Geometría en el espacio

Mtemáticas de NIVEL I de E.S.P.A.: POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS - 1
Poliedros y
cuerpos redondos
Antes de comenzar el estudio de esta unidad es necesario conocer y trabajar las
principales fórmulas de cálculo de las áreas de figuras planas (triángulo, cuadrado,
rectángulo, polígonos regulares y círculo), así como el teorema de Pitágoras. Conviene
realizar alguna actividad de repaso en este sentido. Al final del tema te proporcionamos
un pequeño resumen de estos conceptos. También puedes utilizar cualquier texto de
matemáticas de 2º de ESO o visitar este enlace en la Web:
Curso de geometría (primer ciclo de ESO):
http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/1eso.htm
1. Poliedros
Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado, limitado por caras planas poligonales.
En una primera clasificación distinguiremos entre poliedros cóncavos y convexos.
Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano
de cada una de sus caras, es decir, al prolongar cualquiera de sus caras, éstas no cortan al
poliedro. Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura, o
sea, existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro. También: en un poliedro
convexo todas sus caras se pueden apoyar sobre un plano y en un poliedro cóncavo no.
Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros
convexos.
Convexo: Todas sus caras se pueden apoyar
completamente sobre el plano.
1. Trata de dar una definición de poliedros cóncavos y convexos y acompáñala de una
fotografía o una ilustración.
1.1 Elementos de un poliedro
•
Caras: son los polígonos que limitan el poliedro.
•
Aristas: son los lados de las caras. Cada dos caras contiguas comparten una
arista.
•
Vértices: puntos donde concurren tres o más caras.
© Fernando Moya
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•
Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras del poliedro. El ángulo
formado por tres o más caras que concurren en un vértice, se denomina
ángulo poliedro.
•
Diagonal: es un segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro.
Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.
2. Busca el significado etimológico de la palabra poliedro y anótalo en tu cuaderno.
3. Cuenta los elementos de este poliedro:
1.2 Relación de Euler
Un poliedro simple es aquél que no tiene orificios. Los poliedros no simples se
caracterizan por tener un agujero en su interior, como los que se muestran a continuación:
En un poliedro simple convexo se cumple una relación, formulada por Euler, entre sus
caras aristas y vértices:
Nº de caras + Nº de vértices=Nº de aristas +2, es decir:
4. Investiga sobre Euler y su obra.
© Fernando Moya
C+V =A +2
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1.3 Poliedros regulares
Los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, son aquellos cuyas
caras son polígonos regulares iguales en forma y tamaño, y en cada vértice concurre el
mismo número de caras.
Solo hay cinco y se nombran por el número de caras que tienen: tetraedro, cubo o
hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Poliedro
Nº de caras
Polígono que forman sus
caras
Tetraedro
4
Triángulos equiláteros
Hexaedro o
cubo
6
Cuadrados
Octaedro
8
Triángulos equiláteros
Dodecaedro
12
Pentágonos
Icosaedro
20
Triángulos equiláteros
© Fernando Moya
Aspecto
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5. Hay muchas formas de hacer el desarrollo de un cubo. Todas ellas
consisten en pegar seis cuadrados por los lados como se observa en la
figura de la derecha. Las figuras que se obtienen se llaman hexaminós.
Dibuja en tu cuaderno al menos 6 hexaminós que sean el desarrollo de un
cubo y otros 6 que no lo sean.
6. Haz una tabla en tu cuaderno donde recojas, para cada uno de los poliedros
regulares, el número de caras, aristas y vértices. Comprueba que se cumple la relación
de Euler. Dibuja un desarrollo plano de estos poliedros.
7. Construye los cinco poliedros regulares. Haz una foto de los modelos y pégala en tu
cuaderno.
188. ¿Por qué no existe un poliedro regular cuyas caras sean hexágonos regulares?
1.4 Poliedros conjugados o duales
Si unimos los centros de cada dos caras contiguas de un cubo, se forma un octaedro. Se
dice que el octaedro es dual del cubo.
El poliedro dual del cubo es el octaedro, el del dodecaedro es el icosaedro, y viceversa.
El tetraedro es dual de sí mismo. En dos poliedros duales el número de caras de uno
coincide con el de vértices de su dual.
© Fernando Moya
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9. Construye dos poliedros duales con material plástico transparente (tipo acetato) de
diferente color. Haz una foto y pégala en tu cuaderno.
10. La fórmula de Herón nos proporciona el área de un triángulo conociendo sus
lados:
A= √ p·( p−a)·( p−b)·( p−c )
a ,
Donde
b
y
c
son los lados del triángulo y
p=
a+b +c
.
2
Calcula el área de:
a) Un tetraedro regular de 1 cm de arista
b) Un octaedro de 3 cm de arista
c) Un icosaedro de 10 cm de arista.
1.5 Prismas
Un prisma es un poliedro que tiene:

dos bases, que son polígonos iguales y paralelos entre sí. Si son triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, etc., el prisma se dice triangular, cuadrangular,
pentagonal, etc., respectivamente

tantas caras laterales, que son paralelogramos, como lados tienen las bases.
La altura del prisma es la distancia entre las bases. Si las caras laterales son
perpendiculares a las bases, se dice que el prisma es recto y, en ese caso, son
rectángulos. En caso contrario el prisma es oblicuo.
Nosotros estudiaremos los primas regulares, que son rectos; sus bases son polígonos
regulares y sus caras laterales son rectángulos. Abajo se muestran los prismas regulares
de base triangular, cuadrada, pentagonal y hexagonal.
Un prisma recto de caras rectangulares se denomina ortoedro:
© Fernando Moya
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11. Busca en prensa, publicidad o haz fotos de diferentes situaciones donde aparezcan
prismas. Pega en el cuaderno las diferentes situaciones que encuentres y marca los
elementos de los prismas.
ÁREA DE UN PRISMA
Teniendo en cuenta el desarrollo plano de un prisma, resulta fácil calcular el área lateral
(suma del área de las caras laterales) y el área de las bases. El área total es la suma de
todas ellas:
A TOTAL= A LATERAL +2 · A BASE
Área lateral
A LATERAL=n · ( l·a ) =P· a
Área de la base
Base triangular
Base cuadrada
base·altura
Área base=
2
Área base =lado·lado
Otra
perímetro·apotema
Área base=
2
DIAGONAL DE UN ORTOEDRO
Para hallar la diagonal, d, de un ortoedro, comenzamos
calculando la diagonal, l, de una cara:
Ahora podemos calcular la diagonal, d, aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras:
d 2=l 2 +c 2=( a2+ b2 ) +c 2=a2 +b2 +c 2
© Fernando Moya
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Por tanto,
d= √ a 2+ b2 +c 2
VOLUMEN DE UN PRISMA
El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura:
V PRISMA =A BASE · a
12. Un prisma cuadrado de 10 cm de altura tiene un área total de 250 cm2
(a) ¿Cuánto mide el lado de la base?
(b) Calcula el volumen.
(c) Dibuja su desarrollo plano y construye el prisma.
13. Dibuja en cartulina, con la mayor precisión posible, el desarrollo plano de un prisma
recto de base triangular de 4 cm de lado y altura del prima 9 cm. Calcula su área y su
volumen.
1.6 Pirámides
Una pirámide es un poliedro que tiene:

una única base, que es un polígono. Al igual que en los prismas, si la base es un
triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc., la pirámide se dice triangular,
cuadrangular, pentagonal, etc. Cuando la base es un polígono regular, la
pirámide se considera igualmente regular.

tantas caras laterales triangulares como lados
tienen las bases. Las caras laterales tienen un
vértice común llamado vértice de la pirámide. La
altura de la pirámide es la distancia de la base al
vértice.
Si la pirámide es recta y la base regular, las caras
laterales son triángulos isósceles y la altura de éstos se
llama apotema de la pirámide. Como en el caso de los
prismas, solo trabajaremos con pirámides regulares y
rectas.
14. Busca en prensa, publicidad o haz fotos de diferentes situaciones donde aparezcan
pirámides. Pega en el cuaderno las diferentes situaciones que encuentres y marca los
elementos de las pirámides.
© Fernando Moya
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15. Si se corta una pirámide regular por un plano paralelo a la base se forma un cuerpo
que se llama tronco de pirámide:
¿Qué tipo de polígono se forma en las caras laterales?
ÁREA DE UNA PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
PIRÁMIDE
Object 40
El área de la base es el área del polígono de que se trate. El área lateral (suma del
área de las caras laterales) se obtiene a partir de su desarrollo plano:
A lat =
perímetro de la base ·apotema
2
TRONCO DE PIRÁMIDE
A TOTAL= A BASES + A LAT
El área lateral es la suma de n trapecios:
A L=n·
© Fernando Moya
l+ l'
·a
2
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VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
El volumen de una pirámide es la tercera parte del
producto del área de la base por la altura:
1
V = A base · altura
3
El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son
paralelas y tienen superficies S1 y S2 y cuya altura es h, se
obtiene mediante la fórmula siguiente:
h
V = · ( S 1+ S 2+ √ S1 · S2 )
3
16. Calcular el área total y el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista de
la base es de 8 cm y cuya arista lateral mide 10 cm.
17. Halla el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas
bases tienen de lados 30 cm y 14 cm y cuya arista lateral mide 17 cm.
18. Una pirámide de base cuadrada tiene una capacidad de 96 l y una altura de12 cm.
(a) ¿Cuál es la medida del lado de la base.
(b) Calcula el volumen del tronco de pirámide obtenido al cortar la pirámide anterior por
un plano que dista 7 cm de la base.
19. Un cubo tiene 25 cm de arista. Calcula su área y la longitud de la diagonal.
20. Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área: a) prisma de altura 24
cm y cuya base es un rombo de diagonales 18 y 12 cm.; b) octaedro regular de arista
18 cm.
21. Calcula la longitud del mayor listón que cabe en cada una de estas cajas:
22. Calcula la superficie del mayor tetraedro que cabe dentro de un cubo de 10 cm de
arista.
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23. Calcula la superficie del triángulo coloreado en la figura.
2. Cuerpos de revolución
Existen cuerpos geométricos que no tienen caras ni aristas como los poliedros y que
pueden obtenerse mediante el giro de una figura plana alrededor de un eje: por eso se les
llama cuerpos de revolución. Los principales son el cilindro, el cono y la esfera.
2.1 Cilindro
Un cilindro recto es un cuerpo
geométrico engendrado por un rectángulo
que gira alrededor de uno de sus lados.
ÁREA DEL CILINDRO
Observando el desarrollo de un cilindro,
se aprecia que su superficie lateral es un rectángulo cuya base es igual al perímetro de
círculo,
2 π r , y cuya altura, h, es la del cilindro. Por tanto,
A= A lat + A base=2 π r·h+ 2 π r 2=2 π r ( h+r )
© Fernando Moya
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VOLUMEN DEL CILINDRO
El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura:
2
V =π r h
24. Busca objetos y/o situaciones donde aparezcan cilindros indicando en cada caso si
son rectos u oblicuos.
25. Una empresa quiere envasar cierto refresco en latas cilíndricas de 30 cm 3 de
capacidad.
(a) Si el diámetro de una base es de 5 cm, ¿qué altura han de tener las latas?
(b) ¿Puedes encontrar otras dimensiones más conveniente para ahorrar material al
fabricar las latas?
26. Un tubo de uralita de 10 m de longitud tiene un diámetro exterior de 20 cm y un
grosor de 2 cm. Halla su volumen.
27. Halla el volumen del cuerpo engendrado por la parte
coloreada de la figura.
2.2 Cono
Un cono recto es un cuerpo engendrado por
un triángulo rectángulo que gira alrededor de
uno de sus catetos.
Si se corta un cono recto por un plano
paralelo a la base se obtiene un nuevo cuerpo
que se llama tronco de cono.
28. El tronco de cono se puede generar por revolución, ¿qué figura es necesario girar
alrededor de un eje para generar un tronco de cono?
29. Busca diferentes situaciones donde aparezcan conos y troncos de cono. Recoge las
situaciones en tu cuaderno.
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ÁREA DE UN CONO Y DE UN TRONCO DE CONO
El área de un cono es la suma del área lateral (sector circular de radio g ) y del área de
la base:
A CONO= A LATERAL + A BASE =πgr+ π r 2 =πr ( g+r )
Observa el desarrollo plano del tronco de cono:
El área lateral se obtiene como si fuera un trapecio:
A lat =
suma de las bases
2 π r +2 π r '
· altura=
· g=π (r +r ')· g
2
2
El área total es igual al área lateral más el área de los círculos de las dos bases:
A tronco decono =A lateral +%pir 2+ π r ' 2
30. Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm alrededor
de cada uno de ellos, se obtienen dos conos. Dibújalos y halla el área total de cada uno
de ellos.
31. Halla el área total del tronco de cono generado al girar un trapecio rectángulo de
bases 4 cm y 7 cm y altura 4 cm alrededor de esta.
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VOLUMEN DE UN CONO Y DE UN TRONCO DE CONO
El volumen de un cono es igual a un tercio del área de la base por la altura:
1 2
V= πr h
3
El volumen de un tronco de cono se puede obtener restando
el volumen del cono completo menos el de cono superior que se
ha suprimido:
1
1 2
1
2
2
2
V TRONCO DE CONO= π R A− π r a= π ( R A−r a )
3
3
3
Veamos un ejemplo de aplicación:
Ejemplo: ¿Cuál es la máxima cantidad de agua
que admite un vaso cuya forma y dimensiones
muestra la figura del margen?
4 10+ x
=
→ 4 x=3 ( 10+ x ) → x =30 cm
3
x
Sustituyendo en la fórmula del volumen del tronco de cono:
1
1
V TRONCO DE CONO = π ( R 2 A−r 2 a )= · π · ( 42 · 40−3 2 · 30 ) ≅ 123,3 cm3
3
3
32. ¿Qué capacidad tendrá un cucurucho de helado de 10 cm de altura y
diámetro?
33. Averigua la cantidad de chapa que se necesita para
fabricar un depósito, como el de la figura adjunta, si su
capacidad es de 500
ATOTAL=ALATERAL+2· ABASE
.
34. Calcula la capacidad del embudo de la figura. El
diámetro del cilindro es de 1 cm.
© Fernando Moya
cm de
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2.3 Esfera
Una esfera es un sólido de revolución que se
puede obtener al girar un semicírculo alrededor
de su diámetro. La esfera queda determinada
por su centro y por su radio. No tiene desarrollo
plano.
ÁREA Y VOLUMEN DE UNA ESFERA
A=4 π r 2
4 3
V= πr
3
En la esfera se dan diferentes superficies que dan lugar a los correspondientes sólidos:
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Segmento esférico
es el sólido que resulta al cortar la esfera por dos
planos paralelos. Su volumen es:
V = π · h·(h2 +3 a2 +3 b2 )
6
donde h es la altura del segmento esférico y a y b los
radios de las dos bases.
zona esférica
Es la banda que limita al segmento esférico.
Su área es:
AV =2 π · R·h
Cuña esférica
Es el equivalente a un gajo de naranja. Se obtiene al
cortar la esfera mediante dos planos que confluyen
en un diámetro de la misma. Su volumen es:
3
V=
π R · nº
270 º
Casquete esférico
Es la parte curva de un sector esférico. Su área es:
A=2 π · R · h
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Huso esférico
La parte de superficie esférica que limita a una cuña
esférica se denomina. Su área es:
A=
4 π R2 ·nº
360 º
Sector esférico
Es el sólido que se obtiene al hacer girar un sector
circular sobre el diámetro perpendicular a su cuerda.
Su volumen es:
2
2
V= ·π· R ·h
3
Ejemplo: Cortamos una esfera de 10 cm de radio
con un plano para obtener un casquete
esférico. Hemos medido el diámetro de la
base obteniendo como resultado 12 cm.
¿Qué superficie tiene el casquete?
Para poder aplicar la fórmula del área del
casquete necesitamos conocer su altura.
Para ello, basta fijarnos en el triángulo
ABC de la figura del margen.
La hipotenusa es el radio de la esfera, es
decir, R=10 cm.
El cateto AB es el radio de la base del
casquete, que mide la mitad del
diámetro: r=6 cm.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
2
2
2
2
6 +b =10 → 36+b =100 ⟹ b= √ 100−36=√64=8 cm
Por tanto, la altura h del casquete será:
h=R−b=10−8=2 cm
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Y su área es:
A=2 π · R · h=2 π · 10 ·2=40 π=125,66 cm2
35. De los sólidos que se derivan de la esfera, ¿cuáles son de revolución y cuáles no?
Para aquellos sólidos de revolución, indica qué figura genera el sólido.
36. Calcula el área y el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 18 cm. Halla el área
de una zona esférica de 11 cm de altura.
37. Halla la cantidad de pintura necesaria para pintar la cúpula semiesférica de una
catedral, cuyo diámetro es de 12 m, sabiendo que para pintar 5 metros cuadrados
usamos 2 kg de pintura.
38. Un depósito de propano está formado
por un cuerpo cilíndrico y dos semiesferas
iguales. La longitud total del depósito es
de 2 m y su diámetro de 1 m. Calcula su
volumen.
39. Introducimos un casquete esférico de 7 cm de altura, y
cuya esfera tiene 15 cm de radio, dentro de un cilindro
cuya base y altura son las mismas que las del casquete.
¿Qué es mayor, el área del casquete o el área lateral del
cilindro?
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3. La esfera terrestre
La Tierra es quinto planeta del Sistema Solar. Tiene una superficie de más de 510
millones de kilómetros cuadrados, de la cual, casi
un 70% está cubierta por agua. No es una esfera
perfecta. La fuerza centrífuga de la rotación
terrestre ha ocasionado el achatamiento de los
polos y un abultamiento por donde pasa la línea
del Ecuador, que divide el globo en dos
hemisferios, Norte y Sur. Esta especie de
deformación se confirma al comparar los radios
del Ecuador (6.378 km) con el polar (6.357 km),
estos 21 km de diferencia determinan el
achatamiento terrestre.
El giro de la tierra se produce alrededor de un eje, línea imaginaria que pasa por su
centro y la corta en dos puntos: polos.
Los planos perpendiculares al eje de la Tierra la cortan en circunferencias llamadas
paralelos. Entre dos paralelos consecutivos hay 15º.
El paralelo que tiene su centro en el centro de la esfera se llama ecuador. Es una
circunferencia máxima que divide la superficie de la Tierra en dos mitades: los hemisferios
norte y sur.
Los meridianos son las circunferencias que se obtienen
con un plano que contiene a su eje. Todos ellos pasan por
dos meridianos es de 15º. Entre dos puntos situados en
diferencia de una hora: el sol sale una hora antes en uno de
al cortar la superficie terrestre
los polos. La separación entre
cada uno de ellos existe una
ellos.
Coordenadas geográficas
Por cada punto de la Tierra, pasa un
paralelo y un meridiano. Se designan por la
posición que ocupan respecto al ecuador y al
meridiano cero (o de Greenwich): son
respectivamente su latitud y su longitud. La
latitud puede medir entre 0º y 90º y ser Norte
Sur, según la posición del punto respecto al
ecuador. La longitud puede medir entre 0º y
180º y ser Este u Oeste, según la posición del
punto respecto al meridiano de Greenwich.
o
Diferencias horarias
El tiempo que tarda el sol en dar una vuelta
en su movimiento aparente alrededor de la
Tierra se llama día. Es decir, la Tierra, en su
movimiento de rotación da una vuelta completa cada 24 horas (exactamente 23 horas y 56
minutos). Cuando el Sol pasa por el meridiano de un lugar se dice que es mediodía y
cuando pasa por su antimeridiano, medianoche. Según esto, en cada longitud será
mediodía en un momento distinto y, por tanto, si los relojes se ajustasen a ese hecho,
lugares próximos tendrían horas parecidas pero no iguales. Para simplificar esta situación,
se establecen distintos husos horarios u horas oficiales que van de hora en hora. Centrado
en el meridiano 0 se forma un huso esférico de 15º (360º:24h). En ese huso serán las 12
cuando el Sol pase por el meridiano 0. Este es el huso horario que corresponde a España,
salvo la comunidad canaria. A partir de él se forman los otros 23 husos. Los países se
© Fernando Moya
4 - Matemáticas de NIVEL I de E.S.P.A.: POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS
amoldan a esta regla con algunos ajustes para evitar que un país pequeño tenga dos horas
distintas en su territorio.
40. Todos los puntos de un mismo paralelo, ¿tienen igual alguna coordenada geográfica?
¿Y todos los puntos de un mismo meridiano?
41. Un barco va de un punto A (30º latitud N y 10º longitud oeste) a otro B (30º latitud
N y 80 º longitud oeste) siguiendo el paralelo común. a) ¿Qué distancia ha recorrido?; b)
¿qué distancia recorrería si la diferencia de longitudes de los dos puntos fuera de 180º?;
c) ¿qué distancia recorrería en este último caso si pudiera navegar de un punto a otro
siguiendo un arco de círculo máximo?
42. Dos ciudades tienen la misma longitud 3º O, y sus latitudes son 45º27' N y 34º35'
S. ¿Cuál es la distancia entre ellas?
43. Roma está en el huso 1º E y Nueva York en el 5º O. Si un avión sale de Roma a las
9 a.m. y el vuelo dura 8 h, ¿cuál será la hora local de llegada a Nueva York?
44. Un avión tiene que ir de A a B, dos lugares diametralmente opuestos en el paralelo
45º. Puede hacerlo siguiendo el paralelo (APB) o siguiendo la ruta polar (ANB). ¿Cuál es
la ruta más corta?
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Mtemáticas de NIVEL I de E.S.P.A.: POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS - 5
PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Figura Geométrica
Perímetro
P= a + b + c
Triángulo
Área
A
base·altura b·h

2
2
A  a2
P  4a
Cuadrado
A
Rectángulo
P  2a  2b
Rombo
P  4a
Romboide
P = 2a + 2b
© Fernando Moya
d2
2
A  base·altura  b·a
A
d ·D
2
A  b h
6 - Matemáticas de NIVEL I de E.S.P.A.: POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS
Figura Geométrica
Perímetro
Trapecio
P=a+b+c+d
Circunferencia
l  2 r
Área
A
(b  d )·h
2
A   r 2
r
Círculo
Sector Circular
P  2r  AB  2r 
Corona circular
© Fernando Moya
2 rn
360
A
 r 2 ·n
360
A    R2  r 2 

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