Fracciones

2
Fracciones
La fotografía nos permite captar imágenes de fenómenos que el ojo
humano es incapaz de ver por la rapidez con que se suceden.
Conseguimos captar estos momentos mediante el obturador, que es la
ventana que permite pasar la luz. Esta imagen se ha obtenido abriendo
y cerrando el obturador con gran rapidez.
En fotografía, la velocidad de obturación, llamada también tiempo de
exposición, es el periodo de tiempo durante el cual está abierto el obturador de una cámara fotográfica.
Se expresa en segundos y en fracciones de segundo. Estos valores
1
pueden oscilar entre 30 s y
s.
8 000
1
A velocidades rápidas (superiores a
s), el obturador está abierto
60
muy poco tiempo y deja pasar menos luz. Así se puede congelar o reducir
notablemente el movimiento.
1
A velocidades lentas (inferiores a
s), el obturador está abierto más
60
tiempo y deja pasar más luz. De este modo se consiguen imágenes movidas y desplazadas, dando sensación de movimiento.
Contenidos
1. La fracción, parte de una unidad.
2. Otras interpretaciones de las
fracciones.
3. Diferentes tipos de fracciones.
4. Fracciones equivalentes.
5. Obtención de fracciones equivalentes.
6. Reducción de fracciones a común
denominador.
7. Comparación y ordenación de
fracciones.
8. Suma y resta de fracciones.
9. Multiplicación y división de
fracciones.
10. Operaciones combinadas con
fracciones.
Competencias básicas
3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.
4. Tratamiento de la información y competencia
digital.
6. Competencia cultural y artística.
8. Autonomía e iniciativa personal.
¿Recuerdas?
1. Escribe la fracción que representa la parte
coloreada.
2. Escribe dos fracciones cualesquiera meno-
res que la unidad y dos mayores.
Aprenderás a:
Averiguar mediante varios procedimientos si
dos fracciones dadas son equivalentes.
Simplificar una fracción hasta obtener la
fracción irreducible.
Comparar y ordenar fracciones, diferenciando si son mayores, menores o iguales a la
unidad.
Conocer el significado de sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones con fracciones
y efectuarlas correctamente.
Conocer y respetar la jerarquía de las
operaciones.
Resolver problemas de la vida cotidiana en
los que intervengan fracciones.
Adquirir la habilidad de resolver mentalmente cálculos sencillos con fracciones.
3
4
4. De cada 15 alumnos de primero de ESO,
hay 11 que son simpatizantes del Hércules.
¿Cuántos alumnos son simpatizantes del
Hércules si en la clase hay 30 alumnos?
3. Escribe una fracción equivalente a .
5. Ana tiene 10 asignaturas. ¿Cuántas asignatu-
ras superaría si aprobase la mitad?
3
4
¿Y las partes? ¿Y las partes?
5
5
2
Fracciones
1. La fracción, parte de una unidad
3
Si consideramos la Tierra como un todo o una unidad, ¿qué parte ocupan los
continentes?
Los continentes ocupan, efectivamente, una quinta parte de la Tierra. Las cuatro
4 1
quintas partes restantes están cubiertas de agua. Se escribe y . Estas expresiones,
5 5
4 1
y , son fracciones.
5 5
Observa el dibujo de más abajo. Hemos dividido la unidad en 2, 3, 4, 5 y 6 partes
iguales. En todos los casos, cada una de estas partes iguales es una unidad fraccionaria, que denominamos un medio, un tercio, un cuarto, un quinto y un sexto,
1 1 1 1 1
respectivamente. Se escriben así: , , , y , y de forma análoga podríamos obtener
2 3 4 5 6
1 1
más: , …
7 8
2 5
Las expresiones y son fracciones. Se leen así: dos tercios y cinco novenos.
3 9
Cuatro quintas partes de la Tierra
están cubiertas de agua.
Fíjate que cualquier fracción es el resultado de multiplicar un número natural por
una unidad fraccionaria. Por ello:
La fracción de dos tercios es dos veces la unidad fraccionaria un tercio.
2
1
52?
3
3
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
Y cinco novenos es cinco veces la unidad fraccionaria un noveno.
5
1
55?
9
9
Las fracciones se utilizan para representar partes iguales de una unidad. Fíjate en
el dibujo.
2
3
2
Para representar la fracción dividimos la unidad en tres partes iguales y tomamos
3
dos de ellas. En realidad, tomamos dos veces la unidad fraccionaria un tercio.
5
dividimos la unidad en nueve partes iguales y toma9
mos cinco de ellas. Es decir, tomamos cinco veces la unidad fraccionaria un noveno.
Para representar la fracción
5
9
a
está formada por dos números naturales a y b, que son los términos
b
de la fracción. El término b es el denominador y expresa el número de partes iguales
en que se ha dividido la unidad. El término a es el numerador y expresa el número
de estas partes que tomamos.
La fracción
Si a 5 1 obtenemos la unidad fraccionaria de denominador b.
34
Fracciones
2
Actividades resueltas
1. Para poder realizar un trabajo de naturales, Rosa
debe leer un libro de 100 páginas. Si solo se ha leído
49 páginas, ¿qué fracción del libro ha leído? ¿Qué
fracción del libro le queda por leer?
Consideramos el libro como una unidad. Las 100 páginas que lo forman son las partes iguales en que lo
dividimos.
Así, la unidad fraccionaria es la fracción que representa una página del libro. Por lo tanto, la par1
te leída es 49 veces la unidad fraccionaria
:
100
1
49
49 ?
5
100 100
Las páginas que le faltan por leer son:
100 2 49 5 51
Por lo tanto, le quedan por leer 51 veces la unidad
1
fraccionaria
:
100
1
51
5
51 ?
100 100
Es decir, ha leído las
leer las
51
partes.
100
49
partes del libro y le faltan por
100
Actividades propuestas
1. Para cada figura, escribe una fracción que represente la parte coloreada y otra fracción que simbolice
la parte blanca. Completa la tabla:
a)
5 3 5
2. Representa las fracciones , , en las siguientes
8 4 6
figuras:
b)
3. Es correcto afirmar que la parte blanca del triángulo
2
corresponde a las partes del total? Justifica tu
3
respuesta.
d)
c)
Figuras
Parte coloreada
Parte blanca
a
b
c
d
4. El mes de mayo tiene 31 días. ¿Qué fracción de mes
serán cinco días? ¿Y dos semanas?
5. Indica si las expresiones siguientes son fracciones:
4 10 1,2 3 0 5
, , , , ,
0 5 4 2 7 1
6. ¿Qué fracción del año son 4 meses? ¿Y 9 meses? ¿Y
un trimestre?
35
2
Fracciones
2. Otras interpretaciones de las fracciones
Aparte de considerar la fracción como parte de una unidad, hay otras interpretaciones de las fracciones.
2.1. Fracción de un número
Consiste en calcular la fracción de un número, de modo que este número represente
la unidad que se tiene que fraccionar.
Jorge ha ahorrado 180 € para comprarse una bicicleta. Si la bicicleta le cuesta las
cuatro quintas partes de lo que ha ahorrado, ¿cuántos euros le quedan después de
habérsela comprado?
Para saber cuántos euros le quedan después de haberse comprado la bicicleta,
primero debemos conocer cuántos euros se ha gastado en la compra, es decir,
4
debemos calcular los de 180 €.
5
3
de 80:
5
80 : 5 5 16
16 ? 3 5 48
3
de 80 es 48.
5
Teniendo en cuenta que cuatro quintos es cuatro veces la unidad fraccionaria un
quinto, primero calculamos la quinta parte de 180 € y después multiplicamos el
resultado por cuatro.
180 € : 5 5 36 €
4 ? 36 € 5 144 €
4
Se ha gastado de 180 €, que son 144 €. Por lo tanto, le quedan:
5
180 € 2 144 € 5 36 €
1
Otra forma de resolver el problema es calcular directamente de 180 €, porque si
5
4
1
se ha gastado del total, le queda .
5
5
Para calcular la fracción de un número hay que dividirlo por el denominador y multiplicar el resultado por el numerador.
3
partes de los asientos de un autobús están ocupados. Si el número de
4
asientos ocupados es 27, ¿cuántos asientos hay en total en el autobús?
3
Si representamos por n el número total de asientos del autobús, sabemos que
4
de n es 27. Observa que se trata de un proceso inverso al que hemos realizado en el
ejemplo anterior. Por lo tanto, tendremos que dividir entre 3 el número de asientos
ocupados y multiplicar el resultado por 4:
27 : 3 ? 4 5 36
Las
5
de n es 20.
7
20 : 5 ? 7 5 28
n es 28.
El autobús tiene 36 asientos en total. Para comprobar el resultado, solo es necesario
3
calcular los de 36. Efectivamente, da 27.
4
Una vez conocida la fracción de un número, para encontrar dicho número se divide
por el numerador y se multiplica por el denominador.
36
Fracciones
2
2.2. La fracción como división indicada
3
Dada la fracción , si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos
5
como resultado el número decimal 0,6.
3
6
5 25
5 5 0,6 y 5 5 2,5
5 10
2 10
5
Realizamos el mismo proceso en la fracción . El resultado también es un número
2
decimal, puesto que 5 : 2 5 2,5.
Toda fracción se puede considerar como una división indicada.
La mayoría de las veces obtenemos un número decimal. Pero hay fracciones que
tienen como resultado de la división un número natural. Por ejemplo, en la fracción
6
la división del numerador entre el denominador da 3.
2
El resultado de dividir el numerador de una fracción entre el denominador será un
número natural en el caso de que el numerador sea múltiplo del denominador. De
lo contrario, el resultado de la división será un número decimal.
Para saber
más…
Observa que cualquier número natural se puede escribir en forma de fracción con
denominador 1:
55
5
1
Actividades resueltas
2. Halla el término que falta:
a
3
a) de 72 es 54
b) de 55 es 33
4
b
a) En este caso, 54 es el resultado de dividir 72 entre
4 y multiplicarlo por a. Calculamos a dividiendo
54 : 18, así:
1
? 72 5 72 : 4 5 18 → a ? 18 5 54 →
4
→ a 5 54 : 18 5 3
b) El número 33 es el resultado de multiplicar 55 por 3
y dividir el resultado entre b. Lo escribimos:
33 5 3 ? 55 : b → 33 5 165 : b → b 5 165 : 33 5 5
Actividades propuestas
7. Calcula:
a)
22
de 720
9
b)
2
de 52
13
c)
17
de 115
23
d)
7
de 120
10
8. Encuentra el término que falta:
a)
a
de 90 es 42
15
3
b) de n es 243
7
c)
2
de 75 es 30
b
d)
a
de 210 es 140
3
5
9. En un grupo de 32 alumnos, son chicos. ¿Cuántas
8
chicas hay en la clase?
10. Indica cuáles de las siguientes fracciones dan como resultado un número natural y di cuál es dicho
número:
3 5 38 7 33 4 9 11 20
, , , , , , , ,
7 2 19 4 3 4 18 22 5
11. Esta semana han visitado el mercado de Linares
600 personas. Tres de cada veinticinco personas
han comprado embutido. ¿Cuántos visitantes no
han comprado embutido?
37
2
Fracciones
3. Diferentes tipos de fracciones
La madre de Marcos ha comprado dos pasteles para celebrar su cumpleaños. Los
ha partido en 8 trozos iguales. Primero reparte 5 trozos. ¿Cuál es la fracción que
5
representa la parte repartida? Son .
8
Después reparte 3 trozos más. Ahora la fracción que representa la parte repartida
5
8
8
es , es decir, un pastel entero. Más tarde llega un nuevo invitado y le ofrece 3 trozos
8
más. ¿Qué fracción representan los trozos de pastel repartidos durante toda la fiesta?
Ahora son
11
.
8
11 8
3 1
8
8
3
8
5 8 11
Observa las fracciones del ejemplo anterior: , y . El denominador 8 indica las
8 8 8
partes en que está dividida cada unidad, y el numerador, las partes que tomamos.
3.1. Fracciones propias y fracciones impropias
Hay tres tipos diferentes de fracciones:
 Fracciones que tienen el numerador igual que el denominador. Estas fracciones
son iguales a la unidad.
8 3 16
, , ...
8 3 16
8
5 1, puesto que 8 5 8.
8
 Fracciones en que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones
son menores que la unidad y se denominan fracciones propias.
Recuerda
El símbolo . se lee mayor
que. Así, escribimos:
7.3
El símbolo , se lee menor
que. Así, escribimos:
5,8
38
5 2 1
, , ...
8 3 5
5
, 1, puesto que 5 , 8.
8
 Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador. Son mayores
que la unidad y se llaman fracciones impropias.
11 , 9 , 7 ...
8 4 3
11
. 1, puesto que 11 . 8.
8
Fracciones
2
11 8 3
11
3
5 1 o, lo que es lo mismo, 5 1 1 . Hemos escrito
8
8 8
8
8
11
3
la fracción como suma de un número natural, 1, más una fracción propia, .
8
8
Podemos escribir
Cualquier fracción impropia que no sea igual a un número natural se puede expresar
como suma de un número natural más una fracción propia.
El número natural es el cociente de la división entre el numerador y el denominador de la fracción impropia; el numerador de la fracción propia es el resto de esta
división y el denominador es el mismo en las dos fracciones.
Así, dada la fracción impropia
13 5
3 2
13
13 10 3
3
obtenemos 5 1 5 2 1 .
5
5
5
5
5
Actividades resueltas
3. Manuel es un empresario que quiere regalar una botella de cava a cada uno
de sus trabajadores. Las cajas son de 6 botellas cada una y en la empresa
trabajan 29 personas. Si tomamos la caja de cava como unidad, y la botella
de cava como unidad fraccionaria, ¿qué fracción representan las botellas de
cava que ha regalado?
Si en una caja hay 6 botellas, la fracción de caja que representa una botella es
1
la unidad fraccionaria . Debe regalar 29 botellas. Lo expresamos en forma de
6
fracción:
29 24 5
5
5 1 541
6
6
6
6
29
de caja, es decir, 5 cajas enteras y cinco sextos de otra, o lo
Ha regalado
6
que es lo mismo, 4 cajas y 5 botellas.
Actividades propuestas
12. Indica si las siguientes fracciones son propias, impropias o iguales a la unidad:
2 12 21 8 3 24 15 21 6
, , , , , , , ,
5 7 29 8 2 25 8 21 5
13. Las siguientes fracciones son propias. Calcula mentalmente la fracción que les falta en cada caso para
llegar a la unidad:
5 11 9 35 19 7
, , , , ,
9 21 19 53 26 20
14. Expresa como suma de un número natural más una
fracción propia las fracciones impropias siguientes:
6 5 13 13 28 27
, , , , ,
5 3 10 6 23 5
15. ¿Entre qué números naturales están comprendidas
las fracciones siguientes?
7 6 12 21 17
, , , ,
5 7 5 5 2
16. ¿Qué valores puede tomar n para que las fracciones
siguientes sean propias?
a)
n
2
b)
n
7
c)
n
5
d)
n
3
17. Diseña una fórmula en la celda de una hoja de cálculo
para que dé como respuesta las palabras «propia»,
«impropia» o «igual a la unidad», dependiendo de
la fracción que se introduzca en otra celda.
39
2
Fracciones
4. Fracciones equivalentes
Tomemos dos hojas iguales. Dividimos una hoja en tres partes y coloreamos una
parte.
Dividimos la otra hoja en seis partes y coloreamos dos partes.
¿Qué observas? Efectivamente, las partes coloreadas de cada hoja representan la
1 2
misma parte de la unidad. Las fracciones y representan la misma parte de
3 6
la hoja; son fracciones equivalentes.
Son fracciones equivalentes las que representan la misma parte de la unidad.
Además de la representación gráfica, hay otras formas de saber si dos fracciones
son equivalentes. Vamos a verlo:
 Si calculamos dos o más fracciones equivalentes de un mismo número, obtenemos siempre el mismo resultado.
3
6
Efectivamente, si calculamos los y los de 32, obtenemos:
4
8
3
32 : 4 ? 3 5 24 → Los de 32 son 24.
4
6
32 : 8 ? 6 5 24 → Los de 32 son 24.
8
3 6
3 6
Las fracciones y son equivalentes. Por lo tanto: 5 .
4 8
4 8
Si ahora calculamos los
la fracción
12
de 32 también nos da 24, puesto que 32 : 16 ? 12 5 24. Así,
16
12
3
6
es equivalente a , y a la vez también es equivalente a . Por lo
16
4
8
3 6 12
3 6 12
tanto, las fracciones , y son equivalentes. Podemos escribir: 5 5 .
4 8 16
4 8 16
 Si realizamos la división indicada del numerador entre el denominador y obtenemos el mismo cociente, entonces las fracciones son equivalentes.
1
5 0,25
4
40
5
5 0,25
20
1
5
3
5 5
4 20 12
3
5 0,25
12
Fracciones
 Si multiplicamos el numerador de una por el denominador de la otra y los productos son iguales; entonces las fracciones son equivalentes.
Las fracciones
2 4
y son equivalentes porque 2 ? 6 5 3 ? 4 5 12. Podemos escribir
3 6
2 4
que 5 .
3 6
2
2 4
y no son
3 9
equivalentes, ya que:
2 4
2?95
/ 3?4→ 5
/
3 9
Las fracciones
Esta propiedad se denomina propiedad fundamental de las fracciones equivalentes.
La propiedad fundamental de las fracciones equivalentes caracteriza a dos
fracciones equivalentes:
Para saber si dos fracciones
son equivalentes, habitualmente se utiliza la propiedad
fundamental.
a c
5 → a ? d 5 b ? c,
b d
donde a, b, c y d son números naturales y b ≠ 0 y d ≠ 0.
Actividades resueltas
4. ¿Son equivalentes los pares de fracciones siguientes?
33 165
17 51
a)
y
b)
y
42 210
62 185
Para calcular si estos pares de fracciones son equivalentes, lo llevamos a cabo a partir de la propiedad
fundamental, pero también podríamos utilizar cualquiera de los procedimientos vistos antes.
a) Son equivalentes, puesto que:
33 ? 210 5 6 030 y 42 ? 165 5 6 030
33 ? 210 5 42 ? 165
b) No son equivalentes, porque:
17 ? 185 5 3 145 y 62 ? 51 5 3 162
3 145 ≠ 3 162
5. Halla el término que falta en cada uno de los pares
de fracciones siguientes:
a)
a
5
5
45 9
b)
23 161
5
40
d
Para que sean ciertas las igualdades es necesario que
los pares de fracciones sean equivalentes, es decir, tienen que verificar la propiedad fundamental.
Así:
a) 9 ? a 5 45 ? 5 → 9 ? a 5 225 →
→ a 5 225 : 9 5 25
b) 23 ? d 5 40 ? 161 → 23 ? d 5 6 440 →
→ d 5 6 440 : 23 5 280
Actividades propuestas
18. Halla el término que falta en cada uno de los pares
de fracciones siguientes:
a
7
9
c
170 17
a)
5
b)
5
c)
5
10 5
40 80
b
12
19. En un partido de baloncesto, uno de los jugadores
consigue 13 canastas de 39 intentos. Su contrincante encesta 11 de 33 intentos. ¿Quién de los dos ha
ganado?
20. Halla los
2
5
de 36 y los de 36. ¿Cuál de las dos
3
6
fracciones es mayor?
21. Efectúa la división del numerador entre el denominador e indica cuál de las dos fracciones es
mayor,
11 19
o .
5
8
41
2
Fracciones
5. Obtención de fracciones equivalentes
Podemos hallar tantas fracciones equivalentes a una fracción dada como queramos.
Observa:
1
2
5
2
4
3
6
5
5
4 ...
8
A continuación veremos otros métodos para obtener fracciones equivalentes a una
fracción dada.
Si multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo
número natural obtenemos una fracción equivalente por amplificación.
?3
4
12
5
20 60
Multiplicamos por 3:
?3
Para obtener fracciones equivalentes a una fracción determinada hay que multiplicar
o dividir el numerador y el
denominador por un mismo
número natural.
4 12
y son equivalentes, puesto que 4 ? 60 5 20 ? 12 5 240.
20 60
Los términos de la segunda fracción son mayores que los de la primera.
Las fracciones
Si dividimos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número
natural obtenemos una fracción equivalente por simplificación.
:4
4
1
5
20 5
Dividimos entre 4:
:4
4 1
y son equivalentes, puesto que 4 ? 5 5 20 ? 1 5 20.
20 5
Si una fracción no se puede simplificar más, entonces hemos obtenido la fracción
irreducible.
210
e intentemos hallar fracciones equivalentes a ella
Consideremos la fracción
126
aplicando el proceso de simplificación de fracciones:
Las fracciones
Para simplificar fracciones
hay que aplicar los criterios
de divisibilidad de los números naturales.
:2
:3
:7
210 105 35 5
5
5 5
126
63
21 3
:2
42
:3
:7
Fracciones
Observa que no podemos seguir simplificando, porque los números 5 y 3 son
210 105 35 5
primos entre sí. Las fracciones
,
,
y son fracciones equivalentes
126 63 21 3
obtenidas a partir de la simplificación de la primera.
La simplificación de fracciones nos permite trabajar con números más pequeños,
puesto que los términos de la nueva fracción simplificada son más pequeños que
los de la fracción dada.
2
Para saber
más…
Otra forma de saber si dos
fracciones son equivalentes
es simplificarlas lo máximo
posible y comprobar que las
dos son equivalentes a la misma fracción irreductible.
Se denomina fracción irreducible la fracción no simplificable, es decir, aquella en
que el numerador y el denominador son números primos entre sí.
5
En el ejemplo anterior la fracción irreducible es .
3
Fíjate en que si vamos simplificando la fracción mediante divisiones sucesivas el
proceso resulta muy lento. En cambio, si dividimos el numerador y el denominador
de la fracción entre su máximo común divisor, obtenemos directamente la fracción
irreducible.
210
, la simplificamos
Así, para obtener directamente la fracción irreducible de
126
dividiendo los dos términos entre 42, que es el máximo común divisor de 210 y 126.
210 5 2 ? 3 ? 5 ? 7
126 5 2 ? 32 ? 7
m.c.d. (210, 126) 5 2 ? 3 ? 7
m.c.d. (210, 126) 5 42
: 42
210
5
5
126
3
Al dividir el numerador y el denominador de una fracción por su máximo común
divisor obtenemos directamente la fracción irreducible equivalente.
: 42
Actividades resueltas
6. ¿Cuál es la fracción irreducible de
28
?
224
Para obtener directamente la fracción irreducible
de
28
, la simplificamos dividiendo los términos
224
por el máximo común divisor de 28 y 224.
Si expresamos los números 28 y 224 en forma de producto de factores primos, resulta que:
28 5 22 ? 7 y 224 5 25 ? 7
Así, el m.c.d. (28, 224) 5 22 ? 7 5 28.
Dividiendo entre 28 los dos términos de la fracción
1
obtenemos la fracción irreducible: .
8
Actividades propuestas
2
22. Escribe cuatro fracciones equivalentes a por
3
amplificación.
23. Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de
las siguientes fracciones:
a)
13
5
b)
7
21
c)
45
15
d)
33
121
24. Calcula la fracción irreducible de cada una de las
fracciones siguientes:
a)
140
105
b)
225
75
c)
252
224
d)
726
99
25. Completa la siguiente igualdad:
720
a
20
c
5
5
5
1 008 504
b
42
43
2
Fracciones
6. Reducción de fracciones
a común denominador
Observa las dos series de fracciones equivalentes:
?2
5
6
3
8
9
24
?4
?3
?4
5 10 15 20
5 5 5
6 ? 2 12 18 24
Las fracciones
20
24
?3
?2
?3
3
6
9
5 5
8 ? 2 16 24
?3
5 20
3 9
y
son equivalentes, así como las fracciones y . Fíjate en
6 24
8 24
que las fracciones
20 9
y tienen el mismo denominador.
24 24
5 3
Existen otros pares de fracciones equivalentes a las fracciones originales y que
6 8
también tienen el mismo denominador. Por ejemplo:
40 18
y
48 48
60 27
y
72 72
200 90
y
240 240
El proceso por el que se transforman dos o más fracciones en otras equivalentes con
el mismo denominador se denomina reducción a común denominador.
652?3
8 5 23
m.c.m. (6, 8) 5 23 ? 3 5 24
Observa que los denominadores comunes de cada par de fracciones (24, 48, 72 y
240) son múltiplos comunes de los denominadores 6 y 8. El menor de estos múltiplos
es 24, que es justamente el mínimo común múltiplo de 6 y 8.
Así, las fracciones equivalentes a
y
5 3
20
y con mínimo común denominador son
6 8
24
9
, respectivamente.
24
El proceso por el que dos o más fracciones se transforman en otras equivalentes con
el mismo denominador, de forma que dicho denominador sea el menor posible, se
denomina reducción a mínimo común denominador.
Si reduces siempre a mínimo común denominador seguro que trabajas con los
números naturales más pequeños en cada caso.
Por lo tanto, no utilices nunca el procedimiento de multiplicar los denominadores,
excepto en el caso en que el m.c.m. sea precisamente el producto de los denominadores. Esto solo ocurre cuando los denominadores son primos entre sí, es decir,
cuando solo tienen como divisor común el número 1.
44
Fracciones
2
Actividades resueltas
1 3 7
7. Reduce a mínimo común denominador las fracciones: , y .
4 10 15
Primero hallamos el m.c.m. de los tres denominadores:
4 5 22
10 5 2 ? 5
15 5 3 ? 5
2
m.c.m. (4, 10, 15) 5 2 ? 3 ? 5 5 60
Escribimos las tres fracciones equivalentes a las dadas, pero con denominador
60. Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores.
Así:
60 : 4 5 15, 60 : 10 5 6 y 60 : 15 5 4
Es necesario multiplicar por 15 el numerador de la primera fracción, por 6 el
numerador de la segunda y por 4 el numerador de la tercera.
De este modo obtenemos:
1 15
5
4 60
Las fracciones son:
3
18
5
10 60
7
28
5
15 60
15 18 28
,
y .
60 60 60
8. De una clase de 45 alumnos, 27 han aprobado el último examen de matemáticas.
27
Carmen dice que han aprobado los
de los alumnos, Teresa dice que han
45
9
3
aprobado los , y el profesor, que han aprobado los . ¿Quién tiene razón?
15
5
Observa que las fracciones
27 9 3
,
y tienen la misma fracción irreducible:
45 15 5
:9
27 3
5
45 5
:9
:3
9
3
5
15 5
:3
Por lo tanto, los tres tienen razón. También puedes calcular los
de 45 y los
27
9
de 45, los
45
15
3
de 45 y te darás cuenta de que el resultado en los tres casos es 27.
5
Actividades propuestas
26. Reduce a mínimo común denominador los pares
de fracciones siguientes:
a)
4 13
7 3
7 5
7 7
y
b) y
c) y
d) y
15 10
18 20
36 24
9 12
a b
y . Escribe el nume15 42
rador de cada una de las nuevas fracciones que
se obtienen al reducirlas a mínimo común denominador.
27. Considera las fracciones
45
2
Fracciones
7. Comparación y ordenación de fracciones
Una fracción es mayor que otra cuando representa una parte de la unidad más
grande.
7.1. Fracciones con el mismo denominador
3 2
y podemos representarlas en forma de figura o
5 5
3
de gráfico y comparar las partes coloreadas. Al hacerlo, vemos que es mayor
5
2
que .
5
Para comparar las fracciones
3
5
2
5
Pero para comparar y ordenar fracciones no son necesarias gráficas. Fíjate en que
3
1 2
1
1
5 3 ? y 5 2 ? . En un caso tenemos tres veces la unidad fraccionaria ,
5
5 5
5
5
1
3 2
y en el otro caso, dos veces . Entonces . , ya que 3 . 2.
5
5 5
Si tenemos dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la que tiene el
numerador mayor.
7.2. Fracciones con el mismo numerador
3
8
3
4
3 3
Comparemos ahora y .
8 4
Si las representamos gráficamente, nos damos cuenta de que cuantas más veces
3
dividimos la unidad, más pequeña es cada una de las partes. Así, es menor que
8
3
3 3
, o lo que es lo mismo: , .
4
8 4
También las podemos comparar prescindiendo de las representaciones gráficas:
3
1 3
1
1
5 3 ? y 5 3 ? . Evidentemente, la unidad fraccionaria es menor que la
8
8 4
4
8
1
3 3
unidad fraccionaria . Entonces podemos afirmar que . .
4
4 8
Si tenemos dos fracciones con el mismo numerador, es mayor la que tiene el denominador menor.
Actividades propuestas
3
3
28. Carla y Marcelo leen el mismo libro. Carla ha leído y Marcelo . ¿Quién ha
5
7
leído más?
46
Fracciones
2
7.3. Fracciones con numeradores
y denominadores diferentes
Observa qué sucede si queremos comparar las fracciones
5 7
y .
6 9
5
1
7
es cinco veces la unidad fraccionaria , y la fracción es siete veces
6
6
9
1
la unidad fraccionaria . Dado que tenemos unidades fraccionarias diferentes y los
9
numeradores también son diferentes, no podemos compararlas si no las reducimos
previamente a mínimo común denominador. Así:
La fracción
m.c.m. (6,9) 5 18
5
6
5 15 7 14
5 y 5
6 18 9 18
Comparamos las dos fracciones equivalentes obtenidas, ahora que las dos son un
1
número de veces la misma unidad fraccionaria, .
18
15 14 5 7
. → .
18 18 6 9
Para comparar dos fracciones que tienen diferente numerador y diferente denominador, se reducen a mínimo común denominador y se comparan los numeradores
de las fracciones resultantes.
Si queremos comparar más de dos fracciones tenemos que aplicar la propiedad
transitiva. Es decir, si una fracción es mayor que otra y la segunda es mayor que
una tercera, entonces la primera fracción es mayor que la tercera.
1
5 5
1
1 1 1
5
1
Si . y . , entonces . → . . .
2 11 11 7
2 7 2 11 7
7
9
También se pueden comparar
fracciones, comparando los
cocientes de sus divisiones:
3
5
5 0,6 y
5 0,625,
5
8
3
5
entonces
, , ya que
5
8
Si
0,6 , 0,625.
Una fracción impropia siempre es mayor que una fracción propia, sean cuales sean
los valores de sus términos.
Actividades propuestas
29. Escribe ., , o 5, según corresponda:
a)
8 5
...
13 13
b)
3 22
...
5 35
c)
7 21
...
11 33
d)
5 5
...
9 7
30. Ordena de menor a mayor las fracciones siguientes:
3 5 1 7 3 11
, , , , ,
5 6 3 20 4 30
5
19
de 72 y los
de 72. ¿Cuál de las dos
6
24
fracciones es mayor?
31. Halla los
32. Para preparar un pastel de manzana, Maribel ha uti9
3
lizado
kg de manzanas, y Gabriela kg. ¿Cuál
10
5
de las dos ha puesto más manzanas en su pastel?
33. ¿Es posible que el m.c.m. de dos números sea mayor
que su producto?
34. Mi hermano y yo tenemos tres hámsters. Cada día
1
les echamos pipas para comer. Chip se come
6
2
parte, Chof partes y Chap una tercera parte. ¿Cuál
9
de los tres se ha comido más pipas?
47
2
Fracciones
8. Suma y resta de fracciones
Con las fracciones también podemos efectuar operaciones, igual que con los números naturales. Ahora veremos cómo podemos sumar y restar fracciones.
8.1. Suma y resta de fracciones
con el mismo denominador
2
7
4
7
Para restar fracciones con el
mismo denominador procedemos igual que con las
sumas:
7
2
5
722
2 5
5
9
9
9
9
2 4
Fíjate en esta suma de fracciones: 1 .
7 7
Dos séptimos más cuatro séptimos es igual a seis séptimos. Efectivamente:
2 4
1
1
1 6
1 5 2 ? 1 4 ? 5 (2 1 4) ? 5
7 7
7
7
7 7
Como dos séptimos es dos veces la unidad fraccionaria un séptimo, y cuatro séptimos es cuatro veces la unidad fraccionaria un séptimo, podemos concluir que:
La suma o resta de dos fracciones que tienen el mismo denominador es otra
fracción con el mismo denominador y con el numerador igual a la suma o resta de
los numeradores.
8.2. Suma y resta de fracciones
con distinto denominador
1 3
Fíjate en esta otra suma: 1 .
3 4
1
3
3
4
Por la propiedad homogénea
de la suma, sabemos que para sumar dos cantidades es
necesario que estén expresadas en las mismas unidades.
Antes de operar con fracciones, debes observar si hay
alguna que se pueda simplificar. Si es así, es mejor hallar
su fracción irreducible, para
operar con números naturales lo más pequeños posibles.
48
No podemos sumar directamente un tercio y tres cuartos, puesto que trabajamos
con unidades fraccionarias diferentes. Hay que expresar estas dos fracciones utilizando la misma unidad fraccionaria. Para ello, las tenemos que reducir a mínimo
común denominador, y después sumar las dos fracciones equivalentes obtenidas,
tal como hemos realizado en el apartado anterior.
m.c.m. (3, 4) 5 12
1 3
4
9
13
1 5 1 5
3 4 12 12 12
Observa ahora esta resta:
8
7 16 7
9
1
2 5 2 5 5
9 18 18 18 18 2
Para sumar o restar un número natural y una fracción procedemos del mismo modo,
considerando que cualquier número natural tiene como denominador la unidad:
5 3 5 12 5 17
31 5 1 5 1 5
4 1 4
4
4
4
Si las dos fracciones que tenemos que sumar o restar no tienen el mismo denominador, primero las reducimos a mínimo común denominador y después operamos.
Fracciones
2
Actividades resueltas
1
2
3
1 1 .
6 15 2
Seguimos el mismo procedimiento que hemos utilizado para sumar dos fracciones. Observa:
1
2
3
5
4
45 54 9
1 1 5 1 1 5 5
6
15
2 30 30 30 30 5
9. Calcula:
Si consideramos el total de los colores como una unidad, la fracción que representa el resto de colores será
el resultado de las operaciones siguientes:
12
Tenemos que:
10. La diferencia entre un tercio y un cuarto del precio
de un caballo joven es de 250 €. ¿Cuándo vale el
caballo?
Restamos
1 1
4
3
1
2 5 2 5 .
3 4 12 12 12
Por lo tanto, sabemos que una doceava parte del
precio del caballo son 250 €. El importe total será:
12 ? 250 € 5 3 000 €
11. El arco iris está formado por varios colores. El amarillo ocupa dos quinceavas partes, el rojo ocupa una
3
octava parte y el anaranjado . ¿Qué fracción
40
representa la parte formada por el resto de colores?
2
1
3
2 2
15 8 40
15 5 3 ? 5, 8 5 23 y 40 5 23 ? 5
m.c.m. (15, 8, 40) 5 23 ? 3 ? 5 5 120
Así:
2
1
3
2 2 5
15 8 40
120
16
15
9
80
2
2
2
2
5
5
5
120 120 120 120 120 3
El resto de colores representan los dos tercios del arco
iris.
12
También podríamos haber sumado previamente
2
1
3
1 1 , y después restar este resultado de 1.
15
8 40
Compruébalo.
Actividades propuestas
35. Efectúa las operaciones siguientes y, si es posible,
simplifica los resultados:
a)
7
4
1
10 5
b)
9
3
2
14 7
c)
3
15
4
d)
8
7
4
1 1
9 18 21
11
3
e) 2
15 10
7
f) 2 2
6
g)
5 1 1
+ –
6 4 12
h)
22 7
7
–
–
15 10 21
i)
3 1
–
+1
5 12
j)
3 7
+ –3
4 2
k)
3
4
1
–1+
+
4
3
2
l) 5 –
3 3
–
4 2
36. Halla el valor numérico de n en cada caso:
a)
n 2 22
1 5
5 3 15
b)
6
n
2 51
5 10
37. Javier e Inma participan en una carrera atlética.
3
La primera hora han recorrido los del trayecto,
8
3
y la segunda hora, del trayecto. ¿Qué fracción del
10
trayecto han recorrido hasta este momento? ¿Qué
fracción del trayecto les queda todavía por recorrer?
38. Marcos organiza una fiesta de cumpleaños y decide preparar un combinado de frutas. Coge un recipiente de 4 L y mezcla 2 L de zumo de naranja,
1
3
L de zumo de piña, L de zumo de manzana
2
4
2
y L de zumo de melocotón. ¿Qué capacidad del
3
recipiente queda todavía por llenar?
1
de su casa, su hermano ha
6
2
3
limpiado y su madre, . ¿Qué fracción representa
5
8
la superficie de la casa que han limpiado entre los
tres? Si la superficie de la vivienda es de 120 m2,
¿cuántos metros cuadrados quedan por limpiar?
39. Paula ha limpiado
49
2
Fracciones
9. Multiplicación y división de fracciones
Vamos a ver cómo se calculan el producto y el cociente de fracciones.
9.1. Multiplicación de fracciones
1
3
de los de la superficie del rectángulo del dibujo.
2
4
Hemos dividido el rectángulo en cuatro partes y hemos señalado tres de ellas.
3
Ya tenemos los del rectángulo. Si ahora dividimos en dos partes esta superficie y
4
1
3
señalamos una, la parte seleccionada corresponderá a de los de la superficie
2
4
del rectángulo. Este ha quedado dividido en 8 partes iguales y han quedado seña1
3
3
ladas 3 de estas partes. Por lo tanto: de los son , como puedes comprobar
2
4
8
en el dibujo. Así pues, podemos considerar la multiplicación como fracción de una
fracción:
1 3 1?3 3
? 5
5
2 4 2?4 8
Queremos calcular
3
4
1 de los 3 → 3
2
4
8
Antes de multiplicar dos fracciones, si es posible, simplifícalas. Así:
5 3
5?3
5?3
5
5
? 5
6 11 6 ? 11 2 ? 3 ? 11
5
5
5
5
2 ? 11 22
Cuando calculamos la fracción de un número, también
estamos efectuando un
producto.
3
3
de 35 → ? 35 5
7
7
5
3 ? 35 3 ? 5 ? 7
5
5 15
7
7
1
La fracción inversa de 5 es .
5
1
La fracción inversa de es 3.
3
50
El resultado de multiplicar dos fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores, y como denominador el producto de los
denominadores:
a c
a?c
? 5
b d
b?d
Del mismo modo, podemos multiplicar un número natural por una fracción. Fíjate
en que en el segundo caso de estos dos ejemplos hemos obtenido como resultado
un número natural:
3 6?3
18
6? 5
5
5
5
5
3 8?3
23 ? 3
52?356
8? 5
5
4
4
22
El producto de un número natural por una fracción es otra fracción con el mismo
denominador, y como numerador el producto del número natural por el numerador
de la fracción. Si el número natural es múltiplo del denominador, el producto también
es un número natural.
Si multiplicamos dos fracciones y el resultado del producto es 1, se dice que las dos
4
5
5
fracciones son inversas. La fracción inversa de es , y la fracción inversa de
5
4
4
4
4 5 4?5
51
es , ya que: ? 5
5
5 4 5?4
Para obtener la fracción inversa de una fracción dada, solo hay que intercambiar el
numerador por el denominador.
Fracciones
2
9.2. División de fracciones
3 2
Si queremos dividir : , tendremos que buscar una fracción que, al multiplicarla
5 7
2
3
21
por , dé . Esta es , porque:
7
5
10
21 2 21 ? 2
3?7?2 3
? 5
5
5
10 7
10 ? 7
2?5?7
5
3
Observa que esta fracción coincide con el resultado de multiplicar por la fracción
5
2 3 2 3 7 21
inversa de → : 5 ? 5 .
7 5 7 5 2 10
Recuerda
La división entre números
naturales es la operación
inversa de la multiplicación.
Así, 36 : 3 5 12, puesto que
12 ? 3 5 36.
El cociente de dos fracciones es la fracción que resulta de multiplicar la primera
por la inversa de la segunda:
a c a d a?d
: 5 ? 5
b d b c
b?c
Actividades resueltas
12. Calcula:
3 9
12 5
1
3
2 5 1
:
b) :
c) 3 :
d) : 2 e) ? :
121 33
8 8
5
4
3 2 5
3 9
3 33
3 ? 33 3 ? 3 ? 11
1
a)
:
5
?
5
5 2 2 5
121 33 121 9
121 ? 9
11 ? 3
11
12 5 12 8
12 ? 8
12
b) : 5 ? 5
5
8 8
8 5
8?5
5
1
c) 3 : 5 3 ? 5 5 15
5
a)
d)
3
3 1 3?1 3
:25 ? 5
5
4
4 2 4?2 8
e)
2 5 1 2?5 1 5 1 5
25
? : 5
: 5 : 5 ?55
3 2 5 3?2 5 3 5 3
3
o bien
2 5 1 2 5
2?5?5
25
? : 5 ? ?55
5
3 2 5 3 2
3?2
3
Actividades propuestas
40. Efectúa los productos y simplifica el resultado:
13 10
75 81
21 7
a)
?
b)
?
c)
?
19 39
64 25
17 51
41. Realiza las siguientes operaciones y, si es posible,
simplifica los resultados:
1 7
3 9
5
a) :
b)
:
c) : 10
8 8
18 5
3
4
49 7
5 28
d) 2 ?
e)
:
f) ?
3
9 3
4 35
42. Halla el valor numérico de n en cada caso:
3 2
3
a) ? 5
4 n 14
n 2
b) 3 : 5
2 3
43. Calcula el área del polígono siguiente:
1m
2
6m
5
2
de una carrera en la clase
7
de gimnasia del colegio, es decir, 420 m. ¿Cuántos
metros le quedan por recorrer?
44. Cristina ha recorrido
124
45. El perímetro de un cuadrado mide
m. ¿Cuánto
5
mide un lado?
51
2
Fracciones
10. Operaciones combinadas
con fracciones
Teresa corre diariamente durante
8
3
de hora, y tres días a la semana nada durante
4
1
h. ¿Cuántas horas dedica cada semana a practicar deporte?
2
Podemos resolver este problema fácilmente efectuando estas operaciones
combinadas:
3
1 21 3 21 1 6 27
7? 13? 5 1 5
5
4
2
4
2
4
4
Para realizar operaciones combinadas con fracciones debemos respetar la jerarquía
de las operaciones, igual que con los números naturales: primero efectuamos los
paréntesis, después las multiplicaciones y las divisiones, y por último, las sumas y
las restas.
Si dividimos 27 entre 4, obtenemos 6 de cociente y 3 de resto. Por lo tanto,
podemos escribir que
27
3
561 .
4
4
Teresa dedica cada semana a practicar deporte seis horas más tres cuartos de hora.
Actividades resueltas
3
13. Con 356 L de vino Juan ha llenado 240 botellas de L cada una y aún le sobra
4
vino. ¿Cuántas botellas de medio litro podrá llenar con los litros restantes?
3
Ha llenado 240 botellas de L cada una. Es decir:
4
3
L
4
3
240 ? 3
240 botellas ? ————5 240 ? L 5
L 5 180 L
4
4
1 botella
Calculamos ahora los litros que le sobran:
356 L 2 180 L 5 176 L
Le quedan 176 L por repartir. Si con ellos tiene que llenar botellas de medio litro:
1
1 botella
176 L ? ————5 176 : botellas 5 176 ? 2 botellas 5 352 botellas
2
1
L
2
Con los litros restantes podrá llenar 352 botellas de medio litro.
52
Fracciones
2
Actividades resueltas
14. Teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones,
calcula:
1 1 1
5 11
? 1 12? 2 :3
5 3 2
6
2
Primero efectuaremos el paréntesis, después las multiplicaciones y las divisiones, y por último las sumas y
las restas. Así:
1 1 1
5 11
? 1 12? 2 :35
5 3 2
6
2
1 2 3
5 11
5 ? 1 12? 2 :35
5 6 6
6
2
1 5
5 11
5 ? 12? 2 :35
5 6
6
2
1 2 ? 5 11 1 1 10 11
2 ? 5 1
2 5
5 ?
6
2 3 6
6
6
6
0
1 1 10 2 11
5 50
5
6
6
Actividades propuestas
46. Efectúa las operaciones y simplica el resultado
siempre que sea posible:
3 2 5
1 ?
7 5 2
7
2 4 1
c) 2 1 2
2
5 3 2
7
3 45
e) 3 : 1 ?
5 10 7
5 16
7 21
?
1
:
8 25 20 10
5
3
7
4
122
d) 2 2
2
4 12
3
3
1
f) 2 1 : 3 1
5
4
3
47. Montse ha comprado dos sobrasadas de de kg
4
1
cada una y tres ensaimadas de kg cada una. Si
2
las lleva dentro de una maleta que vacía pesa 2 kg,
¿cuánto pesa su equipaje?
a)
b)
48. Un excursionista ha andado durante 5 horas y
18
km/h. ¿Qué distancia ha
media a un ritmo de
5
93
km, ¿cuántos kilómerecorrido? Si debía andar
4
tros le faltan para llegar al destino?
49. Un tercio de las canciones que tengo en el MP3 son
3
de música dance, de las restantes son de música
4
rock y las cinco que quedan son de música clásica.
¿Cuántas canciones tengo?
5
de un terreno, Fernando ha pagado
9
58 500 €. ¿Cuál es el precio del terreno? ¿Cuántos
euros le faltan todavía por pagar? Si paga este importe en 12 mensualidades, ¿cuánto deberá pagar
cada mes?
50. Por los
2
51. Elisa dedica de su sueldo a pagar la hipoteca del
5
1
piso, de lo que gana lo gasta en alimentación y
4
destina a otros gastos una sexta parte del sueldo.
Aun así, consigue ahorrar 231 € al mes. ¿Cuál es el
sueldo de Elisa? ¿Cuál es el importe de cada uno de
los gastos que tiene?
52. Para un concurso de fotografía disponemos de
6 000 € de presupuesto. Al primer premio le des1
tinamos la mitad del dinero, al segundo premio ,
3
al tercero la mitad del segundo, y al cuarto el resto.
¿Cuánto corresponde a cada premio?
7
53. El área de un rombo es de
cm2. ¿Cuánto mide
15
la diagonal pequeña, si la diagonal grande tiene
7
cm de longitud?
3
54. En las elecciones generales, el partido «Todos
2
de los votos del electorado y
7
2
el partido «Curramos mucho», los . La mitad del
5
resto de votos fue para el partido «Irá bien». ¿Cuál
es la fracción que representa los votos logrados
por el partido «Irá bien»? ¿Qué partido ganó las
elecciones?
juntos» consiguió
55. En una conferencia sobre contaminación ambiental,
3
3
de los participantes son españoles, del resto
5
4
son franceses y los otros 25 son italianos. ¿Cuántos
participantes había en la conferencia?
53
2
Fracciones
Actividades finales
1. En una baraja española de 40 cartas hay 10 oros,
10 copas, 10 espadas y 10 bastos. ¿Qué fracción de
la baraja representan los oros? ¿Qué fracción de la
baraja representan los ases?
2. En el recibo del teléfono de una oficina consta lo
siguiente:
Cuota de abono 18 €, llamadas metropolitanas 42 €,
intercomarcales 36 €, a móviles 18 €, y mensajes sms
6 €. ¿Qué fracción representa el dinero pagado por
cada concepto respecto al dinero pagado en total?
3. El año pasado, los chicos y las chicas de 1.º de ESO
del instituto vendieron 150 rosas el día de San Valentín para recaudar dinero para el viaje de fin de curso.
1
Este año han vendido más que el año pasado.
5
¿Cuántas rosas han vendido este año?
2
b) de 39.
3
4
c) de 450.
5
5. Halla el término que falta:
2
a
b) de 75 es 50.
a) de n es 160.
9
3
2
3
c) de 70 es 28.
d) de n es 60.
b
4
7. Indica si las fracciones siguientes son propias, impropias o iguales a la unidad:
1 12 5 7 10 4 15 7 121
, , , , , , , ,
3 4 6 3 2 25 15 21 11
8. ¿Qué fracción de hora son 20 min? ¿Y 30 min? ¿Y 45
min? ¿Y 90 min?
9. Calcula la fracción irreducible de cada una de las
fracciones siguientes:
54
b)
288
504
c)
44
52
9 5
b) ...
8 6
4 20
c) ...
9 45
5 4
d) ...
9 9
11. Ordena de menor a mayor las fracciones siguientes:
3 1 7 6 5 2
a) , , , , ,
4 2 5 7 4 3
b)
3 11 19 7 17
, , , ,
32 20 24 18 12
12. Reduce a mínimo común denominador los pares
de fracciones siguientes:
3 5
7 13
7 5
a) y
b) y
c) y
4 8
11 5
36 24
13. Efectúa las operaciones siguientes y, si es posible,
simplifica los resultados:
1 7
a) 1
6 6
11
3
2
15 10
3
g) 1 5
4
b)
3 2
1
18 9
e) 2 2
7
6
7
h) 2 1
3
5 1
1
c) 1 2
6 4 12
f)
11 1 21
1 1
27 3 81
2 3 1
i) 1 1 2 1
3 2 4
14. Efectúa las operaciones siguientes y simplifica el
resultado siempre que sea posible:
9
5 11
9
b) 2
c) 2 4
a) 3 1
10
8 32
2
3
4
6. Si de n es p, entonces de p es n. Compruébalo
4
3
para n 5 16.
126
54
7 7
a) ...
9 15
d)
4. Calcula:
5
a) de 72.
18
a)
10. Escribe ., , o 5, según corresponda:
d)
200
125
d)
15 69
2
23 30
e) 5 :
2
7
f)
15 1
:
8 32
3 2 5
g) 1 ?
7 5 2
5 16
7 21
h) ? 1 :
8 25 20 10
2 1 6 29
i) 1 ? 2
3 4 5 30
3 5 3
1
j) : 1 2 2 ?
2 6 2
3
4
15. María se ha gastado en un libro del dinero que
7
tenía. Si le quedan 36 €, ¿de cuántos euros disponía?
16. Comprueba si son ciertas o falsas las igualdades
siguientes:
2 5
7
a) 1 5
3 7 10
2 7
b) 1 5 1
9 9
c)
19 5
2 52
7
7
2
6
d) ? 3 5
5
15
5 2 10
e) ? 5
3 3
3
f)
4 12
: 53
13 13
Fracciones
2
Actividades finales
17. Realiza las multiplicaciones siguientes, simplificando
antes de operar si es posible:
4 5 3 1 2
20 15 21
a) ? ? ? ?
b) ? ?
3 7 8 6 5
63 4 25
2 23 54
c) ? ?
3 18 46
4 1 5 3
d) ? ? ?
5 2 3 2
2
partes de un libro de Tintín;
5
2
1
ayer, los , y hoy . ¿Qué fracción del libro he
15
6
leído hasta el momento?
19. Realiza las siguientes operaciones y, si es posible,
simplifica los resultados:
8 5 20
3 4 16
1 4
b) : ?
c) 3 2 ?
a) ? :
9 14 27
5 7 9
2 3
21 9
1
e) : 2
16 8 54
2 1 1
f) 2 :
3 3 2
20. Efectúa las operaciones siguientes y simplifica el
resultado siempre que sea posible:
2 1 6 29
3 5 3
1
b) : 1 2 2 ?
a) 1 ? 2
3 4 5 30
2 6 2
3
4
2 : 7 5
1
2
5 11 6 9
4
3 1
24
e) 1 ? 1 2 2
25 5 5
25
c)
3
1 3
3 1
3
a) 1 1 5 1 1
5
2 4
5 2
4
b)
18. Anteayer leí las
2 1 3
d) 1 :
3 2 4
24. Comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes
igualdades:
1 3 1 1
3
d) 1 ? : 1
3 7 2 7 14
1 1 1 1
f) 3 1 : 2 :
2 2 2 14
12 1 3
12 1 12 3
? 1 5 ? 1 ?
5 2 4
5 2
5 4
25. Calcula:
2 1
1
a) 1 1 2 : 2 :
3 2
4
b)
4 5 2
4 2 38
2 ? 2 1 :
3 6 3
9 5 15
c)
2
3 2
11 : 4
? 132
2
3 10 3
5 9
2
26. Un depósito, lleno hasta los , contiene 1 230 L de
5
agua. ¿Cuántos litros de agua hay en tres depósitos
2
como este llenos hasta los de su capacidad?
3
27. Un agricultor ha cosechado en un día 108 kg de
5
patatas. El día siguiente por la mañana vende ,
9
5
y por la tarde vende del resto por 32 €. ¿Cuál es
6
el precio de un kilogramo de patatas?
22. El pie de David mide
28. Tres compañeros de trabajo se reparten un premio
que han ganado en un sorteo de la ONCE. Manuel
2
1
se lleva los del premio, Rosa del premio, y José,
5
3
el resto, que son 624 €. ¿Cuál era el premio? ¿Cuántos
euros corresponden a Rosa y a Manuel?
23. Una profesora de matemáticas tiene tres clases se3
1
manales de h. Dedica parte de cada clase
4
5
al cálculo mental. ¿Qué fracción de hora dedica al
cálculo mental en un día de clase? ¿Y durante toda
la semana?
29. El número de quilates de un objeto de oro representa las partes de oro que tiene respecto de 24.
Cuando decimos que un objeto es de 24 quilates
significa que es de oro puro, mientras que si es de
19
de oro
19 quilates, tiene una composición de
24
puro. Calcula la cantidad de oro puro que contiene
un objeto de oro de 18 quilates que pesa 40 g. ¿Qué
cantidad de oro de 20 quilates podemos fabricar
con 100 g de oro puro?
21. En un test para obtener el carné de conducir,
2
Francisco ha contestado de las preguntas. Si ha
3
contestado 24, ¿cuántas preguntas tenía el test?
3
m. Ha medido la longitud
8
de la piscina de su casa con los pies y el resultado de la medida ha sido de 72 pies. ¿Cuántos metros
de longitud tiene la piscina?
55
2
¿Qué te cuentas?
¡Rápido, rápido!
Si es posible, hazlo mentalmente.
Completa
1
2
1
2
1
2
3
4
1
4
3
4
1
3
2
?
2
3
4
3
1
6
8
3
3
7
3
4
8
1
4
3
4
:
3
2
2
3
1
5
1
7
2
5
2
1
Responde
1. ¿Cuántas aceiteras de un cuarto de litro puedo llenar
con un litro de aceite?
2. En 12 vasos de un tercio de litro de capacidad, ¿cuántos litros caben?
1
3. ¿Cuántos paquetes de kg puedo llenar con 3 kg?
4
3
4. Si duermes de día, ¿cuántas horas estás despierto
8
diariamente?
9
5. Nuria dedica a la lectura h cada día. ¿Cuántas horas
14
dedica a la lectura semanalmente?
6. ¿Cuántos kilómetros hemos recorrido si ya hemos
2
efectuado las partes del camino y todavía nos faltan
3
25 km?
1
7. ¿Cuántos centímetros son de metro?
4
8. ¿Cuántos DVD tiene Ana, si Antonio tiene 20, que son
la quinta parte de los que tiene Ana?
56
1
4
9. ¿Cuántos huevos son de los de 3 docenas de
2
3
huevos?
3
10. ¿Cuántas jarras de de litro de agua puedo llenar con
4
una garrafa de 9 L?
11. En una carrera los deportistas han recorrido 700 m,
7
que representan del trayecto. ¿Cuál es la longitud
12
de esta carrera?
9
12. Cada día Mariona bebe L de agua. ¿Cuántos litros
5
bebe durante el mes de noviembre?
1
13. ¿Cuántas tazas de L se pueden llenar con un termo
8
5
que contiene L de café?
2
1
14. Tengo de un pastel y le doy la mitad a mi mejor
4
amigo. ¿Qué trozo de pastel me queda?
3
15. He comprado 8 tetrabriks de de litro de zumo de
4
piña. ¿Cuántos litros de zumo tengo?
2
Un poco de lógica
Personajes
¿Cómo se llama cada personaje de este grupo?
Los chicos nos
llamamos Ramón,
José, Jorge, Alberto
y Francisco.
1
2
Ramón está entre
Alberto y Victoria.
Yo estoy muy
cansado.
6
Ana tiene
a Francisco a la
izquierda y yo me
llamo Alberto.
Y las chicas
Carmen, Laura,
Victoria, Ana
e Imma.
7
3
4
5
Francisco está
encima de José.
8
Yo me llamo
Victoria y Laura
está al lado
de Carmen.
Debajo de Alberto
está Carmen.
¡Tú lo que tenías
que decir era que
Jorge y José están
de lado!
Ahora cantaré
una canción.
9
10
Tangram
6
Observa el tangram. Indica qué parte del tangram representa cada pieza.
Calcula la fracción que representan las piezas siguientes del tangram:
a
a) c 1 d
b
b) c 1 e
c) b 1 e
e
a
d) d 1 e 1 e
e) a 1 a
d
e
c
f) a 1 d
57

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