos una escalera sobre el suelo y la pared. Si deslizamos suavemente la escalera sobre
el suelo y la pared, ¿qué curva describirá el punto medio de la escalera, M ?. ¿Qué curvas
describirán los extremos A y B de la escalera?.
e) Dibuja, en cada uno de los casos que siguen, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de
las dos rectas r y s.
¿De qué otra forma puedes caracterizar el lugar geométrico obtenido?. ¿Cómo se llama?.
Justifica cómo podrías determinar dicho lugar con ayuda de regla y compás.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
 CURVAS CÍCLICAS
a) Si el círculo de la figura gira sin deslizarse sobre la recta r, ¿qué curva describirá el punto A de la
circunferencia del círculo?.
¿Qué curva describirá el punto B interior del círculo?. ¡Cuidado!.
b) Disponemos de dos círculos, de radios r y R, respectivamente. Hacemos girar el círculo menor
sobre el círculo mayor. ¿Qué curva describirá el punto A perteneciente a la circunferencia del
círculo menor?.
¿Y si hacemos girar el círculo menor por el interior del círculo mayor?
c) Como es lógico, las curvas obtenidas, llamadas cicloides, tienen distintas formas, dependiendo
de las longitudes de los radios r y R, o más concretamente, dependiendo de los valores del
cociente r R .
Investiga que ocurre cuando dicho cociente es igual a 1 / 2, 1 / 3, 1 / 4, 1 / 6 y 1 / 8. Construye
en cada caso las plantillas adecuadas y obtén las curvas experimentalmente.
Algunas de estas curvas tienen nombres conocidos. Busca en un libro de dibujo o de geometría
los nombres y procedimientos para dibujarlas.
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Plano y espacio
 EVOLVENTE
El segmento AB gira, sin resbalar, sobre el círculo de centro O. ¿Qué curva describe el extremo B del
segmento?. Intenta obtener dicha curva experimentalmente, con ayuda de una plantilla y un palillo.
Ten en cuenta que el segmento AB debe mantenerse siempre perpendicular al radio del círculo.
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Matemáticas 4º ESO Opción B
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