APUNTES Y PROBLEMAS
DE MATEMÁTICAS ESPECIALES
6
TREVERIS multimedia
Introducción
Los Apuntes:
Estos apuntes resumen y adaptan el contenido del libro oficial de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso
Directo de la UNED. La experiencia demuestra que el libro es poco asequible para los alumnos, de modo que se ha tratado
de hacer unos apuntes comprensibles y, sobre todo, orientados a aprobar el examen, pues se ha tenido en cuenta lo que
habitualmente es materia de examen.
No debe olvidarse que estos Apuntes son un resumen del libro (aunque completos, es decir, no se deja de lado nada
de lo que es objeto de examen). Por ello, el libro debería servir para profundizar en algunos conceptos que el alumno
estime que en los Apuntes han quedado excesivamente resumidos,
Los Problemas:
En la colección de Problemas que aquí se ofrece figuran prácticamente todos los que han aparecido en exámenes de
Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED los últimos años –éstos aparecen con una clave; por
ejemplo: J9926 significa Junio 99, examen tipo B, pregunta número 6– junto a otros ideados para ” rellenar lagunas” en la
transición de uno a otro. Los ” Problemas de Clase” son los que el Tutor autor de este material explica en la pizarra durante
sus tutorías, y los ” Problemas propuestos” se resuelven de forma parecida a los de clase (en cada uno propuesto se
indica el número del problema de clase al que se parece). Se da la solución de todos los problemas propuestos, y algunas
indicaciones cuando son difíciles. Estudiar matemáticas consiste básicamente en hacer ejercicios continuamente. Por
ello, una vez resueltos los propuestos en este material el alumno debería seguir con los del libro oficial de problemas.
Material complementario:
Los Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales se ofrecen gratuitamente en Internet, en
http://www.treveris.es/matematicas. También se pueden adquirir impresos en dicha página web. En ese caso se regala, en
formato electrónico, para imprimir:
–una nueva colección de cientos de problemas ordenados desde ” dificultad cero” hasta el nivel requerido, escrita de
tal manera que un ejercicio ayuda a resolver el siguiente en la lista, método original que ha demostrado dar excelentes
resultados.
–la solución a los problemas de clase que figuran en el presente material, ya que actualmente sólo se ofrece la
solución a los problemas propuestos y, en algunos casos, ayuda para resolverlos.
Además, quienes adquieran el material dispondrán de un tutor virtual para consultar dudas durante todo el curso
2000-2001 de forma completamente gratuita en http://www.treveris.es/matematicas.
TREVERIS multimedia quiere agradecer a todos los usuarios de este material su confianza.
(© EditorialTréveris, S. L., 2000 Reservados todos los derechos)
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
Índice
9
Primera parte: APUNTES
11
Tema 0: Operaciones algebraicas básicas
19
Temas 1 y 2: Números enteros, racionales y reales
27
Temas 3 y 4: Conjuntos, Combinatoria
32
Temas 5 y 6: Probabilidad, Estadística
37
Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones
45
Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometría
50
Tema 14: Números complejos
53
Temas 13 y 15: Vectores
61
Tema 16: La recta
65
Temas 18, 19 y 22: Sucesiones, límite de sucesiones; introd. al límite de funciones
68
Temas 20 y 21: Funciones y polinomios
75
Tema 23: Continuidad de funciones
77
Temas 24, 26 y 27: Derivadas
80
Tema 25: Estudio y representación de funciones; más sobre límite de funciones
88
Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidas
93
Segunda parte: PROBLEMAS
95
Temas 1 y 2: Números enteros, racionales y reales
97
Temas 3 y 4: Conjuntos, Combinatoria
99
Temas 5 y 6: Probabilidad, Estadística
101
Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones
105
Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometría
107
Tema 14: Números complejos
108
Temas 13 y 15: Vectores
110
Tema 16: La recta
112
Temas 18, 19 y 22: Sucesiones, límite de sucesiones; introd. al límite de funciones
113
Temas 20 y 21: Funciones y polinomios
114
Tema 23: Continuidad de funciones
116
Temas 24, 26 y 27: Derivadas
118
Tema 25: Estudio y representación de funciones; más sobre límite de funciones
120
Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidas
7
8
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Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
Primera parte: APUNTES
9
10
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Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
11
Tema 0: Operaciones algebraicas básicas
¾
Generalidades: propiedades conmutativa, asociativa y distributiva
51.- Simplificar: 3a + a ? Ý5a + 7 ? aÞ + Ýa + 5Þ + 4Ý3a ? 7Þ + 2Ý?3 ? 5aÞ ? 5Ýa ? 1Þ
(Sol.: ?2a ? 31)
Para simplificar la expresión anterior deben tenerse en cuenta varias reglas.
Regla 1.- Los paréntesis marcan la máxima prioridad en las operaciones algebraicas. Por tanto, si es posible, debe
tratar de simplificarse previamente el contenido de cada paréntesis. En este problema sólo cabe simplificar el primero,
Ý5a + 7 ? aÞ; los demás no pueden simplificarse porque no cabe hacer dentro de ellos ninguna operación, como veremos más
abajo.
Simplifiquemos, pues, Ý5a + 7 ? aÞ. Esta expresión es un trinomio (polinomio de tres miembros). Los signos + y separan un polinomio en monomios. El orden en que estén escritos los monomios de un polinomio es irrelevante (propiedad
conmutativa de la suma (y la resta), Regla 2). Por ejemplo, el trinomio anterior también podía haberse escrito: 7 + 5a ? a o
?a + 7 + 5a o 7 ? a + 5a, etc.
_____________
[Esta propiedad es muy útil para evitar errores al hacer sumas de números con distinto signo. Por ejemplo, si piden hacer
la siguiente operación: ? 3 + 5 , podemos ”darle la vuelta” escribiendo: + 5 ? 3, o, lo que es lo mismo, 5 ? 3 (pues un
signo + al principio puede suprimirse). Evidentemente, 5 ? 3 es mucho más fácil de interpretar que ?3 + 5 .]
[También pueden introducirse paréntesis arbitrariamente en el trinomio considerado para asociar monomios, escribiendo,
por ejemplo: Ý5a + 7Þ ? a o 5a + Ý7 ? aÞ (propiedad asociativa de la suma (y la resta), Regla 3). Es decir, si hay que efectuar
una suma con tres sumandos (como es el caso), pueden sumarse primero dos cualesquiera y el resultado sumarlo al tercer
sumando.]
[Nota: al emplear la palabra suma nos referimos indistintamente a suma o resta; téngase en cuenta que ”restar” 6 ? 2 es lo
mismo que sumar los números 6 y ?2 .]
_____________
Un monomio pueden constar de letras, números o números y letras. Sólo se pueden sumar (o restar) aquellos
monomios en los que todas las letras sean iguales y estén elevadas a iguales potencias (Regla 4). Por ejemplo, se pueden
sumar entre sí los monomios 5a y ?a, pero no 5a y 7.
De la misma manera, se pueden hacer las siguientes sumas: 5ab ? ab (= 4ab);
ab 2 + 2ab 2 (= 3ab 2 );
(= 2 ca3 );
?3 a ? 2 a (?5 a)
pero no cabría sumar 5ab ?b ni ab + 2ab 2 ni ? ca3 + 3 ac32 ni ?3 a ? 23 a.
? ca3 + 3 ca3
De todo lo dicho debe quedar claro que 5a + 7 ? a = 4a + 7. , con lo que la expresión inicial queda:
= 3a + a ? Ý4a + 7Þ + Ýa + 5Þ + 4Ý3a ? 7Þ + 2Ý?3 ? 5aÞ ? 5Ýa ? 1Þ
Dentro de los demás paréntesis no se puede efectuar operación alguna. La única manera de seguir simplificando es
quitar los paréntesis. Para ello hay que seguir ciertas reglas. Un paréntesis con un signo + delante puede quitarse
directamente.(Regla 5). Es el caso del segundo paréntesis. Un signo – delante de un paréntesis permite quitar el paréntesis
pero cambiando el signo de los monomios que hay dentro (Regla 6). Es el caso del segundo paréntesis. Un número o letra
delante de un paréntesis multiplica (sin olvidar su signo) a todos los monomios que hay dentro del paréntesis (propiedad
distributiva, Regla 7). Es el caso de los paréntesis tercero, cuarto y quinto.
Con lo dicho, la expresión queda:
= 3a + a ? 4a ? 7 + a + 5 + 12a ? 28 ? 6 ? 10a ? 5a + 5 = ?2a ? 31
donde se han tenido en cuenta las reglas de la multiplicación (y división) de signos:
Ý+ × + = +
¾
+×? = ?
?×+ = ?
? × ? = +Þ
Operaciones con fracciones
7Multiplicación y división
A veces, resolver una expresión algebraica requiere manipular fracciones.
Multiplicarlas es fácil: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí (Regla 8).
Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz, es decir, el numerador de la primera fracción por el denominador de la
segunda (resultado que va arriba en la fracción final) y el denominador de la primera por el numerador de la segunda (lo cual
va abajo) (Regla 9):
12
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2a 2
3
6
3
5
=
6a 2
15
2a 2
:
3
5
=
10a 2
9
3
Otro ejemplo: efectuar
xÝ? 3x
Þ
(Tener en cuenta primero que esa expresión indica la multiplicación de una cantidad, x,
2
por una fracción negativa; es decir, no es una resta; sería una resta si no existiera el paréntesis: x ? 3x
. En segundo lugar,
2
tener en cuenta que el producto escrito se puede poner también como: x1 6 ?3x
.)
2
?3x2
2
Es fácil ver que la solución es
7Simplificación
El resultado de las fracciones hay que simplificarlo si es posible. Por ejemplo, las siguientes pueden simplificarse
dividiendo arriba y abajo por el mismo valor (Regla 10):
15
20
=
3
4
[hemos dividido arriba y abajo por 5]
=
[hemos dividido arriba y abajo por 2a; para dividir 6a entre 2a se dividen números entre números y letras
entre letras: 6 entre 2 es 3 y a entre a es 1 (que no se escribe, porque 3 × 1 = 3)]
2a
6a
1
3
7Suma y resta
Para sumar (o restar) fracciones hay que encontrar primero el mínimo común múltiplo (mcm) de sus denominadores. A su
vez, para ello previamente hay que factorizar los denominadores, es decir, convertir cada uno de ellos en producto de
factores primos. (Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por 1; por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17 son
primos, pero no lo son 4, 6, 8, 9, 10, 12, etc.) Una vez factorizados, para calcular el mcm se toman los factores comunes y no
comunes elevados a los mayores exponentes (Regla 11).
Por ejemplo, calcular el mcm de 25, 75 y 100. Primero factorizamos los tres números tratando de dividirlos sucesivamente
por números primos empezando por el 2 y siguiendo con el 3, 5, etc. Por ejemplo, para factorizar 100 se empieza dividiendo
por 2; el resultado Ý50Þ se divide de nuevo por 2 Ý= 25Þ; como 25 no es ya divisible por 2 probamos con el siguiente primo
(3); tampoco es divisible, pero sí lo es por 5; 25 entre 5 da 5; volvemos a dividir por 5 y el resultado final es 1, que es
donde hay que llegar. 100 queda factorizado, entonces, como: 100 = 2 × 2 × 5 × 5 (= 2 2 × 5 2 )
Las tres factorizaciones quedan así:
25 = 5 2
75 = 5 2 6 3
100 = 2 2 6 5 2
Todos los factores encontrados son, como se ve, 2, 5 y 3 (elevados a distintas potencias según el número factorizado). El
2 y el 3 son factores no comunes a las tres factorizaciones: los tomamos elevados a los mayores exponentes encontrados
2 2 y 3; el 5 sí es común; lo tomamos elevado a la mayor potencia encontrada: 5 2 . El mcm se calcula, entonces, efectuando
el producto 2 2 6 3 6 5 2 = 300.
Vamos a aplicar esto. Supongamos la siguiente suma (o resta) de fracciones:
6
25
?
3
75
+
4
100
Para resolverla se calcula el mcm de los denominadores (ya lo hemos hecho: mcm = 300). Luego se procede así: se escribe
un signo igual y una raya larga de fracción en cuyo denominador irá el mcm encontrado. En el numerador irá la suma (o resta,
según el signo) de cada uno de los numeradores de las tres fracciones multiplicado por el resultado de dividir el mcm entre el
66Ý 300
Þ?36Ý 300
Þ+46Ý 300
Þ
6 ? 3 + 4
25
75
100
72 = 6
denominador correspondiente (Regla 12): 25
=
= 6612?364+463
= 72?12+12
= 300
(la última
75
100
300
300
300
25
operación ha sido una simplificación, dividiendo numerador y denominador por 12).
También pueden hacerse operaciones de este tipo que incluyan letras:
4
12a
+
b
36a 2
Las factorizaciones de los denominadores son:
12a = 2 2 6 3 6 a
y
36a 2 = 2 2 6 3 2 6 a 2
El mcm es, entonces: 3 2 6 a 2 6 2 2 = 36a 2
Entonces:
4
12a
+
=
b
36a 2
46Ý
36a 2
12a
Þ+b6Ý
36a 2
36a 2
Þ
=
36a 2
46Ý3aÞ+b6Ý1Þ
36a 2
=
12a+b
36a 2
2
En cierto momento hemos tenido que dividir 36a
. Para ello se dividen primero los números (36 entre 12) y luego las letras
12a
2
(Regla 13) (a entre a da a de la misma manera que 5 2 entre 5 da 5).
Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:
52.-
46
100
53.-
?3
ab
+
54.-
6Ýa+ b2
23
+
37
25
7
a3b3
Þ
+
? 10a =
=
3a
5
6
7
(Sol.:
(Sol.:
=
221
230
a+
194?1000a
100
?3a 2 b 2 +7
a3b3
3
23
b =
Ayuda: 10a se puede convertir en la fracción
10a
1
)
)
(Sol.:
221a+30b
230
Ayuda: primero se resuelve el paréntesis del numerador de la
primera fracción, lo que da 2a+b
. Esta fracción se multiplica por 6, lo que da 6a + 3b [tener en cuenta que 6 2a+b
es lo
2
2
mismo que 62 2a + b , por aplicación de la propiedad conmutativa de la multiplicación-división]. Hecho esto nos
3a
encontramos con que debemos sumar la fracción compleja 6a+3b
con la fracción compleja 56 , que hay que empezar
23
7
reduciendo a fracción simple. Lo explicamos con otro ejemplo: una fracción compleja como la siguiente:
a
b
c
d
se reduce a una
simple multiplicando los extremos y dejando arriba el resultado (a 6 d) y multiplicando los medios dejando abajo el resultado
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
(b 6 c), quedando, pues, la fracción
a6d
b6c
. Hay fracciones complejas algo ”diferentes”, como
a
1
c
d
teniendo en cuenta sólo que la primera equivale a
55.- Simplificar 6ab ? 5Ýa + ab + cÞ + 1
56.- Simplificar a 2 b ?
57.- Simplificar
a2b
2
+ aÝabÞ
a 5?a 2+
+
1
3
+
6a
5
3
2
7
3
y la segunda a
a
o
c
d
a
b
c
. En realidad es lo mismo,
).
ab ? 5a ? 5c + 1)
(Sol.:
(Sol.:
a
b
c
1
13
a2
a 2 b)
31
5
(Sol.:
a)
Efectuar las siguientes operaciones y simplificar al máximo:
58.- 2Ý3 + aÞ ? 4Ý5 + aÞ =
59.-
3
4
510.-
Ýa + b + cÞ ? 2a +
a+2b
2
? 14 ? 2a)
(Sol.:
5b
4
+
c
2
=
+ 5aÝ2a + 2 + bÞ ? 5ab =
511.- aÝa + 1Þ ? aÝ2a + 3Þ =
2
?5a+8b+5c )
4
(Sol.:
21a+2b+20a 2
2
(Sol.:
(Sol.:
)
a ? 2a ? 2a 2 )
3
Vamos a practicar ahora con una extensión de la propiedad distributiva. Para multiplicar dos paréntesis que contienen
al menos un binomio cada uno, se multiplica el primer monomio del primer paréntesis por el primero del segundo, luego el
primer monomio del primer paréntesis por el segundo del segundo; el primero del primero por el tercero del segundo, y así
sucesivamente, y todos los resultados van sumados o restados entre sí, según su signo. Al terminar esta serie, se repite de igual
modo para el segundo monomio del primer paréntesis, luego para el tercero, etc. (Regla 14). Siempre hay que tener en cuenta
los signos de cada monomio. Si se están multiplicando tres paréntesis, se opera primero con dos de ellos (cualesquiera, ya que
el orden de los factores no altera el producto –propiedad conmutativa–) y al resultado se le multiplica el tercer paréntesis. Con
un ejemplo lo entenderemos mejor:
Ý?2a + 5 + 7bÞÝ?a + b ? 4c ? 1Þ = 2a 2 ? 2ab + 8ac + 2a ? 5a + 5b ? 20c ? 5 ? 7ab + 7b 2 ? 28bc ? 7b =
= 2a 2 ? 9ab + 8ac ? 3a ? 2b ? 20c ? 5 + 7b 2 ? 28bc
Ejercicios
512.- Ýa + 5ÞÝb + 7ÞÝc ? 1Þ ? 5abc ? 2a + 5b ? 35c + 35 =
513.- Ý2a + 4bÞ 2 =
(Sol:
514.- Ýa + bÞÝa ? bÞ =
(Sol:
a2 ? b2 )
515.- Ý?a ? b ? cÞÝ2 + 5b + 7aÞ ? 5ab =
516.- ?Ýa +
¾
2
3
b ? cÞÝa +
b
2
? 4abc ? ab + 7ac ? 9a + 5bc)
(Sol.:
4a 2 + 16ab + 16b 2 )
(Sol.:
Þ + Ý5 ? aÞÝ5 ? bÞÝ?3aÞ =
? 7a 2 ? 2a ? 17ab ? 7ac ? 5b 2 ? 2c ? 5bc ? 2b)
14a 2 ? 3a 2 b +
(Sol.:
83
6
ab + ac ? 75a +
1
2
bc ?
1
3
b2 )
Factor común
Sacar factor común.es, en cierto modo, una operación inversa a la aplicación de la propiedad distributiva. Consiste en ver
qué factores son comunes a los monomios que forman un polinomio y extraer estos factores de cada monomio. Lo veremos
con un ejemplo:
Sacar factor común en: 5a 2 + 25a ? 75a 3 .
Aunque con un poco de práctica esta operación se llega a hacer de forma automática, el proceso requeriría una
factorización previa en factores primos: 5 6 a 6 a + 5 6 5 6 a ? 5 6 5 6 3 6 a 6 a 6 a. Puede comprobarse que lo común a los tres
monomios es 5 6 a. Estos factores se extraen, pues, de cada monomio, multiplicando a un paréntesis donde quedarán los
factores no extraídos, con sus signos (Regla 15):
5 6 a 6 Ýa + 5 ? 5 6 3 6 a 6 aÞ = 5aÝa + 5 + 15a 2 Þ
[Si el resultado obtenido se opera, aplicando la propiedad distributiva, llegaremos de nuevo a la expresión original,
5a 2 + 25a ? 75a 3 ; por eso la operación de sacar factor común puede considerarse recíproca de la de aplicar la propiedad
distributiva.]
Otros ejemplos: sacar factor común en las siguientes expresiones:
6ab + 12b 2 + 12c
como está)
(Sol.: 6bÝa + 2bÞ + 12c ) (en el tercer monomio no se ha podido sacar nada; por tanto, se deja tal
ab + b 2 + a 2
(Sol.: aÝb + aÞ + b 2 )
2
quedado bÝa + bÞ + a )
(en este caso también podríamos haber sacado factor común b, y habría
A veces puede ser útil (o, simplemente, nos lo pueden exigir en un problema) sacar determinado factor común aunque
aparentemente no lo sea. Por ejemplo, sacar factor común 12x en la siguiente expresión:
7 + 1 xÞ ? 6
7x + x 2 ? 6
Sol.:
12xÝ 12
En estos casos hay que trabajar un poco por tanteo, y siempre comprobar si lo
12
hemos hecho bien aplicando la propiedad distributiva al resultado para ver si nos da la expresión original (Regla 16).
34x 2 ?
517.- a) Sacar factor común 17x en la siguiente expresión:
b) Sacar factor común 17 en la misma expresión (Sol.: 17Ý2x 2 ?
1
3
17x
3
(Sol.: 17xÝ2x ?
2a 2 b ? 16a 3 b ? 6a 4 b 4
519.- Sacar factor común 2z en la siguiente expresión:
? z + 4z
3z
2
)
x)
518.- Sacar factor común todo lo posible en la expresión:
2
1
3
3
(Sol.:
(Sol.:
2zÝ 34 ?
z
2
2a 2 bÝ1 ? 8a ? 3a 2 b 3 Þ )
+ 2z 2 Þ )
14
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520.- Sacar factor común ? 2 en ?2a ? 3b + 4c
(Sol.: ?2Ýa + 32 b ? 2cÞ
nuevo, al efectuar la operación inversa: ?2Ýa + 32 b ? 2cÞ = ?2a ? 3b + 4c ).
¾
; la comprobación de que está bien se tiene, de
Potencias y raíces
La mayoría de las propiedades de las potencias y raíces se deducen entendiendo bien el concepto de potencia y
dos reglas que veremos más abajo
7Multiplicación y división
¾
La regla principal a tener clara es el concepto de potencia, es decir, entender que a 3 significa a 6 a 6 a y que
b 5 = b 6 b 6 b 6 b 6 b.
De aquí se deducen reglas como la del producto de potencia: a m 6 a n = a m+n . (Regla 17). Un ejemplo:
a 4 6 a 5 = a 4+5 = a 9 porque: a 4 6 a 5 = Ýa 6 a 6 a 6 a Þ 6 Ýa 6 a 6 a 6 a 6 a Þ = a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a = a 9 .
Debe tenerse en cuenta que sólo se pueden multiplicar potencias con la misma base, como en el ejemplo anterior; es
decir, no cabe hacer ninguna operación en a 2 6 b 6 excepto si el exponente es el mismo; así, cabe efectuar por ejemplo:
5 3 6 6 3 = 5 6 6 3 = 30 3 [y en general: a c 6 b c = ab c (expresión en la que el paréntesis es imprescindible para no
confundir con ab c ; en esta última, el exponente sólo afecta a b)].
La división se hace de la siguiente manera: aa mn = a m?n (Regla 18). Veamos un ejemplo: aa 73 = a 4 . La razón podemos
entenderla de nuevo si aplicamos el concepto de potencia: aa 73 = a6a6a6a6a6a6a
= a 6 a 6 a 6 a = a4 .
a6a6a
_____________________
[Lo que hemos hecho es lo siguiente: hemos cancelado tres de los factores a de arriba con tres de los de abajo; esto se
puede hacer en una fracción siempre que los factores estén multiplicando a los demás, nunca si están sumando o restando
(por ejemplo, no cabe cancelar nada en a+b+c
a pesar de que el factor a está arriba y abajo. Siempre que surjan dudas
a
con esto conviene recurrir a un ejemplo semejante en el que sustituyamos las letras por números. Por ejemplo, en la
expresión a6a6a6a6a6a6a
sustituyamos cada a por un 2: y operemos directamente arriba y abajo: 2626262626262
= 128
= 16, pero
a6a6a
26262
8
4
4
a6a6a6a6a6a6a
a+b+c
como 16 = 2 queda demostrado que
es a . Ahora, sustituyamos letras por números en
, haciendo por
a6a6a
a
ejemplo la a igual a 2 , b = 5 y c = 6 Con estas sustituciones veremos que a+b+c
no puede ser igual a b + c porque
a
2+5+6 no es igual a 5 + 6 (= 11), sino a 13 , pues 2 + 5 + 6 = 13 . También cabe aplicar cancelaciones en expresiones como
2
2
b2 =
b6b
1
= b6b6b
= b13 . En casos como éste en que la potencia superior es menor que la inferior hay que dejar en el
b6b6b6b6b
b5
numerador un 1. Para entenderlo, hagámoslo con números; por ejemplo, supongamos que en la expresión bb 25 hacemos
4 = 1
b = 2, es decir: 22 25 = 32
(la última operación ha sido una simplificación de la fracción dividiendo arriba y abajo por 4).
8
3
Pero como 8 = 2 , escribir 18 es como si hubiéramos escrito 213 , lo que confirma que bb 25 = b13 .
______________________
521.- Efectuar las siguientes operaciones aplicando las reglas de multiplicación y división de potencias: a) 2 3 6 2 2 (Sol.:
2 5 ); b) 2 32624 2 (Sol.: 2); a) a 3a6a5 2 (Sol.: 1); c) a 3 6 b 2 6 a (Sol.: a 4 b 2 ; en este caso y otros en el que hay potencias de distinta
b2c
1 ).
base se multiplican entre sí sólo las que tienen la misma base); d) a 4ac
(Sol.: a 3 b 2 ); e) 8a2abc
(Sol.: 4abc
2 b 2 c2
7a ?1 = 1a
Si al operar bb 25 hubiéramos seguido estrictamente la regla de la división de potencias dada más arriba, habríamos
llegado a la expresión b ?3 , mientras que por el método de ir cancelando hemos llegado a b13 . ¿Por qué resultados
diferentes? Porque no son diferentes. Si ambas reglas son válidas (y lo son), los resultados deben ser iguales. Es decir, que
b ?3 = b13 . Esto es importantísimo y debe tenerse muy en cuenta, porque este tipo de potencias negativas aparece muy a
menudo. En general, se puede decir que a ?1 = 1a , o, lo que es lo mismo: 1a = a ?1 (Regla 19).
Dicho de otro modo: siempre que encontremos una potencia con exponente negativo podemos transformarla en una
fracción con un 1 en el numerador y la misma potencia pero con exponente positivo en el denominador (y también vale lo
inverso a esto). Incluso, cuando convenga, pueden hacerse otros cambios de lugar de la potencia (y, por tanto, de signo del
exponente). Por ejemplo, una potencia con exponente positivo se puede transformar en una fracción con un 1 en el
numerador y la misma potencia con exponente negativo en el denominador.
Dicho de otro modo y generalizando: una potencia puede cambiarse de lugar en numerador y denominador con sólo
cambiar el signo del exponente. Así, las expresiones siguientes: 12 , 2a1 2 , ? 3b , y ab , pueden transformarse, respectivamente, en
2 ?1 ,
2a 2 ?1 , ?3b ?1 y ab ?1 (nótese que en la segunda expresión el exponente ?1 afecta tanto al 2 como al a 2 , pues el
paréntesis así lo indica, pero en la tercera y cuarta el exponente ?1 sólo afecta a la b).
Una expresión como ab23c puede transformarse de muchas formas, como: a 2 cb ?3 , c?1a 2b 3 , a ?2 c1?1 b 3 o a b?2?3c?1 . Por
supuesto, cualquiera de estas transformaciones sólo se llevan a cabo cuando conviene a la hora de simplificar la resolución de
un ejercicio. Y una llamada de atención: no se pueden hacer estas transformaciones de este tipo: a 21+b en ba?12 (y sí en
1
= ba?12 ), ya que los cambios de lugar en las fracciones sólo se pueden aplicar a factores (que multiplican o dividen), no a
a 2 6b
monomios que suman o restan o, en general, a sumandos..
Sabiendo esto, una división de potencias siempre se puede resolver transformándola en una multiplicación. Así por
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
15
ejemplo, aa4 = a 4 a ?1 , que, siguiendo la regla de la multiplicación, conduce a: a 4+Ý?1Þ = a 3 , resultado idéntico al que
habríamos llegado aplicando la regla de la división.
8
?1
2abcd 2
16b 2 d 4
522.- Simplificar, dejando el resultado en el denominador y luego en el numerador:
ab ?1 cd ?2 )
(Sol:
1
8a ?1 bc?1 d 2
y
7Potencia de potencias
am
Para resolver una potencia de potencia se multiplican los exponentes. Es decir:
un ejemplo:
32
Resolver
3
= 32
32 3 .
6 32
6
n
= a m6n .(Regla 20). Vayamos a
(Sol.: = 3 6 , lo que podemos demostrar desarrollando las potencias:
32 = 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 = 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 = 36 . )
Ý a ?3 Þ
523.- Efectuar y simplificar
Ýa 2 Þ
2
(Sol.: 1)
?3
7Potencia de un producto y una suma
La potencia de un producto (o cociente) de factores es el producto (o cociente) de las potencias de esos factores. Es decir:
ÝabcÞ m = a m b m c m .
524.- Efectuar Ý4a 2 b ?1 Þ ?2
2
a2b
4
525.- Efectuar
(Sol.:
(Sol.:
b2
16a 4
a4b2
16
)
)
La potencia de una suma (o resta) no es la suma (resta) de las potencias de los sumandos. Se puede calcular
convirtiéndola en un producto de la siguiente manera (por ejemplo):
a+b 3 = a+b
a+b
a + b , que se resuelve
multiplicando primero los dos paréntesis y el resultado por el tercero.
3?a
526.- Efectuar
(Sol.: 9 ? 6a + a 2 )
2
527.- Efectuar Ý?1 ? a + bÞ 3
(Sol.: ? a 6 ? 3a 4 + 3a 4 b + 6a 2 b ? 3a 2 ? 3a 2 b 2 + b 3 ? 3b 2 + 3b ? 1 )
2
7Propiedades de las raíces
3
m
La principal propiedad de una raíz tipo
3
a = a 3 = a1 .
an
es que se puede transformar en a
n
m
. (Regla 21). Por ejemplo,
3
Hecho esto la raíz se puede tratar como una potencia, y esa es la manera más segura de operar con raíces complicadas.
5
2
19
Por ejemplo, efectuar: 2 a 5 6 3 a 2
(Sol.:
a 2 6 a 3 = a 6 = 6 a 19 ; y recordar que para multiplicar ambas potencias
debe dejarse la misma base y sumar los exponentes).
Hay que tener en cuenta que en general no se puede sumar ni restar raíces [no cabe resolver, por ejemplo, 2 a 5 + 3 a 2 ,
aunque sí se podría sacar algún factor común una vez transformadas en potencias; sólo en casos en que se trate con raíces de
igual índice e igual radicando, como por ejemplo 2 3 + 5 3 , se puede hacer la suma (= 7 3)]. Es decir, la suma de dos raíces
no es la suma de las raíces de los sumandos.
abc = a b c (Regla 22).
Pero la raíz de un producto (cociente) sí es el producto (cociente) de las raíces:
A veces es conveniente ”sacar todo lo que se pueda de una raíz”. Por ejemplo, en a 5 b se puede sacar algo, ya que
a5 b = a5 b = a2 a2 a b = a2 a2 a b
(hasta aquí hemos aplicado dos veces la Regla 22) y esto último se puede
simplificar hasta: aa a b = a 2 a b.
Una raíz elevada a una potencia es la raíz del radicando elevado a esa potencia (y al revés). Por ejemplo:
528.- Tratar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz
16a 2 b 6
bc
529.- Tratar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz
así:
2
3a
3
2
=
3
2
3a
2
=
3a
3
2
3a
(Sol.: 4ab 2
3
2
5
a
3
= 5 a3
b
c
(Sol.: 27a 3 ; lo mejor es hacerlo
= 3 3 a 3 = 27a 3 )
7Racionalización
Cuando después de alguna operación quede alguna raíz en un denominador (como en la solución del ejercicio 28) es
conveniente ”racionalizar”, es decir, eliminar esa raíz. Es fácil: en caso de que sea cuadrada, se multiplican numerador y
denominador de la fracción por esa raíz (recordemos que en una fracción siempre que se multiplique arriba y abajo por el
mismo factor el valor de ésta no cambia, aunque presente formalmente otro aspecto).
Ejemplo: racionalizar
2
c
(Sol.:
2
c
=
2 c
c c
=
2 c
Ý c Þ2
=
2 c
c2
=
2 c
c
)
Si la raíz es de otro grado (cúbica, cuarta, etc...) se multiplica arriba y abajo por la misma raíz elevada a un grado menos.
Ejemplo: racionalizar
2
c
3
(Sol.:
2
c
3
=
2 Ý3 c Þ2
c Ý3 c Þ2
3
=
2 Ý3 c Þ2
Ý3 c Þ3
=
2 Ý3 c Þ2
c
=
2 3 c2
c
)
Si en el denominador hay una suma, se multiplica arriba y abajo por el conjugado de esa suma (es decir, por el mismo
bÞ
b
monomio pero con el signo central cambiado). Por ejemplo, racionalicar ?3?2 b : ?3?2 b = Ý ?3?2 Ý ?3+
= ?6+2
b ÞÝ ?3+ b Þ
9?b
16
TREVERIS multimedia
530.- Racionalizar
¾
3
2
3
(Sol.: 13 2 3 3 2 )
y
3
3? 2
(Sol.: 3 3 + 3 2)
Consejos para evitar errores típicos
7¡Cuidado con el uso de los paréntesis!
Hay que ser rigurosos con el uso de los paréntesis. Éstos se usan para indicar prioridad o para agrupar una serie de
términos indicando así que están sometidos a la misma operación. Cuando no son estrictamente indispensables no se ponen (y
existen unos convenios sobre ello que hay que aprender con la práctica), pero a veces, aunque no estén, en ciertas
opreaciones hay que tenerlos en cuenta. Por ejemplo, es un error común no tener en cuenta que el numerador de una
fracción va entre paréntesis, aunque no se indique, operando (mal) como sigue (se trata de una suma de fracciones, donde
aplicamos las Regla 12 vista antes):
? 2+3a
+
5
=
a
10
26 Ý ?2 Þ +263a+a
10
=
?4+7a
10
El error está en no haber considerado que el signo ? antes de la fracción afecta a odo el numerador, pues éste es un
paréntesis. Teniendo esto en cuenta, la forma correcta de hacer la suma anterior es, pues:
? 2+3a
+
5
=
a
10
?4?6a+a
10
=
?4?5a
10
En general, siempre que temamos confundirnos podemos escribir paréntesis para no olvidarnos de que están. Por
ejemplo, para evitar confusiones en la suma anterior podemos escribirla así desde el principio:
?Ý 2+3a Þ
5
+
a
10
7La propiedad distributiva en la división
En ocasiones, para simplificar, es útil aplicar la propiedad distributiva en la división, que es equivalente a la de la
multiplicación. Así, del mismo modo que efectuamos 2Ý3 + 2aÞ = 6 + 4a, también puede hacerse lo siguiente: 9?3a
= 3?a
3
(otra opción es casar factor común 3 arriba primero y luego cancelarlo con el del denominador).
7Las fracciones admiten múltiples formas
Una fracción se puede escribir de muchas formas, y eso hay que tenerlo en cuenta. Por ejemplo, todas las formas
siguientes de la fracción 2ab
son equivalentes:
cd
2ab
cd
2 ¯ 2ab 1
¯ 2 ab
¯ a 2b
¯ ab cd
c
cd
cd
1
d
1
¯ 2ab cd
etc.
Del mismo modo, un signo ? delante de una fracción afecta al numerador o al denominador (no a los dos al mismo
tiempo: si se aplica a uno de ellos ya no hay que aplicarlo al otro; normalmente se hace en el numerador). Por ejemplo, son
equivalentes las siguientes expresiones:
? a+b
¯
3?c
?Ýa+bÞ
3?a
¯
a+b
?Ý3?aÞ
a+b
A su vez, la segunda expresión anterior es equivalente a: ?a?b
, y la tercera, a: ?3+a
.En la segunda y tercera fracciones
3?a
hemos tenido que escribir paréntesis porque el signo afecta a todo el numerador o denominador. En la primera no se escribe
por convenio.
5?a
Se pueden hacer transformaciones inversas. Por ejemplo, supongamos que nos dan escrito: ?2?b
y queremos cambiar
5?a ¯ ? 5?a , ya que el
esta fracción, por motivos de operatividad, de modo que el signo vaya en medio. No puede hacer así: ?2?b
2?b
signo menos que lleva el 2 sólo le afecta a él, tal como nos lo han indicado (si sería correcto lo siguiente: ?Ý5?a
¯ ? 5?a
). Pero
2?b Þ
2?b
es fácil ver que ?2 ? b ¯ ?Ý2 + bÞ. Ahora el signo ? ya afecta a todo el numerador y se puede hacer la transformación: :
5?a
?Ý 2+b Þ
¯ ? 5?a
2+b
Todo esto es útil en algunos casos en que entendemos mejor la operación haciendo cambios de este tipo. Por ejemplo,
una resta de fracciones la podemos transformar en una suma:
2
3
?
4a
5
¯
2
3
+
?4a
5
=
562+3Ý?4aÞ
15
=
10?12a
15
7Que no vayan un signo menos y uno de multiplicación seguidos
Si nos dicen: ”multiplicar 3 por ?3a + 2” no escribamos 3 6 ?3a + 2, en primer lugar porque ello lleva a confusiones, y
en segundo porque 3 debe multiplicar a todo ?3a + 2, según se desprende del enunciado. La forma correcta de escribirlo es
3 6 ?3a + 2 , (el punto se puede omitir), y la de efectuarlo es: 3 6 ?3a + 2 = ?9a + 6
7Cambiar el signo un producto y una suma
Si nos dan una multiplicación de factores y nos piden cambiarle el signo, basta cambiar el signo de todo el conjunto. Por
ejemplo, si nos dicen ”cambiar el signo de 2ab” la solución es ?2ab (y no
?2 Ý?a Þ ?b
ni nada parecido. En realidad.
cambiar el signo es multuplicar por ?1 .
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
17
Un producto de factores con signo ? admite, por otra parte, múltiples formas. Así, ?5a 2 b se puede escribir, además:
5 ?a 2 b
o 5 ?a 2 b, etc. [Obsérvese la importancia del paréntesis. Si en esta segunda expresión no lo hubiéramos escrito
nos habría quedado 5 ? a 2 b, que es un binomio (formado en este caso por los monomios 5 y ?a 2 b), mientras que 5 ?a 2 b
es en realidad un monomio.]
Esto en cuanto a la multiplicación (y división). En sumas y restas se opera de forma distinta. Sea el siguiente trinomio:
3 + 5a ? b al que nos piden que le cambiemos el signo. Multiplicamos para ello por ?1, y eso implica multiplicar por ?1
cada uno de los monomios:
?1
3 + 5a ? b = ?3 ? 5a + b (en la práctica basta cambiar el signo de cada uno de los
sumandos o monomios). En el caso siguiente: 3 + 5Ýa + 1Þ ? b se opera igual: se cambia el signo de cada sumando, pero hay
que entender que 5Ýa + 1Þ es todo él un sumando. Cambiar el signo a esa expresión da, pues, ?3 ? 5Ýa + 1Þ + b y no
?3 ? 5Ýa ? 1Þ + b [Si previamente hubiéramos convertido 3 + 5Ýa + 1Þ ? b en 8 + 5a ? b por resolución del paréntesis y
hubiéramos cambiado de signo la expresión resultante, habríamos obtenido ?8 ? 5a + b, lo mismo que al desarrollar
?3 ? 5Ýa + 1Þ + b. Esto justifica la norma que hemos indicado.]
18
TREVERIS multimedia
Temas 1 y 2: Números enteros, racionales y reales
Divisibilidad, factorización, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, operaciones algebraicas, intervalos,
ecuaciones e inecuaciones, potencias, ecuaciones de segundo grado, logaritmos, ecuaciones logarítmicas y
exponenciales
7Números
¾
Tipos de números
ç
Naturales (N): 1, 2, 3, 4, 5, 6...
ç
Enteros (Z): todos los naturales, y además, los del tipo ?4, 0, ?7...
ç
Racionales (Q): todos los naturales y enteros, y además, los del tipo
5 ...
, ? 49 , ? 81
å
ç Reales (R): todos los naturales, enteros y racionales, y además, los del tipo 3. 3..., 2, ^... (los dos últimos se llaman
irracionales: tienen
infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente y no pueden convertirse en una fracción; en
å
cambio, el 3. 3 es equivalente a la fracción 10
, y por eso se dice que es racional).
3
¾
1
3
,
31
7
Números primos
Son aquellos que sólo son divisibles (es decir, la división da un número entero) por sí mismos y por 1. Por ejemplo, 5 es
primo, porque sólo es divisible por 5 y por 1, pero 6 no lo es, pues es divisible, además de por 6 y por 1, por 2 y por 3.
¾
Factorización en primos
Llamaremos así a la operación de descomponer un número como producto de factores primos. Para hacerlo, se empieza
tratando de dividir el número por 2; si da un resultado entero, se divide de nuevo por 2, y así hasta que sea posible; luego se
trata de dividir por 3 todas las veces posibles, luego por 5, 7, 11, 13, 17... (en general, por todos los primos). Al final, si el
número no es divisible por nada más (es decir, es primo), lo dividiremos por sí mismo.
Como ejemplo factorizaremos el número 5544; el resultado es 2 3 × 3 2 × 7 × 11, donde expresamos con las potencias el
número de veces que aparece cada factor en la factorización (así, el 2 aparece tres veces)
¾
Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm)
Para hallar el mcd de dos números los factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes elevados al menor
exponente que tengan.
Para hallar el mcm de dos números los factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes y no comunes
elevados al mayor exponente..
5Ejemplo 1. Calcular el mcd y el mcm de los números: 3153150 y 3900. Primero los factorizamos:
3153150 = 2 × 3 2 × 5 2 × 7 2 × 11 × 13
3900 = 2 2 × 3 × 5 2 × 13
2
mcdÝ3153150, 3900Þ =2 × 3 × 5 × 13 = 1950
mcmÝ3153150, 3900Þ =2 2 × 3 2 × 5 2 × 7 2 × 11 × 13 = 6306300
El mcd en este caso es el número más alto que existe que es divisor al mismo tiempo de 3153150 y 3900 (cuando
decimos que es divisor se debe entender, evidentemente, que la división da un número entero); ese número es 1950. Y el
mcm es el número más pequeño que es múltiplo al mismo tiempo de 3153150 y 3900 , siendo ese número 6306300
(compruébese que es divisible por 3153150 y 3900).
¾
Operaciones con enteros
ç Se llama valor absoluto de un número al valor de ese número con signo positivo, independientemente del que tuviera.
El valor absoluto se expresa entre barras. Así, el valor absoluto de ? 3 se expresa |?3 | y es 3. También es cierto que
|+5 | = 5.
çEn adelante, considérese sumar y restar como la misma operación: restar dos números es lo mismo que sumar al primero
el negativo del segundo. Por ejemplo: 5 ? 3 = 5 + Ý?3Þ
çPara sumar dos enteros con el mismo signo se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo; para sumar dos
enteros con distinto signo, se resta el valor absoluto del mayor menos el del menor y se deja el signo del mayor:
55 + 6 = 11
55 ? 6 = ?1
5 ?5 + 6 = 1
5 ?5 ? 6 = ?11
çPara facilitar las sumas (o restas) hágase uso, si es necesario, de propiedades de los números como la conmutativa (el
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
19
orden no importa) o asociativa (al sumar tres números se pueden sumar primero dos de ellos cualesquiera y al resultado
sumarle el tercero). Por ejemplo:
5 ?15 + 21 = 21 ? 15 = 6
(obsérvese que es más fácil interpretar la segunda suma que la primera; no olvidar que cada
número debe ir con su signo)
5 ?5 + 8 ? 9 = Ý?5 + 8Þ ? 9 = Ý8 ? 5Þ ? 9 = 3 ? 9 = ?6
çUn signo + delante de un paréntesis permite quitar el paréntesis dejando los signos que están dentro del paréntesis; un
signo ? ante un paréntesis cambia los signos que están dentro:
53 + Ý?8 + 7 ? 9Þ = 3 ? 8 + 7 ? 9 = ?7
53 ? Ý?8 + 7 ? 9Þ = 3 + 8 ? 7 + 9 = 13
Según eso se debe entender que podamos hacer las siguientes transformaciones si en algún momento nos conviene:
53 + 8 = 3 ? Ý?8Þ
52 ? 4 + 2 = 2 ? Ý4 ? 2Þ
53 + 8 ? 5 = 3 + Ý8 ? 5Þ = 3 ? Ý?8 + 5Þ
çPara la multiplicación y división de números con signos se emplean las siguientes reglas:
¾
+6 + = +
?6 ? = +
+6 ? = ?
?6 + = ?
+: += +
?: ? = +
+: ? = ?
?: + = ?
Operaciones con fracciones
$Multiplicación: se multiplican los numeradores y los denominadores:
2 × 3 × 2 = 12 = 1
(la última operación realizada es una simplificación de la fracción, algo que debe
3
4
5
60
5
hacerse (siempre que sea posible) dividiendo arriba y abajo por el mismo número hasta que no se puedan obtener números
naturales más pequeños)
$División: se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el resultado es el numerador de
la fracción final; el denominador de ésta es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda:
5
2
3
:
3
4
=
8
9
(irreducible)
$Suma y resta: se busca el mcm de los denominadores, y ese será el denominador de la fracción final; luego, cada
numerador de las fracciones que estamos sumando se multiplicará por el resultado de dividir el mcm por su denominador; la
suma o resta (según el signo) de estos productos será el numerador de la fracción final:
1 ? 2 + 7 ?3
5
los cuatro denominadores son 12, 8, 24 y 1, siendo su mcm = 24; ese será el denominador de la
12
8
24
fracción final. Se divide a continuación 24 entre 12 (= 2) y se multiplica por 1 (que es el numerador de la primera fracción); se
hace igual con las otras fracciones, respetando siempre los signos, y queda:
1 ?
5 12
¾
2
8
+
7
24
?
3
1
=
261?263+761?3624
24
= ? 23
8
Prioridades a la hora de operar. Para operar en el numerador de la penúltima fracción del ejemplo anterior
(2 6 1 ? 2 6 3 + 7 6 1 ? 3 6 24), se deben efectuar primero las multiplicaciones y luego las sumas; esa es una regla de
prioridad. La prioridad principal la marca un paréntesis y, aunque no esté escrito, se entiende que en expresiones
como 4 + 2 6 6 el producto está dentro de un paréntesis (se dice que la multiplicación y la división unen, y la suma y
la resta separan), por lo que el resultado es 16, no 36. Del mismo modo, en 4 + 62 el resultado es 7, no 5.
En general, no es fácil enunciar unas reglas de prioridad, que sólo se aprenden con la práctica. La principal es la ya
dicha: la máxima prioridad la marca un paréntesis, y cuando hay paréntesis anidados (unos dentro de otros), se deben resolver
antes, si es posible, los más internos. El problema suele estribar en que normalmente en los enunciados de los ejercicios se
prescinde de los paréntesis cuando no se consideran necesarios (siguiendo convenios universalmente aceptados). Varias
normas a tener en cuenta en este sentido son, entre otras:
1. un producto o un cociente se entiende que va dentro de un paréntesis
2. el numerador y el denominador de una fracción se entiende que van cada uno dentro de un paréntesis
3. la propia fracción va toda ella dentro de un paréntesis
4. una raíz equivale a un paréntesis, y también su contenido va dentro de paréntesis
5. los logaritmos y las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc) equivalen a paréntesis
6. se pueden operar dos paréntesis (por ejemplo, multiplicarlos) sin necesidad de resolver cada uno por separado
previamente, pero para ello hay que aplicar ciertas reglas especiales según el caso (en algunas ocasiones, la
propiedad distributiva).
Ilustraremos estas reglas con algunos ejemplos:
Ý 564 ÞÞ
5 2+564
es como si se escribiera, combinando las reglas anteriores: Ý Ý 2+Ý4Þ
Þ; efectuamos primero el paréntesis más
4
22
interno Ý5 6 4Þ, y luego sumamos 2, con lo que queda: 4 (habiendo suprimido al final paréntesis innecesarios).
5
2+56a
4
este caso es casi como el anterior; ahora bien, 5 6 a no se puede simplificar más (en todo caso, se escribe más
20
TREVERIS multimedia
simplemente como 5a), y tampoco sepuede sumar con 2. No obstante, se puede aplicar una ”regla especial”, la propiedad
Þ
distributiva de la divisón respecto a la suma (o resta). Así, Ý 2+56a
puede resolverse como 24 + 5a
. En general, la propiedad
4
Ý4 Þ
distributiva mencionada puede expresarse como: a+b
=
c
a
c
+
b
c
.
5Ý2 ? 5ÞÝ3 + 2Þ = ?15 (en este caso ya dan los paréntesis en el enunciado del ejercicio; todo lo que hay que hacer es
resolver ambos previamente)
5Ý2 ? bÞÝ3 + aÞ
no se pueden resolver los paréntesis previamente (pues no cabe sumar 3 + a), pero se puede aplicar una
regla especial para operar con los paréntesis sin necesidad de resolverlos previamente: aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto a la suma: Ý2 ? bÞÝ3 + aÞ = 6 + 2a ? 3b ? ba (en general: Ýa + bÞÝc + dÞ = ac + ad + bc + bd
y
aÝb + cÞ = ab + ac, reglas en las que hay que tener en cuenta los signos de cada elemento).
5 2+5
es como si se hubiera escrito Ý2 + 5Þ , cuyo resultado es 7 (nótese que 2 + 5 no es igual a
2 + 5)
5 265
es como si se hubiera escrito Ý4 6 9Þ , cuyo resultado es 36 = 6 (nótese que Ý4 6 9Þ es igual a
4 6 9 = 2 6 3 = 6; es decir, la raíz de un producto (o cociente) es lo mismo que el producto (o cociente) de las raíces, pero la
raíz de una suma (o resta) no es lo mismo que la suma (o resta) de las raíces, como se vio en el anterior ejemplo.
5 2+6
3+1
es lo mismo que
3+1+ 8
5 5?7634
Ý 2+6 Þ
Ý 3+1 Þ
=
Ý 3+1+Ý 84 ÞÞ
Ý 5?Ý 763 ÞÞ
es lo mismo que
= 2
8
4
Ý 3+1+2 Þ
Ý 5?21 Þ
=
=
6
?16
6
= ? 16
(nótese que el signo ? que estaba en el
denominador lo hemos puesto delante de la fracción; eso siempre es válido; es decir, es lo mismo escribir
4 )
?2
5 2Ý3+5?aÞ
2Ýa+1Þ
Ý 2Ý3+5?aÞ Þ
Ý 2Ýa+1Þ Þ
es lo mismo que escribir
Ý 2Ý8?aÞ Þ
Ý 2Ýa+1Þ Þ
=
operar más, se deja así, aunque suprimiendo los ya innecesarios:
=
16?2a
2a+2
Ý 16?2a Þ
Ý2a+2Þ
?4
2
que ? 42 que
Como dentro de los paréntesis no se puede
.
Cuando un numerador y un denominador contienen factores comunes que están (tanto en el numerador como en el
denominador) multiplicando a todo lo demás, pueden cancelarse.
Por ejemplo, eso ocurría en el anterior ejemplo cuando llegábamos a 2Ý8?aÞ
; vemos que arriba y abajo aparece el ”2”
2Ýa+1Þ
multiplicando a todo lo demás; entonces, los cancelamos y queda: 8?a
.
(Puede resultar curioso que hayamos llegado a dos
a+1
resultados aparentemente distintos; en realidad son el mismo: 8?a
es la misma fracción que 16?2a
pero la primera está
a+1
2a+2
más simplificada al haber dividido en la segunda cada monomio por 2).
Otros ejemplos:
5 26566
= 566
= 53 6 6 = 5 6 63
[hemos escrito las dos últimas igualdades para indicar otra propiedad: es exactamente lo
263
3
mismo multiplicar primero 5 por 6 y luego dividir el resultado por 3 que dividir primero 5 entre 3 y multiplicar luego el
resultado por 6 o que efectuar primero la división de 6 entre 3 y después multiplicar el resultado por 5 –compruébese–; en
general, si hay sumas o restas eso no es posible].
Þ +3
5No cabe cancelar el ”2” en 265+3
, ya que la expresión equivale a Ý 265
, lo que nos permite comprobar qu el ”2” del
263
263
numerador no multiplica a todo el resto del numerador, sino sólo a 5.
7Ecuaciones
¾
Intervalos
Los números reales pueden representarse por los infinitos puntos de una recta:
–,——,——,——,——,====,====,——,——,——,——,——,—==, ====,===–,–
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
La figura es el segmento de recta que va, aproximadamente, entre el número real ?7 y el 7 (sólo se han escrito los
enteros, pero entre cada dos enteros hay infinitos números reales. Por ejemplo, entre el 3 y el 4 están el 3.5, el 3.23333,
el número ^ o el 10 .
En matemáticas se considera ”mayor” (>) todo número que esté a la derecha de uno dado en esa recta, y es menor (<) si
está a la izquierda. Por ejemplo (mírese la recta y aplíquese lo dicho, teniendo en cuenta también el significado ordinario de
”mayor” y ”menor”) cabe escribir:
2 > 1 (que es equivalente a escribir 1 < 2);
2 > ?2;
1 > ?100;
?2.44 < ?1.1789
0 > ?3
Los signos ² , ³ tienen el significado de ”menor o igual” y de ”mayor o igual”, respectivamente, y cabe escribir ?1 ² 0
5 ³ ? 49
3 ³3
En la figura, los segmentos destacados con trazo doble se llaman intervalos. El representado a la derecha puede escribirse
ß?3, ?1à y lo leeremos ”intervalo cerrado entre ?3 y ?1” si queremos meter en él los infinitos números reales que hay entre ?3 y
?1 incluidos el ?3 y el ?1 ; o puede escribirse Ý?3, ?1Þ, y lo leeremos ”intervalo abierto entre ?3 y ?1”, si no se quiere incluir a
ninguno de los dos. Otras posibilidades son ß?3, ?1Þ (cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, qu incluye al ? 3 pero
no al ?1) y Ý?3, ?1à. Estos dos últimos son intervalos semiabiertos. También cabe hablar de semirrectas abiertas y cerradas.
Por ejemplo, todos los números mayores que 3 incluido el 3 constituyen la semirrecta cerrada x ³ 3.
Para decir que un número cualquiera x está dentro del intervalo ß?3, ?1à escribiremos x 5 ß?3, ?1à (se lee ”x pertenece al
intervalo ß?3, ?1à) o bien lo indicamos así: ?3 ² x ² ?1 (es equivalente escribir ?1 ³ x ³ ?3).
En la recta del dibujo, el intervalo marcado con doble trazo a la derecha quiere representar al ß4.6, 6.65à
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
21
Potencias
¾
La propiedad fundamental de las potencias es su propia definición. En este sentido, debe tenerse muy claro, por ejemplo,
que 5 3 = 5 × 5 × 5, que a 5 = a × a × a × a × a o que Ý5aÞ 2 = 5a × 5a.
Otra propiedad fundamental menos evidente es la de la potencia negativa: en general
a ?b =
1
ab
Con estas dos es fácil deducir las demás:
& a m × a n = a m+n
am
an
&
= a
m?n
(comprobación con números: 5 3 × 5 4 = Ý5 × 5 × 5Þ × Ý5 × 5 × 5 × 5Þ = 5 7 )
(comprobación con números:
& Ýa m Þ n = a m×n
25
23
=
2×2×2×2×2
2×2×2
= 2 × 2 = 22 )
Ý2 5 Þ 2 = Ý2 × 2 × 2 × 2 × 2Þ × Ý2 × 2 × 2 × 2 × 2Þ = 2 10 )
(comprobación con números:
Si las bases son distintas no se puede operar con ellas, excepto que sean iguales los exponentes:
& a n × b n = ÝabÞ n
(comprobación con números: 2 3 × 5 3 = Ý2 × 2 × 2Þ × Ý5 × 5 × 5Þ =
= Ý2 × 5Þ × Ý2 × 5Þ × Ý2 × 5Þ = Ý2 × 5Þ 3 )
an
bn
&
= Ý ab Þ n
(comprobarlo con números)
También deben tenerse en cuenta todas las propiedades señaladas ”al revés”; por ejemplo, que
que a m?n = aa mn .
ÝabÞ n = a n × b n
o
A veces, al operar con potencias aparece una expresión del tipo a 0 ; debe saberse que cualquier número elevado a 0 es
igual a 1 (ya que aa nn es 1 , pero también es igual a a 0 por la regla de la división de potencias).
Raíces
¾
La propiedad principal de las raíces es que se pueden expresar como potencias de la siguiente forma:
m
an = a
n
m
Aunque esa potencia tenga un exponente fraccionario, a ella se le pueden aplicar todas las propiedades vistas antes.
Ejemplos:
5 3 46 ×2 68 4
5
2
=
3
4 5 ×6 4 2
6 44
=
5
2
4 3 ×4 6
= 4
4
5
3
+
2
6
?
4
6
= 4
4
3
= Ý2 2 Þ
4
3
= 2
8
3
= 3 28 = 3 23 × 23 × 22 =
= 2 × 2 × 3 2 2 = 43 4
46
En este ejercicio se han hecho a propósito distintas manipulaciones para mostrar cómo se pueden tratar raíces. Por
ejemplo, al empezar el ejercicio se sustituyó 6 2 8 por 6 4 4 ; debe constatarse que la sustitución es perfectamente válida,
pues 4 = 2 2 ; y debe comprenderse que el cambio se ha hecho para procurar que todos los radicandos contuvieran el 4 . Otra
operación interesante es 3 2 8 = 2 × 2 × 3 2 2 ; ésta es una operación típica de simplificación de raíces. Se trata de ”sacar todo lo
posible de la raíz”. Para ello se empieza por convertir el radicando en un producto de factores de potencias cuyo exponente
coincida con el índice de la raíz, para luego sacarlas fuera, como se puede apreciar en ese nuevo ejemplo:
5
3 8 = 5 3 5 × 3 3 = 5 3 5 × 5 3 3 = 35 3 3 .
Hemos aplicado ahí la propiedad de las raíces consistente en
m
a×b =
m
[demostración: m a × b = Ýa × bÞ
a ×mb
1
m
= a
1
m
×b
1
m
=
m
a ×mb ]
Otra propiedad interesante es:
Ým aÞ n = m a n
[demostración: Ým aÞ n = Ýa m Þ n = a m ×n = a m = m a n (otra demostración diferente para el caso particular de
1
1
1
1
1
1
3
4
4
3
3
Ý 5Þ es: Ý 5Þ = Ý 5Þ × Ý4 5Þ × Ý4 5Þ = 5 4 × 5 4 × 5 4 = 5 4 + 4 + 4 = 5 4 = 4 5 3 ]
1
1
n
4
8
En general, teniendo en cuenta el significado real de una potencia (por ejemplo, que : a 3 = a × a × a), y las
n
m
propiedades: a n = a1?n
y
a n = a m podrían resolverse todos los problemas de raíces y potencias por lógica, sin
conocer ninguna regla más..
Una práctica común en matemáticas es eliminar raíces de los denominadores, lo que se llama ”racionalizar”; veremos dos
casos:
a) en el denominador hay una raíz y nada más; entonces se multiplica numerador y denominador por esa raíz tantas
veces como sea necesario para anularla (recordemos que si en una fracción numerador y denominador se multiplican ambos
por la misma expresión, la fracción no cambia):
5 2 35 =
5 3 35 =
3
5
×
2
2
3
3
5
×
3
2
3
5
5
5
5
=
32 5
Ý2 5 Þ2
=
=
33 5
Ý3 5 Þ2
×
32 5
5
3
3
5
5
=
33 52
5
b) en el denominador hay una expresión del tipo a + b o a + b o
a + b; entonces se multiplica numerador y
denominador por el conjugado del denominador, siendo los conjugados de las expresiones escritas anteriormente esas
mismas expresiones pero con el signo central cambiado:
5?
¾
3
2? 3
=
3×Ý? 2 + 3 Þ
Ý? 2 ? 3 Þ×Ý? 2 + 3 Þ
Ecuaciones simples
=
?3 2 +3 3
2?3
= 3 2 ?3 3
22
TREVERIS multimedia
Una ecuación consta de dos miembros separados por un signo = ; resolver una ecuación de primer grado consiste en
dejar la incógnita sola en uno de los miembros. Para ello, se pasan todos los elementos que contengan la incógnita a un
mismo miembro, y los demás al otro (para cambiar de miembro, lo que suma pasa restando, y al revés). Finalmente, el número
que acompañe a la incógnita pasará al otro miembro dividiendo o multiplicando, según multiplicara o dividiera a la incógnita,
respectivamente.
Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:
52x = 6;
x=
= 3
6
2
= 7;
x = 7 × 3 = 21
(el signo de multiplicación lo escribimos indistintamente × o 6 , pero en algunos casos ni
siquiera usaremos símbolo, como cuando escribimos 5x, que debe entenderse que quiere decir 5 6 x)
5 x3
2x = 4 ? 3;
52x + 3 = 4;
5 ?x + 3 = 4x ? 7;
? 32
2x = 1;
3 + 7 = 4x + x;
x=
1
2
10 = 5x;
10
5
= x;
2 = x
? x2
5
? 2x =
aquí multiplicaremos por ?2 en ambos miembros en virtud de una propiedad de la siguiete propiedad
de las ecuaciones: si se multiplica a ambos lados de la igualdad por un mismo número, la ecuación no varía (lo mismo pasa si
dividimos por un número o sumamos o restamos un número o elevamos a un exponente ambos miembros completos). Al
multilplicar por ?2 conseguiremos quitar los signos negativos y, lo que es más importante, los denominadores de las
fracciones:
?2Ý? 32 ? 2xÞ = ?2Ý? x2 Þ;
3 = ?3x;
3 + 4x = x;
3
?3
x = ?1
= x;
x? =
? +3
en este caso, en que los denominadores no son iguales, para poder eliminarlos conviene
multiplicar las cinco fracciones (la última es 31 ) por el mcm de los cinco denominadores, que es 60:
5 34
5
3
2x+1
4
x
5
60 6 34 x ? 60 6 53 = 60 6 2x+1
? 60 6 x5 + 60 6 3
La propiedad asociativa de la multiplicación y la división nos dice que para
4
multiplicar 60 6 34 es lo mismo multiplicar primero 60 6 3 y dividir el resultado por 4 que dividir primero 60 entre 4 y
multiplicar el resultado por 3. Pues bien, en estos casos siempre haremos primero la división. Al final nos quedará siempre una
igualdad sin denominadores. En este caso es:
15 6 3x ? 20 6 5 = 15 6 Ý2x + 1Þ ? 12 6 x + 60 6 3
Simplificando:
45x ? 100 = 30x + 15 ? 12x + 180;
45x ? 30x + 12x = 100 + 15 + 180;
27x = 295;
x=
295
27
Para resolver una ecuación ecuación quitar primero los denominadores(multiplicando todos los sumandos por el mcm);
luego efectuar los paréntesis que sea posible; finalmente, pasar a un lado todos los monomios que contengan la incógnita, y
al otro los que no (recordando que al cambiar de miembro un monomio hay que cambiar su signo; finalmente, todo lo que
multiplique a la incógnita debe pasar al otro miembro dividiendo (pero manteniendo su signo + o ?) y todo lo que esté
dividiendo a la x debe pasar al otro miembro multiplicando (pero sin cambiarle el signo que tuviera).
¾
La prueba de una ecuación
La solución de toda ecuación debe probarse. Para ello basta sustituir la solución en la ecuación original y ver si la satisface.
En el caso anterior:
3 295
4 27
235
36
¾
=
?
5
3
=
2
295
27
4
+1
?
295
27
5
235
36
+3
Operando a ambos lados de la igualdad se llega al mismo valor:
lo que demuestra que la ecuación está bien resuelta.
Inecuaciones simples
Formalmente, la única diferencia entre una inecuación simple y una ecuación es que en la segunda, en vez del símbolo
= figura alguno de los siguientes, llamados de desigualdad: > , < , ³ , ² . Las reglas son prácticamente las mismas que
para las ecuaciones, pero ha de tenerse en cuenta que si se multiplican ambos miembros por un número negativo cambia el
sentido de la desigualdad. Veamos un ejemplo:
5 ?x
+ 3 ³ 4;
En esta ecuación, para quitar fracciones y que al mismo tiempo la x quede positiva es conveniente
2
multiplicar a ambos lados de la desigualdad por ? 2; pues bien, como estamos multiplicando por un número negativo hay
que invertir la desigualdad, cambiando ³ por ² :
x ? 6 ² ?8;
¾
x ² ?8 + 6;
x ² ?2
La solución es, pues, ”todo número x menor o igual ?2”
Ecuaciones de segundo grado
Son del tipo ax 2 + bx + c = 0; Tienen dos soluciones, que son:
2
x = ?b + b ? 4ac
2a
lo que se resume habitualmente con
x=
?b± b 2 ?4ac
2a
2
x = ?b ? b ? 4ac
2a
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
23
5Resolver: 2x 2 ? x = 10,
Se escribe la ecuación de manera que tenga la forma ax 2 + bx + c = 0 y luego se aplica la fórmula indicada:
2x 2 ? x ? 10 = 0
?4626Ý?10Þ
b ?4ac
x = ?b± 2a
= ?Ý?1Þ± Ý?1Þ
=
262
el ? de esa expresión; así:
2
2
x1 =
1+9
4
=
x2 =
5
2
1?9
4
1± 1+80
4
=
1±9
4
Las dos soluciones se obtienen tomando primero el signo + y luego
;
= ?2
Como dijimos antes, los resultados de una ecuación de cualquier tipo siempre pueden y deben comprobarse; para ello
sustituimos los valores obtenidos para x en la ecuación original y comprobamos si la igualdad se cumple. Por ejemplo, para
x = ?2 :
2Ý?2Þ 2 ? Ý?2Þ = 10;
2 6 4 + 2 = 10;
luego ?2 es una solución válida para x; comprobarlo para
10 = 10
5
2
.
5Resolver: 2x ? x = 10
Ecuaciones como la anterior, que sólo contienen potencias cuarta y segunda de x se llaman
bicuadradas. Se solucionan haciendo x 2 = m y sustituyendo en la ecuación original, que quedará de segundo grado en m :
2m 2 ? m = 10;
las soluciones son m = ?2 y m = 52 .
Como x = ± m las soluciones de x serán, evidentemente:
x = 52 , x = ? 52 , x = ?2 y x = ? ?2 (estas dos últimas soluciones son complejas, lo que explicaremos más adelante, en
el capítulo correspondiente).
4
¾
2
Logaritmos
log b n
La expresión anterior se lee ”logaritmo en base b de n”. Su solución es un número l que cumple:
n = bl
log 10 1000 = 3
Por ejemplo:
porque
1000 = 10 3
log 9 81 = 2
porque
81 = 9 2
log 3 27 = 3
porque
27 = 3 3
Existe también la operación llamada ”antilogaritmo”, que es la inversa. Así, el antilogaritmo de 3 en base 10 es 10 3 = 1000.
Los logaritmos tienen tres propiedades muy útiles:
1log m n = nlog m
1logÝm 6 nÞ = log m + log n
1logÝ m
n Þ = log m ? log n
Estas reglas permiten averiguar logaritmos de ciertos números conocidos los de otros:
5Calcular log 10 16
sabiendo que log 10 2 p 0.3 .
log 10 16 = log 10 2 4 = 4log 10 2 u 1.2
5Supóngase que se conocen los valores de log 2 3 y de log 2 5 ; ¿cuál es el log 2 75 en función de log 2 3 y log 2 5?
log 2 75 = log 2 5 2 6 3 = log 2 5 2 + log 2 3 = 2log 2 5 + log 2 3
7En ciertas ecuaciones aparecen logaritmos. Se resuelven aplicando las dos propiedades vistas y, si al final una expresión
del tipo log a = log b de ahí se deduce que a = b suprimiendo los logaritmos (¡atención!: no se pueden suprimir en
expresiones como ésta: log a + log b = log c salvo que los dos primeros los agrupemos previamente, según una de las
propiedades vistas: log ab = log c )
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas teniendo en cuenta todo lo dicho:
5log 2 x + log 2 2x = 3 ;
log 2 Ýx 6 2xÞ = 3 ;
log 2 2x 2 = 3 ;
log b n = l eso implica que n = b l ); x 2 = 2 2 ;
x= 2
5log 10 x ? log 10 100 = 1;
log 10
x
100
= 1;
x
100
= 10 1 ;
2x 2 = 2 3
(aquí hemos aplicado el antilogaritmo, es decir, si
x = 1000
53log 10 2x = 2log 10 x;
log 10 Ý2xÞ 3 = log 10 x 2 ;
como ambos miembros completos están afectados de la operación
podemos suprimirla: 8x 3 = x 2 ;
y dividiendo ambos miembros por x 2 : 8x = 1;
x = 18 .
log,
7En ciertas ecuaciones en que la incógnita figura como exponente en una potencia a veces hay que recurrir a los
logaritmos para solucionarlas. Estas ecuaciones se llaman exponenciales. Veremos un ejemplo:
525 x ? 5 x = 2
Ésta se puede solucionar así:
Ý5 2 Þ x ? 5 x = 2;
5 2x ? 5 x = 2;
Ý5 x Þ 2 ? 5 x = 2;
ahora se hace 5 x = m y queda:
m 2 ? m ? 2 = 0, cuyas soluciones son m = ?1 y
m = 2; por tanto 5 x = ?1 y
2
5 x = 2. Tomamos logaritmos en la segunda igualdad: log 5 x = log 2;
xlog 5 = log 2;
x = log
(también debería tomarse
log 5
logaritmo en la primera igualdad, pero en este caso no encontramos una solución porque la expresión logÝ?1Þ no tiene sentido:
ni el logaritmo de un número negativo ni el de 0 está definido en el campo de los números reales. Por otro lado, el log 1 en
cualquier base es 0.
24
TREVERIS multimedia
Hay un tipo particular de logaritmo llamado neperiano. Sus propiedades son idénticas a las anteriores; su característica
diferencial es que su base es el llamdo número e (número irracional cuyas primeras cifras son 2.71828).
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
25
Temas 3 y 4: Conjuntos, Combinatoria
Elementos de la teoría de conjuntos, aplicaciones y funciones, composición de funciones, funciones inversas;
Variaciones, permutaciones y combinaciones
7Conjuntos
Un conjunto es una colección de elementos. Por ejemplo, V = a, e, i, o, u es el conjunto de las letras vocales. Los
nombres de los elementos se escriben con minúsculas y entre llaves; los nombres de los conjuntos se escriben con
mayúsculas.
Dos operaciones con conjuntos que nos interesan ahora son la unión (W) y la intersección (V). Supongamos el conjunto de
las diez primeras letras del alfabeto, D = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j , y el conjunto de las vocales V = a, e, i, o, u .
La unión de V con D es un nuevo conjunto (que llamaremos en este ejemplo A) cuyos elementos son los que están en V o
en D, indistintamente. Hay que entender qué queremos decir con la expresión ”o...indistintamente”. Podemos escribir
A = V W D = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, u . El elemento b, por ejemplo, es un elemento del conjunto unión de V con D (conjunto
que hemos llamado A) porque pertenece a V o a D, indistintamente (compruébese que en este caso pertenece a D, lo que se
puede escribir simbólicamente: b 5 D, siendo 5 un símbolo de la teoría de conjuntos que significa ”pertenece a”); a es también
un elemento del conjunto A porque está en V o en D, indistintamente (en este caso está en los dos, es decir, a 5 V, a 5 D ,
pero no es una condición imprescindible: basta que esté en uno de ellos, indistintamente). En la práctica, la operación unión
se lleva a cabo tomando todos los elementos de ambos conjuntos, teniendo en cuenta que si algún elemento está en ambos
sólo se escribe una vez en el conjunto unión.
La intersección de V con D es un nuevo conjunto (que llamaremos en este ejemplo I) cuyos elementos son los que están
en V y en D, simultáneamente. Podemos escribir I = V V D = a, e, i
El elemento a, por ejemplo, se dice que es un
elemento del conjunto intersección de V con D (conjunto al cual llamamos I) porque pertenece a V y a D, simultáneamente
(compruébese). En la práctica, la operación intersección se hace tomando sólo los elementos que se repiten en los conjuntos
que se están intersectando.
Ejemplos. (Tratar de resolverlos antes de mirar la solución)
5 1, 2, 3
W
a, b, c
5 1, 2, 3
W
3, 5
5
W
2, ^, 3.9, r
5 1, 2, 3
V
5 1, 2, 3
V
1, 2, 3, a, b, c
=
7
=
a, b, c
2, 4, 6
V
5 a, b, c, d
=
W
=
a, b, c
^, r, a, b, c, 3. 9, 2
2
=
d, e, f
1, 2, 3, 5, 7
d
= 2
En el último caso no hay elementos que estén simultáneamente en ambos conjuntos; se dice entonces que la intersección
es el conjunto vacío, 2.
5 1, 2, 3, c
5
1, 2, 3, c
V
2, 4, 6
V
2, 4, 6
W
a, b, c
W
=
1, 2, 3, c
2, c
V
a, b, c
=
2, c
En estos dos últimos casos debe empezar operándose lo que está dentro de paréntesis.
7Aplicaciones y funciones
¾
Establecer una aplicación entre dos conjuntos es simplemente relacionar los elementos de uno de ellos con los del
otro. Cuando los elementos del conjunto son números, la aplicación se llama función.
La relación entre los elementos de un conjunto y los de otro puede expresarse a menudo simbólicamente. Por ejemplo,
imaginemos los siguientes conjuntos:
N =
1, 2, 3, 4, 5, 6...
C =
1, 4, 9, 16, 25, 36...
(es decir, todos los números naturales)
Puede observarse que los elementos del conjunto C guardan una relación con los del N : los segundos son los cuadrados
de los primeros (1 es el cuadrado de 1; 4 es el cuadrado de 2, etc) en el orden en que están escritos. Esto es una función, que
puede escribirse simbólicamente, en este ejemplo, así:
fÝxÞ = x 2
, donde x representa a los elementos del conjunto N (que
se llama original) y fÝxÞ representa a los del conjunto C (que se llama final o imagen).
Comprobemos que la expresión simbólica fÝxÞ = x 2 define perfectamente la relación, aplicación o función de nuestro
ejemplo. Sustituyendo x por un número (o sea, un elemento de N, en nuestro ejemplo) podemos conocer cuánto vale el
elemento fÝxÞ del conjunto C que le corresponde. Por ejemplo, a x = 1 le corresponde: fÝxÞ = fÝ1Þ = 1 2 = 1.
26
TREVERIS multimedia
5Dada la función fÝxÞ = x 2 ; ¿cuánto valen fÝ2Þ, fÝ?2Þ y fÝ10Þ ?
fÝ2Þ = 2 2 = 4
fÝ?2Þ = Ý?2Þ 2 = 4
5Dada la función gÝxÞ =
¾
x
3
fÝ10Þ = 10 2 = 100
? 2 ; ¿cuánto valen gÝ3Þ, gÝ?3Þ y gÝ10Þ ? (Sol.: ?1, ?3 y
4
3
, respectivamente)
Operaciones con funciones. Dos funciones se pueden sumar (+), restar (?), multiplicar (6), dividir (:) y componer (E),
entre otras operaciones. También a menudo nos piden el cálculo de la función inversa de una función dada.
Veamos estas operaciones (excepto la división) con algunos ejemplos.
Ejemplos. Sean fÝxÞ = x 2 ? x y gÝxÞ =
5fÝxÞ + gÝxÞ = x ? x +
2
x2
3
+x?2 =
4
3
x ?2
5fÝxÞ ? gÝxÞ = x 2 ? x ? Ý x32 + x ? 2Þ =
5fÝxÞ 6 gÝxÞ = Ýx 2 ? xÞ 6 Ý x32 + x ? 2Þ =
5f E gÝxÞ ¯ f gÝxÞ
=
5g E fÝxÞ ¯ g fÝxÞ
=
gÝxÞ
2
ßfÝxÞ à
3
2
+ x ? 2. Efectuar:
x2
3
2
2
3
x 2 ? 2x + 2
1
3
x4 +
? gÝxÞ = Ý
+ fÝxÞ ? 2 =
x2
3
2
3
x 3 ? 3x 2 + 2x
+ x ? 2Þ 2 ?
Ýx2 ?xÞ 2
3
x2
3
+x?2 =
+ x2 ? x ? 2 =
1
3
x4 ?
1
9
x4 +
2
3
x3 ?
2
3
x3 +
4
3
x2 ? x ? 2
2
3
x 2 ? 3x + 2
Los dos últimos ejercicios trataban de componer funciones (E). Su significado es el siguiente. Por ejemplo, compongamos
f E gÝxÞ, siendo fÝxÞ y gÝxÞ las funciones señaladas anteriormente. En primer lugar, escribir f E gÝxÞ es lo mismo que poner
fßgÝxÞà. Pero ¿cómo entender lo que quiere decir esta última expresión? Hay que admitir que si hemos escrito fÝxÞ = x 2 ? x esto
implica que fÝ2Þ = 2 2 ? 2, o que fÝaÞ = a 2 ? a, o que (llegando a un grado mayor de abstracción): fÝÂÞ = Â 2 ? Â. Por lo
tanto, y siguiendo el mismo método de construcción, fßgÝxÞà= ßgÝxÞà 2 ? ßgÝxÞà, y ahora basta sustituir el valor de gÝxÞ.
Por otro lado, con estos dos ejercicios hemos comprobado que el resultado de f E gÝxÞ es distinto que el de g E fÝxÞ; se
dice por ello que que la composición de funciones no tiene la propiedad conmutativa, es decir, el orden en que se escriban
las funciones influye normalmente en el resultado.
5Sean fÝxÞ = x 2 ? x , gÝxÞ = x32 + x ? 2 y hÝxÞ = x + 1 ; efectuar f E g E hÝxÞ. Cuando hay que componer tres funciones se
Þ2
empieza con las dos últimas escritas: g E hÝxÞ ¯ gßhÝxÞà= Ý x+1
+ x ? 2 = x2 +5x?5
y esta función resultante, que podemos
3
3
2
2 ?65x+40
llamar rÝxÞ se compone con fÝxÞ:
f E rÝxÞ ¯ fßrÝxÞà = rÝxÞ 2 ? rÝxÞ = x2 +5x?5
? x2 +5x?5
= x4 +10x3 +12x
.
3
3
9
5Dada la función fÝxÞ = 2x + 2, calcular su función inversa, f ?1 ÝxÞ. Para resolver este problema se iguala la expresión a v y
se despeja x : 2x + 2 = v;
2x = v ? 2;
x = v2 ? 1 El segundo miembro de esta expresión, pero escribiendo x donde
aparezca v, es la función inversa de fÝxÞ, es decir: f ?1 ÝxÞ = x2 ? 1 Las funciones inversas tienen una propiedad interesante,
que es:
f E f ?1 ÝxÞ = f ?1 E fÝxÞ = x
(compruébese para este caso concreto).
7Combinatoria
Los elementos de un conjunto se pueden agrupar entre sí formando distintos tipos de subconjuntos o formando distintos
tipos de ordenaciones. Por ejemplo, sea el conjunto de letras que forma la palabra ROMA, es decir: L = ár, o, m, a â. Estas
cuatro letras se pueden ordenar de distintas formas para formar nuevas palabras: AMOR, RAMO, OMAR, RMAO, etc. Pues bien,
el objeto de la combinatoria es contar subconjuntos u ordenaciones de este tipo.
Hay, básicamente, dos clases de problemas de combinatoria: los de variaciones y los de combinaciones. Para decidir de
qué tipo es el problema hay que saber si los resultados son simples subconjuntos de un conjunto que nos dan o se trata de
ordenaciones diferentes de los elementos de ese conjunto.
¾
Variaciones (y permutaciones)
1. Supongamos un conjunto E fomado por m elementos Supongamos que queremos tomar n de esos elementos
(siendo n ² m) ¿De cuántas formas distintas podemos tomarlos? Si el orden en que los vayamos tomando es un
factor importante, entonces se trata de un problema de variaciones, que se resuelve por la siguiente fórmula:
m!
VÝm, nÞ = Ým?nÞ!
siendo m! = m 6 m ? 1 6 m ? 2
(que se lee ”factorial de 6”): 6! = 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 = 720
6
m?3
6 ... 6 3 6 2 6 1; por ejemplo, en el caso concreto de 6!
2. Si el orden influye y podemos tomar cualquiera de los elementos más de una vez, entonces se trata de un problema
de variaciones con repetición, que se resuelve por la siguiente fórmula:
VRÝm, nÞ = m n
3. Si el orden influye y cada vez debemos tomar todos los elementos, sin repetir (dicho de otro modo: m = n), es un
problema de permutaciones, aunque puede equipararse al problema de variaciones VÝm, mÞ. Se resuelve por:
PÝmÞ = m!
(comprobar que VÝm, mÞ = m!, lo que demuestra que las permutaciones sin repetición son un
caso particular de las variaciones. Nota: para hacer esta comprobación nos hace falta saber que 0! = 1)
4. Si el orden influye y debemos tomar todos los elementos de un conjunto algunos de los cuales se repite un número
determinado de veces, se trata de un problema de permutaciones con repetición. La fórmula general es:
PRÝnÞ p,q,r,s,t... =
n!
p!q!r!s!t!...
donde p, q, r, s, t...
es el número de veces que se puede repetir cada elemento.
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
¾
27
Combinaciones
1. Supongamos un conjunto E fomado por m elementos Supongamos que queremos tomar n de esos elementos
(siendo n ² m) ¿De cuántas formas distintas podemos tomarlos? Si el orden en que los vayamos tomando no es un
factor importante, entonces se trata de un problema de combinaciones, que se resuelve por la siguiente fórmula:
m!
CÝm, nÞ = m
= n!Ým?nÞ!
, donde la expresión m
se llama ”número combinatorio m sobre n” y se resuelve precisamente
n
n
m =
m!
por la fórmula señalada:
.
n!Ým?nÞ!
n
2 Si el orden no influye y podemos tomar cualquiera de los elementos más de una vez, entonces se trata de un
problema de combinaciones con repetición, que se resuelve por la siguiente fórmula:
CRÝm, nÞ = m + nn ? 1
Entenderemos mejor todo esto con ejemplos.
Ejemplos. Sea el conjunto E de los números 1, 2, 3, 4, es decir: E =
1, 2, 3, 4
5¿Cuántas cifras de tres dígitos sin que se repita ninguno pueden formarse con esos cuatro dígitos?
Ejemplos válidos: 123, 321, 124...; ejemplos no válidos: 113, 135, 1234. El orden en que se coloquen los dígitos es
importante (pues 123 es una cifra distinta de 321); además, dice el enunciado que no se pueden repetir. Es un problema, por
tanto, de variaciones sin repetición:
VÝ4, 3Þ =
4!
3!
= 24.
Pueden obtenerse, pues, 24 cifras de tres dígitos con 1, 2, 3 y 4 sin que se repita ninguno.
5¿Cuántas cifras de tres dígitos pueden formarse con esos cuatro dígitos pudiendo repetirse cualquiera de ellos cualquier
número de veces (con la única limitación de que hay que tomar sólo tres dígitos cada vez)?
Ejemplos válidos: 123, 112, 111, 222, 144...; ejemplos no válidos: 135, 1112.... El orden en que se coloquen los dígitos es
importante (pues 131 es una cifra distinta de 311); además, dice el enunciado que se pueden repetir. Es un problema, por
tanto, de variaciones con repetición:
VRÝ4, 3Þ = 4 3 = 64
5¿Cuántas cifras de cuatro dígitos pueden formarse con esos cuatro dígitos sin repetir ninguno de ellos?
Ejemplos válidos: 1234, 4321...; ejemplos no válidos: 123, 1112, 12345. Nótese que hay que construir cifras con todos los
elementos que nos dan (ni uno más ni uno menos) y que influye el orden; estos dos requerimientos indican que se trata de un
problema de permutaciones, en este caso sin repetición:
PÝ4Þ = 4! = 24
(O bien: VÝ4, 4Þ =
4!
0!
= 24)
5¿Cuántas cifras de 10 dígitos pueden formarse con esos cuatro dígitos (1,2,3,4) de manera que el 1 se repita exactamente
tres veces, el 2 cuatro veces, el 3 dos veces y el 4 sólo una vez? Repárese en que siempre hay que utilizar todos los dígitos
que nos dan (es un problema, entonces, de permutaciones, puesto que además influye el orden en que se escriban los dígitos)
y más importante aún: en que cada uno de ellos hay que repetirlo siempre el mismo número de veces en cada ordenación,
número de veces que viene indicado por el enunciado. Así, son ejemplos válidos:
1112222334, 1122122343,...
y no válidos: 1234, 1111111234, 1234123412341234,...
Estas condiciones son precisamente las necesarias para constituir un problema de permutaciones con repetición teniendo
en cuenta que el n que aparece en la fórmula no es en este caso el número de dígitos de los que disponemos, sino el número
de dígitos que forman la cifra (en este caso, 10) :
PRÝ10Þ 3,4,2,1 =
10!
3!4!2!1!
= 12600
5Supongamos ahora que los números 1, 2, 3, 4 del conjunto E que estamos considerando a lo largo de todos estos
ejemplos han sido asignados a cuatro trabajadores que deben hacer guardias en grupos de tres en tres ¿Cuántos posibles
tríos de guardia se pueden formar?
Ejemplos válidos: 1, 2, 3, 1, 2, 4,...; ejemplos no válidos: si es válido el trío 1, 2, 3, no lo es el 3, 2, 1, porque en realidad es el
mismo; tampoco son válidos: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4,... Como el orden en que escriba los números no importa (trío 1, 2, 3 = trio 3, 2, 1), se
trata de un problema de combinaciones, que además son sin repetición, obviamente:
4 = 4
3
5Supongamos, finalmente, que los números 1, 2, 3, 4 corresponden a instrumentos musicales: 1=violín; 2=viola;
3=violonchelo; 4=contrabajo. ¿Cuántos tipos de cuartetos de cuerda se pueden formar con estos instrumentos pudiendo
repetirse los mismos un número cualquiera de veces (con la única limitación de que constituyan siempre un cuarteto)?
CÝ4, 3Þ =
Ejemplos válidos: 1, 1, 1, 1,
1, 2, 3, 4,
1, 1, 2, 2,...; ejemplos no válidos: si ya hemos contado como válido el cuarteto
1, 2, 3, 4, no podemos contar como uno diferente el 4, 3, 2, 1, puesto que ambos son el mismo tipo de cuarteto (es decir, un
cuarteto formado por violín, viola, violonchelo y contrabajo es el mismo que el formado por contrabajo, violonchelo, viola y
violín). Otro ejemplo no válido: 1, 1, 2, 3, 4 (eso es un quinteto). Como no influye el orden en que escribamos los elementos, se
trata de un problema de combinaciones, y como se pueden repetir, de combinaciones con repetición:
CRÝ4, 4Þ =
4+4?1
4
=
7
4
= 35
28
¾
TREVERIS multimedia
Algunas recomendaciones
lNo debe tratarse de identificar tipos de elementos de un conjunto con tipos de problemas; por ejemplo, si los elementos
de un conjunto son personas, no debe pensarse que el problema se hace por combinaciones y no por variaciones; puede
hacerse por uno u otro medio. Lo importante no es el tipo de objetos, sino si es importante el orden en que se toman o no.
lNo todos los problemas se pueden resolver de forma directa aplicando una de las seis fórmulas vistas. De hecho, a veces
es necesario utilizar productos de esas fórmulas. Pero es más fácil tratar de ”despiezar”, analizar el problema en
subproblemas más simples e ir haciendo cómputos parciales, a veces incluso sin utilizar la combinatoria. Por ejemplo, si nos
preguntan cuántos números impares hay entre 0 y 1348 es útil considerar cuatro categorías: los de un dígito, los de dos, los de
tres y los de cuatro:
-De un dígito hay 5 cifras (no hace falta aplicar ninguna fórmula de combinatoria; son: 1, 3, 5, 7, 9).
-Para saber cuántas hay de dos dígitos observemos que a su vez hay cinco subcategorías que considerar:
_1
_3
_5
_7
_9
(es decir, lo que acaban en 1, en 3, en 5, en 7 y en 9) y que cada subcategoría consta de 9 números (la primera está
formada por el 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91); siendo fácil comprobar que cada una de las otras cuatro está formada por igual
número de cifras, por lo que hay en total 45 cifras de dos dígitos.
-Para saber cuántas cifras impares hay de tres dígitos reparemos en que serán de uno de los siguientes subtipos:
__1
__3
__5
__7
__9
Consideremos el primero de ellos: el primer hueco lo pueden ocupar los dígitos del 1 al 9 (no el 0), y el segundo,
cualquier dígito. Hay, entonces, 90 cifras del primer subtipo (ya que por cada uno de los nueve dígitos que pueden ir en el
primer hueco, pueden ir 10 en el segundo), y habrá otras tantas de los otros cuatro; en total, 450. Otro método hubiera sido
considerar todos los casos, incluidos aquellos que tengan en el primer hueco un 0. Ello se haría por VRÝ10, 2Þ = 10 2 = 100,
restando luego los 10 casos que empiezan por 0 (011, 021, 031, 041, etc.). Quedan 90, entonces, que multiplicado por 5
subtipos da 450.
-Finalmente, para saber cuántos impares hay entre 1000 y 1348 debemos considerar que las cifras en cuestión sólo podrán
empezar por
10 _ _
11 _ _
12 _ _
y
13 _ _
olvidémonos en principio de los del tipo 13 _ _. Hay, pues, 3 formas de empezar las cifras:
10 _ _, 11 _ _ y 12 _ _. Cada una de esas tres permite cualquier dígito en la tercera posición (10 dígitos distintos) y cinco
en la cuarta (1,3,5,7,9), lo que hace un total de 3 6 10 6 5 = 150 cifras (esto se llama regla de la multiplicación, que vemos más
abajo); finalmente, hay que contar 24 cifras impares que hay entre 1301 y 1347.
-En total, pues, hay 5 + 45 + 450 + 150 + 24 = 674 cifras impares entre 0 y 1038.
lRegla de la multiplicación. La veremos con un ejemplo. Tengo 10 libros, tres de ellos de metamáticas, dos de lengua y
cinco de economía, y los quiero colocar en una estantería de manera que queden juntos los de la misma materia. ¿De cuántas
formas puedo ponerlos si me importa el orden en que queden? Llamaremos a cada libro con la inicial el tema y un subíndice.
Ejemplos válidos: M 1 M 2 M 3 L 1 L 2 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 , M 1 M 3 M 2 L 1 L 2 E 5 E 2 E 3 E 4 E 1 , E 5 E 2 E 3 E 4 E 1 M 1 M 3 M 2 L 1 L 2 , etc.;
ejemplos no válidos: L 1 M 3 M 2 E 1 L 2 E 5 E 2 E 3 E 4 M 1 (pues tienen que ir juntos los del mismo tipo), M 3 M 2 E 1 L 2 E 5 E 2 E 3 , (pues en
esta faltan libros) etc...
Una forma de solucionar este problema es considerar sólo tres bloques: M, L y E, y ver de cuántas formas pueden ir. Por
ejemplo: M,L,E; M,E,L, etc. Serán PÝ3Þ = 3! = 6. Consideremos cada una de estas formas, por ejemplo la M,L,E, es decir,
primero irán los de matemáticas, luego los de lengua y luego los de economía. Los de matemáticas, entre sí, se pueden
ordenar de PÝ3Þ = 3! = 6 formas diferentes; los de lengua, de PÝ2Þ = 2! = 2 formas diferentes entre sí (estas son: L 1 L 2 y L 2 L 1 ),
y los de economía de PÝ5Þ = 5! = 120 formas diferentes. Reparemos ahora en que por cada forma de colocar los de
matemáticas hay 2 formas de poner los de lengua y por cada forma de poner los de matemáticas y los de lengua hay 120 formas
de poner los de economía; el número total de formas es de 6 6 2 6 120 = 1440 maneras distintas. Ésta ha sido una aplicación
de la llamada regla de la multiplicación.
Finalmente, para terminar el problema, recordemos que hemos obtenido 1440 formas de poner los libros manteniendo el
orden de bloque M,L,E; pero como había 6 ordenaciones de los bloques, en total tenemos 6 6 1440 = 8640 formas de poner
los libros.
Si no se entiende este problema es útil ponerse un ejemplo más simple (dos tipos de libros y por ejemplo 2 libros de un
tipo y tres de otro, y trate de contarse el número de ordenaciones por la regla de la multiplicación y por la cuenta de la vieja).
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
29
Temas 5 y 6: Probabilidad, Estadística
Suceso, sucesos incompatibles, sucesos independientes, probabilidad de un suceso, unión e intersección de
sucesos; Estadística
7Conceptos de teoría de la probabilidad: espacio muestral y suceso
¾
Experimento aleatorio: experimento que se puede repetir cuantas veces se quiera y cuyo resultado es impredecible.
Ej.: lanzar un dado y anotar los números que salen.
¾
Suceso: cada uno de los resultados de un experimento aleatorio; suceso elemental es cada uno de los resultados
más simples, más directos de un experimento aleatorio. Ej.: ”obtener un 3” al lanzar un dado es un suceso
elemental; ”obtener cifra par” es un suceso no elemental; ambos son resultados del experimento, pero el primero es
más directo (en lo que sigue, hablaremos de suceso elemental y de resultado.indistintamente).
¾
Espacio muestral:conjunto de todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio; desde este punto de
vista, un suceso (elemental o no elemental) es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej.: al lanzar un dado
para ver qué número sale, el espacio muestral de ese experimento aleatorio es: E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; cada uno de los
elementos de ese conjunto: 1, 2, ...6, es un suceso elemental, y cada subconjunto posible es un suceso; por ejemplo,
el subconjunto S = 2, 4, 6 es el suceso ”salir par”, y el subconjunto S = 1, 2, 3 es ”salir 1, 2 ó 3”.
¾
Se dice que un suceso ocurre cuando el resultado del experimento está incluido en el subconjunto que representa
a dicho suceso. Ej.: si al tirar un dado sale un 2 cabe decir que ha ocurrido el suceso ”salir par” porque 2 5 2, 4, 6
(es decir, el elemento ”2” está incluido en el subconjunto que representa al suceso ”salir par”).
¾
Si un suceso no ocurre, se dice que ha ocurrido el suceso contrario o complementario. Ej.: el suceso contrario de
S =”salir 2” es S c =”salir 1, 3, 4, 5 ó 6” , ya que ”si no ha salido 2 es que ha salido 1, 3, 4, 5 ó 6”; lo contrario de ”salir
par” es ”salir 1, 3 ó 5”, o, lo que es lo mismo, ”salir impar”.
¾
Dos sucesos son entre sí incompatibles cuando no pueden ocurrir simultáneamente. Ej.: los sucesos ”2” y ”3” al
lanzar un dado son incompatibles; por el contrario, los sucesos ”salir par” y ”salir 2” son compatibles. Con más rigor,
dos sucesos S 1 y S 2 son incompatibles si S 1 V S 2 = 2.
¾
Dos sucesos son entre sí independientes cuando el hecho de que el primero haya ocurrido no influye en la
probabilidad de que ocurra el segundo. Por ejemplo, si tiro un dado y obtengo ”2”, eso no influye en la probabilidad
que tiene el ”3” de salir en la próxima tirada.
¾
Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir, en el sentido en que entendemos
comúnmente la palabra probabilidad; por ejemplo, si arrojamos un disco perfectamente construido sobre una
superficie perfectamente lisa y horizontal, es igualmente probable que caiga de una cara o de la otra.
7Probabilidad de un suceso
1. En general, la probabilidad de que ocurra un suceso puede determinarse experimentalmente llevando a cabo
muchas veces el experimento correspondiente y midiendo la frecuencia con que se repite el suceso. En el límite
infinito, la probabilidad coincide con la frecuencia. Por ejemplo, si lanzáramos un dado perfectamente construido
”infinitas veces” podemos esperar que la frecuencia con que saldrá el ”2” será 16 (es decir, una vez de cada seis por
término medio); decimos entonces que la probabilidad del suceso ”salir 2” es 16 :
PÝ”salir 2”Þ = 16 .
2. Ley de Laplace. La probabilidad de un suceso (equiprobable) se calcula dividiendo el número de resultados
favorables a dicho suceso entre el número de resultados posibles:
S
P= | |
|E |
(Ley de Laplace)
Los valores de probabilidad siempre están entre 0 y 1:
0 <P<1
(Nota: con las barras de |S | y |E | quiere decirse
”número de elementos de S” y ”número de elementos de E”, respectivamente.)
Ejemplos 5¿Cuál es la probabilidad de obtener un ”5” al lanzar un dado? Escribamos el espacio muestral y el suceso
”obtener 5” (que podemos llamar, por ejemplo, S 5 ), recordando siempre que un suceso cualquiera siempre es un
subconjunto del espacio muestral (es decir, sus elementos deben estar dentro del conjunto E):
E=
1, 2, 3, 5, 4, 6
S5 =
5
P=
|S 5 |
|E|
=
1
6
p 0, 167 ¯ 16, 7%
por 100).
5¿Cuál es la probabilidad de obtener ”cifra par” al lanzar un dado?
(para pasar a porcentaje sólo hay que multiplicar
30
E=
TREVERIS multimedia
1, 2, 3, 5, 4, 6
S par =
2, 4, 6
P=
|S par |
|E|
=
3
6
=
1
2
= 0, 5 ¯ 50%
3. Para poder resolver un problema aplicando la ley de Laplace es muy importante tener en cuenta que el espacio
muestral E debe estar formado de sucesos equiprobables. Por ejemplo, consideremos el siguiente problema:
¿cuál es la probabilidad de obtener ”suma de puntos igual a 7” al lanzar dos dados? El primer impulso es escribir el
espacio muestral con los posibles resultados de sumar las puntuaciones de dos dados:
E=
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
pero debe tenerse en cuenta que los resultados de ese espacio muestral no son equiprobables; por ejemplo, los resultados
”2” y ”6” no lo son, ya que ”2” sólo puede obtenerse si ambos dados dan ”1”, pero ”6” puede obtenerse si ambos dan ”3”, o si uno
da ”1” y el otro ”5”, o si uno da ”2” y el otro ”4”. En estos casos, hay que buscar un espacio muestral en que todos los elementos
sean equiprobables, lo que normalmente se consigue descomponiendo el experimento global en otros más sencillos
equivalentes y siempre teniendo en cuenta todas las posibilidades:
E=
1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 , 2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , ......... 6, 2 , 6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , 6, 6
Obsérvese que deben escribirse todas las posibilidades: así, un resultado es Ý1, 2Þ y otro distinto es Ý2, 1Þ.
Normalmente el problema está en contar todos los resultados favorables al suceso, |S |, y todos los resultados posibles, |E |.
A veces puede contarse directamemente (en este problema el número de elementos de E, si se sigue su lógica de construcción,
es 36). Pero en ocasiones el número de elementos es tan grande que hay que recurrir a las fórmulas de la Combinatoria
(Variaciones o Combinaciones, según el caso). Por ejemplo, en este problema se trata de contar cuántas parejas pueden
formarse con los números 1 al 6, influyendo el orden (es decir, Ý1, 3Þ ® Ý3, 1Þ) y pudiéndose repetir los números (esto es, valen
el Ý1, 1Þ, Ý2, 2Þ, etc.). Lo calculamos, pues, por VRÝ6, 2Þ = 36.
4. Unión e intersección de sucesos. Cuando un experimento aleatorio es complejo puede descomponerse en otros
más simples equivalentes. Es muy útil que la descomposición se lleve a cabo haciendo el uso adecuado de las
partículas ”y”, ”o”.o una combinación de ambas. Lo podemos entender con los siguientes ejemplos, en los que
introducimos las dos fórmulas necesarias para calcular la probabilidad de la intersección y la unión de sucesos.
¾
5Ejemplo de intersección de sucesos: Una urna contiene tres bolas rojas y tres verdes. Calcular la probabilidad de
que ”al sacar simultáneamente dos bolas ambas sean rojas”. La frase entrecomillada es equivalente a esta otra: ”se
saque en una primera extracción una bola roja y luego, en una segunda extracción, también una bola roja”.
Obsérvese que hemos usado la partícula y, la cual escribiremos simbólicamente V (intersección).
Si llamamos S rI al suceso ”sacar en la primera extracción una bola roja” y S rII al suceso ”sacar en la segunda extracción una
bola roja” la probabilidad que nos piden se escribe simbólicamente PÝS rI V S rII Þ y se calcula según la siguiente fórmula general,
escrita para dos sucesos llamados S 1 y S 2 :
Probabilidad de la intersección de dos sucesos :
PÝS 1 V S 2 Þ = PÝS 1 Þ 6 PÝS 2 /S 1 Þ
donde el segundo factor, PÝS 2 /S 1 Þ, se lee ”probabilidad de S 2 si ha ocurrido antes S 1 ” (es lo que se llama una probabilidad
condicionada). En nuestro ejemplo:
P S rI V S rII = PÝS rI Þ 6 ÝS rII /S rI Þ = 36 × 25 = 0, 2
Esto hay que entenderlo así: la probabilidad de sacar una bola roja en
la primera extracción es 36 (puesto que hay en total 6 bolas y de ellas 3 son rojas), pero la probabilidad de sacar una bola
roja en la segunda extracción si ya ha sucedido que salió roja en la primera es 25 puesto que sólo quedan ya 5 bolas en la
urna y de ellas ya sólo 2 son rojas).
¾
5Ejemplo de unión de sucesos: Una urna contiene tres bolas rojas y tres verdes. Calcular la probabilidad de que ”al
sacar dos bolas sean del mismo color”. La frase entrecomillada es equivalente a decir que: ”se saquen dos bolas
rojas o dos verdes”. Obsérvese que hemos usado la partícula o, la cual traduciremos simbólicamente por W (unión);
en matemáticas ”o” tiene el sentido de ”indistintamente, no excluyentemente”.
Si llamamos S 2r al suceso ”sacar dos bolas rojas” y S 2v al suceso ”sacar dos bolas verdes” la probabilidad que nos piden
en este caso se escribe simbólicamente PÝS 2r W S 2v Þ y se calcula según la siguiente fórmula general, escrita para los sucesos S 1
y S2 :
Probabilidad de la unión de dos sucesos :
PÝS 1 W S 2 Þ = PÝS 1 Þ + PÝS 2 Þ ? PÝS 1 V S 2 Þ
donde el tercer sumando, PÝS 1 V S 2 Þ, se calcula por la fórmula vista anteriormente para la intersección de probabilidades y
es igual a cero en el caso de sucesos incompatibles, como es el caso, ya que ambos no pueden ocurrir simultáneamente. Como
hay el mismo número de bolas de cada clase, PÝS 2r Þ = PÝS 2v Þ = 0, 2, según vimos en el ejemplo anterior.
P S 2r W S 2v = PÝS 2r Þ + PÝS 2v Þ ? PÝS 2r Þ 6 PÝS 2v /S 2r Þ = 0, 2 + 0, 2 ? 0, 2 × 0 = 0, 4
(el último sumando, 0, 2 × 0, es así
porque la probabilidad de que salgan dos verdes si lo que han salido son dos rojas es cero).
5. Por Combinatoria. En realidad, todos los cálculos de probabilidades pueden hacerse por Combinatoria, aunque a
veces son muy complicados por esa vía. Para resolver el primer ejemplo del parágrafo anterior basta tener en
cuenta que hay |E | = CÝ6, 2Þ = 6 = 15 parejas posibles de bolas a extraer, y de esas,
2
S 2r = CÝ3, 2Þ = 3 = 3 parejas son de bolas rojas, por lo que la probabilidad de sacar dos rojas es
2
S 2r
3 = 0, 2. [El problema puede hacerse también por variaciones, y de hecho, los problemas de
P = | |E| | = 15
probabilidad por Combinatoria es mejor, para evitar ciertos errores, hacerlos por variaciones mejor que por
combinaciones]
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
P=
Para la segunda parte del problema:
|S 2r|+|S 2r|
|E|
=
3+3
15
31
= 0, 4
6. Probabilidad del suceso contrario A veces, sobre todo cuando los problemas son muy difíciles, es útil calcular la
probabilidad del suceso contrario al que nos piden. Llamaremos a ese suceso S c . Pues bien, conocida la
probabilidad de ese suceso contrario, PÝS c Þ, puede calcularse la del suceso directo, PÝSÞ, mediante la fórmula:
PÝSÞ = 1 ? PÝS c Þ
¾
5Ej.: Una urna contiene tres bolas rojas y tres verdes. Calcular la probabilidad de que ”al sacar tres bolas
alguna sea roja”. La frase entrecomillada es equivalente a decir que: ”se saque una bola roja o dos rojas o
tres rojas”. Ahora bien, es más fácil considerar lo contrario: que salgan tres verdes, o lo que es lo mismo,
que la primera sea verde y la segunda verde y la tercera verde, probabilidad esta última que se calcula así:
PÝS 3v Þ = PÝS vI V S vII V S vIII Þ = PÝS vI Þ 6 PÝS vII /S vI Þ 6 PÝS vIII /S vI V S vII Þ =
3 2 1
6 5 4
=
1
20
La probabilidad del suceso directo que nos han pedido será, entonces:
PÝSÞ = 1 ? PÝS c Þ = 1 ?
1
20
=
19
20
7Estadística
La estadística es una rama de las matemáticas que estudia conjuntos de datos para calcular su media, su desviación
típica, etc., y, en algunos casos, permitir compararlos con otros conjuntos de datos.
Sean los dos siguientes conjuntos de datos, referidos a la puntuaciones obtenidas por dos personas al realizar una de
ellas una prueba 10 veces, y la otra persona, 14:
ç Primera persona (14 datos): 10, 9, 9, 13, 11, 9, 6, 7, 10, 7, 9, 9, 9, 11
ç Segunda persona (10 datos): 9, 10, 9, 10, 7, 11, 10, 10, 8, 7
¾
Se llama frecuencia absoluta al número de veces que se repite un dato. Por ejemplo, la frecuencia del 9 en la
distribución de datos de la primera persona es 6, y en la de la segunda es 2 La frecuencia relativa de un dato se
calcula dividiendo su frecuencia absoluta por el número total de datos de la distribución; así, la frecuencia relativa
9 p 0.64 , y en la segunda: 2 = 0.20.
del dato 9 en la primera distribución es 14
10
¾
Moda es el valor que se repite más (tiene más frecuencia) en una distribución de datos. La moda de la primera
distribución es 9 , y la de la segunda, 10. Hay distribuciones que tienen más de una moda.
¾
Mediana es el valor central de una distribución en la que hemos previamente ordenado sus datos de menor a
mayor (o al revés). Si el número de datos es par, la mediana es la media de los dos centrales. Para la primera
distribución (6, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 13) la mediana es 9, y para la segunda, 9.5.
¾
Media aritmética es la suma de los datos dividido por el número de ellos. La media, < x 1 >, para la primera
distribución es:
< x 1 >=
10+9+9+13+11+9+6+7+10+7+9+9+9+11
14
p 9.21
14
>x
i
la fracción larga se puede resumir como
los valores x i ”. El símbolo de ”sumatorio” es
que sumar.
i=1
14
, cuyo numerador se lee ”sumatorio desde i = 1 hasta i = 14 de todos
> , encima y debajo del cual se escribe desde qué número hasta cuál se tiene
7
(((Por ejemplo, sea la siguiente serie de números: 4, 7, 9, 3, 5, 4, 6, 8; en ella
> xi
quiere decir x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ,
i=3
donde los subíndices de las x se refieren al orden ocupado en la serie. En ese caso concreto:
7
> xi
= x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 9 + 3 + 5 + 4 + 6 = 27 )))
i=3
La media para la segunda distribución de datos del problema es:
10
>x
i
< x 2 >=
¾
i=1
10
=
9+10+9+10+7+11+10+10+8+7
10
= 9.10
Se llama desviación de un dato a la diferencia (con signo positivo) entre ese dato y la media. Por ejemplo, en la
primera distribución, la diferencia entre el dato 9 y la media es: 9 ? 9.21 = ?0.21; por tanto, la desviación del dato 9
es 0.21 Puede calcularse la media de las desviaciones de todos los datos, lo que se llama desviación media. La
fórmula para calcularla es:
32
TREVERIS multimedia
n
>|x ?<x>|
i
i=1
n
siendo n el número de datos de la distribución (14 en la primera y 10 en la segunda, en nuestro ejemplo), y significando las
barras dentro del sumatorio que debe tomarse el valor absoluto de las restas, es decir, siempre con signo positivo
independientemente del signo que tengan. En nuestro caso, para la primera distribución la desviación media es:
n
>|x ?<x>|
i
i=1
=
n
10?9.21 + 9?9.21 + 9?9.21 + 13?9.21 + 11?9.21 + 9?9.21 + 6?9.21 + 7?9.21 + 10?9.21 + 7?9.21 + 9?9.21 + 9?9.21 + 9?9.21 + 11?9.21
14
p 1. 27
y para la segunda distribución sería:
n
>|x ?<x>|
i
i=1
=
n
¾
9?9.1 + 10?9.1 + 9?9.1 + 10?9.1 + 7?9.1 + 11?9.1 + 10?9.1 + 10?9.1 + 8?9.1 + 7?9.1
10
= 1.1
La varianza, que se representa con el símbolo a 2 (”sigma cuadrado”) es la media de los cuadrados de las
desviaciones, es decir:
n
>Ýx ?<x>Þ
i
a
2
=
i=1
n
n
>x
2
2
i
.
Una fórmula más sencilla y equivalente para la varianza es: a
2
=
i=1
n
?< x > 2
(esta última se puede memorizar así: ”media de los cuadrados menos cuadrado de la media”). Aplicando cualquiera de
estas fórmulas a la primera y segunda distribución de nuestro problema obtenemos los siguientes respectivos valores de la
varianza:
a 2 p 3.26
¾
a 2 p 1.88
La desviación típica, que se representa con el símbolo a (”sigma”), es la raíz cuadrada de la varianza. Las
desviaciones típicas para la primera y segunda distribuciones son, pues, respectivamente:
a
p 1.81
a
p 1.37
La desviación típica (y también la varianza y la desviación media) dan una medida de la dispersión de los datos alrededor
de la media. Por ejemplo, si una persona obtiene 10 puntuaciones y todas son 9, la media es evidentemente 9 y se puede
demostrar que la desviación media, la varianza y la desviación típica son 0, porque todos los datos coinciden con la media (es
decir, no se desvían nada de la media). Sin embargo, para la siguiente distribución: 10, 10, 9, 10, 9, 8, 10, la media es 9.43 y la
desviación típica es ya distinta de 0 (puesto que los datos no coinciden con la media); en este caso concreto es 0.79. Para esta
otra distribución: 30, 30, 18, 10, 0, ?12, ?10 la media es la misma que antes (9.43), y sin embargo la desviación típica es 17.54, es
decir, mucho mayor que antes, porque los datos están más alejados de la media.
Hay ciertas distribuciones que se llaman ”normales”, lo que quiere decir que el grueso de los datos se agrupa en torno a la
media y hay pocos datos con valores bajos y con valores altos, teniendo toda la distribución, cuando se representa
gráficamente, la forma de ”campana de Gauss”. En una distribución normal (y las dos del ejemplo general que estamos
tratando lo son, aunque eso no hay por qué saberlo a priori), si sumamos a la media el valor de la desviación típica y restamos
de la media el valor de la desviación típica encontramos un intervalo dentro del cual está aproximadamente el 68 por ciento
de los datos; esta es una ley de las distribuciones normales. Comprobémoslo con la primera distribución. La media, < x 1 > , es
9.21, y la desviación típica, a 1 p 1.81. El intervalo del que estamos hablando es:
9.21 ? 1.81, 9.21 + 1.81
=
7.40, 11.02
es decir, puesto que nos han asegurado que la distribución es normal, aproximadamente el 68% de los 14 datos deben
estar comprendidos entre 7.40 y 11.02 . El 68% de 14 es 9.52, que redondearemos a 10; efectivamente, cuéntense y se verá
como 10 de los 14 datos tienen valores comprendidos entre 7.40 y 11.02.
¾
Cuando se quieren comparar dos muestras lo mejor es usar el llamado coeficiente de variación (CV), que nos da la
”homogeneidad” de cada muestra. Se calcula por la fórmula:
CV =
a
<x>
(es decir, la desviación típica dividido por la media).
Los CV para las dos distribuciones de nuestro ejemplo son:
CV 1 =
a1
<x1 >
=
1.81
9.21
p 0.20
CV 2 =
a2
<x2 >
=
1.37
9.10
p 0.15
La segunda distribución es más homogénea (datos más ”semejantes” entre sí) que la primera, puesto que la segunda tiene
un menor CV. Obsérvese que la primera persona, aunque tiene una media peor, tiene más ”regularidad” que la segunda. La
primera, por el contrario, ofrece valores más dispares.
¾
Tipificación de datos. Normalmente, en estadística no se trabaja con los datos directamente, sino que previamente
se tipifican todos y cada uno de ellos, con lo que se consigue tratarlos y entender su significado más fácilmente y al
mismo tiempo hacerlos más directamente comparables con los de otra distribución. Los datos tipificados de una
distribución normal siempre valen entre ?3 y 3, aproximadamente. Un dato x i se tipifica (y se llamará z i ) aplicando la
siguiente fórmula:
zi =
xi?<x>
a
Por ejemplo, el dato 9 de la primera distribución (media p 9.21; a p 1.81) queda, tipificado así
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
z =
9?9.21
1.81
p ?0.12
Quienes trabajan en Estadística habitualmente lo hacen con datos tipificados.
33
34
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Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones lineales de dos o más incógnitas, matrices, determinantes y sus propiedades, resolución de
sistemas de ecuaciones por determinantes (método de Cramer)
g Matrices y determinantes
¾
Una matriz es una ordenación de números (que a veces vienen representados por letras) en filas y columnas. Por
ejemplo, son matrices:
3 0
5Ejemplo 1:
0
4 ?1 0
1 9
0
^
1 1
1 1
5
3
2
3
?^ 4
0
3 1 a 2 ?1
4
1
La primera de ellas es una matriz cuadrada 3 × 3 (3 filas por 3 columnas), que se suele llamar ”matriz cuadrada de orden
3” o, más simplemente, ”matriz de orden 3”); la segunda es una matriz cuadrada 2 × 2 (o de orden 2); la tercera es una matriz
4 × 2; la cuarta es una matriz 1 × 5 ( y las de ese tipo se llaman matrices-fila, como también hay matrices-columna), y la quinta
es una matriz 1 × 1, que es el tipo más simple de matriz que existe (en realidad es un número real).
En general, cada elemento de una matriz se suele identificar mediante la notación a ij , donde i es el número de fila que
ocupa y j el número de columna. Por ejemplo, el valor 5 de la tercera matriz del Ejemplo 1 corresponde al elemento a 21 ,
porque está en la segunda fila y primera columna.
¾
Dada una matriz, podemos obtener de ella submatrices eliminando un número cualquiera de filas, de columnas, o
de filas y columnas. Por ejemplo, si en la primera matriz del Ejemplo 1 eliminamos la primera fila nos queda:
4 ?1 0
1 9
(una submatriz 2 × 3 de la primera matriz del Ejemplo 1)
0
y si eliminamos la segunda fila y la segunda columna nos queda la submatriz de orden 2:
3 0
1 0
Otras submatrices de la primera matriz del Ejemplo 1 son:
3 0
0
4 ?1 0
1 9
3 0 0
Ý0Þ
0
0
?1
Nótese que consideramos a una matriz como una submatriz de sí misma (eliminando 0 filas y 0 columnas). Las
submatrices, como matrices que son, pueden ser cuadradas (mismo número de filas y columnas) o no. Las cuadradas son las
que más nos van a interesar aquí. Obsérvese que la primera matriz del Ejemplo 1 puede tener submatrices cuadradas de
orden 3 (es decir, 3 × 3), de orden 2 (2 × 2) y de orden 1 (1 × 1). Por su lado, la segunda y tercera matrices del Ejemplo 1 pueden
tener submatrices cuadradas de orden 2 y de orden 1, y la cuarta y la quinta, sólo submatrices cuadradas de orden 1.
(Nótese también que el concepto de orden está siempre asociado al de matrices cuadradas; no se habla de orden si la
matriz no es cuadrada: orden es el número de filas (o de columnas, que es lo mismo) de una matriz cuadrada. En adelante
debe tenerse esto en cuenta.)
¾
Al igual que sobre los números reales, sobre las matrices pueden realizarse ciertas operaciones (multiplicarlas por
un número, sumar dos matrices, etc.). Una de las operaciones es calcular el determinante de una matriz cuadrada
(no está definida la operación determinante para una matriz no cuadrada). Para indicar que queremos efectuar la
operación determinante sustituiremos los paréntesis redondos de la matriz:
por paréntesis cuadrados:
.
$El determinante de una matriz cuadrada de orden 1 es el mismo número. Por ejemplo, el determinante de la matriz Ý?7Þ
es ?7.
$El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 :
a b
se calcula mediante la siguiente fórmula: ad ? bc ;
c d
del Ejemplo 1 es 1 6 1 ? 1 6 1 = 0
$El determinante de una matriz cuadrada de orden 3 :
por ejemplo, el determinante de la matriz segunda
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
35
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
, se calcula mediante la siguiente fórmula:
a 31 a 32 a 33
Ýa 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 Þ ? Ýa 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 21 a 12 a 33 Þ
Para evitar memorizar esa fórmula usaremos una regla mnemotécnica. Para ilustrarla, vamos a calcular el determinante de
la primera matriz del Ejemplo 1. Se escribirán las tres primeras filas igual que están, y debajo se repetirán la primera y la
segunda, de la siguiente manera:
3 0
0
4 ?1 0
1 9
0
3 0
0
4 ?1 0
luego se multiplican entre sí los números de la diagonal del 3 (señalados en negrita), los de la diagonal paralela inferior
(la que empieza en 4: 4 6 9 6 0) y a los de la inferior a ésta última (la del 1: 1 6 0 6 0), sumándose al final los tres productos
obtenidos. Se hace lo mismo con las tres diagonales secundarias (la que empieza por el 0 que está en el vértice superior
derecho y las dos paralelas por debajo), y el resultado se resta del obtenido anteriormente. Es decir:
ß3 6 Ý?1Þ 6 0 + 4 6 9 6 0 + 1 6 0 6 0à?ß0 6 Ý?1Þ 6 1 + 0 6 9 6 3 + 0 6 0 6 4à= 0
El resultado de ese determinante es, pues, 0.
El resultado del que se plantea a continuación es ?16. (comprobarlo):
3
?1 5
2
?3 2
?1 1
= ?16
1
$Para resolver determinantes de orden 4 o superior hay que entender primero el concepto de menor complementario.
Seguimos con la matriz primera del Ejemplo 1. El menor complementario del elemento 3 es el determinante de la matriz
que se obtiene al suprimir la fila y la columna donde está el 3, es decir:
?1 0
9
= 0
.
0
Otro ejemplo: el menor complementario del 0 superior derecho es
4 ?1
= 37
1 9
Otro concepto indispensable es el del signo por su posición de cada elemento de un determinante. Independientemente
de su signo propio, se considera que cada elemento tiene un signo por su posición según las siguientes reglas:
1) en un determinante cualquiera, el elemento que está en el vértice superior izquierdo tiene el signo por su posición +;
2) los elementos adyacentes en vertical o en horizontal a uno dado tienen el signo por su posición contrario.
Con estas dos reglas es fácil ver que en la práctica para saber el signo por su posición de un elemento dado se empieza
por el elemento superior izquierdo del determinante, a 11 , al que se le asigna el +, y se trata de llegar al elemento dado yendo
casilla por casilla en horizontal o vertical, nunca en diagonal, por el camino que se quiera, cambiando de signo al saltar de
casilla. Por ejemplo, sea el siguiente determinante de orden 4;
7
?1 0
2
6
1
?1 3
?1 1
0
4
3
5
1
3
para saber el signo por su posición del elemento 5 vamos hacia él desde el 7 en horizontal o vertical, casilla por casilla
(por cualquier camino), cambiando de signo al saltar de casilla:
+
?
+
y, como vemos, concluimos que el signo por su posición del 5 es ?.
?
+
?
Otra forma de conocer el signo por la posición es sumar los subíndices del elemento correspondiente; si la suma da par, el
signo por la posición es positivo, si impar, negativo. Por ejemplo, el elemento 5 es el a 43 ; como 4 + 3 = 7 (impar), el signo
que le corresponde al 5 por su posición (independientemente del que tiene, que es +) es el ?.
Sabido todo esto, un determinante de orden mayor que 3 se resuelve así: se escoge cualquier fila (o cualquier columna)
y se va multiplicando cada elemento de esa fila por su menor complementario. Al final se suman o restan todos los productos
obtenidos, dependiendo del signo por su posición de cada elemento de la fila (o columna) tomado. Se comprenderá que
conviene tomar aquella fila (o columna) con números más sencillos, y preferentemente con el máximo número de ceros.
Ilustramos esto con un ejemplo: resolveremos el determinante de orden 4 escrito más arriba. Elegiremos la columna
tercera (que tiene dos ceros); el método es así:
36
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7
?1 0
2
6
1
?1 1
0
4
3
5
1
3
2
?1 3
= +0
6 3
?1 1 4
3
?1 1
7
? Ý?1Þ
3 1
?1 1
4
3
1
3
7 ?1 1
+0
2 6
3
3 3
1
?5
7
?1 1
2
6
3
?1 1
4
=
= 0 + 1 6 Ý?96Þ + 0 ? 5 6 166 = ?926
Si el determinante hubiera sido de orden 5 se sigue el mismo método, pero hubieramos obtenido cinco determinantes de
orden 4 cada uno de los cuales habríamos tenido que resolver aparte, reduciéndolos cada uno a cuatro determinantes de
orden 3 como en el ejemplo anterior.
¾
Se comprenderá por lo visto que resolver un determinante de orden elevado será tanto más fácil cuantos más ceros
tenga en una fila o columna, ya que así se anulan términos en el desarrollo explicado (pues se multiplica por 0). Si
el determinante no contiene ceros, o pocos, es posible y conviene hacer ceros aplicando la propiedad que
pasamos a explicar ahora.
Para hacer ceros debemos comprobar si hay dos filas (o dos columnas) que tengan el mayor número de elementos iguales
o proporcionales en idénticas posiciones, o bien si una fila (o columna) tiene elementos que son la suma de los de otras filas
(o columnas) situados en las mismas posiciones.
Se reescribe el determinante manteniendo iguales todas las filas (o columnas) excepto una de ellas, que se cambia por el
resultado de restarle otra o de restarle la suma de otras incluso multiplicada previamente alguna de estas últimas por un
número.
Esto, que puede resultar bastante confuso, se entiende mejor con un ejemplo. Sea el siguiente determinante:
1
2
1 1
?1 ?1 4 1
5Ejemplo 2:
3
6
3 1
1
2
1 ?1
Puede observarse que las columnas primera y tercera tienen tres números iguales en las mismas posiciones (marcados en
negrita). Entonces, reescribiremos el determinante manteniendo iguales las columnas segunda, tercera y cuarta, y en vez de la
primera escribiremos una nueva, que será el resultado de restarle a la primera la tercera (1 ? 1 = 0; ?1 ? 4 = ?5; 3 ? 3 = 0;
1 ? 1 = 0). Así conseguimos hacer 3 ceros y puede demostrarse que eso no afectará al resultado del determinante. A
continuación resolvemos el determinante obtenido por el método de los menores complementarios explicado antes usando la
primera columna (por contener tres ceros, con lo que nos evitaremos el trabajo de resolver tres determinantes 3 × 3, ya que
sea cual sea su valor, al multiplicarlos por 0 se anulan):
0
2
1 1
?1 4 3
?5 ?1 4 1
0
6
3 1
0
2
1 ?1
= +0
6
3 1
2
1 ?1
2 1 1
? Ý?5Þ
6 3 1
2 1 ?1
2
+0
1 1
?1 4 1
2
1 ?1
2
?0
1 1
?1 4 1
6
= 0
3 1
También podía haberse resuelto el determinante del Ejemplo 2 observando la relación entre las filas primera y tercera: tres
números de la tercera son el triplo de los de la primera en las mismas posiciones. Podríamos hacer ceros ahí dejando intactas
la primera, segunda y cuarta filas y restando a la tercera la primera multiplicada por 3. Trátese de hacerlo.
¾
Nótese que siempre hay que dejar fijas todas las filas (o columnas) excepto una, y a esa se le debe restar otra fila (o
columna) o bien una combinación lineal de filas (o de columnas). Una combinación lineal de filas (o de columnas)
es el resultado de sumar o restar entre sí esas filas (incluso si previamente se han multiplicado previamente algunas o
todas ellas por números).
5Ejemplo 3.
5
2 1 1
7
1 2 2
9
0 1 4
Resolver el siguiente determinante
?1 2 0 1
En él podemos notar que si sumamos la segunda columna con la tercera y el doble de la cuarta obtenemos (salvo en el
último número) la primera. Entonces, reescribiremos el determinante manteniendo las columnas segunda, tercera y cuarta y
reescribiendo la primera como el resultado de restar a sus valores los correspondientes a la combinación lineal indicada
(segunda + tercera + doble de cuarta). A continuación aplicaremos el método de los menores complementarios (esta vez no
escribiremos los términos que incluyan una multiplicación por 0)
0
2 1 1
0
1 2 2
0
0 1 4
?5 2 0 1
2 1 1
= ?Ý?5Þ
1 2 2
= 45
0 1 4
La operación de hacer ceros se puede repetir varias veces, tanto en filas como en columnas, hasta que se considere
necesario. Desde luego, no es imprescindible hacer ceros para resolver un determinante. Simplemente facilita los cálculos.
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
37
De esta propiedad es fácil deducir otras:
$Un determinante con dos filas (o columnas) exactamente iguales o proporcionales (es decir, una de ellas es la otra
multiplicada por un número) es igual a 0.
$Un determinante en el que una fila (columna) es combinación lineal de dos o más filas (dos o más columnas) es igual a
0. Por ejemplo, el siguiente determinante, en el que la cuarta fila es combinación lneal (por suma directa) de las tres
primeras, es 0:
0
?2 1
1
2
?1 1
2
1
2
3 1
0
1
6 2
1
2
= 0
g Resolución de sistemas de ecuaciones por determinantes (método de Cramer)
¾
Entre otras utilidades, los determinantes sirven para resolver sistemas de ecuaciones por el llamado método de
Cramer. Sea el siguiente sistema (Ejemplo 4)
2x + y ? z = 4
x+y+z = 3
3x ? y ? z = 1
Se puede demostrar que las soluciones para x, y y z vienen dadas directamente por los siguientes cocientes:
x=
4 1
?1
2 4 ?1
2 1
4
3 1
1
1 3 1
1 1
3
3 1 ?1
3 ?1 1
1 ?1 ?1
2 1
?1
1 1
1
= 1
y=
3 ?1 ?1
2 1
?1
1 1
1
= 2
z =
3 ?1 ?1
2 1
?1
1 1
1
= 0
3 ?1 ?1
Repárese en cómo se han construido los tres cocientes: los denominadores son en los tres casos los determinantes de la
llamada matriz de los coeficientes (matriz formada por los coeficientes de las incógnitas, ordenadas), y los numeradores son
esos mismos determinantes pero sustituyendo en ellos la columna correspondiente a la incógnita que se esté solucionando
cada vez (la x, la y o la z) por la columna de los términos independientes del sistema de ecuaciones (en este caso, 4, 3, 1).
Este es el método de Cramer. Para evitar errores, el sistema de ecuaciones hay que escribirlo de modo que las incógnitas
estén bien alineadas en columnas, y los términos independientes en el segundo miembro. Se aplica del mismo modo a
sistemas más complejos (cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, etc...) y más simples (dos ecuaciones con dos incógnitas).
A veces un sistema de ecuaciones no tiene solución. Efectivamente, si el determinante de la matriz de los coeficientes (el
del denominador de las expresiones de Cramer) es 0, el sistema no se puede resolver. Y si, siendo 0 el determinante del
denominador, lo es también el del numerador para al menos una de las incógnitas, el sistema puede no tener solución o
tener infinitas soluciones.
Recapitulando: los sistemas de ecuaciones pueden tener
å ninguna solución, y se llaman entonces incompatibles;
å una y sólo una, y se llaman entonces compatibles determinados;
å infinitas soluciones, y se llaman entonces compatibles indeterminados.
¾
Hay una forma directa de comprobar si un sistema de ecuaciones tiene o no solución, y, caso de que la tenga, si es
única o son infinitas. Lo veremos con el sistema del Ejemplo 4 tratado anteriormente. Construiremos las llamadas
matriz de los coeficientes (C) y matriz ampliada (A) para ese sistema (esta última es la misma matriz de los
coeficientes pero con una nueva columna añadida a la izquierda: la de los términos independientes):
C =
2 1
?1
1 1
1
3 ?1 ?1
A=
2 1
?1 4
1 1
1
3
3 ?1 ?1 1
Calcularemos ahora los rangos de ambas matrices. Rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz
cuadrada con determinante distinto de cero que podamos encontrar dentro de la matriz en cuestión.
Dentro de la matriz C podemos encontrar submatrices cuadradas de orden 1, 2 y 3, y lo mismo, en este caso, dentro
de la matriz A. La única submatriz cuadrada de orden 3 que contiene la matriz C es ella misma. Calculamos su
determinante, que da un valor distinto de 0 (concretamente da 8). Como hemos encontrado que una submatriz de C
de orden 3 tiene determinante distinto de 0, el rango de C es 3.
A tendrá el mismo rango, puesto que no
podemos encontrar dentro de ella submatrices cuadradas de mayor orden y sí una de orden 3 igual a la anterior,
para la que ya hemos demostrado que tiene determinante distinto de 0.
Si r C es el rango de la matriz de los coeficientes, r A el rango de la matriz ampliada y n el número de
38
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incógnitas, deberemos tener en cuenta las siguientes relaciones para saber si un sistema tiene o no solución:
rC = rA = n
sistema compatible determinado
r C = r A ® n sistema compatible indeterminado
rC ® rA
sistema incompatible
En nuestro ejemplo anterior, el sistema es compatible determinado, y la solución única puede determinarse por el método
de Cramer como ha quedado visto. Veremos ahora otros ejemplos.
5Ejemplo 5. Averiguar si el siguiente sistema tiene o no solución y, en su caso, darla:
x+y?z = 3
y+z = 5
2x + 2y ? 2z = 5
1 1 ?1
C =
1 1 ?1 3
A=
0 1 1
0 1 1
2 2 ?2
5
2 2 ?2 5
El rango de C es 2, puesto que 2 es el orden de la mayor submatriz cuadrada con determinante distinto de 0 que somos
capaces de encontrar dentro de C (comprobarlo); y el rango de A es 3, puesto que se puede encontrar una submatriz cuadrada
de orden 3 dentro de A.(por ejemplo, la formada con las columnas segunda, tercera y cuarta). El sistema es, pues,
incompatible.
5Ejemplo 6. Averiguar si el siguiente sistema tiene o no solución y, en su caso, darla:
x+y?z = 3
y+z = 5
2x + 2y ? 2z = 6
1 1 ?1
C =
1 1 ?1 3
A=
0 1 1
0 1 1
2 2 ?2
5
2 2 ?2 6
En este caso, el rango de la matriz de los coeficientes es 2, y también lo es el de la ampliada (compruébese que las cuatro
posibles submatrices de orden 3 de la matriz ampliada tienen determinante igual a 0). Como el número de incógnitas es 3, el
sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.
Los sistemas compatibles indeterminados se resuelven como sigue. Se considera qué submatriz se utilizó para demostrar
que el rango de C es 2 (cada persona puede haber usado una submatriz distinta; eso no importa). Supongamos que hemos
tomado la submatriz marcada con números en negrita siguiente para demostrar que el rango de C es 2 (esa submatriz nos
hubiera valido, en efecto, para ello porque su determinante es distinto de 0):
1 1 ?1
0 1 1
2 2 ?2
Pues bien, se tacha la fila que no hemos empleado (en este caso, la tercera), lo que equivale a olvidarnos de la tercera
ecuación del sistema que nos dieron, y la incógnita que no hemos empleado (en este caso la z, tercera columna) se sustituye,
donde aparezca, por la letra griega V (lambda), pasándola además al segundo miembro. Es decir el sistema de ecuaciones se
reescribe así:
x+y = 3+V
y = 5?V
Ahora:
C =
1 1
A=
0 1
1 1 3+V
0 1 5?V
(nótese que A tiene 3 columnas, no 4)
Ese sistema es ahora compatible y determinado (compruébese que ambos rangos son 2, y téngase en cuenta que ahora 2
es el número de incógnitas, pues z ha dejado de ser incógnita). Lo solucionaremos por Cramer:
3+V 1
x=
5?V 1
1 3+V
= ?2 + 2V
y=
0 5?V
1 1
1 1
0 1
0 1
La solución del sistema es: x = ?2 + 2V
y = 5?V
= 5?V
z = V
Ahora bien, si hubiéramos tomado como referencia otra submatriz para demostrar que el rango de C es 2 habríamos
obtenido otro resultado, pero en realidad es el mismo, lo que vamos a demostrar. Por ejemplo, si hubiéramos tomado como
submatriz la señalada con números en negrita para demostrar que el rango de C es 2:
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
39
1 1 ?1
0 1 1
2 2 ?2
entonces, para resolver el sistema no necesitaremos la primera ecuación. La incógnita no usada ahora es la x , que
haremos igual al parámetro t (para no confundirlo con el V usado antes); es decir, x = t. El sistema quedaría ahora:
y+z = 5
2y ? 2z = 6 ? 2t
y si lo resolvemos por el método de Cramer obtendríamos: x = t
y = 4 ? 12 t
z = 1 + 12 t , solución que parece distinta a la
anterior. Pero es la misma. Esto podemos entenderlo si comprendemos primero qué significa expresar la solución de una
ecuación de esa forma, es decir, en función de un parámetro. Significa que en realidad son infinitas las soluciones, y cada una
de ellas se obtiene dando un valor arbitrario a V (o a t); por ejemplo, para V = 0 las soluciones para la ecuación son:
x = ?2
y= 5
z = 0; para V = 1 :
x= 0
y= 4
z = 1, etc. A esas mismas soluciones siempre se puede llegar dando
los adecuados valores a t; así, para t = ?2 obtenemos de nuevo x = ?2
y= 5
z = 0, y para t = 0 llegamos a
x= 0
y= 4
z = 1.
(En la práctica, para saber cómo se corresponden V y t basta igualar, en cualquiera de las incógnitas, sus expresiones
correspondientes en función de V y de t; por ejemplo, como x = t
y
x = ?2 + 2V, de ahí se deduce que ?2 + 2V = t, lo
que nos permite conocer la relación entre V y t; según esa relación, para V = 0, t = ?2, y por eso, usando esos valores, las
soluciones de la ecuación coinciden en los dos métodos.)
1 Un tipo especial de problemas consiste en determinar si un sistema tiene o no solución en función de un parámetro. Por
ejemplo, sea el siguiente (en el que se usa el parámetro a):
ax ? y ? 2z = 1
x+y = 3
y+z = 2
Para resolver este caso concreto, se plantea la matriz de los coeficientes (C) y la ampliada (A); se resuelve el determinante
de C, que, lógicamente, quedará en función de a (en este caso ese determinante da a ? 1); el resultado se iguala a 0, y eso
nos permite calcular el valor de a que hace el determinante 0, o, lo que es lo mismo, que hace que la matriz tenga rango 2;
cualquier otro valor de a hará que la matriz tenga rango 3. También hay que comprobar el rango de la matriz ampliada, que
da 3 independientemente de a. Concretamente, en este problema, para a = 1 el rango de la matriz C da 2, y para cualquier
otro valor de a da 3; de ahí es fácil deducir que para a = 1 el sistema es incompatible y que para a ® 1 el sistema es
compatible determinado.
Cada caso concreto de este tipo de problemas es diferente, pero la forma de resolverlo es básicamente la indicada.
1 Hay sistemas en que los términos independientes valen todos 0; se llaman homogéneos y siempre son compatibles,
puesto que al menos admiten una solución: x = 0, y = 0, z = 0. Lo que hay que determinar en ellos es si sólo tienen esa
solución (compatibles determinados) o infinitas (compatibles indeterminados). Por ejemplo:
x+y+z = 0
2x ? z = 0
es compatible indeterminado con solución general x = V
3x + y = 0
y = ?3V
z = 2V.
40
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Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometría
Ángulos, triángulos, teorema de Tales, teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, fórmulas trigonométricas
¡ Razones trigonométricas de un ángulo
¬ Ángulos
Clásicamente los ángulos se miden en grados: la vuelta completa a una circunferencia son 360 o ; media vuelta son 180 o ;
un cuarto de vuelta (un ángulo recto), 90 o , etc. Pero la unidad más científica es el radián. La relación entre grados y radianes
es:
360 grados
son
2^ radianes
Aunque en estos Apuntes trabajaremos habitualmente con grados, debe tenerse en cuenta que la unidad científicamente
más usada son los radianes. No obstante, pasar de una unidad a otra (antes de empezar a operar o en el resultado final) es
simple: basta hacer una regla de tres.
¬ Seno y coseno de un ángulo
Eje Y
Sobre los ángulos se pueden realizar, entre otras, unas operaciones que se denominan razones trigonométricas. Las más
importantes son el seno (sen) y el coseno (cos). Para definirlas y poder estimar su valor aproximado nos podemos ayudar de un
círculo cuyo centro coincida con el de un sistema de coordenadas cartesianas X, Y clásico Consideraremos siempre que el
radio del círculo es 1. Todo esto viene ilustrado en la siguiente figura:
2º
Cuad.
90º
1º
Cuad.
1
0.5
180º
-1
0º
-0.5
0
0.5
1
Eje X
-0.5
3º
Cuad.
4º
Cuad.
-1
270º
En ella también se han numerado los llamados cuatro cuadrantes en que queda dividido el círculo y se han representado
algunos valores de los ejes X e Y (en los que cada muesca de la escala vale 0.1 unidades, como puede comprobarse).
También se han representado ángulos típicos. Donde está representado el ángulo 0 o se considera el punto de partida para
medir ángulos; yendo contra las agujas del reloj el sentido se considera positivo (al revés es negativo: así, el ángulo 270 o
también puede llamarse ?90 o ).
El seno de un ángulo se define como el valor de la coordenada Y (ordenada) del punto que representa a dicho ángulo en
el círculo de radio unidad que estamos tomando como referencia; el coseno es el valor de la coordenada X (abscisa). Por
ejemplo, el seno de 30 o es 0.5, y el coseno de 30 o es un valor que está entre 0.8 y 0.9, como puede comprobarse, según las
definiciones dadas, en la siguiente figura:
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
41
Y
× 30º
0.5
.8 .9
X
De la figura puede también deducirse que el seno de un ángulo es la altura del punto que representa al ángulo (marcado
con ×) respecto al eje de las X en un círculo de radio = 1 .
Por lo tanto, en adelante hay que tener muy en cuenta que:
seno:
valor de la coordenada y del punto que representa al ángulo
coseno:
valor de la coordenada x del punto que representa al ángulo
Por supuesto, el signo de estas coordenadas puede ser positivo o negativo. Por ejemplo, siguiendo la definición que
hemos dado, el valor del seno de un ángulo que esté situado en el tercer cuadrante (digamos 210 o ) debe ser negativo, pues
en ese cuadrante la coordenada y tiene valor negativo.
JDe las definiciones dadas y de la observación de la figura siguiente puede deducirse que las razones trigonométricas de
un ángulo dado pueden coincidir (totalmente o diferenciándose a lo sumo en el signo) con las de otros ángulos del círculo.
Y
150º ×
× 30º
X
210º ×
× 330º
Si en la figura observamos los puntos que representan a los ángulos escritos (puntos señalados con ×), veremos qur todos
ellos tienen el mismo valor absoluto (es decir, signo aparte) de la coordenada y (0.5) y el mismo de la x (entre 0.8 y 0.9). Por
tanto, el seno y el coseno de todos esos ángulos tienen el mismo valor absoluto.
Esta constatación podemos generalizarla. En general, conociendo las razones trigonométricas (seno y coseno) de los
ángulos del primer cuadrante podemos saber las de los ángulos de cualquiera de los otros tres cuadrantes, siguiendo las
siguientes reglas:
 un ángulo del segundo cuadrante tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que el ángulo que
corresponda en el primer cuadrante al trazar una recta paralela al eje de las X (así, las razones de 150 o son las mismas
(signos aparte) que las de 30 o , y las de 178 o las mismas que las de 2 o ).
 un ángulo del tercer cuadrante tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que el ángulo que
corresponda en el primer cuadrante al trazar una recta que pase por el centro de coordenadas.(así, las razones de 210 o son las
mismas (signos aparte) que las de 30 o , y las de 254 o las mismas que las de 74 o ).
 un ángulo del cuarto cuadrante tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que el que corresponda en
el primer cuadrante al trazar una recta paralela al eje de las Y. (así, las razones de 330 o son las mismas (signos aparte) que las
42
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de 30 o , y las de 271 o las mismas que las de 89 o ).
5Ejemplo: calcular las razones trigonométricas de 225 o . Este ángulo está en el tercer cuadrante (es decir, su seno y su
coseno serán ambos negativos) y sus razones trigonométricas equivaldrán a las de 45 o , según las reglas vistas. Por tanto:
sen225 o
= ?
cos225 o = ?
2
2
2
2
¬ Otras funciones trigonométricas
La tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno; siguiento el ejemplo anterior podemos decir que:
tg225 o
sen225 o
cos 225 o
=
? 2 /2
? 2 /2
=
= 1
La cotangente se define como la inversa de la tangente. Así:
cotg225 o
=
=
1
tg225 o
= 1
1
1
La cosecante se define como la inversa del seno. Así:
cosec225 o
=
=
1
sen225 o
1
? 2 /2
= ?2 2/2
La secante se define como la inversa del coseno. Así:
sec225 o
=
1
cos225 o
=
= ?2 2/2
1
? 2 /2
¬ Razones trigonométricas básicas
Es necesario memorizar las razones trigonométricas de 0 o , 30 o , 45 o , 60 o y 90 o . En realidad, basta memorizar los
senos y cosenos, pues las demás se obtienen fácilmente de sus definiciones.
sen cos
0o
tg
cosec sec cotg
0
1
0
?
1
?
3
2
2
2
3
3
2
45 o
1
2
2
2
1
2
2
2 3
3
2
2
1
60 o
3
2
1
2
3
2 3
3
2
3
3
o
1
0
?
1
?
0
30
90
o
3
¬ Funciones inversas
Dado un número real cualquiera, podríamos preguntarnos, por ejemplo, para qué ángulo su seno es ese número. Por
ejemplo, ¿cuál es el ángulo cuyo seno es 0.5? Esa operación se llama ”arco seno”, y se representa en este caso arcsen 0.5.
Tiene dos soluciones porque hay dos ángulos (30 o y 150 o ) cuyo seno es 0.5:
arcsen
0.5 = 30 o
arcsen
0.5 = 150 o
Del mismo modo podemos escribir (usando calculadora)
arccos
0.2257 p 76.95 o
arccos
0.2257 p 283.04 o
(también dos soluciones)
y (sin necesidad de calculadora):
arctg
1 = 45 o
arctg
1 = 225 o
¬ Relaciones trigonométricas útiles
Siempre se cumple que
 sen 2 J + cos 2 J = 1
Esto nos permite calcular el coseno de un ángulo sabiendo el seno, o al revés; por ejemplo, si
el seno de 26 o es aproximadamente 0.438, su coseno será: cosJ = 1 ? sen 2 J p 0.899
Â
senÝ?JÞ
= ?senJ
cosÝ?JÞ = cosJ
(Ejemplo.:
senÝ?30Þ
= ?sen30 = ? 12 )
 senÝJ + KÞ = senJ cosK +cosJ senK
cosÝJ + KÞ = cosJ cosK ?senJ senK
de ángulos como 105 o , que es la suma de 60 o y 45 o ; así:
sen105 o
= senÝ60 o + 45 o Þ = sen60 o cos45 o +cos60 o sen45 o =
3
2
2
2
+
1 2
2 2
=
2 Ý 3 +1Þ
4
(fórmulas útiles para calcular razones
p 0.966
También podemos calcular utilizando este tipo de fórmulas las razones de 15 o ; por ejemplo:
1 2
2 2
cos15 o = cosÝ60 o ? 45 o Þ = cosÝ60 o + Ý?45 o ÞÞ = cos60 o cosÝ?45 o Þ ?sen60 o senÝ?45 o Þ =
3Þ
? 23 Ý? 22 Þ = 12 22 + 23 22 = 2 Ý1+
p 0.966
4
Â
senJ
= cosÝ90 o ? JÞ
(por ejemplo:
sen10 o
= cos80 o
Gracias a esta última propiedad, en realidad sólo se exigirá memorizar los valores del seno (o del coseno) de 0 o , 30 o ,
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
43
45 o , 60 o y 90 o . para poder realizar la mayoría de problemas.
¡ Trigonometría de triángulos
¬ Teoremas de Tales y Pitágoras
En la siguiente figura, considérense los triángulos ABC y abc. Ambos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente
iguales entre sí (se dice que son triángulos semejantes). Para dos triángulos semejantes se cumple el Teorema de Tales:
a = b = c
A
B
C
Por otra parte, en cualquier triángulo rectángulo (aquél que tiene un ángulo recto, como es el caso en este ejemplo) se
cumple el Teorema de Pitágoras:
C 2 = A2 + B2
2,0
1,5
1,0
C
0,5
c
α
0,0
-2
-1
0
b
β
a
1B
γ
A
2
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
¬ Razones trigonométrica en un triángulo
Por lo que hemos visto hasta ahora, y teniendo en cuenta la figura anterior, en la que el círculo interno tiene radio 1 y el
externo un radio distinto (en el ejemplo = 2) podemos escribir que
senJ
= a
cosJ = b
pero por el teorema de Tales podemos escribir:
a = c
A
C
b = c
B
C
ì a = Ac = A
C
C
ì b = Bc = B
C
C
(pues c = 1)
(pues c = 1)
Combinando estas ecuaciones y las anteriores podemos obtener las fórmulas generales para calcular el seno y el coseno
de un ángulo que pertenece a cualquier triángulo como los de la figura (rectángulos):
= A
C
cosJ = B
C
y, por tanto : tgJ = A
B
senJ
o, dicho con palabras:
senJ
=
cosJ =
tgJ
=
cateto opuesto
hipotenusa
cateto contiguo
hipotenusa
cateto opuesto
cateto contiguo
Estas tres fórmulas, que hay que memorizar, sirven para conocer algunos lados o ángulos de un triángulo conocidos
otros. No se olvide que sólo pueden aplicarse a triángulos rectángulos, aunque si no lo son pueden partirse de modo que se
obtengan subtriángulos rectángulos.
44
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5Resolver el siguiente triángulo a partir de los datos conocidos: (la altura es 1.2 )
β
1.2
3
α
A
50º
B
Podemos conocer en primer lugar el ángulo J, pues:
senJ
=
1.2
3
J = arcsen 0.4 p 23.58 o
ì
= 0.4
(con calculadora)
Eso permite saber cuánto vale K, pues en cualquier triángulo debe cumplirse:
J + K + L = 180 o
ì
K p 106.42 o
A puede conocerse a partir de:
sen50 o
=
1.2
A
ì
A=
1.2
sen50 o
p 1.57
Por otro lado, podemos calcular las bases (llamémoslas B v y B vv ) de los triángulos rectángulos de la izquierda y la
derecha (delimitados por la línea que representa la altura):
cosJ =
Bv
3
cos50 o =
B v = 3cos23.58 o p 2.75
ì
Bvv
1.57
ì
B vv p 1.57cos50 o p 1.01
Por tanto, B = B v + B vv p 3.76
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
45
Tema 14: Números complejos
Números complejos en forma binómica y en forma trigonométrica, Operaciones con complejos
g Necesidad de los números complejos;el número i
En la resolución de algunos problemas (como algunas ecuaciones de segundo grado) pueden aparecer raíces cuadradas
de números negativos, algo que no tiene sentido en el campo de los números reales. Para solucionarlo se idearon los
números complejos.
La expresión ?1 es un número complejo que llamaremos i. Usando i podremos solucionar raíces como
?16 = 16 6 ?1 = ±4i
Cuando en determinada operación encontremos i elevado a alguna potencia lo transformaremos según:
i0 = 1
i 2 = ?1
i1 = i
i 3 = ?i
serie que se repite cíclicamente (por ejemplo: i 4 = 1
i5 = i
i 6 = ?1, etc...), de modo que potencias más altas
pueden reducirse a la serie principal dividiendo el exponente por 4 y tomando el resto de la división.
5Ejemplo: Reducir i 11
Dividimos 11 entre 4 y tomamos el resto, que es 3. Por tanto, i 11 = i 3 , y observando la serie mencionada, como
i = ?i , podemos escribir: i 11 = ?i (la prueba es la siguiente: 11 = 4 × 2 + 3 ; por tanto:
i 11 = i 4×2+3 = i 4×2 i 3 = i 4 2 i 3 = 1 × i 3 = i 3 = ?1, donde hemos aplicado varias propiedades de las potencias vistas en los
temas iniciales de estas Apuntes)
3
g Forma binómica de un número complejo
Un número complejo expresado en la llamada forma binómica es un binomio de la forma
a + bi
, donde a puede ser cualquier número real (incluido el 0) y se denomina parte real, y b puede ser cualquier número
real (incluido el 0) y se denomina parte imaginaria.
Un complejo cuya parte real sea cero se llama imaginario puro; lo es, por ejemplo, el complejo ?3i, y un complejo cuya
parte imaginaria sea cero se llama simplemente real; por ejemplo el 5.
¬ Operaciones con complejos en forma binómica
e Suma, resta, multiplicación y potencia: se efectúan como en cualquier monomio. Si aparece i elevado a una potencia
superior a 1 debe reducirse como ha quedado explicado más arriba.
5Ejemplo:
Sean los complejos z 1 = 2 ? 3i
y
z 2 = ?1 ? i ; su suma es 1 ? 4i; su resta:
Ý2 ? 3iÞ ? Ý?1 ? iÞ = 2 ? 3i + 1 + i = 3 ? 2i;
su poducto es: Ý2 ? 3iÞÝ?1 ? iÞ = ?5 + i (después de hacer alguna simplificación;
compruébese);
y la potencia de cualquiera de ellos se obtiene multiplicándolo por sí mismo tantas veces como sea
necesario; por ejemplo: z 4 = z 6 z 6 z 6 z. (se multiplica primero z 6 z, luego el resultado por z y este resultado, finalmente,
por z de nuevo).
ee División: para efectuar el cociente entre dos números complejos se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador, siendo el conjugado de un complejo el mismo complejo pero con la parte imaginaria (sólo la parte
imaginaria) cambiada de signo:
5Ejemplo:
2?3i
?1?i
=
Ý2?3iÞÝ?1+iÞ
Ý?1?iÞÝ?1+iÞ
=
1+5i
2
=
1
2
+
5
2
i
(en la presentación final del complejo es conveniente separar la parte
real de la imaginaria; por eso hemos aplicado la propiedad distributiva de la división).
g Forma trigonométrica de un número complejo
¬ Representación cartesiana
Un complejo a + bi puede representarse en coordenadas cartesianas como el punto Ýa, bÞ. Por ejemplo, los complejos
4 + 2i y ?2 ? 2i pueden representarse por los puntos señalados en el siguiente gráfico:
46
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Y
(4,2)
×
r
α
α’
X
r’
×
(-2,-2)
La distancia desde el punto que representa al complejo al centro de coordenadas, r, se llama módulo del complejo, y
el ángulo entre el eje X y el radio r se llama argumento del complejo.
¬ Expresión trigonométrica y operaciones con complejos en dicha forma
Dado un complejo en forma binómica a + bi puede expresarse en forma trigonométrica así:
rÝcosJ + isenJÞ
donde r es su módulo y J su argumento, que según la figura anterior pueden calcularse así:
r = + a2 + b2
b
J = arctg | |
|a |
fórmula esta última donde, como viene indicado, deben tomarse los valores absolutos (es decir, siempre positivos) de a y
b por cuestiones de conveniencia.
5Ejemplo: escribir en forma trigonométrica los complejos z 1 = ?2 ? 2i
Para z 1
el módulo es:
J = arctg ||ba || = arctg 22 = arctg1
2
r = Ý?2Þ + Ý?2Þ
2
= 8 = 2 2
y
z 2 = 3 ? i.
y el argumento es:
Ahora bien, arctg1 tiene dos soluciones: 45 o y su ángulo correspondiente en el tercer
cuadrante, que es 225 o (también podrán serlo en principio sus ángulos correspondientes en los segundo y cuarto cuadrantes,
135 o y 315 o , pero esos podemos desestimarlos inmediatamente porque su tangente es negativa; ver el capítulo de
Trigonometría) Para saber cuál de los dos es la solución, basta reparar en que el punto Ý?2, ?2Þ que representa al complejo:
está en el tercer cuadrante; por tanto, el argumento de z 1 es J = 225 o .
Por tanto, el complejo es: z 1 = 2 2Ýcos225 o + isen225 o Þ
Para z 2
J
= arctg ||ba ||
el módulo es:
= arctg 13
r = Ý3Þ 2 + Ý?1Þ 2 = 10
y el argumento es:
(recuérdese que tomamos b y a siempre positivos, aunque sean negativos). Empleando una
calculadora, el ángulo debe ser aproximadamente 18.43 o o cualquiera de sus correspondientes: 161.57 o , 198.43 o o 341.57 o
en el resto de los cuadrantes. De los cuatro nos quedamos con 341.57 o , pues el punto que representa al complejo, Ý3, ?1Þ
está en el cuarto cuadrante.
Por tanto, el complejo es: z 2 = 10Ýcos341.57 o + isen341.57 o Þ
5Ejemplo: escribir en forma trigonométrica los complejos z 3 = ?2
y
z 4 = 3i.
Pasar a forma trigonométrica números complejos que en realidad son reales puros (como .z 3 ) o imaginarios puros (como
.z 4 ) es especialmente fácil:
EReales puros: el módulo de un real puro es él mismo (siempre con signo positivo aunque sea negativo), y sólo hay dos
posibles argumentos: 0 o si es positivo y 180 o si es negativo (pues recordemos que la parte real de un complejo se representa
en el eje de las X). Por tanto: z 3 = 2Ýcos180 o + isen180 o Þ.
EImaginarios puros: el módulo de un imaginario puro es el número que multiplica a la i (siempre con signo positivo
aunque sea negativo), y sólo hay dos posibles argumentos: 90 o si es positivo y 270 o si es negativo (pues recordemos que la
parte imaginaria de un complejo se representa en el eje de las Y). Por tanto: z 3 = 3Ýcos90 o + isen90 o Þ.
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
47
5Ejemplo: pasar a forma binómica el complejo en forma trigonométrica 5Ýcos45 o + isen45 o Þ
Basta operar:
5Ýcos45 o + isen45 o Þ = 5Ý
2
2
+
2
2
iÞ =
5 2
2
+
5 2
2
i
¬ Operaciones con complejos en forma trigonométrica
La forma trigonométrica es muy útil para multiplicar, dividir, elevar a potencia y sacar raíces de complejos.
 El producto de varios complejos es un nuevo complejo que tiene por módulos el producto de los módulos, y por
argumento, la suma de los argumentos (si sumados pasan de 360 o , vamos restando 360 o sucesivamente hasta que nos quede
un valor menor de éste: por ejemplo, 375 o equivale a 375 o ?360 o =15 o ).
 El cociente de dos complejos es un nuevo complejo que tiene por módulos el cociente de los módulos, y por
argumento, la diferencia de los argumentos (si al restarlos da un valor negativo, pasarlo a positivo sumando 360 o (por
ejemplo, ?10 o equivale a ?10 o + 360 o = 350 o ).
 Un complejo elevado a cierta potencia da como resultado otro cuyo módulo es el del primero elevado a esa potencia, y
su argumento es el del primer complejo multiplicado por el exponente de esa potencia.
 La raíz de un complejo es otro cuyo módulo es la raíz del primero, y cuyo argumento, K, se calcula por la fórmula:
K = J+360k
, donde J es el módulo del complejo del que queremos obtener su raíz, n es el índice de la raíz y k es un
n
número entero que va desde 0 a n ? 1, lo cual quiere decir que la raíz n de un complejo tiene n soluciones, una por cada
valor de k tomado. (Nota: si expresamos los ángulos en radianes, la fórmula mencionada es: .K = J+2^k
).
n
5Ejemplos. Sean los complejos z 1 = 2 2Ýcos225 o + isen225 o Þ
3
Calcular: z 1 6 z 2 ,
z1 / z2 ,
z 41 ,
z1
y
z 2 = 10Ýcos341.57 o + isen341.57 o Þ y .
z 1 6 z 2 = 2 2 10ÝcosÝ225 o + 341.57 o Þ + isenÝ225 o + 341.57 o ÞÞ = 4 5Ýcos566.57 o + isen566.57 o Þ = 4 5Ýcos206.57 o + isen206.57 o Þ
z 1 /z 2 =
2 5
5
ÝcosÝ225 o ? 341.57 o Þ + isenÝ225 o ? 341.57 o ÞÞ =
2 5
5
ÝcosÝ?116.57 o Þ + isenÝ?116.57 o ÞÞ =
2 5
5
Ýcos243.43 o + isen243.43 o Þ
z 41 = Ý2 2Þ 4 ÝcosÝ4 6 225 o Þ + isenÝ4 6 225 o ÞÞ = 64Ýcos900 o + isen900 o Þ = 64Ýcos180 o + isen180 o Þ
z 1 = 3 2 2 Ýcos 180 o+360k
+ isen 180 o+360k
Þ
3
3
respectivamente. Son: 2Ýcos60 o + isen60 o Þ
3
Las tres soluciones se obtienen dando a k los valores de 0, 1, 2,
2Ýcos180 o + isen180 o Þ
y
2Ýcos300 o + isen300 o Þ .
48
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Temas 13 y 15: Vectores
Vectores, módulo de un vector, suma y resta, multiplicación por un escalar, producto escalar, ángulo entre dos
vectores, producto vectorial, combinación lineal, dependencia e independencia lineal, base y sistema de
generadores
¡ Conceptos
¬ Un vector es un segmento orientado. En la figura siguiente se representan varios vectores. Todos ellos consisten en
segmentos orientados que parten del centro de coordenadas; cada uno de ellos es del tipo conocido como vector libre, el
que se trata en este curso.
Y
5
4
3
v(4,2)
2
1
X
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
t(-4,-2)
u(1,-13/5)
-3
-4
-5
v(2,-26/5)
Cada vector se simboliza por las coordenadas cartesianas de su extremo. Así, el vector v de la figura puede
representarse por el par de coordenadas Ý4, 2Þ.
En el caso de que nos den un vector indicando las coordenadas de su origen y su extremo lo reduciremos siempre a su
vector libre correspondiente. El procedimiento para ello es restar las coordenadas del extremo menos la del origen.
5Ejemplo: ¿cuál es el vector libre cuyas coordenadas del extremo son Ý2, 3Þ y las del origen Ý?2, 3Þ. Sol.: la primera
coordenada es 2 ? Ý?2Þ = 4, y la segunda es 3 ? 3 = 0. El vector libre es, pues, el Ý4, 0Þ y con éste es con el que normalmente
se trabajará.
¬ Vectores en el espacio: los vectores ejemplificados hasta ahora están todos en el plano, pero también podemos
considerar vectores en el espacio ”normal” (es decir, el de tres dimensiones, simbolizado habitualmente por R 3 ) o espacios de
más dimensiones (R 4 , R 5 ...). Por cada dimensión se necesita una coordenada para definir al vector. En el plano, la primera
coordenada se refiere a la x del sistema de coordenadas cartesiano; y la segunda a la y. En el espacio normal es necesaria
una tercera coordenada, llamada z, y así sucesivamente. Un vector en R 3 puede ser, por ejemplo, el Ý3, ?3, 12 Þ.
¬ Dirección de un vector es la recta sobre la que se apoya el vector; cada dirección tiene dos sentidos (que vienen
indicados por la punta de flecha de cada vector). Por ejemplo, los vectores v y t de la figura tienen igual dirección pero
distinto sentido.
¬ Módulo de un vector es la longitud de la flecha que lo representa, medida en la escala del sistema de coordenadas
correspondiente. Observando la figura anterior es fácil deducir, aplicando el teorema de Pitágoras, que el módulo del vector v
es:
v = 4 2 + 2 2 = 20.
En general, el módulo de un vector v en el plano cuyas coordenadas sean Ýv 1 , v 2 Þ
viene dado por la expresión:
v
= v 21 + v 22
El modulo de un vector v en el espacio cuyas coordenadas sean Ýv 1 , v 2 , v 3 Þ se calculará por :
v
= v 21 + v 22 + v 23
El módulo de un vector siempre es positivo, pues es la medida de una longitud. Así, el módulo del vector t es
(compruébese).
20
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
49
¬ Vectores opuestos: dos vectores con el mismo módulo e igual dirección pero diferentes sentidos se dice que son
opuestos. En la figura anterior, v y t son opuestos. En la práctica, dado cualquier vector, su opuesto es otro que tiene las
mismas componentes pero cambiadas de signo. Así por ejemplo, el opuesto de Ý?2, 3Þ es Ý2, ?3Þ
y el opuesto de Ý?1, 0, 1Þ
es el Ý1, 0, ?1Þ.
¬ Vectores unitarios: son aquéllos cuyo módulo es 1. Por ejemplo, los vectores Ý0, 1Þ,
Ý
3
2
, ? 12 Þ
y Ý0, 0, 1Þ
son
unitarios (compruébese).
¡ Operaciones con vectores
¬ Suma:(o resta): basta sumar (o restar) las componentes respectivas entre sí.
5Ejemplo: Sean los vectores u = Ý?1, ?3Þ;
u + v = Ý?1, ?3Þ + Ý2, ?5Þ =
1, ?8
u ? v = Ý?1, ?3Þ ? Ý2, ?5Þ =
?3, 2
v = Ý2, ?5Þ; sumarlos y restar u ? v y v ? u :
v ? u = Ý2, ?5Þ ? Ý?1, ?3Þ = Ý3, ?2Þ
Geométricamente dos vectores pueden sumarse contruyendo con ellos un paralelogramo como indica la figura siguiente.
La resta puede considerarse una suma; efectivamente, la resta de dos vectores v ? w es lo mismo que la suma v + ?w
(es
decir, la suma de v con el opuesto de w).
v +w
v
v -w
w
-w
¬ Multiplicación por un escalar (un número real): basta multiplicar el escalar por cada una de las componentes del
vector. Por ejemplo, 3Ý2, ?5Þ = 6, ?15 .
5Ejemplo: Efectuar la siguiente operación: aÝ2, ?5, 1Þ ? 3 2, ?1, 1
Ý2a, ?5a, aÞ ? 6, ?3, 3 = 2a ? 6, ?5a + 3, a ? 3
¬ Producto escalar: Sean los vectores u = Ýu 1 , u 2 , u 3 Þ
y
v
y
Sol.:.aÝ2, ?5, 1Þ ? 3 2, ?1, 1
=
v = Ýv 1 , v 2 , v 3 Þ, siendo sus módulos, respectivamente
u
y siendo J el ángulo que forman ambos. El producto escalar de estos dos vectores, u 6 v , da un escalar (un
número real), y puede (y en ocasiones debe) calcularse por dos métodos diferentes:
u 6 v = u 1 v1 + u 2 v2 + u 3 v3
u 6 v =
u
v cosJ
De las dos expresiones anteriores puede deducirse, igualando los segundos miembros y despejando cosJ :
cosJ = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3
u
v
Lo que permite conocer el ángulo J formado por dos vectores.
5Ejemplo: ¿Qué ángulo forman los vectores Ý1, 0, 0Þ y
cosJ =
u 1 v1 +u 2 v2 +u 3 v3
|u || v |
=
160+061+060
161
= 1;
0, 1, 0
?
por lo tanto el ángulo es 90 o .
Los dos vectores del ejemplo anterior, junto al vector Ý0, 0, 1Þ, forman la llamada base canónica del espacio (más tarde se
definirá qué es una base). Como puede comprobarse fácilmente, los tres son unitarios. Se les suele llamar, respectivamente,
i , j y k.
¬ Producto vectorial: Sean los vectores u = Ýu 1 , u 2 , u 3 Þ y v = Ýv 1 , v 2 , v 3 Þ. y sean i , j , k los vectores que forman la
base canónica del espacio, definidos en el ejemplo anterior. El producto vectorial de estos dos vectores, u × v , da un vector
que se obtiene resolviendo el siguiente determinante:
50
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i
j
k
u1 u2 u3
v1
v2
v3
5Ejemplo: Calcular el producto vectorial de los vectores: Ý1, ?2, 1Þ
i
j
1
?2 1
3
3
y
Ý3, 3, 1Þ :
k
= ?5 i + 2 j + 9k
1
Como se observa, se obtiene un vector, aunque presentado en forma de suma de tres vectores. Para ponerlo en
coordenadas cartesianas podemos sustituir los vectores unitarios i , j , k por sus coordenadas cartesianas:
?5 i + 2 j + 9k = ?5Ý1, 0, 0Þ + 2Ý0, 1, 0Þ + 9Ý0, 0, 1Þ =
?5, 2, 9
Como se puede observar, las coordenadas cartesianas de un vector son, simplemente, los números que multiplican a los
vectores de la base canónica i , j , k .
5Ejemplos: Expresar en coordenadas cartesianas el vector
Expresar usando la base canónica el vector
u = 2 i ? j ? 3k . Sol.:
v = Ý1, 0, ?2Þ
Sol.:
u = Ý2, ?1, ?3Þ
v = i ? 2k .
ø Interpretación geométrica del producto vectorial:
El vector producto vectorial tiene siempre como dirección la perpendicular al plano que forman los dos vectores que se
están multiplicando, y su sentido lo indica la llamada ley del sacacorchos: es el que seguirá un sacacorchos clavado en el
origen común de los dos vectores (O) cuando se hace girar para llevar el primer vector sobre el segundo por el camino más
corto, según se observa en la figura:
A
u
O
B
C
v
u ×v
Otra propiedad interesante del producto vectorial es que el módulo del vector producto (el vector nombrado ”u × v ” en
la figura anterior) coincide con el área del paralelogramo formado por los vectores que se están multiplicando (paralelogramo
OABC). Esto es útil, por ejemplo, para calcular el área del triángulo formado por dos vectores (triángulo OAC), que será la
mitad de la del paralelogramo.
5Ejemplo: Calcular el área del triángulo delimitado por los puntos del espacio Ý2, 1, 3Þ, Ý1, ?1, 0Þ y Ý0, 1, 1Þ. Ayuda.: uno
de los puntos se toma como referencia (cualquiera) y de él se hacen partir dos vectores, cuyos extremos son los otros dos
puntos. Se calculan las coordenadas de los dos vectores libres (restando las de los extremos correspondientes menos la del
origen común, para cada vector) y se efectúa el producto vectorial de esos dos vectores, que dará un nuevo vector. Su módulo
dividido por dos es el área del triángulo delimitado por ambos vectores.
øDe lo dicho sobre la ”ley del sacacorchos” y de la observación de la figura anterior debe quedar claro que el producto
vectorial no es conmutativo; concretamente, se dice que es anticonmutativo, porque si el producto u × v da (digamos) el
vector w el producto v × u dará ? w, es decir, el opuesto.
¡ Base de un espacio vectorial
¬ Combinación lineal de vectores: una combinación lineal de dos o más vectores es la suma de esos vectores
previamente multiplicados por un número (que puede ser el 1 y que puede ser negativo). Así, dado los vectores Ýu 1 , u 2 , u 3 Þ y
Ýv 1 , v 2 , v 3 Þ, una combinación lineal de ambos es:
aÝu 1 , u 2 , u 3 Þ + bÝv 1 , v 2 , v 3 Þ
donde a y b pueden ser positivos o negativos y valer cualquier número real, incluido el 1.
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
51
5Ejemplo: Hallar dos combinaciones lineales cualesquiera de los vectores Ý1, 2, ?1Þ y Ý0, 2, 2Þ. Sol.: una puede ser
Ý1, 2, ?1Þ + Ý0, 2, 2Þ = 1, 4, 1 ;
otra: 3Ý1, 2, ?1Þ ? Ý0, 2, 2Þ = 3, 4, ?5 ...
Se dice que el vector 1, 4, 1
es una
combinación lineal de los vectores Ý1, 2, ?1Þ y Ý0, 2, 2Þ; y que el vector 3, 4, ?5
es otra combinación lineal de los vectores
Ý1, 2, ?1Þ y Ý0, 2, 2Þ.
Cuando tenemos tres vectores y uno de ellos es combinación lineal de los otros dos, el determinante formado con los tres
siempre es cero. Lo comprobaremos con uno de los ejemplos anteriores:
1 2 ?1
0 2 2
= 0
1 4 1
Se dice entonces que esos tres vectores no forman una base.
¬ Base y sistema de generadores: una base vectorial es un conjunto de vectores a partir de la cual, por combinación
lineal, se puede construir cualquier otro.
Para empezar, tres vectores en el espacio de tres dimensiones, R 3 , forman una base cuando el determinante formado con
los tres es distinto de cero. Los tres vectores del determinante anterior no forman una base, pero sí la forman los siguientes:
Ý1, ?2, ?2Þ, Ý3, 0, 1Þ, Ý1, 1, 5Þ ya que su determinante es distinto de cero:
1 ?2 ?2
3 0
1
1 1
5
® 0 (concretamente = 21Þ
(Inversamente, siempre que el determinante formado con tres vectores sea distinto de cero puede afirmarse que no se
puede encontrar una combinación lineal entre los tres, es decir, que el primero no es combinación lineal del segundo y el
tercero, ni el segundo lo es del primero y el tercero, etc.).
_________________
Otra forma alternativa, más elaborada, de comprobar que tres vectores en el espacio tridimensional forman una base es
resolver con ellos un sistema como el siguiente (que ejemplificamos con los tres vectores anteriores):
VÝ1, ?2, ?2Þ + WÝ3, 0, 1Þ + XÝ1, 1, 5Þ = Ý0, 0, 0Þ
Haciendo operaciones en él:
ÝV, ?2V, ?2VÞ + Ý3W, 0, WÞ + ÝX, X, 5XÞ = Ý0, 0, 0Þ;
ÝV + 3W + X, ?2V + X, ?2V + W + 5XÞ = Ý0, 0, 0Þ
expresión ésta que puede plantearse así de forma equivalente (como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas):
V + 3W + X = 0
? 2V + X = 0
V + W + 5X = 0
Si el sistema (que es homogéneo) resulta ser compatible y determinado, y por tanto con solución única V = 0, W = 0,
X = 0, entonces los tres vectores forman una base. En este caso efectivamente la única solución es: V = 0, W = 0, X = 0
(compruébese) y por tanto los tres vectores dichos constituyen una base en el espacio R 3 .
_________________
En general, tres vectores en el espacio tridimensional, R 3 , cuyo determinante es distinto de cero se dice que son
linealmente independientes y forman una base.
En el plano, R 2 , dosvectores cuyo determinante es distinto de cero son linealmente independientes y forman una base.
Generalizando, en un espacio n-dimensional, R n , n vectores cuyo determinante sea distinto de cero forman una base (y
son linealmente independientes).
Cada tipo de espacio vectorial (R 2 , R 3 , etc.) puede tener infinitas bases.
Debe quedar muy claro que una base la forman tantos vectores como dimensiones tenga el espacio vectorial que
tratemos: 2 para el plano, 3 para el espacio tridimensional, cuatro para el tetradimensional, etc. Por ello, nunca podremos
decir que cuatro vectores forman una base en el espacio trimensional, o que tres vectores forman una base en el plano. Dados
cuatro vectores en el espacio trimensional, si tres de ellos forman una base (es decir, son linealmente independientes entre sí),
el cuarto debe ser necesariamente dependiente de estos tres, es decir, podrá escribirse como una combinación lineal de estos
tres. Por ejemplo, sean los tres vectores Ý1, ?2, ?2Þ, Ý3, 0, 1Þ, Ý1, 1, 5Þ, que hemos demostrado más arriba que forman una base;
un vector cualquiera, por ejemplo, el Ý5, 5, 5Þ se puede construir utilizando esta base, mediante una combinación lineal:
Ý5, 5, 5Þ = aÝ1, ?2, ?2Þ + bÝ3, 0, 1Þ + cÝ1, 1, 5Þ
52
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Operando y planteando un sistema de ecuaciones de tres incógnitas:
a + 3b + c = 5
? 2a + c = 5
? 2a + b + 5c = 5
20 , c = ? 5 . Es decir, hemos demostrado que el vector Ý5, 5, 5Þ puede construirse a partir de la base dada.
resulta a = ? 20
,
b
=
7
7
7
Ese es el sentido de base: un conjunto de vectores que permite construir cualquier otro. Sin embargo, los vectores
Ý1, 2, ?1Þ, Ý0, 2, 2Þ, Ý1, 4, 1Þ, cuyo determinante es cero, como vimos más arriba, no forman una base, y el vector Ý5, 5, 5Þ no podrá
construirse como combinación lineal de ellos. Tratemos de hacerlo:
Ý5, 5, 5Þ = aÝ1, 2, ?1Þ + bÝ0, 2, 2Þ + cÝ1, 4, 1Þ
Con esa expresión planteamos el sistema:
a+c = 5
2a + 2b + 4c = 5
? a + 2b + c = 5
que es incompatible (es decir, no tiene solución) (compruébese)..
A veces es conveniente considerar una base y uno o más vectores que sean combinación lineal de los que forman la
base. Al conjunto se le llama sistema de generadores. Por ejemplo, forman un sistema de generadores los vectores
Ý1, ?2, ?2Þ, Ý3, 0, 1Þ, Ý1, 1, 5Þ, Ý5, 5, 5Þ, ya que los tres primeros forman una base. Es decir, un sistema de generadores puede estar
formado por un número indefinido de vectores, pero un número determinado de ellos (según la dimensión del espacio que
consideremos), debe formar una base.
¡ Cambio de base
La base más sencilla en el espacio tridimensional es la formada por los vectores unitarios i , j , k , definidos anteriormente.
Se llama base canónica:
i = Ý1, 0, 0Þ
, j = Ý0, 1, 0Þ,
k = Ý0, 0, 1Þ. Cuando nos dan las coordenadas de un vector, por
ejemplo v = Ý3, 1, ?7Þ ello significa que se puede construir mediante la base canónica (es decir, como combinación lineal de
i , j , k ) así:
v = 3 i + j ? 7k
(lo que a su vez viene a decir que el vector v se puede construir multiplicando el i por 3, sumándole el j y, al vector
resultante de esta suma, restándole el vector 7k ).
Ahora bien, podemos plantearnos si el vector v podemos expresarlo mediante otra suma de tres vectores que no sean los
canónicos. Por supuesto que sí, siempre que constituyan una base. Supongamos que los vectores r , s , t forman una base
distinta de la canónica. Entonces, el vector v anterior, con toda seguridad podrá expresarse también así:
v = ar + bs + c t
(quedando por determinar los valores de a, b y c) y de la misma manera que Ý3, 1, ?7Þ son las coordenadas de v en
base canónica, Ýa, b, cÞ se dice que son las coordenadas de v en la base formada por los vectores r , s , t . ¿Cómo calcular los
valores de a, b y c? Resolveremos el problema con un ejemplo concreto y luego daremos una fórmula general. Supongamos
que r = Ý2, 0, 1Þ, s = Ý?2, ?1, ?1Þ, t = Ý0, 1, 3Þ. Entonces podemos escribir:
v = aÝ2, 0, 1Þ + bÝ?2, ?1, ?1Þ + cÝ0, 1, 3Þ
Como también se cumple que:
v = 3Ý1, 0, 0Þ + Ý0, 1, 0Þ ? 7Ý0, 0, 1Þ = Ý3, 1 ? 7Þ podemos igualar:
aÝ2, 0, 1Þ + bÝ?2, ?1, ?1Þ + cÝ0, 1, 3Þ = Ý3, 1 ? 7Þ
operando:
2a ? 2b, ?b + c, a ? b + 3c
= Ý3, 1, ?7Þ
con lo que podemos plantear el sistema:
2a ? 2b = 3
?b+c = 1
a ? b + 3c = ?7
cuya solución nos da las nuevas coordenadas de v en la nueva base: Ý? 73 , ? 23
, ? 17
Þ
6
6
En general, podemos emplear la siguiente fórmula. Sean Ýx, y, zÞ las coordenadas en base canónica de un determinado
vector v . La relación que existe entre estas coordenadas y las coordenadas Ýa, b, cÞ del mismo vector expresadas en la base
r = Ýr 1 , r 2 , r 3 Þ
, s = Ýs 1 , s 2 , s 3 Þ,
t = Ýt 1 , t 2 , t 3 Þ es:
Ýx, y, zÞ = aÝr 1 , r 2 , r 3 Þ + bÝs 1 , s 2 , s 3 Þ + cÝt 1 , t 2 , t 3 Þ
(fórmula que debería memorizarse para poder resolver problemas de este tipo rápidamente sin tener que recurrir al método
anterior).
5Ejemplo: Las coordenadas de un vector en la base Ý3, 3, 3Þ, Ý1, 2, 3Þ, Ý0, 0, ?1Þ son Ý1, 1, 2Þ ¿cuáles son sus coordenadas en
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
53
base canónica?
En la expresión anterior, las incógnitas no son ahora a, b y c,
sino x, y y z:
Ýx, y, zÞ = 1Ý3, 3, 3Þ + 1Ý1, 2, 3Þ + 2Ý0, 0, ?1Þ
De aquí, x = 4,
y = 5,
z = 4 es decir,las coordenadas del vector en base canónica son Ý4, 5, 4Þ.
¬ Interpretación geométrica del cambio de base
En la siguiente figura puede interpretarse geométricamente el significado de un cambio de base:
v
s
r
j
i
v es un vector en el plano cuyas coordenadas (como se deduce fácilmente de la observación de la figura), son Ý7, 5Þ, lo
que, según lo visto, puede interpretarse de dos maneras totalmente equivalentes: su extremo está en el punto Ý7, 5Þ del
sistema de coordenadas cartesiano, o bien el vector v puede expresarse como la suma de 7 veces el vector unitario i más 5
veces el vector unitario j (ambos forman la base canónica), es decir:
v = 7i +5j
Si queremos averiguar cuáles son sus coordenadas en la base Ý r , s Þ, en realidad lo que nos preguntamos es por qué
numeros a y b hay que multiplicar los vectores de la base Ý r , s Þ para que la operación ar + bs nos dé v . Empleamos la
fórmula vista anteriormente, aplicada ahora al plano:
Ýx, yÞ = aÝr 1 , r 2 Þ + bÝs 1 , s 2 Þ
es decir: Ý7, 5Þ = aÝ5, 1Þ + bÝ1, 4Þ
donde Ý5, 1Þ y Ý1, 4Þ son las cordenadas de los vectores r y s , como fácilmente se
deduce de la figura. Planteando la ecuación anterior:
7 = 5a + b
5 = a + 4b
encontramos la solución: a = 23
, b = 18
, lo que quiere decir que hay que multiplicar el vector s por 18
(es decir,
19
19
19
aproximadamente 0.947 (casi 1), como puede verse en la figura) y el r por aproximadamente 1. 210, y luego sumar, para
obtener el vector v .
54
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Tema 16: La recta
Ecuación de la recta, vector de dirección, ángulo entre rectas, distancia entre una recta y un punto, posición relativa
de dos rectas,
¡ La ecuación y = mx + n
¬ Consideremos la función general y = mx + n. (donde hemos escrito y en vez de fÝxÞ por comodidad) y dos ejemplos
particulares de la misma: y = 15 x ? 4.
y = ?3x + 2 .
Si representamos gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas ambas funciones (dando valores arbitrarios a x
y calculando los correspondientes de y –con tres valores es suficiente–) podemos comprobar que uniendo los puntos
obtenidos para cada función se forman sendas rectas:
y= -3x+2
x
Y
y
6
0
1
2
2
-1
-4
4
2
(1,1/5)
-4
-2
y
0
5
-5
-4
-3
-5
2
4
X
-2
y = (1/5)x-4
x
0
(1,-3)
-4
-6
En la expresión y = mx + n. el número real m se llama ”pendiente de la recta”, y n es la llamada ”ordenada en el
origen”:
–la pendiente de la recta, m, nos informa de su grado de inclinación; mirando la recta de izquierda a derecha, si ”va
subiendo” tiene pendiente positiva; si ”va bajando”, negativa, y si es paralela al eje de las Y (es decir, ni sube ni baja) la
pendiente es cero.
–y la ordenada en el origen, n, es el valor de la coordenada y en el punto de corte de la recta con el eje de las Y.
En el gráfico anterior, una de las rectas tiene pendiente positiva (m =
pendiente negativa (m = ?3) y corta al eje de las Y en y = 2.
1
5
) y corta al eje de las Y en y = ?4; la otra tiene
¬ Un concepto muy importante de una recta es su llamado vector de dirección, que es cualquier vector que se apoye en
la recta (una recta tiene, pues, infinitos vectores de dirección ,pero todos ellos tienen coordenadas proporcionales). Dada la
ecuación general de la recta y = mx + n (ecuación que se llama implícita) la forma más fácil de obtener uno de sus vectores
directores es tomando el número que multiplica a y (que si la ecuación está expresada en esta forma siempre es 1) y el que
multiplica a x, es decir: (1, m).
Los vectores de dirección de las rectas anteriores son:
recta y =
1
5
x ? 4; su vector de dirección es: Ý1, 15 Þ [o cualquier múltiplo como Ý5, 1Þ, Ý10, 2Þ, etc.]
recta y = ?3x + 2; su vector de dirección es Ý1, ?3Þ [o cualquier múltiplo como Ý?1, 3Þ, Ý 13 , ?1Þ, etc.]
Otro ejemplo: un vector de dirección de la recta y = 4 (que es como escribir y = 0x + 4Þ es el Ý1, 0Þ.
Como m es la pendiente, puede memorizarse lo siguiente:
¾
un vector de dirección de una recta tiene como primera coordenada 1 y como segunda la pendiente (m);
Ý1, mÞ
¡ La ecuación Ýx, yÞ = Ýp 1 , p 2 Þ + tÝv 1 , v 2 Þ
(ecuación paramétrica)
es decir
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
55
¬ Otra forma de expresar la ecuación de una recta es la siguiente:
Ýx, yÞ = Ýp 1 , p 2 Þ + tÝv 1 , v 2 Þ
donde Ýp 1 , p 2 Þ son las coordenadas de un punto cualquiera por el que pase la recta y Ýv 1 , v 2 Þ son las coordenadas de un
vector director de la misma; t es un parámetro (es decir, se le puede dar cualquier valor, y precisamente es dándole valores
arbitrarios como podemos conocer las coordenadas de los infinitos puntos Ýx, yÞ por los que pasa la recta.
Sea, por ejemplo, la ecuación paramétrica Ýx, yÞ = Ý?1, 2Þ + tÝ2, 0Þ. Podemos calcular puntos por los que pasa dando
valores arbitrarios a t. Así, si t = 1 se obtiene el punto Ýx, yÞ = Ý?1, 2Þ + tÝ2, 0Þ = = Ý?1, 2Þ + 1Ý2, 0Þ = Ý?1, 2Þ + Ý2, 0Þ = Ý1, 2Þ. Otro
punto podemos obtenerlo, por ejemplo, haciendo t = 2: en ese caso Ýx, yÞ = 3, 2 . Y así podemos obtener los infinitos
puntos de la recta.
La ecuación paramétrica suele expresarse más bien como dos ecuaciones, ya que Ýx, yÞ = Ýp 1 , p 2 Þ + tÝv 1 , v 2 Þ es equivalente
a:
x = p 1 + tv 1
y = p 2 + tv 2
¡ Problemas típicos
¬ Cómo pasar de paramétricas a implícita y viceversa
»Para pasar de paramétricas a implícita basta eliminar la t por cualquier método (normalmente despejando t en una
ecuación y sustituyendo en la otra o, en caso de que sea fácil, por eliminación directa de la t aplicando el sistema de
reducción de ecuaciones).
5Ejemplo: Dadas las ecuaciones paramétricas
x = 1 + 2t
y = 3 + 4t
obtener la implícita. Despejando t en la primera: t =
, y sustituyendo ese valor en la segunda obtenemos:
y = 3 + 4 x?1
, es decir: y = 2x + 1
También se puede hacer por reducción, multiplicando la primera por ?2 y
2
sumando a la segunda el resultado:
x?1
2
? 2x = ?2 + ?4t
y = 3 + 4t
Al sumar miembro a miembro queda : y ? 2x = 1
es decir : y = 2x + 1
»Para pasar de implícitas a paramétricas basta hacer x = t (y esa es la primera paramétrica) y sustituir en la ecuación.(con
lo que se obtiene la segunda paramétrica)
5Ejemplo: Pasar a paramétricas la ecuación implícita
y = ?2x + 4.
Las paramétricas son:
x= t
y = ?2t + 4
Hay que tener en cuenta que una recta dada tiene infinitas ecuaciones paramétricas. Para obtener otra se da a x
cualquier valor que esté en función del parámetro t y se sustituye ese valor en la ecuación. Por ejemplo, otras paramétricas
de la ecuación implícita anterior son:
x = t+1
y = ?2t + 2
¿Cómo comprobar si dos pares de ecuaciones paramétricas como los dos anteriores corresponden a la misma recta? La
forma más fácil es convertir ambos pares de paramétricas en las implícitas correspondientes y ver si coinciden.
¬ Cómo saber si un punto está contenido en una recta
»Si la recta está en implícitas basta sustituir la coordenada x del punto por la variable x de la ecuación y la coordenada
y del punto por la variable y de la ecuación; si la igualdad es válida, el punto está contenido en la recta.
5Ejemplo: El punto Ý2, 3Þ ¿está contenido en la recta y = x + 1 ? Sustituyendo:
la recta.
3 = 2 + 1;
El punto Ý?1, 5Þ ¿está contenido en la recta y = x + 1 ? Sustituyendo: 5 = ?1 + 1
válida, el punto no está contenido en la recta.
5 = 0
3 = 3
Por tanto sí está en
Como esa igualdad no es
»Si la recta está en paramétricas conviene pasarla primero a implícita.
¬ Cómo conocer la ecuación implícita de una recta que pasa por un punto conocido PÝp 1 , p 2 Þ y cuyo vector de
dirección Ýv 1 , v 2 Þ también se conoce
Resolviendo la siguiente igualdad y despejando la y:
56
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x ? p 1 v1
y ? p 2 v2
= 0
5Ejemplo: una recta pasa por el punto Ý1, ?1Þ y su vector de dirección es Ý3, 2Þ; ¿cuál es su ecuación implícita?
x?1 3
y+1 2
Es decir, resolviendo el determinante:
Ýx ? 1Þ2 ? Ýy + 1Þ3 = 0
= 0
de donde 2x ? 2 ? 3y ? 3 = 0
y por tanto:
y=
2
3
x?
5
3
¬ Cómo conocer la ecuación implícita de una recta que pasa por dos puntos conocidos PÝp 1 , p 2 Þ y QÝq 1 , q 2 Þ
Restando las coordenadas de ambos puntos una a una (en cualquier orden) se obtiene un vector de dirección; después
con el valor de éste y de uno cualquiera de los puntos se aplica el métoo anterior.
5Ejemplo: una recta pasa por los puntos Ý2, ?2Þ y Ý3, 0Þ; ¿cuál es su ecuación implícita?
Un vector de dirección es el Ý2 ? 3, ?2 ? 0Þ = Ý?1, ?2Þ
método anterior.
Con éste vector director y cualquiera de los puntos se aplica el
¬ Cómo conocer la ecuación implícita de una recta que pasa por un punto conocido PÝp 1 , p 2 Þ si se conoce su
pendiente m
Mediante la pendiente puede calcularse un vector de dirección, que será Ý1, mÞ. Con este dato y el valor del punto
conocido y aplicando el método visto podemos conocer la ecuación.
5Ejemplo: una recta pasa por el punto Ý 25 , ?4Þ y tiene por pendiente ?10; ¿cuál es su ecuación implícita?
Un vector de dirección es el Ý1, ?10Þ. Con éste y el punto se sabe la ecuación aplicando el método visto.
»Otra forma: La ecuación de la recta será del tipo y = ?10x + n
Para calcular n se sutituyen las variables x y y por el
punto por el que se sabe que pasa la recta, que en este caso es el Ý 25 , ?4Þ:
?4 = ?10Ý 25 Þ + nö n = 0
Por tanto, la ecuación de la recta es y = ?10x
¬ Cómo saber si dos rectas son paralelas o se cortan
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente; si no, se cortan. En el caso de que tengan pendientes inversas y
opuestas, son perpendiculares.
5Ejemplo: las rectas y = 2x ? 1
y
y = 2x + 6
son paralelas (la pendiente de ambas es 2); las rectas y = 2x ? 1
y
y = ? 12 x + 2
son perpendiculares (si la de una de ellas la llamamos m se puede comprobar que la otra es ? 1m ; eso es lo que
significa ”ser inversas y opuestas”); y las rectas y = 2x ? 1
y
y = ?2x ? 1
no son ni paralelas ni perpendiculares
¬ Cómo saber el valor del ángulo que forman dos rectas
Salvo en el caso de que sean paralelas o perpendiculares, en que el valor del ángulo es evidente (0 y 90 grados,
respectivamente) para calcular el ángulo en otros casos se efectúa el producto escalar de los vectores de dirección de ambas
rectas; de este modo puede saberse el cosJ y de ahí el valor de J (como se explicó en el capítulo de vectores).
5Ejemplo: ¿qué ángulo forman las rectas
y = 2x ? 1
y
y = ? 12 x + 2? Sus vectores directores son, respectivamente,
Ý1, 2Þ y Ý1, ? 12 Þ. Su producto escalar es: Ý1, 2Þ 6 Ý1, ? 12 Þ = 0.
Como el producto escalar también se calcula por:
5
5 54 cosJ
(siendo 5 y
los módulos de ambos vectores) y ese producto debe dar 0 en este caso, es decir:
4
5
5
4
cosJ = 0
de ahí se concluye que cosJ = 0
y por tanto J = 90 o (rectas perpendiculares), cosa que podía haberse deducido
desde el principio porque se ve que estas dos rectas tienen pendientes inversas y opuestas (2 y ? 12 ), y por lo tanto son
perpendiculares.
¬ Un caso particular y ” extraño” de ecuación de una recta:
x = a
Hay un tipo de rectas ”especial”, pues tienen una ecuación ”anormal”; son las del tipo x = a siendo a un número real
cualquiera. Estas rectas son siempre paralelas al eje de las Y y cortan al de las X en el punto x = a.
Su vector de
dirección es el Ý0, 1Þ (es decir, el vector unitario canónico j ). La pendiente tiende a infinito.
Otras que pueden parecer ”extrañas” son unas que tienen la forma y = b, pero estas últimas son completamente
normales. Equivalen a y = 0x + b, por lo que su pendiente es 0 y por lo tanto su vector de dirección es el Ý1, 0Þ, (es decir,
el vector unitario i en el plano, según vimos en el tema de vectores). Lógicamente son paralelas al eje X y cortan al Y en
el punto de coordenada y = b.
¬ Punto de corte de dos rectas
Se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones planteado con ambas. Si el sistema no tiene solución es que las rectas
no se cortan (son paralelas); si tiene infinitas soluciones es que son la misma.
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
5Ejemplo: ¿en qué punto se cortan las rectas y = 2x + 1
y
y = ?3x.
Planteamos el sistema:
y = 2x + 1
cuya solución es x = ? 15 , y =
3
5
y = ?3x
y por tanto el punto de corte, es el Ý? 15 , 35 Þ .
57
58
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Temas 18, 19 y 22: Sucesiones, límite de sucesiones; introducción al
límite de funciones
Sucesiones, límite de sucesiones, el número e, propiedades de los límites; límite de funciones
¡ Sucesiones y límite de sucesiones
¬ A veces las sucesiones de números siguen una ley de formación. Por ejemplo, en la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, 36... cada
término es el cuadrado del lugar que ocupa. Se dice que término general a n de esa sucesión es a n = n 2 . El término
general de una sucesión nos permite calcular cualquier término de ésta sabiendo el lugar que ocupa.
a5
5Ejemplo: Sea la sucesión cuyo término general es a n =
5
= 5?1
= 54
n
n?1
; ¿cuál es el quinto término?:Basta sustituir n por 5 :
¬ En ocasiones queremos saber a cuánto se acerca el término de la sucesión cuando n se hace tan grande como
queramos, es decir, cuando n tiende a infinito. Por ejemplo, en la sucesión a n = 1n a medida que vamos aumentando n
nos vamos acercando a 0. Efectivamente, los primeros términos de esa sucesión son: 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 ..., que escritos en
números decimales son: 1.000, 0.500, 0.333, 0.250, 0.200, 0.166, 0.143, 0.125... Como se ve, a medida que avanzamos en la
serie nos vamos acercando más a cero (el término 1000, por ejemplo, ya vale 0.001). Se dice que el límite de la sucesión
a n = 1n es cero, o bien, que la sucesión a n = 1n tiene por límite cero, o que la sucesión a n = 1n tiende a cero cuando n
tiende a infinito. Todo ello se expresa simbólicamente así:
lim 1n = 0
n¸K
¬ Propiedades de los límites: las propiedades más importantes de los límites son que el límite de una suma (o resta) es
la suma (o resta) de los límites; que el límite de un producto (o cociente) es el producto (o cociente) de los límites y que el
límite de una potencia es el límite de la base elevado al límite del exponente.
¬ Cálculos típicos de límites: veamos algunos ejemplos típicos de problemas de límites, y cómo se resuelven:
5 lim
n¸K
Se trata del límite del cociente de dos polinomios. Al sustituir n por K (recordar que K elevado a una
3n 3 +2n
2n 3 ?1
potencia es K y que K multiplicado o dividido por cualquier número finito es K) nos queda KK , valor que es
indeterminado. Indeterminado quiere decir que ese cociente puede dar cualquier número real; e incluso K; todo depende de
cómo son las sucesiones numerador y denominador en ese caso. Para resolver la indeterminación se divide arriba y abajo por
la potencia más alta de n, que aquí es n 3 :
lim
n¸K
3n 3 +2n
2n 3 ?1
= lim
n¸K
3n 3
n3
2n 3
n3
+
2n
n3
?
1
n3
= lim
n¸K
3+
2?
2
n2
1
n3
=
3
2
(resultado al que hemos llegado teniendo en cuenta que el límite de
2
n2
y de
1
n3
es 0 (pues estamos dividiendo números finitos entre K; pensar en que por ejemplo diez caramelos divididos entre infinitos
niños toca prácticamente a cero caramelos por niño).
En la práctica este tipo de problemas se resuelve así: si el polinomio numerador tiene mayor grado que el denominador,
el límite es K; si es al revés, el límite es 0, y si ambos tienen el mismo grado, el resultado es el cociente entre los
coeficientes de los términos de grado más alto arriba y abajo.
5 lim
n2 ? 3 ? n2 + n + 1
n¸K
Al sustituir n por K nos queda (puesto que la raíz de K es K) K ? K, valor que es
indeterminado (puede dar cualquier número, e incluso tender a K, dependiendo de las sucesiones que se estén restando). Para
resolver este tipo de indeterminaciones es útil multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión dada:
lim
n 2 ? 3 ? n 2 + n + 1 = lim
n¸K
n¸K
= lim
n¸K
anterior
?n?4
.
n 2 ?3 + n 2 +n+1
? nn ?
lim
n¸K
n2
n2
?
3
n2
+
Ý n 2 ?3 ? n 2 +n+1 ÞÝ n 2 ?3 + n 2 +n+1 Þ
Ý n 2 ?3 + n 2 +n+1 Þ
Si sustituimos n por K nos dará
4
n
n2 + n
n2
n2
+
1
n2
=
?1
1+1
= ? 12
= lim
n¸K
K,
K
n 2 ?3?Ý n 2 +n+1 Þ
n 2 ?3 + n 2 +n+1
=
indeterminación que resolvemos como se explicó en el ejemplo
[(hemos dividido arriba y abajo por la potencia más alta; ahora bien, la
potencia más alta abajo es n (no n 2 , porque al efectuar la raíz obtendríamos n), pero al dividir la raíz por n, este valor
36
entra dentro de ella como n 2 (de la misma manera que, por ejemplo
= 36
].
3
32
5lim
1+
n¸K
2
n2
3n
Este es un límite del tipo llamado ”del número e”. Para resolverlo hemos de saber que
lim
1 + 1n
n¸K
n
= e
.
En estos problemas se trata de hacer manipulaciones algebraicas que acerquen la expresión pedida a la del número e,
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
59
como se verá a continuación, y de tener en cuenta que el límite de una potencia es el límite de la base elevado al límite del
exponente:
lim
1+
n¸K
3n
2
n2
lim
1+
n¸K
n2
2
1
= lim
1+
n¸K
6 3n6
2
n2
n2
2
2
2
n2
2
=
3n
3n
= lim
1+
n¸K
lim
1+
n¸K
1
n2
2
n2
2
n2
2
3n6
3n6
= lim
1+
n¸K
1
2
n2
lim 3n6
= e n¸K
2
n2
1
n2
2
n2
2
6
2
n2
=
= e0 = 1
¡ Límite de funciones
Un concepto relacionado con el de límite de sucesiones es el de límite de funciones. Desde un punto de vista operativo
muchos límites de funciones se resuelven por los mismos métodos que los de sucesiones. Ahora bien, al hablar de funciones
tenemos que introducir el concepto de límite lateral y considerar que la variable x puede tender a infinito o a cualquier
número real. Para que el límite exista realmente, los dos límites laterales que cabe y deben tenerse en cuenta (excepto
cuando x ¸ K o x ¸ ?K) deben coincidir; caso contrario, no existe el límite. Todo esto lo veremos mejor con ejemplos.
x2 ?4
x¸2 x?2
5 lim
Al sustituir x por 2 en la función cuyo límite estamos calculando (que es fÝxÞ =
x2 ?4
x?2
) obtenemos
0
0
, lo
K
K
que constituye una indeterminación (como lo son asimismo
e K ? K, ya vistas anteriormente). En este caso no nos vale
dividir por la potencia más alta arriba y abajo (hágase y se verá cómo la indeterminación persiste). En casos como éste es muy
útil, primero, sacar factor común donde se pueda, y luego factorizar los polinomios. Aquí, factorizando arriba:
x2 ?4
x¸2 x?2
lim
= lim
x¸2
Ý x+2 ÞÝ x?2 Þ
Ý x?2 Þ
= lim x + 2
operación que ha roto la indeterminación. Hasta ahora sólo hemos hecho
x¸2
manipulaciones algebraicas. A la hora de sustituir x por 2 para resolver el límite debemos considerar los llamados límites
laterales:
lim+x + 2
x¸2
y
lim?x + 2
x¸2
donde con x ¸ 2 + queremos decir que x tiende a un valor todo lo próximo que queramos
a 2 pero acercándonos por la derecha del 2 en la recta de los números reales (es decir, para fijar ideas, digamos que
damos a x valores como 2.01, 2.0001, 2.0000001, etc); y con x ¸ 2 ? queremos decir que x tiende a un valor todo lo próximo
que queramos a 2 pero acercándonos por la izquierda del 2 en la recta de los números reales (es decir, para fijar ideas,
digamos que damos a x valores como 1.99, 1.9999, 1.9999999, etc.).
Tenemos, así pues (sustituyendo x por 2)::
lim+x + 2 = 4
x¸2
lim?x + 2 = 4
x¸2
Como ambos límites laterales existen y coinciden, se dice que el límite de esa función es 2 .
Pero, ¿qué sentido tiene hablar de ”2 por la derecha” y ”2 por la izquierda” cuando en realidad hemos sutituido
simplemente por ”2” la x de los límites anteriores para calcularlos. En realidad, sólo en ciertas ocasiones tendremos que tener
esto en cuenta, y a continuación veremos un ejemplo.
5lim
x¸0
x+1
x
Aquí, el límite por la derecha es: lim+ x+1
x = +K
x¸0
y el límute por la izquierda es: lim? x+1
x = ?K.
x¸0
¿Por qué la diferencia de signo? Porque ”0 por la derecha” es un número muy cercano al 0 (un número que tiende a 0 , se
dice) pero positivo, mientras que ”0 por la izquierda” es un número muy cercano al 0 (un número que tiende a 0 , se dice
igualmente) pero negativo. Eso hace que en un caso el denominador sea positivo y en el otro, negativo. Los numeradores
siempre son positivos, porque sumar a 1 un número próximo a 0 (ya sea esta proximidad por la derecha o por la izquierda)
da en ambos casos un número que tiende a 1 .
60
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Temas 20 y 21: Funciones y polinomios
Funciones, dominio, gráficas, operaciones con funciones, función inversa, funciones crecientes y decrecientes,
pares e impares. Polinomios, operaciones con polinomios, raíces de un polinomio, descomposición de un polinomio
en factores, descomposición de funciones racionales en fracciones simples
¡ Función y polinomio
¬ Una expresión del tipo siguiente fÝxÞ = x 3 + 2x 2 ? 1 se dice que es una función de la variable x. Según el valor que
demos a la x , a la función fÝxÞ le corresponderá un valor determinado. Por ejemplo, si x = 2
fÝ2Þ = 15
Una función de la forma de la anterior, que sólo tiene letras (x) y números, se dice que es una función polinómica;
concretamente la expresión x 3 + 2x 2 ? 1 se dice que es un polinomio (en este caso, de grado 3, siendo el grado el máximo
exponente de la x).
¡ Factorización de un polinomio y descomposición de funciones racionales
¬ Operaciones con polinomios. Las veremos con ejemplos:
5Suma y resta:
x 3 + 2x 2 ? 1
?
x2 + 3
= x 3 + 2x 2 ? 1 ? x 2 ? 3 = x 3 + x 2 ? 4
5Multiplicación:
x 3 + 2x 2 ? 1
6
x2 + 3
= x 5 + 3x 3 + 2x 4 + 6x 2 ? x 2 ? 3 = x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 5x 2 ? 3
5División:
x 3 + 2x 2 ? 1
como en una división normal:
:
x2 + 3
Para dividir se escriben el dividendo,
?1
x 3 +2x 2
x 3 + 2x 2 ? 1 , y el divisor,
x2 + 3 ,
x 2 +3
Ahora se divide el monomio de grado más alto del dividendo, x 3 , entre el monomio de mayor grado del divisor, x 2 , lo que
da x :
?1
x 3 +2x 2
x 2 +3
x
El resultado de esa primera división (x) se multiplicará por todos los monomios del divisor y cada producto se cambiará de
signo, colocándose debajo del monomio del divisor que tenga el mismo grado. Luego se efectúan las sumas correspondientes
grado a grado:
x3
?x
?1
+2x 2
?3x
3
2x 2
x 2 +3
x
?3x ?1
Hemos visto que ?3x no se podía poner debajo de ningún monomio del mismo grado del divisor, porque éste no lo
contenía; se puedo, pues, en un hueco entre los monomios de grados 2 y 0.
Seguidamente se repite el mismo proceso. Se empeiza dividiendo 2x 2 entre x 2 , colocándose el resultado (+2) en el
cociente, etc.:
x3
?x
?1
+2x 2
?3x
3
2x 2
?2x 2
x 2 +3
x
+2
?3x ?1
?6
?3x ?7
Una vez llegados a un resto (?3x ? 7) de grado menor que el divisor (x 2 + 3) hemos acabado la división. El cociente es
x+2.
En determinados problemas nos va a ser útil aplicar el llamado algoritmo de la división:
Dividendo
divisor
= cociente +
resto
divisor
para expresar la división de otra forma. En este caso quedaría:
x3 +2x2 ?1
x2 +3
= x+2+
?3x?7
x2 +3
¬ Raíces de un polinomio y factorización. Si un polinomio lo igualamos a 0 obtenemos una ecuación (del grado del
polinomio); sus soluciones se llaman raíces del polinomio. Un polinomio tiene tantas raíces como grado. Pueden ser todas
reales, todas complejas o reales y complejas.
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
61
Se puede demostrar que si todas las soluciones son números reales el polinomio se puede escribir también como
mÝx ? aÞÝx ? bÞ...
siendo a, b, etc., las raíces, y m el coeficiente del término de grado más alto del polinomio. El polinomio se dice que ha
quedado factorizado.
ÂÂÂPara encontrar las raíces puede recurrirse al método anterior (igualar el polinomio a cero y solucionar la ecuación,
siempre que sea posible) o aplicar el método de Ruffini, que ahora veremos. Un consejo: si en el polinomio se puede sacar
factor común x, hacerlo; de esta manera habremos encontrado automáticamente la primera raíz: x = 0, como veremos en el
siguiente ejemplo.
5Calcular las raíces del polinomio 3x 4 ? 3x 3 ? 12x 2 + 12x.
común, en este caso 3x :
Lo primero que hacemos, ya que se puede, será sacar factor
3xÝx 3 ? x 2 ? 4x + 4Þ
Con ello ya hemos empezado a factorizar el polinomio automáticamente. Obsérvese que la expresión anterior equivale a
escribirla:
3Ýx ? 0ÞÝx 3 ? 3x 2 ? 4x + 4Þ
que empieza a tener una forma parecida a la general mÝx ? aÞÝx ? bÞ...
El polinomio Ýx 3 ? 3x 2 ? 4x + 4Þ contiene otras tres raíces (pues es de grado 3) que vamos a tratar de extraer por el
método de Ruffini. En la práctica, se usa este método para saber si el polinomio tiene alguna raíz que sea divisor de su término
independiente (que es el que no lleva x; en este caso, 4Þ. Es decir, el método sirve para probar si + 1, ?1, +2, ?2, +4 o?4 son
raíces del polinomio Ýx 3 ? 3x 2 ? 4x + 4Þ. Empezaremos probando el +1.
Se escriben en una línea los coeficientes del polinomio:
1 ?1 ?4 4
y en una segunda, abajo, un poco a la izquierda,
la raíz que queremos probar:
1
?1 ?4 4
1
Se baja el primer número de la primera línea (en este caso 1) a una tercera línea:
1
?1 ?4 4
1
1
y se multiplica la raíz que queremos probar (en este caso 1) por ese valor que hemos bajado, poniéndose el resultado en
la segunda fila y segunda columna, sumándose con el que tiene arriba:
1
1
?1 ?4 4
1
1
0
Hecho esto se repiten las mismas operaciones: el 1 (raíz que queremos probar) multiplica al 0 (resultado de la suma
anterior), poniéndose el producto (0) en la segunda fila debajo del ?4, para proceder a la suma y continuar así.
1
1
1
?1 ?4 4
?4
1
0
0
?4 0
Si al final obtenemos como resultado 0 (última fila, última columna), como es el caso, eso es pueba de que el 1 sí es
raíz de ese polinomio. Si no, habría que probar con el ?1, luego con el 2, etc. Ahora el polinomio inicial queda parcialmente
factorizado así:
En esete caso, como decimos, hemos encontrado una raíz, que es 1. Entonces, el polinomio al que le estábamos
aplicando Ruffini queda ya parcialmente factorizado como
3Ýx ? 0ÞÝx ? 1ÞÝx 2 ? 4Þ
¿De dónde sale
x 2 ? 4 ? De los coeficientes finales obtenidos:
1 0 ?4 0 , quitando el último (el 0), que
corresponden a un polinomio de un grado menor al que fue sometido a la regla de Ruffini (que era de grado 3:, no olvidemos
que era: Ýx 3 ? 3x 2 ? 4x + 4Þ ). Es, por tanto, el polinomio 1x 2 +0x ?4 , es decir, x 2 ? 4 . Esta es una propiedad del
método de Ruffini: sirve para descomponer un polinomio en un producto de Ýx ? a Þ (siendo ”a” la raíz obtenida por el
método) por otro polinomio de un grado menor cuyos coeficientes son los de la última fila (exceptuando el 0 final).
A su vez, x 2 ? 4
contiene dos raíces (pues de grado 2). Para calcularlas aplicamos Ruffini a este polinomio,
empezando por escribir sus coeficientes 1 0 ?4 en la primera línea y siguiendo el método anterior. Probamos de nuevo
con 1 , porque puede ocurrir que 1 sea lo que se llama una raíz múltiple (doble, triple, según salga como raíz dos, tres veces,
62
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etc.).
0 ?4
1
1
1 1
1 ?3
1
Como no se obtiene resto 0, no es raíz el 1. Probamos ahora con 2 :
0 ?4
1
2
2 4
1
2 0
Vemos que 2 es raíz. Como los coeficientes finales obtenidos (quitando el 0) son
x2 ? 4
?2 :
en el producto
x?2
x+2 . A
1 2 , hemos conseguido convertir
le aplicamos de nuevo Ruffini. En este caso es obvio que la raíz es
x+2
1
2
?2
?2
1
0
Obtener al final un 1 y de resto 0 es prueba de que hemos conseguido sacar todas las raíces a Ýx 3 ? 3x 2 ? 4x + 4Þ por el
algoritmo de Ruffini.(lo cual no siempre tiene por qué ocurrir) Si en vez de 1 0 al final hubiéramos obtenido m 0 el
resultado final de la factorización en factores tipo Ýx ? a Þ habrá que multiplicarlo por m. es decir, mÝx ? aÞÝx ? bÞÝx ? c Þ...
Resumiendo, en este caso la factorización de 3x 4 ? 3x 3 ? 12x 2 + 12x ha quedado:
3Ýx ? 0ÞÝx ? 1ÞÝx ? 2ÞÝx + 2Þ
Ni que decir tiene que la aplicación del método de Ruffini a Ýx 3 ? 3x 2 ? 4x + 4Þ puede hacerse (y es así como se hace) en un
sólo paso:
1
1
1
2
1
?2
?1 ?4 4
?4
1
0
0
?4 0
2
4
2
0
?2
1
0
Atención y consejos:
>> Cuando el término de mayor grado del polinomio tenga un coeficiente m distinto de 1 (en el ejemplo anterior m era
3Þ este coeficiente debe aparecer en la factorización final. A veces aparece automáticamente, como en el ejemplo anterior;
otras lo detectaremos porque aparecerá al final del algoritmo de Ruffini junto a un resto 0; si no aparece automáticamente,
hay que ponerlo de todas formas al final de la factorización.
>> Se recomienda que si se está aplicando Ruffini, al obtener un polinomio reducido de grado 2 deje de aplicarse Ruffini
y se obtengan las dos raíces contenidas en él igualando el polinomio de grado 2 a cero y resolviendo la ecuación de segundo
grado correspondiente
>> No se olvide sacar factor común todo lo que se pueda antes de empezar a factorizar; al sacar factor común ya
obtenemos como mínimo uno de los factores automáticamente. Tras sacar factor común si el polinomio es de primero,
segundo grado o bicuadrado –este último es el que tiene potencias cuarta y segunda únicamente– lo mejor es igualarlo a cero
y solucionar la ecuación; ésta es la forma más rápida de encontrar las raíces en estos casos.
>> Cuando se está tratando de resolver una ecuación de segundo grado (o de cuarto, sexto, etc...) y se comprueba que las
raíces son complejas, no hace falta calcularlas; se deja el polinomio de segundo grado (o de cuarto, sexto, etc...) tal como está
y él constituye de por sí un factor único. Por ejemplo: x 3 + x 2 + x + 1 = Ýx + 1ÞÝx 2 + 1Þ (las dos raíces contenidas en Ýx 2 + 1Þ
son complejas, como puede comprobarse fácilmente).
5Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios:
2x 3 + x 2
(Sol:
x 2 Ý2x + 1Þ )
4x ? 6x + 2x ? 2x + 2
dos veces)
4
3
2
4x 3 ? 2x 2 ? 16x + 8
(Sol: 2Ýx ? 1ÞÝx ? 1ÞÝ2x 2 + x + 1Þ ; en éste vemos que la raíz 1 tiene multiplicidad 2, pues aparece
(Sol: 4Ýx ? 2ÞÝx + 2ÞÝx ?
1
2
Þ
)
¬ Descomposición de funciones racionales en funciones simples. Una función polinómica racional es un cociente de
polinomios. A veces conviene descomponer ese coeficiente en fracciones más simples (en particular, ello es muy útil a la hora
de calcular ciertas integrales).
Veremos con tres ejemplos cómo se hacen estas descomposiciones.
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
1. Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional:
Se factoriza el polinomio denominador:
63
x3 ?2x+3
2x3 ?4x2 ?10x+12
2x ? 4x ? 10x + 12 = 2Ýx ? 1ÞÝx + 2ÞÝx ? 3Þ
3
2
Como vemos, sólo tiene raíces reales y ninguna es múltiple.(esto es, ninguna se repite) En estos casos la descomposición
se hace así:
x3 ?2x+3
2x3 ?4x2 ?10x+12
=
+
A
2Ýx?1Þ
+
B
Ýx+2Þ
C
Ýx?3Þ
donde A, B y C son incógnitas a determinar. Para ello efectuamos la suma indicada en el segundo miembro. No es
difícil, porque el mínimo común múltiplo es en este caso (y en todos los semejantes en que no hay raíces múltiples) el
producto de los tres factores que constituyen los denominadores: 2Ýx ? 1ÞÝx + 2ÞÝx ? 3Þ :
A
2Ýx?1Þ
+
B
Ýx+2Þ
+
C
Ýx?3Þ
=
AÝx+2ÞÝx?3Þ+BÝ2Ýx?1ÞÞÝx?3Þ+CÝ2Ýx?1ÞÞÝx+2Þ
2Ýx?1ÞÝx+2ÞÝx?3Þ
=
Ax2 +2Bx2 +2Cx2 ?Ax?8Bx+2Cx?6A+6B?4C
2Ýx?1ÞÝx+2ÞÝx?3Þ
Por tanto, llegamos a la conclusión de que
x3 ?2x+3
2x3 ?4x2 ?10x+12
=
Ax2 +2Bx2 +2Cx2 ?Ax?8Bx+2Cx?6A+6B?4C
2Ýx?1ÞÝx+2ÞÝx?3Þ
y como los denominadores son iguales, deben serlo los numeradores. Para ello, debe cumplirse:
1 = A + 2B + 2C
? 2 = ?A ? 8B + 2C
3 = ?6A + 6B ? 4C
cuya solución es: A = ? 13 , B =
11
30
,C =
3
10
y por lo tanto la función racional inicial queda simplificada (después de arreglar un poco los numeradores) como:
?
1
11
3
+
+
6Ýx ? 1Þ
30Ýx + 2Þ
10Ýx ? 3Þ
2 Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional:
3x3 ?3
x3 ?3x+2
En este caso el polinomio denominador se descompone como Ýx ? 1Þ x ? 1 Ýx + 2Þ, que, como se ve, tiene una raíz
múltiple. La descomposición en fracciones simples se hace así:
3x3 ?3
x3 ?3x+2
=
A
Ý x?1 Þ
+
B
Ý x?1 Þ 2
+
C
Ý x+2 Þ
Para sumar el segundo miembro hay que tener en cuenta que el mínimo común múltiplo es Ýx ? 1Þ 2 Ýx + 2Þ. Lo demás se
hace exactamente igual que en el ejemplo anterior.
3 Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional:
x+1
x3 ?2x?4
El denominador admite la factorización Ýx 2 + 2x + 2ÞÝx ? 2Þ (es decir, tiene una raíz real simple y dos complejas). La
descomposición en fracciones simples se hace así:
x+1
x3 ?2x?4
=
A
x?2
+
Bx+C
Ýx2 +2x+2Þ
Se suman las fracciones del segundo miembro (el mcm es Ýx 2 + 2x + 2ÞÝx ? 2Þ ) y se efectúa el resto como en el primer
ejemplo.
5Puede haber más formas que las tres indicadas, pero son combinaciones de las anteriores. Si, por ejemplo, sale una raíz
real simple a, una real triple b y dos complejas dobles se hace así:
A
x?a
+
B
x?b
+
C
Ý x?b Þ 2
+
D
Ý x?b Þ 3
+
Ex+F
x2 +mx+n
+
Gx+H
2
Ý x2 +mx+n Þ
pero nunca se van a plantear en el curso situaciones tan complejas.
¡ Dominio de una función
Dominio de una función fÝxÞ es el conjunto de valores de x para los que está definida la función. Por ejemplo, la función
real de variable real fÝxÞ = 1x no está definida en el campo de los números reales para x = 0, pues 10 no es ningún número
real (no se puede efectuar esa operación, aunque sí su límite, que tiene a infinito).
Para determinar el dominio de una función deben tenerse en cuenta algunas reglas elementales. Por ejemplo, si la
función es racional, el denominador no puede ser cero; si la función es una raíz cuadrada, el radicando no puede ser negativo;
si la función es logarítmica, la expresión dentro del logaritmo debe ser mayor que cero.
Ejemplos
5Calcular el dominio de la función real de variable real:
fÝxÞ = x 3 + 2x 2 ? 13x + 10
Los valores de la x tienen que ser tales que hagan al radicando mayor o igual a cero, puesto que la raíz de un número
menor que 0 no está definida en el campo de los números reales.:
x 3 + 2x 2 ? 13x + 10 ³ 0
64
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o, lo que es lo mismo, factorizando:
Ýx ? 1ÞÝx ? 2ÞÝx + 5Þ ³ 0
Para que se cumpla que el producto de los tres factores es mayor que cero (es decir, positivo) debe cumplirse, por ejemplo,
que los tres sean positivos, o que dos sean negativos y uno positivo. Lo mejor es hacer un cuadro que permita estudiar el
signo en cada factor Ýx ? aÞ; y el signo de la expresión total. Este cuadro tendrá dos entradas: una de ellas (vertical) son los
factores y el producto de ellos, y la otra todos los intervalos abiertos de la recta de los números reales que quedan
delimitados por las raíces correspondientes. En este caso, como las raíces son ?5, 1 y 2, los intervalos en que queda dividida
la recta de los números reales son: Ý?K, ?5Þ, Ý?5, 1Þ, Ý1, 2Þ y Ý2, +KÞ ).
Ýx ? 1Þ
Ýx ? 2Þ
Ýx ? 1ÞÝx ? 2ÞÝx + 5Þ
Ýx + 5Þ
Ý?K, ?5Þ
Ý?5, 1Þ
Ý1, 2Þ
Ý2, +KÞ
Para ver el signo de cada factor imaginamos cualquier número que esté comprendido dentro del intervalo correspondiente.
Por ejemplo, en Ý?K, ?5Þ podemos imaginar el valor ?10; en Ý?5, 1Þ el ?3; en Ý1, 2Þ el 1.25, y en Ý2, +KÞ. el 10. Para rellenar
la primera fila, si hemos pensado en el ?10, veremos que Ýx ? 1Þ = ?10 ? 1 tiene signo negativo; Ýx ? 2Þ = ?10 ? 2 tiene signo
negativo; Ýx + 5Þ = ?10 + 5 tiene signo también negativo; y por tanto el producto de los tres factores es negativo. Así hacemos
con las otras filas:
Ýx ? 1Þ Ýx ? 2Þ Ýx + 5Þ Ýx ? 1ÞÝx ? 2ÞÝx + 5Þ
Ý?K, ?5Þ
–
–
–
–
Ý?5, 1Þ
–
–
+
+
Ý1, 2Þ
+
–
+
–
Ý2, +KÞ
+
+
+
+
Por lo tanto, está claro que el polinomio es positivo en los intervalos Ý?5, 1Þ y Ý2, +KÞ. , lo que significa que la raíz
x 3 + 2x 2 ? 13x + 10 tiene solución para valores que estén dentro de esos intervalos. Siempre hay que probar también con los
valores de las raíces del polinomio, que son: ?5, 1 y 2. Para los tres valores el polinomio da 0, luego también forman parte
del dominio. Por lo tanto, el dominio lo escribimos ?5, 1 W ß2, +KÞ y al haber escrito intervalos cerrados en vez de abiertos
queremos indicar que los extremos de esos intervalos van incluidos (excepto +K, que no es un número).
5Calcular el dominio de la función
fÝxÞ = logÝ2x + 3Þ
Para que la función esté definida la x tiene que tener tales valores que se cumpla: 2x + 3 > 0. Por tanto, despejando la x
de esa inecuación nos queda:
x > ? 32 . El dominio de esa función es, entonces, Ý? 32 , KÞ
(en este caso el intervalo es
abierto por la izquierda, porque si se incluye el propio valor ? 32 la expresión dentro del logaritmo da cero, y el log 0 no está
definido).
5Calcular el dominio de la función
fÝxÞ =
?x?5
x+8
Aquí la función no está definida si el denominador es cero, es decir, está definida para x + 8 ® 0. Por lo tanto, está
definida para cualquier valor que no sea ? 8. Ahora bien, también hay que tener en cuenta la raíz cuadrada contenida
dentro de la función. Esa raíz sólo está definida para valores de x que cumplen: ?x ? 5 ³ 0, es decir: x + 5 ² 0, y por tanto:
x ² ?5, es decir, el dominio es Ý?K, ?5Þ excluyendo el valor ?8, lo que se puede representar por Ý?K, ?5Þ ? ?8
¬ Gráfica de una función es su representación en un sistema de coordenadas, normalmente cartesiano. Se van dando
valores arbitrarios a la variable independiente, x, y calculando los correspondientes a la función fÝxÞ (fÝxÞ se representa en la
coordenada y).
5Representar gráficamente la función fÝxÞ =
x2 +10
3
Damos valores a la x (unos ocho valores) y calculamos los de la fÝxÞ, representándolos en una tabla. Por ejemplo, si
x = 0, fÝxÞ = 10
. Luego representamos todos los puntos y los unimos por una línea:
3
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
65
10
8
6
4
2
0
-4
-2
0
2
4
La función de la figura se dice que es decreciente entre x = ?K y x = 0 y creciente entre x = 0 y x = +K. Esta función se
dice que es par porque cumple que fÝxÞ = fÝ?xÞ. Es decir, por ejemplo: fÝ2Þ = fÝ?2Þ = 14
3
¬ Operaciones con funciones Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo las reglas
algebraicas básicas. También cabe componerlas y calcular la llamada función inversa, operaciones estas últimas que vimos
en un tema anterior.
66
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Tema 23: Continuidad de funciones
Funciones continuas, funciones continuas en un intervalo, teoremas de continuidad, continuidad de la función
inversa
¡ Continuidad de una función
Una función se dice que es continua en un punto a cuando se cumple
lim
fÝxÞ = fÝaÞ
x¸a
o, dicho de forma más detallada pero equivalente:
lim
fÝxÞ = lim+ fÝxÞ = fÝaÞ
x¸a ?
x¸a
En ciertos problemas piden calcular la continuidad de una función en un sólo punto, en otros, en un intervalo, y en otros,
en todo R.(conjunto de los números reales).
Es útil saber que un polinomio es continuo en todo R y que un cociente entre dos polinomios es continuo en todo R
excepto en los valores de x que anulen el denominador.
5Ejemplos
5¿Es continua la función fÝxÞ =
x
x2 ?1
en el punto x = 1?
Para que sea continua debe cumplirse la condición
existe fÝaÞ
(ya que fÝ1Þ =
1
0
lim
fÝxÞ = lim+ fÝxÞ = fÝaÞ
x¸a ?
x¸a
que está claro que no se cumple porque no
, cociente que no está definido)
5¿Es continua la función fÝxÞ = x2x?1 en el intervalo Ý2, 3Þ? ¿Y en el 2, 3 ? Para que una función sea continua en un
intervalo abierto debe serlo en todos sus puntos. En este caso lo es, puesto que una función cociente entre dos polinomios es
continua en todos los puntos que no anulen el denominador, y entre x = 2 y x = 3 no los hay.
Para que una función sea continua en un intervalo cerrado ßa, bà debe serlo en todos los puntos interiores Ýa, bÞ y
cumplirse estas dos condiciones:
lim+ fÝxÞ = fÝaÞ
x¸a
lim? fÝxÞ = fÝbÞ
x¸b
condiciones que en este caso se cumplen como es fácil comprobar.
5Estudiar la continuidad de la función
x2 + 2
fÝxÞ =
2
2/ x ? 1
si x < 0
si 0 ² x ² 1
si 1 < x
Como vemos, la función está compuesta de tres tramos polinómicos. Los polinomios son continuos en todo R, y sus
cocientes lo son en todo R excepto en los x que anulen el denominador. En el tercer intervalo de la función vemos que para
x = 1 ésta no estaría definida, y por tanto x = 1 sería un punto de discontinuidad, pero advirtamos que indican que en ese
tramo sólo estamos autorizados a tomar valores mayores que 1 (ya que dicen que ese tramo es válido para 1 < x); dicho de
otro modo, x = 1 no es sustituible ahí y por lo tanto no podemos sacar conclusiones sobre la discontinuidad o discontinuidad
en x = 1 con ese criterio.
Por otra parte, siempre que hay que sospechar de posibles discontinuidades en los puntos que sirven de separación de
los tramos; en este problema esos puntos son 0 y en 1. Estudiemos la continuidad de la función en ambos:
lim? fÝxÞ = lim? x 2 + 2 = 2
x¸0
x¸0
(calculamos el límite con el tramo de la función que nos permite usar el cero aproximándonos a
él por la izquierda, que es el primer tramo)
lim+ fÝxÞ = lim+ 2 = 2
x¸0
x¸0
(calculamos el límite con el tramo de la función que nos permite usar el cero aproximándonos a él
por la derecha, que es el segundo tramo)
fÝ0Þ = 2
tramo)
(calculamos el valor de fÝ0Þ con el tramo de la función que nos permite usar el cero exacto, que es el segundo
La función, pues, es continua en x = 0.
lim? fÝxÞ = lim? 2 = 2
x¸1
x¸1
En cuanto a x = 1:
(calculamos el límite con el tramo de la función que nos permite usar el valor 1 aproximándonos a
él por la izquierda, que es el segundo tramo)
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
lim+ fÝxÞ = lim+
x¸1
x¸1
2
x?1
= +K
67
(calculamos el límite con el tramo de la función que nos permite usar el valor 1
aproximándonos a él por la derecha, que es el tercer tramo)
fÝ1Þ = 2
(calculamos el valor de fÝ0Þ con el tramo de la función que nos permite usar el valor 1 exacto, que es el
segundo tramo)
La función, por lo tanto, no es es continua en x = 1.
¡ Teoremas de continuidad
¬ Teorema de Bolzano:
Si f es continua en un intervalo ßa, bà y el signo de fÝaÞ es distinto al de fÝbÞ entonces existe al menos un punto x
dentro del intervalo ßa, bà tal que fÝxÞ = 0
¬ Teorema de los valores intermedios:
Si f es continua en un intervalo ßa, bà y c es un número real comprendido entre fÝaÞ y fÝbÞ entonces existe al menos un
valor x que pertenece al intervalo ßa, bà tal que fÝxÞ = c
¬ Teorema de Weierstrass
Si f es continua en un intervalo ßa, bà entonces f tiene un máximo y un mínimo en ßa, bà, es decir, existen puntos c y d
de ßa, bà tales que fÝcÞ ³ fÝxÞ y fÝdÞ ² fÝxÞ para todo valor de x que pertenece al intervalo ßa, bà
¬ Continuidad de la función inversa:
Si f es continua y creciente en un intervalo ßa, bà, la función inversa f ?1 , es continua y creciente en fÝßa, bàÞ
Si f es continua y decreciente en un intervalo ßa, bà, la función inversa f ?1 , es continua y decreciente en fÝßa, bàÞ
68
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Temas 24, 26 y 27: Derivadas
Funciones derivables, cálculo de derivadas simples, funciones trigonométricas y sus derivadas, funciones
logarítmicas y exponenciales y sus derivadas
¬ Función derivable
Se dice que una función es derivable en un punto a cuando existe el límite:
lim fÝa + hÞ ? fÝaÞ
h¸0
h
Si existe ese límite, se le llama derivada de la función f en el punto a y se representa por f v ÝaÞ
Si una función es derivable en a entonces es continua en a, pero lo recíproco no es cierto en general.
¬ Cálculo práctico de derivadas
El problema más común no es hallar la derivada de una función fÝxÞ en un punto a, sino, en general, hallar la derivada
de fÝxÞ en todo punto x; es lo que llamamos la función derivada, f v ÝxÞ o dÝfÝxÞÞ
, que de ambas formas se puede escribir, e
dx
incluso, para simplificar: dy
(pues a menudo se llama a fÝxÞ ”y”).
dx
Para calcular la función derivada de cualquier función se aplican unos algoritmos descubiertos por Leibniz. Los más
importantes son los recogidos en la siguiente tabla, donde u y v son funciones de x y las primas hay que entenderlas como
derivadas:
f v ÝxÞ = 0
fÝxÞ = a
fÝxÞ = u
v
a
f ÝxÞ = au
a?1
u
v
fÝxÞ = au
f v ÝxÞ = au v
fÝxÞ = u
f v ÝxÞ =
a
uv
a a u a?1
fÝxÞ = u + v
f v ÝxÞ = u v + v v
fÝxÞ = u ? v
f v ÝxÞ = u v ? v v
fÝxÞ = u 6 v
f v ÝxÞ = u v v + uv v
fÝxÞ =
f v ÝxÞ =
fÝxÞ =
f v ÝxÞ = u v cosu
fÝxÞ = cosu
senu
v
fÝxÞ =
arcsenu
f ÝxÞ =
uv
1?u 2
fÝxÞ =
tgu
f v ÝxÞ =
uv
cos 2 u
fÝxÞ = ln u
f v ÝxÞ =
uv
fÝxÞ = e u
f v ÝxÞ = u v e u
u
u
v
u vv?uvv
v2
v
f v ÝxÞ = ?u
fÝxÞ = arccosu f v ÝxÞ = ?
senu
uv
1?u 2
fÝxÞ = cot gu
f v ÝxÞ = ? senu v2 u
fÝxÞ = log u
f v ÝxÞ =
fÝxÞ = a u
f v ÝxÞ = u v a u ln a
uv
u
fÝxÞ =
arctgu
f v ÝxÞ =
uv
1+u 2
log e
¬ Ejemplos
Veremos con unos ejemplos cómo se aplica esta tabla
5 fÝxÞ = x
5 fÝxÞ = x
Este es el caso más fácil; la derivada de x es 1 :
3
Hay que aplicar la regla de fÝxÞ = u
5 fÝxÞ = 3x 3
a
f v ÝxÞ = 1
(siendo en este caso u = x). La solución es f v ÝxÞ = 3x 2
y fÝxÞ = au . La solución es f v ÝxÞ = 9x 2
Hay que aplicar las reglas de fÝxÞ = u a
5 fÝxÞ = 3x ? 2x + 1
Para solucionarla hay que aplicar las reglas de fÝxÞ = u + v, fÝxÞ = u a , fÝxÞ = a y fÝxÞ = au.
Teniendo todas en cuenta está claro que la solución es: f v ÝxÞ = 9x 2 ? 4x
3
2
5 fÝxÞ = 3x 3 ? 2x 2 + 1
Además de todas las reglas anteriores hay que tener en cuenta la de la derivada de una raíz
9x2 ?4x
cuadrada. La solución es: f v ÝxÞ = 2 3x
3 ?2x2 +1
5 fÝxÞ = ln 3x 3 ? 2x 2 + 1 En principio hay que tener en cuenta la regla de la derivación de un logaritmo neperiano,
fÝxÞ = ln u, pero al efectuarla debemos tener en cuenta que u = 3x 3 ? 2x 2 + 1, y, por tanto, a la hora de efectuar la operación
u v deberemos mirar la fórmula de la derivada de una raíz. En este caso se dice que estamos derivando una función (el ln) de
otra función (la raíz cuadrada). El resultado es:
5 fÝxÞ = cos ln 3x 3 ? 2x 2 + 1
9x2 ?4x
2 3x3 ?2x2 +1
3x3 ?2x2 +1
=
9x2 ?4x
2Ý3x3 ?2x2 +1Þ
=
9x2 ?4x
6x3 ?4x2 +2
Aquí tenemos una función (el cos) de otra función (el ln) de otra función (la raíz). Lo
primero que tenemos que considerar es cuál es la función más externa, es decir, la última que se aplica en caso de que
queramos sustituir x por un número real. Debe estar claro que en ese caso, lo primero que se efectúa es el polinomio, luego la
raíz, luego el ln y finalmente el cos que es aquí la función más externa). Iremos, por tanto, a la fórmula de la derivada del
coseno. En ella nos aparecerá una u v , es decir, la derivada de u, teniendo en cuenta que u en ese caso es:
u = ln 3x 3 ? 2x 2 + 1 . Al efectuar la derivación de u habremos de tener en cuenta que se trata de la derivada de un
logaritmo neperiano, en cuya fórmula de derivación aparece una u que en ese caso es u = 3x 3 ? 2x 2 + 1, y aparece también
una u v , es decir, la derivada de una raíz. Y así sucesivamente. Teniendo todo esto en cuenta, y haciendo uso directamente
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
69
del resultado obtenido en el ejemplo anterior, la derivada buscada es:
2 ?4x
f v ÝxÞ = ? 6x9x
sen ln 3x 3 ? 2x 2 + 1
3 ?4x2 +2
5 fÝxÞ = cos 3 ln 3x 3 ? 2x 2 + 1
(que, aunque podría simplificarse más, dejaremos así)
En este caso hay un grado más de complicación: la potencia del coseno, que ahora es la
función más externa. Es como si hubiéramos escrito fÝxÞ =
2
3 cos ln 3x 3 ? 2x 2 + 1
La derivada es:
6
cos ln 3x 3 ? 2x 2 + 1
2 ?4x
? 6x9x
3 ?4x2 +2
sen
3
ln 3x 3 ? 2x 2 + 1
(para lo cual hemos echado mano del
resultado del ejercicio anterior)
ggg La regla de la cadena
Un método para simplificar derivadas complejas como la anterior es aplicar la llamada regla de la cadena. consistente en
ir sustituyendo las funciones más internas en cada eslabón de una cadena por otra variable, del siguiente modo (para
simplificar notaciones, llamaremos a fÝxÞ
”y”):
3
cos ln 3x 3 ? 2x 2 + 1
y=
u = 3x 3 ? 2x 2 + 1
y=
cos ln u
y=
cos ln v
3
v= u
3
w = ln v
y = Ýcosw Þ 3
t = cosw
y = t3
Ahora tendremos en cuenta solamente la última expresión de la función (en este caso y = t 3 ) y todas las sustituciones
hechas (en este caso: t = cosw; w = ln v;
v= u
y
u = 3x 3 ? 2x 2 + 1 y aplicaremos la siguiente regla (que depende
del caso, pero que siempre tiene la misma estructura):
dy = dy 6 dt 6 dw 6 dv 6 du
dx
dt
dw
dv
du dx
donde dy
es la derivada que nos preguntan, y las demás las vamos sacando de las expresiones señaladas, teniendo en
dx
cuenta que operaremos siempre como si la variable independiente del segundo término fuera una x (por ejemplo, a la hora de
derivar la expresión w = ln v consideramos que pone w = ln x . Al aplicar la regla correspondiente de la tabla de derivadas:
dw es 1 ) Teniendo esto en cuenta nos queda:
v
dv
dy = dy 6 dt 6 dw 6 dv 6 du = 3t 2 6 Ý?senwÞ 6 1 6 1 6
v 2 u
dx
dt
dw
dv
du dx
9x 2 ? 4x
Finalmente hay que ir cambiando las variables de modo que al final todo aparezca en función de x. Se puede ir
haciendo así:
3t 2 6 Ý?senwÞ 6
= 3 cos ln v
1
v
6
2
1
2 u
6
6
9x 2 ? 4x
?sen ln v
= 3 cos ln 3x 3 ? 2x 2 + 1
= 3Ýcosw Þ 2 6 Ý?senwÞ 6
6
2
6
1
2u
6
9x ? 4x
2
6
1
u
1
2 u
6
9x 2 ? 4x
=
=
?sen ln 3x 3 ? 2x 2 + 1
6
9x2 ?4x
6x3 ?4x2 +2
que es el mismo resultado obtenido antes, aunque los factores estén en otro orden.
70
TREVERIS multimedia
Tema 25: Estudio y representación de funciones; más sobre límite
de funciones
Simetría y asimetría, funciones periódicas, cortes con los ejes, máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento,
concavidad y convexidad, asíntotas, teoremas de Rolle y del valor medio; regla de L’Hôpital, recapitulación de límite
de funciones (en temas 25 y 27)
¡ Estudio de funciones
¬ Funciones simétricas y asimétricas
Una función es simétrica respecto al eje Y cuando no varía al cambiar x por ?x, es decir, cuando fÝxÞ = fÝ?xÞ
Por ejemplo, fÝxÞ = x 4 ? 2x 2 es simétrica respecto al eje Y, ya que fÝ?xÞ = Ý?x Þ 4 ? 2Ý?x Þ 2 =
= fÝxÞ = x 4 ? 2x 2
5
4
3
2
1
0
-2
0
2
-1
¬ Funciones periódicas
Una función se dice periódica cuando cumple que fÝxÞ = fÝx + pÞ, siendo p el llamado periodo de la función. Por
ejemplo, las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente son periódicas. Así por ejemplo:
cos25 o = cosÝ25 o + 360 o Þ
El periodo de la función coseno es 360 o (o 2^, si expresamos los ángulos en radianes).
¬ Cortes con los ejes
Para saber en qué punto corta una función al eje Y, calculamos fÝxÞ para x = 0; el punto de corte será Ý0, fÝ0ÞÞ.
Para saber en qué punto corta la función al eje X hacemos fÝxÞ = 0 y despejamos x; el punto es Ýx 0 , 0Þ siendo x 0 el
valor de la x despejada.
Por ejemplo, calculemos los puntos de corte de la función fÝxÞ = 4x 2 ? 1 con los ejes X e Y:
–con el eje Y:
x = 0 ì fÝ0Þ = 1
–con el eje X:
fÝxÞ = 0
El punto de corte es Ý0, 1Þ
ì 4x 2 ? 1 = 0
ì x = ± 12
Los puntos de corte son Ý 12 , 0Þ y Ý? 12 , 0Þ
¬ Máximos y mínimos
Una función puede tener puntos máximos y mínimos. Por ejemplo, la de la gráfica dibujada anteriormente tiene dos
puntos mínimos. Para calcular los extremos (los máximos y los mínimos) de una función se calcula la derivada primera, se
iguala a cero, se resuelve la ecuación correspondiente para la x y el valor o valores obtenidos se sustituye(n) en la derivada
segunda; si la función da negativa, el punto era un máximo, si positiva, un mínimo. [Si la derivada segunda da cero (es decir, ni
positiva ni negativa), no se puede decir si el punto en cuestión es máximo o mínimo, aunque puede ser cualquiera de las dos
cosas. Otras veces ocurre que en un punto hay un máximo o un mínimo y la función no es derivable en ese punto. Para
determinar máximos y mínimos en estos casos hay que recurrir a otro método que veremos más abajo. ]
Este procedimiento nos da máximos y mínimos relativos. De entre varios máximos (o mínimos) relativos hay uno
absoluto: el que hace mayor (o menor) a la función.
5Aplicaremos el método a fÝxÞ = x 4 ? 2x 2
Primer paso:
f v ÝxÞ = 4x 3 ? 4x
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
71
Segundo paso: 4x 3 ? 4x = 0
Esta ecuación, aunque es de tercer grado, puede solucionarse fácilmente sacando factor
común x : xÝ4x 2 ? 4Þ = 0; para que esa igualdad sea cierta tiene que ocurrir o que x = 0 o que 4x 2 ? 4 = 0. Las tres
soluciones son: x = 0 y las dos que se obtienen de la ecuación de segundo grado, que son: x = 1 y x = ?1. Esos puntos
pueden corresponder a extremos (máximos o mínimos)
Tercer paso: f”ÝxÞ = 12x 2 ? 4
Calculamos f”Ý0Þ, f”Ý1Þ y f”Ý?1Þ para ver qué signo tienen:
f”Ý0Þ = ?4, f”Ý1Þ = 8 y f”Ý?1Þ = 8. Esto nos dice que en x = 0 hay un máximo, y en x = 1 y x = ?1 hay sendos
mínimos (comprobarlo en la gráfica anterior). Concretamente, los puntos son: máximo: Ý0, 0Þ; mínimos: Ý?1, ?1Þ, Ý1, ?1Þ (los
valores de la y de cada punto se calculan sustituyendo los correspondientes valores de la x en la función original
fÝxÞ = x 4 ? 2x 2 )
En este caso, los dos mínimos encontrados son absolutos, pero el máximo es relativo (pues hay valores mayores de la
función; ver la gráfica).
& & En ocasiones nos piden el máximo o mínimo de una función dentro de un intervalo cerrado ßa, bà. En esos casos hay
que aplicar el método visto pero, además, hay que calcular fÝaÞ y fÝbÞ, puesto que el método visto la mayoría de las veces no
permite detectar máximos o mínimos que coincidan exactamente con los extremos del intervalo, a y b. Supongamos que
hemos encontrado un sólo máximo, en x 0 (que está dentro de ßa, bà) . Entonces calculamos fÝx 0 Þ; si resulta que fÝaÞ es
mayor que fÝx 0 Þ, entonces fÝaÞ es un máximo. Lo mismo se aplica a fÝbÞ. Y parecidas consideraciones deben hacerse
respecto a los mínimos.
5Veamos un ejemplo: determinar los máximos y mínimos de la función fÝxÞ = x 3 ? 5x + 1 en el intervalo ß?1, 2à.
8
6
4
2
0
-4
-2
0
2
4
-2
-4
-6
-8
Aplicando el método anterior encontramos que esta función tiene un máximo en x = ? 15
y un mínimo en x = 15
.
3
3
Ahora bien, el primer punto está fuera del intervalo ß?1, 2à, luego no nos interesa. Por lo tanto, en principio podemos decir que
en ese intervalo sólo hay un mínimo. Calcularemos también los valores de fÝxÞ en los extremos del intervalo. Son: fÝ?1Þ = 5
y fÝ2Þ = ?1. Ambos valores son mayores que el valor de la función en el mínimo, valor que es: fÝ 15
Þ p ?3.303. Por lo tanto,
3
en x = ?1 y en x = 2 hay sendos máximos en el intervalo ß?1, 2à, a pesar de que el método de las derivadas no los detectó.
[Todo esto es aplicable sólo si nos piden calcular máximos y mínimos en intervalos.]
¬ Puntos de inflexión
Son los puntos en los que la función pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa (una función cóncava es la que
se ve como una ”cueva” mirando la función ”desde abajo del papel”).
Para determinar puntos de inflexión se calcula la derivada segunda, se iguala a cero, se resuelve el valor o valores de la x;
éstos se sustituyen en la derivada tercera, y si se obtienen valores distintos de cero ese valor o valores de x constituye(n)
punto(s) de inflexión. (Si da cero, puede ser un punto de inflexión, pero no se puede saber y hay que recurrir a otro método que
veremos más abajo).
Calcularemos posibles puntos de inflexión de fÝxÞ = x 4 ? 2x 2 (los tiene con toda seguridad; basta ver la representación
gráfica de la función más arriba para darse cuenta).
Primer paso: Calculamos la derivada segunda: f”ÝxÞ = 12x 2 ? 4
Segundo paso: la igualamos a cero: 12x 2 ? 4 = 0, y solucionamos la ecuación: x =
3
3
x= ?
3
3
vvv
x=
Tercer paso: f ÝxÞ = 24x
Al sustituir en x las soluciones encontradas vemos que en ambos casos f vvv ÝxÞ ® 0, luego en
3
3
3
y
x
=
?
hay
sendos
puntos de inflexión. Concretamente son:
, ? 59
y ? 33 , ? 59 .
3
3
3
¬ Crecimiento y decrecimiento
Si en un intervalo la derivada primera de una función se mantiene positiva, se dice que la función es creciente en dicho
intervalo; si se mantiene negativa, es decreciente. Evidentemente, no se puede comprobar punto por punto si la derivada se
mantiene positiva o negativa. En vez de ese procedimiento imposible se aplica el que ilustramos con el siguiente ejemplo, que
es sistemático para conocer el signo de una función.
5Calcular los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función fÝxÞ = x 4 ? 2x 2 (representada gráficamente más
arriba).
Todo consiste en calcular la primera derivada y estudiar su signo. La derivada es: f v ÝxÞ = 4x 3 ? 4x.
72
TREVERIS multimedia
A continuación se factoriza el polinomio, y queda: fÝxÞ = 4x x ? 1
x + 1 . Como vemos, sus raíces son ?1, 0 y 1.
Vamos a dividir a continuación la recta real (el eje X) en tramos o intervalos que vengan limitados por esas raíces. En este
caso esos intervalos son: ?K, ?1 ,
?1, 0 ,
0, 1
y
1, K . Construimos ahora una tabla del mismo tipo que las que
vimos en los temas 20 y 21 cuando explicamos el concepto de dominio de una función. Recordemos que en esta tabla se
escriben en vertical los factores en que ha quedado factorizado el polinomio, con una última columna que es el propio
polinomio, y en horizontal los intervalos delimitados por sus raíces:
x+1
x?1
4x
4x x ? 1
x+1
?K, ?1
?1, 0
0, 1
1, K
Se empieza con la primera fila. Se da a la x cualquier valor que esté dentro del intervalo correspondiente, en este caso
entre ?K y ? 1; por ejemplo, consideremos el valor ?10. Ahora estudiemos el signo de todos los factores del polinomio
considerando x = ?10. Obviamente, 4x es negativo (pues 4 6 Ý?10Þ = ?40 ), x ? 1 es negativo y x + 1 también es negativo.
El polinomio completo, 4x x ? 1
x + 1 , producto de estos tres factores, será por lo tanto negativo. Hacemos lo mismo con
la segunda columna (dando a x, por ejemplo, el valor ? 0.5), la tercera y la cuarta. Así, nos queda la siguiente tabla de
signos:
x+1
x?1
4x
4x x ? 1
?K, ?1
?
?
?
?
?1, 0
+
?
?
+
0, 1
+
+
?
?
1, K
+
+
+
+
x+1
Es decir, entre ? K y ? 1 la función es decreciente (signo menos de la derivada primera, según la tabla); en ?1, 0
es creciente, en Ý0, 1Þ es de nuevo decreciente y entre 1 y K es creciente. Adicionalmente estos datos nos dan, como resulta
evidente, otra información: si entre ? K y ? 1 la función decrece y entre ?1 y 0 crece, y como es continua (los polinomios lo
son) eso significa necesariamente que en x = ?1 hay un mínimo de la función. Por el mismo razonamiento deducimos que en
x = 0 hay un máximo y que en x = ?1 hay otro mínimo. Este es el método al que nos referíamos antes para calcular
extremos (máximos y mínimos) cuando el método de las derivadas primera y segunda no nos vale.
¬ Concavidad y convexidad
Si en un intervalo la derivada segunda de una función se mantiene negativa, se dice que la función es cóncava en ese
intervalo; si se mantiene positiva, es convexa. Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función se
aplica exactamente el mismo método que para determinar su crecimiento y decrecimiento, pero sobre la derivada segunda. Lo
veremos con un ejemplo.
5Calcular los intervalos de concavidad y convexidad de la función fÝxÞ = x 4 ? 2x 2
Calculamos la derivada segunda de la función: f”ÝxÞ = 12x 2 ? 4
y la factorizamos:
3
3
3
? 3 , 33
3
,K
3
3
3
3
3
x?
3
3
.
3
3
y
12
x+
3
3
+
?
?
+
+
+
?
?
+
+
+
+
Las raíces son
?K, ?
?
12x 2 ? 4 = 12 x +
. Con estos datos construimos la tabla de los signos de la derivada segunda:
x?
3
3
12 x +
x?
3
3
3
3
Por lo tanto, entre ?K y ? 33
la función es convexa; entre ? 33 y 33 es cóncava; y entre 33 y K es convexa.
Esto nos proporciona una información adicional: que en x = ? 33 y x = 33 hay sendos puntos de inflexión (pues en ellos la
función pasa de cóncava a convexa o al revés).
¬ Asíntotas
A veces una función tiene una rama que tiende a convertirse en recta; a ésta recta se la llama asíntota. Consideremos por
ejemplo la función fÝxÞ = x2x?x+1
(la función es la parte curva de la gráfica; la recta paralela al eje de las X que se observa es
2 +2
la asíntota que vamos a definir a continuación).
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
73
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
-40
(Hemos representado en la gráfica fÝxÞ =
-20
x2 ?x+1
x2 +2
0
20
40
y la recta y = 1)
Como se aprecia en la representación gráfica, la función fÝxÞ = x2x?x+1
por su izquierda tiende, en ?K, a confundirse con
2 +2
la recta y = 1 (quedando por encima de ella), y por su derecha tiende a la misma recta aunque por abajo, de manera que en
+K podemos considerar que función y recta se confunden. En este caso se dice que la función tiene como asíntota horizontal
por la izquierda la recta y = 1, y como asíntota horizontal por la derecha la misma recta.
Esto se demuestra con el siguiente criterio:
à Una función tiene una asíntota horizontal por la izquierda y = a si se cumple que
lim fÝxÞ = a
x¸?K
y tiene una asíntota horizontal por la derecha y = a v si se cumple que
lim fÝxÞ = a v
x¸+K
Es decir, esas asíntotas existen si el límite de la función es un número real (pero no si el límite da infinito). Comprobémoslo
en este caso:
2
lim x 2? x + 1 = 1
x +2
x¸?K
2
lim x 2? x + 1 = 1
x +2
x¸+K
con lo que hemos demostrado lo que habíamos intuido viendo la gráfica.
Podemos querer conocer también si la asíntota está por arriba o por debajo de la función. Para ello basta restarlas y
estudiar el signo de esta diferencia:
fÝxÞ ? y =: x2x?x+1
? 1 = ? xx+1
. Esta función-diferencia tiene un denominador que es positivo para cualquier valor de x (pues
2 +2
2 +2
x está al cuadrado), por lo que el signo depende del numerador. Está claro que para valores de x menores que ?1 la
función-diferencia es positiva, y por tanto la función original está por enima de la recta; por el contrario, para valores de x
mayores que ?1 la función-diferencia es negativa, y por tanto para esos valores la función original está por debajo de la recta
(verlo en la gráfica).
Ahora veremos cómo se demuestra si una función tiene asíntotas verticales y oblicuas. Consideremos la función
2 ?1
fÝxÞ = 2x
, que tiene la peculiaridad de tener dos ramales, como se observa en la figura siguiente (ambos ramales son las
3x?1
partes curvas de la gráfica; las partes rectas (una paralela al eje de las Y y una oblicua) son las asíntotas, que se han
representado junto a la función).
3
x = 1/3
2
1
0
-3
-2
-1
0
-1
y = (2/3)x + 2/9
-2
-3
1
2
3
74
TREVERIS multimedia
(Hemos representado en la gráfica fÝxÞ =
2x2 ?1
3x?1
, y las rectas x =
1
3
y
y=
Se intuye que la función tiene dos asíntotas, una vertical (la recta x =
cómo se comprueba esto analíticamente.
1
3
2
3
x+
2
9
)
) y otra oblicua (la recta y =
2
3
x+
2
9
). Veamos
à Una función tiene una asíntota vertical a su derecha x = b si se cumple que su límite cuando x tiende a b ? (b por la
izquierda) da +K o ? K :
lim fÝxÞ = ±K
x¸b ?
y tiene una asíntota vertical x = b a su izquierda si se cumple que su límite cuando x tiende a b + (b por la derecha) da
+K o ? K :
2
lim 2x ? 1 = ±K
x¸b + 3x ? 1
Lo que hay que averiguar, por lo tanto, es si existe un valor de x para el cual esos límites den +K o ? K. En este
ejercicio sí. Está claro que si el denominador se anula el límite es + K o ? K, es decir, si 3x ? 1 = 0, y por tanto, si x =
Comprobémoslo:
1
3
.
2
lim 2x ? 1 = +K
1 ? 3x ? 1
3
x¸
2
lim 2x ? 1 = ?K
1 + 3x ? 1
3
x¸
2 ?1
es decir, según la definición que hemos dado, la recta vertical x = 13 es una asíntota vertical de la función fÝxÞ = 2x
, y
3x?1
1
en este caso lo es tanto por la derecha como por la izquierda (no siempre tiene por qué ocurrir así). Concretamente, x = 3 es
una asíntota vertical por la derecha de un ramal de la función y por la izquierda del otro.
à Una función tiene una asíntota oblicua por su izquierda o su derecha y = mx + n si el siguiente límite da un número real
distinto de cero (es decir, no da infinito ni cero). Ese número es precisamente m
lim fÝxÞ
x = m
x¸±K
Una vez conocido m,
n se calcula así:
n = lim fÝxÞ ? mx
x¸±K
En el caso que nos ocupa hay efectivamente una asíntota oblicua. Demostrémoslo:
lim
x¸+K
lim
x¸?K
2x2 ?1
3x?1
x
2x2 ?1
3x?1
x
2
= x¸+K
lim 2x 2 ? 1 = 2
3
3x ? x
2
= x¸+K
lim 2x 2 ? 1 = 2
3
3x ? x
Vemos que es asíntota oblicua tanto por la izquierda como por la derecha. Calculemos n :
n = lim
x¸±K
2x 2 ? 1 ? 2 x
3x ? 1
3
= lim 2x ? 3 = 2
x¸±K 9x ? 3
9
La asíntota es y = 23 x + 29 , y lo es por tanto por el ramal izquierdo como por el derecho de la función. El ramal izquierdo
de la función queda por encima de la asíntota. Eso lo sabemos porque al restar la función menos la asíntota da siempre
positivo. Veámoslo:
1) intervalo entre ?K y
fÝxÞ ? y =
2x2 ?1
3x?1
?
2
3
x+
2
9
1
3
:
7
= ? 9 Ý 3x?1
>0
Þ
(compruébese con cualquier valor entre ?K y
1
3
que ese cociente da
positivo);
2) intervalo entre
1
3
y +K :
da positivo siempre para cualquier valor de x >
1
3
(compruébese).
¬ Teoremas de Rolle y del valor medio
Hay dos teoremas importantes al respecto del concepto de máximo y mínimo de una función: son los de Rolle y del valor
medio.
El teorema de Rolle dice que si f es una función continua en ßa, bà y derivable en todo punto dentro de Ýa, bÞ, de modo
que fÝaÞ = fÝbÞ, entonces existe al menos un valor c que está dentro de Ýa, bÞ, que cumple: f v ÝcÞ = 0.
El teorema del valor medio establece que si f es una función continua en ßa, bà y derivable en todo punto dentro de Ýa, bÞ,
entonces existe al menos un valor c que está dentro de Ýa, bÞ que cumple: f v ÝcÞ = fÝbÞ?fÝaÞ
b?a
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
75
¡ Más sobre límites
Para resolver límites más complejos que los vistos hasta ahora es necesario conocer nuevas herramientas.
¬ Regla de L’Hôpital
K
K
Para resolver indeterminaciones del tipo
y
0
0
es muy útil aplicar la regla de L’Hôpital, que se puede expresar como
fÝxÞ = lim f v ÝxÞ
lim
x¸a gÝxÞ
x¸a g v ÝxÞ
(siendo a cualquier número real o ±K)
5Ejemplo: Calcular lim
x¸0
3x
2+x ? 2?2x
Por la regla de L’Hôpital: lim
x¸0
3x
2+x ? 2?2x
= lim
x¸0
1
2 2+x
3
+2
2
2?2x
=
1
2 2
3
+
2
2 2
= 2 2
(habría que hacer los límites laterales lim+ y lim?, pero en este caso se comprueba inmediatamente que ambos existen y
x¸0
x¸0
son iguales a 2 2)
7Si después de hacer la primera derivación hubiera persistido la indeterminación tipo
L’Hôpital, y así hasta que la indeterminación se rompa.
K
K
o
0
0
, se aplicaría de nuevo
¬ Límites tipo 1 K
Puede aplicarse la siguiente fórmula
lim
f
x¸a
g
Ýf?1Þg
x¸a
= e lim
(donde a puede ser cualquier valor entre ?K e K) siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
fÝxÞ debe ser distinta de 1 para todo valor de x
lim
fÝxÞ = 1
x¸a
lim
gÝxÞ = ±K
x¸a
y
debe existir lim
Ýf ? 1Þg
x¸a
x2 ?2
x2 +4
x2 +1
?1 Ý x2 +1 Þ
= e ?6
5Ejemplo: Calcular lim
x¸K
lim
x¸K
x2 ?2
x2 +4
x2 +1
lim
= e x¸K
x2 ?2
x2 +4
¬ Límites tipo 0 0 , K 0
(el limite lo solucionamos por L’Hôpital)
y 1K
En general es útil tener en cuenta la siguiente fórmula general:
lim f g = e limÝ g ln fÞ
¬ Límites tipo K ? K
Puede multiplicarse y dividirse por el conjugado:
f?g =
f?g
f+g
f+g
o bien aplicar la siguiente transformación algebraica:
f?g = f 1? g
f
¬ Límites tipo K 6 0
Es útil aplicar las siguientes transformaciones:
f 6 g = f1
g
o bien:
f 6 g = g1
f
¬ Cambio de variable
Para solucionar algunos límites es útil hacer el siguiente cambio de variable en la función: u = 1x . Hay que tener en
cuenta, eso sí, que al llevarlo a cabo, en el cálculo del límite, si x tendía a + K, hay que sustituir eso por u ¸ 0 + y que si
x ¸ ?K hay que cambiarlo por u ¸ 0 ?
76
TREVERIS multimedia
Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidas
Primitiva de una función; métodos de integración: por partes, por cambio de variable, integración de funciones
racionales y de funciones trigonométricas; integral definida; la integral como área
¡ Primitiva de una función; integración
Del mismo modo que sacar la raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado, integrar es la inversa de
diferenciar (o, si se quiere, de derivar).
Integrar consiste en, dada una función derivada, calcular la función primitiva que al derivarla produce esa función
derivada original. Por ejemplo, supongamos que nos dicen que f v ÝxÞ = 6x 2 es la derivada de cierta función, y nos piden
calcular cuál era esa función primitiva. Está claro que era fÝxÞ = 2x 3 ; la prueba es que al derivar fÝxÞ = 2x 3 obtenemos
f v ÝxÞ = 6x 2 . En realidad hay un número infinito de funciones primitivas que al derivarlas dan f v ÝxÞ = 6x 2 ; así, por citar tres
ejemplos: fÝxÞ = 2x 3 + 3, fÝxÞ = 2x 3 ? 45 , fÝxÞ = 2x 3 ? a4 . Como observamos, la única diferencia entre todas ellas es un
número (3, - 45 , etc.). Para tener esto en cuenta, siempre que integremos agregaremos al resultado la constante k .
¬ Simbolismo de la integral
En el capítulo dedicado a las derivadas comentamos que la forma más correcta de expresar la derivada de una función
fÝxÞ es dfÝxÞ
(aunque admitíamos la simplificación f v ÝxÞ ). Supongamos el ejemplo anterior: la derivada de una función fÝxÞ
dx
es 6x 2 y queremos conocer cuánto vale la función. Eso lo simbolizaremos así:
dfÝxÞ
= 6x 2
Para calcular fÝxÞ procedemos así (despejando primero dfÝxÞ y realizando luego la operación
dx
integral (que se representa con el símbolo X ) en los dos miembros):
dfÝxÞ = 6x 2 dx
X dfÝxÞ = X 6x 2 dx
Una integral y una diferencial se anulan (como una raíz cuadrada se anula al
elevarla al cuadrado), y por tanto el primer miembro queda simplemente fÝxÞ.
Por lo tanto, una expresión del tipo fÝxÞ = X 6x 2 dx es la que encontraremos siempre que nos planteen resolver una
integral. Hay que tener en cuenta que lo que hay que integrar es ”6x 2 ”, haciendo ”caso omiso” a ”dx”, cuya aparición en la
integral acabamos de explicar. La operación, con todo lo visto, queda así:
fÝxÞ = X 6x 2 dx = 2x 3 + k
¬ Integrales inmediatas
Hay integrales que se resuelven de forma inmediata, como la anterior. En general, las integrales polinómicas son muy
sencillas. Hay una regla simple para integrar monomios, que es:
X x n dx =
x n+1 + k
n+1
Otra regla a tener en cuenta es que cuando una constante (un número) multiplica al resto de una función, la constante
puede sacarse de la integral directamente; por ejemplo:
X 6x 2 dx = 6 X x 2 dx = 6 x3
3
+ k = 2x 3 + k
Y una tercera regla importante es que la integral de una suma de funciones (o una resta) es la suma (o resta) de las
integrales (no pudiéndose aplicar regla parecida a productos o cocientes).
Con todo ello debe quedar clara la resolución de la integral del siguiente ejemplo:
X
6x 2 + 5x ? 1 dx = 2x 3 + 5 x 2 ? x + k
2
(Comprobar si una integral está bien hecha es fácil: basta derivar la expresión obtenida para ver si se obtiene la original;
así, la derivada de 2x 3 + 52 x 2 ? x + k está claro que es 6x 2 + 5x ? 1)
—Veremos una integral inmediata típica que aparece a menudo y que se relaciona con el logaritmo neperiano: si nos dan
para integrar un cociente y el numerador es la derivada del denominador, entonces la integral es inmediata: es el ln del
denominador. Por ejemplo:
X x2x
dx = ln x 2 + 3 + k (se ponen las barras de valor absoluto porque tanto vale lnÝ?x 2 ? 3Þ como lnÝx 2 + 3Þ y esto ocurre
2 +3
siempre). Pruébese que la integral está bien hecha.
En muchos casos nos enfrentamos con integrales de este tipo que no son completamente inmediatas, pero ”casi” si
hacemos alguna sencilla manipulación algebraica previa que tenemos que idear. Por ejemplo:
X x7x
dx
2 +3
en este caso el numerador no es la derivada del denominador, pero ”casi”. Procederemos en casos como este
como sigue (buscando que en el numerador aparezca 2x, pues nos interesa, ya que es la derivada del denominador):
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
2
7
7x6
2x6
X x7x
dx = X x2 +32 dx = X x2 +32 dx = X 72
2 +3
2x
x2 +3
dx =
7
2
X x2x
dx =
2 +3
7
2
ln x 2 + 3
77
+k
Haremos una última integral inmediata:
X 3cosxdx = 3senx + k (algo que es evidente tras sacar la constante de la integral, pues como la derivada del seno es el
coseno, la integral del coseno debe ser el seno).
¡ Integrales no inmediatas: métodos para resolverlas
La mayoría de las veces las integrales no serán inmediatas. Veremos algunos métodos para resolverlas.
¬ Integración por partes
Se suele aplicar cuando el integrando es un producto de funciones. Se basa en la siguiente fórmula (a la que se llega
fácilmente a partir de la derivada de un producto de funciones):
X udv = uv ? X vdu
Se trata de identificar en una integral dos partes: a una la llamaremos u y a la otra dv. Puede hacerse como se quiera (o
se intuya: la única condición es que la parte dv contenga a la dx de la integral). Lo veremos con un ejemplo.
5Resolver la integral I = X 3x 2 e x dx
Las partes pueden hacerse como se quiera, pero normalmente la integral ”no sale” si las hemos escogido mal (y en ese caso
se tomarían de otra manera). Aquí haremos las partes así:
u = 3x 2
dv = e x dx
Un consejo: las partes deben tomarse de tal manera que sea muy fácil derivar la parte u y muy fácil integrar la parte dv, ya
que necesitamos saber cuánto vale du y cuánto v para aplicar la fórmula:
du = 6x ì du = 6xdx
dx
X dv = X e x dx ì v = e x
(la integral X e x dx es inmediata –basta ver las tablas de derivadas–; no ponemos la k porque es más cómodo ponerla al
final de la integración completa).
Aplicamos ahora la fórmula con esos datos:
X 3x 2 e x dx = X udv = uv ? X vdu = 3x 2 e x ? X e x 6xdx
La integral X e x 6xdx no es inmediata, pero volvemos a aplicar el método de las partes para resolverla. Ahora:
u = 6x ì du = 6dx
dv = e x dx ì X dv = X e x dx ì v = e x . Aplicando la fórmula:
X 6xe x dx = X udv = uv ? X vdu = 6xe x ? X 6e x dx = 6xe x ? 6e x
Llevando este resultado donde nos faltaba:
X 3x 2 e x dx = X udv = uv ? X vdu = 3x 2 e x ? 6xe x ? 6e x
+ k = e x Ý3x 2 ? 6x + 6Þ + k
¬ Integración por cambio de variable
Hay casos en que la integral sería inmediata si la variable adoptara una forma más conveniente, más simple. Es en esos
casos cuando se hace un cambio de variable. Veamos un ejemplo.
5Resolver la integral I =
X Ý?5x+32 Þ2 +1 dx
Si en el denominador en vez de
?5x + 3
apareciera sólo x 2 la integral sería inmediata (del tipo
arctg).
Haremos el siguiente cambio de variable: u = ?5x + 3. para tratar que la integral quede claramente del tipo
arctg.
Hay que tener en cuenta que también habrá que cambiar la ”dx” que aparece en la integral, pues tras el cambio todo debe
quedar en función de u. Para ello derivamos u, de lo que deducimos que du = ?5dx ì dx = ? du
El cambio global queda:
5
I=
X Ý?5x+32 Þ2 +1 dx = X u 22+1 ? du5
= ? 25
X u 21+1 du = ? 25 arctgu + k = ? 25 arctg ?5x + 3
+k
[Al final del proceso hay que deshacer el cambio de variable para que quede el resultado como función de x.]
¬ Integración de expresiones racionales
2x2 +5
Cuando se trata de integrar expresiones del tipo (por ejemplo)
X x5 ?9x+2x
dx hay que descomponer primero la expresión
2 +6
en fracciones simples, como se vio en el tema de polinomios. En este caso:
2x2 +5
x5 ?9x+2x2 +6
=
13
63 Ý x+2 Þ
?
11
72 Ý x?1 Þ
+
7
12 Ý x?1 Þ 2
?
1+3x
56 Ý x2 +3 Þ
78
TREVERIS multimedia
de manera que se puede escribir:
2x2 +5
X x5 ?9x+2x
dx = X
2 +6
?
13
63 Ý x+2 Þ
11
72 Ý x?1 Þ
+
?
7
12 Ý x?1 Þ 2
1+3x
56 Ý x2 +3 Þ
7
X 63 13
dx ? X 72 11
dx + X 12 x?1
dx ? X 561+3x
dx
Ý x+2 Þ
Ý x?1 Þ
Ý
Þ2
Ý x2 +3 Þ
dx =
Las dos primeras son del tipo ln :
X 63 13
dx =
Ý x+2 Þ
?X
13
63
ln|x + 2 |
dx = ?
11
72 Ý x?1 Þ
ln|x ? 1 |
11
72
La tercera puede solucionarse fácilmente haciendo el cambio de variable u = x ? 1 ö du = dx con lo que la integral
queda:
7
7 du =
X 12 Ýx?1
dx = X 12u
2
Þ2
7
12
X u ?2 du =
7 u ?1
12 ?1
7
= ? 12u
= ? 12 Ý7x?1 Þ
Y la cuarta se resuelve así:
1
? X 561+3x
dx = ? 56
x2 +3
Ý
X 3x+1
dx
x2 +3
Þ
1
Prescindiremos de la constante ? 56
por el momento y nos centraremos en la integral. El numerador es ”casi” la derivada
del denominador. Podemos ajustarlo así:
X 3x+1
dx = X
x2 +3
X
3
2
2x
x2 +3
2
3
dx + X
6
3
2
2
3
x2 +3
3x+1
x2 +3
X 32
dx =
2
3
Ý 3x+1 Þ
x2 +3
dx =
3
2
2
3
X 2x+
dx =
x2 +3
3
2
X
2x
x2 +3
+
2
3
dx =
x2 +3
dx
Prescindamos de nuevo de la constante ( 32 ). Ahora, en la primera integral vemos que el numerador es la derivada del
denominador, luego es del tipo ln :
X x2x
dx = ln x 2 + 3
2 +3
La segunda es ”casi” del tipo
de variable:
2
X x23+3 dx =
2
3
X x21+3 dx =
2
3
X
1
3
x2
3
+
3
3
arctg;
de hecho lo será si hacemos unas pequeñas transformaciones algebraicas y un cambio
dx =
2 1
3 3
X
Ý
x
3
1
2
Þ +1
Hacemos u =
dx
x
3
ì du =
1
3
dx
ì dx = 3du
La integral queda:
2
9
3 X u 21+1 du =
2 3
arctgu
9
=
2 3
arctg x3
9
Finalmente, sólo queda sumar todas las integrales parciales que hemos ido obteniendo sin olvidar multiplicarlas por las
constantes correspondientes que quedaron fuera de las integrales.
¬ Integración de expresiones trigonométricas
à Para resolver integrales con expresiones trigonométricas (no inmediatas) es útil probar el siguiente cambio de variable:
tg x2
= t
lo que implicará que x = 2arctgt
y, por tanto, dx =
Con este cambio, cada vez que aparezca senx escribiremos:
y cada vez que aparezca cosx pondremos:
cosx =
2dt
1+t2
senx =
2t
1+t2
1?t2
1+t2
Este cambio reduce la integral a una función racional del tipo de las vistas anteriormente. Pero en algunas ocasiones se
pueden hacer algunos cambios más simples. Veámoslos a continuación.
à Si el integrando es par en seno y en coseno (es decir, si ambos están elevados a potencias pares) puede hacerse el
cambio:
tgx
= t,
lo que implicará que x = arctgt
y, por tanto, dx =
Con este cambio, cada vez que aparezca senx escribiremos:
y cada vez que aparezca cosx escribiremos:
cosx =
dt
1+t2
senx =
t
1+t2
1
1+t2
à Si el integrando es impar en seno puede hacerse el cambio:
cosx = t ,
con lo cual
?senxdx = dt
à Si el integrando es impar en coseno puede hacerse el cambio:
senx = t ,
con lo cual
cosxdx = dt
5Ejemplo I = X 3senxcos 2 xdx
Es impar en seno; hacemos el cambio indicado y queda (haciendo un pequeño ajuste algebraico):
I = X 3senxcos 2 xdx = XÝ?3Þ cos 2 xÝ?senxdxÞ = ?3 X t 2 dt = ?3 t33 + k = ?cos 3 x + k
à En otras ocasiones será mejor estudiar alguna transformación trigonométrica que simplifique el integrando, o resolverla
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
79
por partes, cambio de variables, etc.
A veces, cuando tratamos de resolver una integral trigonométrica por partes, en el proceso de resolución aparece de nuevo
la integral. Estas integrales se llaman recurrentes y se resuelven pasando las integrales a un mismo miembro y despejándolas
como si fueran una incógnita. Por ejemplo:
I = X e x senxdx
dv = sendx ì v = ?cosx
Hacemos u = e x ì du = e x dx;
Se aplica la fórmula de la integración por partes:
I = X e x senxdx = uv ? X vdu = ?e x cosx ? X ?e x cosxdx = ?e x cosx + X e x cosxdx
La segunda integral también la resolvemos por partes. Hacemos ahora: u = e x ì du = e x dx;
dv = cosdx ì v = senx
Al aplicar la fórmula:
X e x cosxdx = e x senx ? X e x senxdx
Como vemos, hemos vuelto a obtener la integral original. Recapitulemos los resultados:
X e x senxdx = ?e x cosx + e x senx ? X e x senxdx
En la ecuación anterior se pasan las dos integrales iguales al primer miembro (como si fueran una incógnita) y se depeja
2 X e x senxdx = ?e x cosx + e x senx
X e x senxdx =
exÝ sen x?cos xÞ
2
+k
(la constante podemos agregarla al final)
¡ Integrales definidas
Las integrales que hemos resuelto hasta ahora se llaman indefinidas. Hay otro tipo de integrales, basadas en las
anteriores, que se llaman definidas. Lo único que las diferencia de las anteriores es que tienen los llamados límites de
integración. Se resuelven de modo exactamente igual que las indefinidas, excepto que no se pone la constante (k) al final y
que se tienen en cuenta los límites de integración como se indica a continuación con un ejemplo.
5Ejemplo
X 10 4x 2 dx
En este caso nos dicen que integremos entre los límites de integración 0 y 1 (números abajo y arriba del símbolo de la
integral). Se resuelve la integral sin tenerlos en cuenta (y sin escribir la k). Es inmediata: 4x3 3 . Ahora se sustituye la x por el
límite superior (es decir, 1), y luego por el límite inferior (0). Con ello se obtienen dos números reales, que se restan. Lo que
dé la resta es el valor de la integral definida. Es decir, a diferencia de una integral indefinida, cuyo resultado es una función,
en la integral definida lo que se obtiene es un número. En este caso el resultado es:
4 Ý1 Þ3
3
?
4 Ý0 Þ3
3
=
4
3
5Ejemplo
X ?22 4x 2 + 3x ? 1 dx =
5Ejemplo
X 3?2
2x
x2 ?1
dx =
ln x 2 ? 1
4x3
3
+
1
?2
3x2
2
?x
2
?2
= ln 3 2 ? 1
=
4 23
3
? ln
+
?2
3 22
2
2
? 2
?1
?
4 Ý ?2 Þ 3
3
+
3 Ý ?2 Þ 2
2
= ln 8 ? ln 3 = ln
?
?2
=
5 2 +17
3
8
3
(el paso final es la aplicación de una de las propiedades de los logaritmos, como se vio en el tema correspondiente)
Cuando se haga la integral por el método de cambio de variable, no se olvide deshacer el cambio antes de sustituir la x
por los límites de integración. [Otra posibilidad es cambiar los límites de integración de acuerdo con el cambio de variable
hecho, pero en general puede resultar más complicado.]
¬ Interpretación de la integral definida
La integral definida se puede interpretar como el área que queda entre la función integrando, el eje de las X y las rectas
verticales x = a y x = b. Por ejemplo, X 31 x 2 + 10 dx es el área que queda entre el trazo de la función fÝxÞ = x 2 + 10, el
eje X y las rectas x = 1 y x = 3 :
80
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x=3
x=1
20
f(x) = x2 + 10
15
por 0
ada f(x) =
mit
deli = 3;
a
x
e
10
Ár 1;
2 +
x = x) = x
(
f
y
10
5
f(x) = 0
0
-1
La solución de
X 31 x 2 + 10 dx es
86
3
0
1
, luego el área indicada vale
2
86
3
..
3
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
Segunda parte: PROBLEMAS
81
82
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Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
83
Temas 1 y 2: Números enteros, racionales y reales
Divisibilidad, factorización, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, operaciones algebraicas, ecuaciones e
inecuaciones, potencias, ecuaciones de segundo grado, logaritmos, ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Problemas de clase
$1. Factorizar en factores primos los números 820, 82 y 738
$2. Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 820, 82 y 738
$3. Efectuar la siguiente suma
$4. Resolver la ecuación
$6. Simplificar:
a3
5
b 10
3
+
b
a
(Sol.:
x= 9
(Sol.:
x²
15
(Sol.:
a8
a)
² x1 ²
3
2
b) ?5 ² x 1 ²
c)
? 32
(Sol.:
x = ? 14 +
² x1 ² 5
$9. Calcular ln 200 en función de ln 2 y ln 5
1
4
41
x = ? 14 ?
,
1
4
2 x?1 + 2 x+1 + 2 x+3 = 84
41
)
verifica:
(Sol.: x = 3)
(Sol.: 3ln 2 + 2ln 5)
logÝx ? 7Þ ? logÝx + 2Þ = ?1
$10 Resolver la ecuación
)
a 29 )
2x 2 + x ? 5 = 0
2
3
)
)
11
27
$8 (J99B6). La solución, x 1 , de la ecuación exponencial
? 12
2ba 2 +b 2 a?25b 2 +5a 2
25ba
(Sol.:
+ 5 = 2x ? 8
a4b2
$7. Resolver la ecuación
a
5b
?3x + 5/3 ³ 4/9
x+1
2
$5. Resolver la inecuación
?
2a+b
25
(Sol.: x = 8)
Problemas propuestos
$P1(è 1). Factorizar en factores primos los números 39, 47 y 120
120 = 1 × 2 3 × 3 × 5)
(Sol.: 39 = 1 × 3 × 13;
47 = 1 × 47;
$P2(è 2). Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 39, 47 y 120
mcmÝ39, 47, 120Þ = 73320; mcdÝ39, 47, 120Þ = 1)
2
3
$P3(è 3). Efectuar la siguiente suma:
a+
8
9
5
4
b
a+b
+ 5b +
8a 2
9 a
=
(Sol.:
728a+981b+1440ab+1620b 2
288a+324b
(Sol.:
)
(Ayuda:empezar reduciendo la primera fracción; efectuar luego el producto de fracciones indicado en el tercer monomio;
tener en cuenta que, por ejemplo, 23 a es lo mismo que 2a
–es como si se hubiera efectuado el producto de fracciones 23 × a1 –;
3
tener en cuenta también que 5b es lo mismo que 5b
)
1
$P4(è 4). Resolver la ecuación
2x = ? x+4
+
5
2
15
x = ? 10
33
(Sol.:
)
(Ayuda: poner todos los monomios como fracciones, aplicar la regla de ponerles a todos los monomios el mismo
denominador, para poder eliminarlo –simplificarlo– después)
$P5(è 5). Resolver la inecuación
2x
5
?
5
2
x<x
x>0
(Sol.:
)
(Ayuda: no olvidar que si se multiplican todos los monomios por ?1 cambia el sentido de la desigualdad)
$P6(è 6). Simplificar:
1
Ýa 2 Þ 2 bc
3 a 2 bc
3
(Sol.:
a 3 b 2 3 c2 )
(Ayuda: no olvidar las reglas del producto y raíz de potencias:
$P7(è 7). Resolver la ecuación
xÝx ? 1Þ = 6
(Sol.:
x = ?2
,
m a m b = m a+b ; m ?a =
x= 3
1
ma
;
Ým a Þ b = m ab ;
n
a
ma = m n )
)
(Ayuda: efectuar primero el producto xÝx ? 1Þ para comprobar que se convierte en una ecuación de segundo grado)
$P8(è 8). Solucionar
2 x + 5 × 2 x = 12
x = ?2
(Sol.:
x
)
x
(Ayuda: tener en cuenta que escribir 2 + 5 × 2 es algo parecido a escribir a + 5 × a (o bien, a + 5a) es decir, cabe hacer
una suma previa; luego se despeja el factor 2 x y el resto es de lógica)
$P9(è 9). Calcular log 16000 sabiendo que log 2 u 0.301
(Sol.: u 4.204)
(Ayuda: factorizar 16000; aplicar las propiedades de los logaritmos necesarias –recordar que las principales son:
log m n = nlog m; log mn = log m + log n y log m
n = log m ? log n –; finalmente,tener en cuenta que log 1000 es un valor conocido)
$P10(è 10). Resolver la ecuación logarítmica
log 1001x ? logÝx + 2Þ = 3
(Ayuda: se trata de hacer desaparecer la expresión del logaritmo, que dificulta la resolución de la ecuación; para ello,
empezar por aplicar la regla log m
log a m = n ö m = a n , y así desaparece el logaritmo.
n = log m ? log n; luego aplicar la regla:
La solución es x = 2000)
84
TREVERIS multimedia
Temas 3 y 4: Conjuntos, Combinatoria
Elementos de la teoría de conjuntos, aplicaciones y funciones, composición de funciones, funciones inversas;
Variaciones, permutaciones y combinaciones
Problemas de clase
gÝxÞ = 3x ? 2
$1 (J97B9) Dadas las funciones reales de variable real
fÝxÞ = x 2 + 1 y
f E gÝxÞ = 9x 2 ? 12x + 5
b) f E gÝxÞ = 3x 2 + 1
c) f E gÝxÞ = x 2 + 3x ? 1
$2.(S99D5)Sea f : R ?
a) f ?1 ÝxÞ =
3x?5
x?1
5
b) f ?1 ÝxÞ =
¸ f : R?
5x+3
x?1
1
la función fÝxÞ =
c) f ?1 ÝxÞ =
x+3
x?5
se tiene que: a)
. Entonces:
x?5
x+3
$3. ¿Cuántas palabras de tres letras, sin repetir ninguna, se pueden formar con las letras de la palabra EUROPA? ¿Y de
cuatro letras, sin repetir ninguna? ¿Y de seis letras? ¿Y de tres letras repitiendo cada letra las veces que se quiera?
$4. ¿Cuántas palabras de 11 letras se pueden formar permutando las letras de la palabra MATEMATICAS?
$5. ¿Cuántos combinados se pueden hacer mezclando partes iguales de tres licores distintos si se dispone en total de
cinco licores? ¿Y cuántos si se permite repetir cuantas veces se quiera cualquiera de ellos?
$6 (S94BB). Un estudiante tiene que elegir al matricularse 3 asignaturas y 3 idiomas de un total de 6 asignaturas (biología,
matemáticas, física, filosofía, historia y ética) y 5 idiomas (inglés, francés, italiano, ruso y aleman). 1) ¿De cuántas maneras
puede hacerlo?; 2) Si matemáticas e inglés son obligatorias, ¿de cuántas maneras diferentes puede hacerlo? (Sol.: a) 200; b)
60; Ayuda: se cuentan las combinaciones de cada grupo de asignaturas, y se multiplican los resultados (regla de la
multiplicación))
$7 (S98A7). Números naturales n que tienen todas sus cifras diferentes y satisfacen 5000 < n < 10000 hay: a) 2520
3600
c) 4999
b)
Problemas propuestos
x
$P1 (J98A5)(è 1). Dadas las funciones gÝxÞ = x+1
para x ® ?1 y fÝxÞ = x12 para x ® 0. ¿Cuál de las siguientes
2
1
afirmaciones es correcta?: a) g E fÝxÞ = x21+x si x ® 0
b) g E fÝxÞ = x2x+1
si x ® 0
c) g E fÝxÞ = 1+x
si x ® 0 (Sol.: c; Ayuda: no
2
olvidar que g E fÝxÞ es lo mismo que g fÝxÞ )
$P2 (J97E7)(è 1). Dadas las funciones reales de variable real
fÝxÞ = x 2 + 1 y gÝxÞ = 3x + 5
se tiene que: a)
f E gÝxÞ = 3x 3 + 5x 2 + 3x + 5
b) f E gÝxÞ = 9x 2 + 30x + 26
c) f E gÝxÞ = 3x 2 + 8 (Sol.: b; no olvidar que Ýa + bÞ 2 = a 2 + 2ab + b 2 ;
en este caso habrá que aplicarlo a Ý3x + 5Þ 2 = 9x 2 + 30x + 25)
x
$P3 (J96G8)(è 1). Dadas las funciones fÝxÞ = x+1
para x ® ?1 y gÝxÞ = x 2 + 2x, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es
2 +2xÞ
2 +2x
+2x para x ® ?1
correcta?: a) g E fÝxÞ = x2x+1
b) g E fÝxÞ = 3x
para x ® ?1
c) g E fÝxÞ = xÝxx+1
para x ® ?1 (Sol.: b; tener en
Ýx+1Þ 2
cuenta lo dicho en los problemas anteriores y recordar que en la suma
x2
Ý x+1 Þ 2
2
+
2x
x+1
el mínimo común múltiplo, y por lo tanto
común denominador a utilizar, es Ýx + 1Þ 2 , advirtiendo también que Ýx + 1Þ dividido por x + 1 es x + 1.
$P4.(S95E6)(è 2). Si f : Z ¸ Z es la aplicación tal que
fÝzÞ = 2z 2 ? 8, entonces f ?1 Ý 0, ?8 Þ es igual a:
a)
1
?8, 0, 8
b) ? 18 , 120
c) ?2, 0, 2 (Sol.: c; Ayuda: primero hay que calcular lo que vale f ?1 ÝzÞ, y luego sustituir en la
expresión resultante la x por los valores 0 y -8; no olvidar, en su momento, que la raíz cuadrada de 4 admite dos soluciones: 2
y -2)
$P5(è 3). a) ¿Cuántas cifras de tres dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5 sin repetir ninguno?b) ¿Y de
cinco dígitos, sin repetir ninguno? c) ¿Y de cinco dígitos repitiendo cada uno cuantas veces se quiera? d) ¿Y de cinco dígitos,
sin repetir ninguno, pero que empiecen por 1 y acaben en 5? (Sol.: a) 60; b) 120; c) 3125; d) 6; Ayuda: repárese en que son
problemas de variaciones o permutaciones)
$P6.(S96A9)(è 3) Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 formamos números de cuatro cifras. ¿Cuántos números son múltiplos de
cinco?
a) 125
b) 216
c) 70 (Sol.: la respuesta es 216; ayuda: repárese en que hay que escribir cuatro posiciones; la
última siempre será el cinco, y las tres primeras, cualquier variación de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, pudiéndo repetirse)
$P7(è 3). a) ¿Cuántas quinielas distintas pueden hacerse de una sola columna y quince resultados? (Sol.: 14348907;
Ayuda: dos posibles quinielas serían: 111XXX1212221X2, 1X21X222X221222; repárese en que se están utilizando 3
elementos (1, X, 2) de quince en quince veces y que cada uno se puede repetir las veces que se quiera, es decir, se admite
incluso la variación 111111111111111, por ejemplo)
$P8 (S95E2)(è 3). Con las cifras 0, 1, 2, ...9 formamos números de 5 cifras. ¿Cuántos números empiezan por 73?
a)
1000
b) 120
c) 720 (Sol.: 1000; Ayuda: hay que colocar cifras en cinco posiciones; la única obligación es colocar el 7 en
la primera posición y el 3 en la segunda; en las otras tres posiciones puede colocarse cualquier número del 0 al 9, e incluso
cabe repetirlos).
$P9(è 4). ¿Cuántas banderas confeccionadas cosiendo una al lado de otra siete bandas de colores se pueden hacer de
manera que tres bandas sean azules, dos rojas y dos verdes? (Sol.:210; Ayuda: es un problema de permutaciones con
repetición; un ejemplo sería la bandera azul-azul-azul-roja-roja-verde-verde; otro: azul-roja-verde-azul-roja-verde-azul)
$P10(è 5). ¿Cuantas combinaciones pueden hacerse marcando 6 de los 49 números de la lotería primitiva? (Sol.:
13983816)
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
85
$P11(è 6). ¿Cuántas comidas distintas pueden hacerse disponiendo de tres primeros platos, dos segundos y cuatro
postres? (Sol.: 24; Ayuda: hay tres grupos: primero, segundo plato y postre; se cuenta el número de posibilidades de cada grupo
(cosa que es trivial, aunque puede hacerse por la fórmula V(n, 1)), y luego se multiplican los tres valores obtenidos).
$P12(è 7). ¿Cuántos números naturales con todas sus cifras distintas hay entre 60000 y 70000?
86
TREVERIS multimedia
Temas 5 y 6: Probabilidad, Estadística
Suceso, sucesos incompatibles, sucesos independientes, probabilidad de un suceso, unión e intersección de
sucesos
Problemas de clase
$1.(J94Bb). Se elige al azar un número natural de cuatro cifras. Calcular la probabilidad de que el número elegido
empiece por 5 y termine en par.
5
36
$2.(J95C10). Se lanzan dos dados; ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea 6? a)
c) 36
10
1
5
$3.(S96H3). De una baraja española de cuarenta cartas se toman dos al azar; la probabilidad de obtener dos oros es a)
3
b) 52
c) 52
5
1
6
b)
$4 (J99H1; J95I6) Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 blancas y 5 negras. Se extraen simultáneamente dos bolas de la
urna. La probabilidad, P, de que sean negras verifica: a) 0, 1 < P < 0, 3
b) 0, 3 < P < 0, 7
c) P = 0, 8
$5.(J97B2). Un cartero reparte cuatro cartas al azar entre sus cuatro destinatarios. La probabilidad de que sólo dos cartas
lleguen a su destino es a) 2, 75
b) 0, 5
c) 0, 25
15
16
$6.(93?). Calcular la probabilidad de que al lanzar cuatro veces consecutivas una moneda salga al menos una cara (Sol.:
= 0.937).
$7. Sean dos aulas. La primera tiene 26 alumnos y la segunda 18. Las notas sacadas por los alumnos de la primera en
cierta asignatura fueron: 5, 7, 4, 6, 9, 1, 5, 6, 5, 1, 1, 10, 7, 7, 8, 10, 2, 3, 6, 6, 5, 7, 4, 4, 5, 4. Los de la segunda obtuvieron: 1,
2, 10, 9, 7, 7, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 7, 6, 6, 6, 3, 7. Calcular las medias, medianas, modas, desviaciones medias, varianzas,
desviaciones típicas y coeficientes de variación de ambos conjuntos de datos; tipificar también la nota de 5 para ambas
poblaciones. Considerando ambas distribuciones normales, ¿cuál es más homogénea? ¿Qué significa en cada una de ellas el
valor de la desviación típica?
Problemas propuestos
$P1.(J94Ab)(è 1). Se elige al azar un número natural de cuatro cifras. Calcular la probabilidad de que el número elegido
empiece por impar y termine en 6. (Sol.: 0.055; Ayuda: para contar los casos favorables hay que tener en cuenta que los
números que nos piden pueden clasificarse en 5 categorías: 1_ _ 6; 3_ _ 6; 5_ _ 6; 7_ _ 6 y 9_ _6, donde los huecos pueden
ocuparlos todas las cifras, del 0 al 9, pudiendo repetirse, y que los casos posibles pueden dividirse en nueve categorías de
los tipos: 1_ _ _; 2_ _ _; 3_ _ _, etc., pudiendo ocupar los tres huecos todas las cifras, incluso repitiéndose. OTRA FORMA de
hacer el problema es dividirlo en cuatro experimentos más sencillos: elegir los cuatro números en cuatro operaciones
diferentes. Luego se calcula la probabilidad de que el primero sea impar, de que el segundo sea cualquier cifra del 0 al 9, lo
mismo para el tercero (estas dos probabilidades son 1) y de que el cuarto sea 6 Hay que tener en cuenta que estamos
hablando de intersección de sucesos, puesto que queremos que se cumpla el primero Y el segundo Y el tercero Y el cuarto. Por
tanto, habrá que emplear la fórmula de la intersección, que implica una multiplicación de las correspondientes
probabilidades)
$P2.(J98A4)(è 2, 6). Se lanzan dos dados; la probabilidad de que los resultados de cada dado sean distintos es a) 16
b)
5
c) 36
(Sol.: 56 ; Ayuda: se escriben los 36 resultados (sucesos elementales) posibles y se cuentan los que cumplan la
condición requerida, que es que ambos números sean distintos. OTRA FORMA: se cuentan los resultados que cumplen que
ambos números son iguales; este es el suceso contrario al pedido; de calcula su probabilidad y luego se calcula la
probabilidad del suceso directo mediante la fórmula PÝSÞ = 1 ? PÝS c Þ
OTRA FORMA: se descompone el experimento en dos:
calcular la probabilidad de que ocurra el suceso ”salir cualquier número en la tirada del primer dado” (esa probabilidad es 1) Y
el suceso ”salir distinto número en el segundo dado del que ha salido en el primero” (esa probabilidad es 56 ). Recordar que el
resultado final se calcula multiplicando ambas probabilidades, pues estamos hablando de intersección de sucesos)
5
6
$P3.(J98H5)(è 3). Se extrae una carta de una baraja española; la probabilidad de que sea una figura y una copa es a)
0, 30
b) 0, 075
c) 0, 225
(Sol.: 0.075; Ayuda: sólo hay tres cartas que sean figuras y copas. OTRA FORMA: calcular la
probabilidad de que salha figura Y la de que salga copa; luego, multiplicar, pues hemos usado la partícula Y de intersección)
$P4(è 4) Una urna contiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 3 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola sea
roja? Supongamos que hemos extraído una bola roja; si sacamos una segunda bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea
también roja? ¿Y de que sea verde? Volvemos a las condiciones iniciales (9 bolas en la urna, 3 de cada color); si sacamos
tres de una vez, cuál es la probabilidad de que las tres sean rojas? ¿Y de que sea una de cada color? (Sol.:
1;
1;
3;
0.0119;
0.32
Ayuda para la cuarta parte: dividir el problema en sacar primero una bola Y luego otra Y
3
4
8
luego otra; para la quinta parte: dividir el problema en tres partes: que salga una primera bola de cualquier color Y que salga
una segunda de color distinto al que salió antes Y que salga una tercera de color distinto a los dos anteriores; es intersección
de sucesos, luego multiplicar. También puede considerarse un esquema más complejo: (la primera roja Y la segunda verde Y
la tercera blanca) O (la primera roja y la segunda blanca Y la tercera verde) O etc... (6 posibilidades); para calcular la
probabilidad de cada paréntesis, se emplea la multiplicación (pues se han usado intersecciones), y luego hay que sumar las
seis probabilidades, pues se trata de seis uniones)
$P5.(J97E4)(è 4). Una enciclopedia consta de 40 tomos, el primero de los cuales es ”Matemáticas”. La probabilidad de
que al elegir 3 tomos al azar resulte elegido el tomo de Matemáticas es a) 1, 05
b) 0, 025
c) 0, 075
(Sol.: 0.075; Ayuda:
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
87
contar, mediante combinatoria, cuántos tríos posibles pueden formarse (combinaciones de _____ elementos tomados de
_____ en _____); esos son los casos posibles. Los casos favorables son, de esos tríos, los que contengan el libro de
Matemáticas; es decir, dando por hecho que en un trío está ese libro, los otros dos que formen el trío pueden una pareja de
entre C(39,2) posibles. Esos son los casos favorables. OTRA FORMA: dividir el problema así: ”que el primer libro sea de
Matemáticas Y el segundo otro cualquiera Y el tercero otrio cualquiera) O (que el primero sea uno cualquiera no de
Matemáticas Y el segundo el de Matemáticas Y el tercero uno cualquiera) O (que el primero sea uno cualquiera no de
Matemáticas Y que el segundo sea otro cualquiera no de Matemáticas Y que el tercero sea de Matemáticas). Calcular las
nueva probabilidades simples y finalmente sustituir los O por sumas y los Y por multiplicaciones)
$P6(è 5). Si entrego al azar tres carnés de identidad a sus tres titulares, ¿cuál es la probabilidad de que acierte
completamente?
(Sol.: 16 ; Ayuda: numeremos los carnés de identidad: el 1 es de la persona A, el 2 de la B y el 3 de la C;
Puedo hacer una serie de permutaciones con los carnés: 123, 132, etc, y sólo una me vale. OTRA FORMA: la probabilidad es
la misma que la de que entregue el primer carné correctamente a la primera persona Y de que lo entregue correctamente a la
segunda Y de que lo entregue correctamente a la tercera)
$P7(è 6). Una comisión parlamentaria está formada por cinco diputados de izquierdas, uno de centro y cinco de derechas.
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir por sorteo a tres de ellos para integrar una subcomisión salga alguno de derechas?
(Sol.: 0.88; Ayuda: hacerlo por el método del suceso contrario: calculando primero la probabilidad de que ”no salga ninguno de
derechas”; entonces, el número total de tríos es C(__, __) (esos son los casos posibles), y el número total de tríos integrados
sólo por diputados de izquierdas o de centro es C(6,__) (esos son los casos favorables).
$P8(è 7). Sean dos atletas. En determinada prueba, repetida por el primero de ellos 12 veces obtiene los siguientes
resultados: 85, 82, 83, 85, 87, 88, 85, 84, 81, 90, 85, 82; el segundo atleta repite la misma prueba 9 veces y obtiene los
siguientes resultados: 75, 95, 85, 84, 89, 86, 85, 84, 87. Calcular las medias, medianas, modas, desviaciones medias,
varianzas, desviaciones típicas y coeficientes de variación de ambos conjuntos de datos; tipificar también el resultado 85 para
ambos atletas. ¿Cuál de los dos se puede considerar más regular? Si la distribución de rsultados del primero se puede
considerar normal, ¿qué significa el valor obtenido de la desviación típica? Compruébese si ello es cierto. (Ayuda: para caldular
los parámetros estadísiticos pedidos, buscar las fórmulas en el libro; la homogeneidad se determina mediante el coeficiente
de variación; en una distribución normal, la desviación típica es un valor que sumado a la media y restado de ésta determina
una horquilla dentro de la cual está el 68% de los resultados aproximadamente (compruébese)).
88
TREVERIS multimedia
Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones lineales de dos o más incógnitas, matrices, determinantes y sus propiedades, resolución de
sistemas de ecuaciones por determinantes (método de Cramer)
Problemas de clase
$1. Resolver los siguientes determinantes:
a)
2
?1 ?5 ?3
1
b)
0 ?1
?3
7
0
7
5
4
,
?3
2
3
c)
,
?1 ?1
d)
1 0 1
1
2 0 0
2
1 2 0
1
3 1 ?1 2
(Sol: a) ?2; b) 104; c) ? 11
; d) ?4)
3
$2. Resolver los siguientes determinantes tratando de hacer ceros:
?1 ?2 ?1
a)
?3
,
1 ?3
7
1
b)
7
1
0
1
1
2
0
2
2
3
?2 0
?3 1
?1
1 2 ?1
,
c)
3 1 ?3
4 3
?1 2
,
d)
7
1
0
2
1
2
0
4
2
3
?2 6
3
?3 1
,
?1 2
(Sol: a) 0; b) 0; c) ?55 d) 0)
$3. Determinar los rangos de las siguientes matrices.
a)
1 1
,
2 3
1
2
e)
,
c)
,
f)
6 3
1
1
2
3
,
g)
(Sol: a) 2; b) 1; c) 3 d) 2 , e) 1
f) 2
2 2
1
2
1 2
,
?1
3 0 ? 23
d)
4
2 4 1
?1 0
4 8 ?8
1 1
,
1 0 ?2
2 2
1 ?1
1 2 ?2
1 2 ?1
1 1
b)
h)
,
?2
4
4
2 0
2
2
1 0
1
1
0 1
,
?3 ?3 0 0
g) 1
h) 3 )
$4(J99H8). La solución Ýx 1 , y 1 , z 1 Þ del sistema
2x + y + 3z = 3
x?y?z = 0
5x ? 3y ? 2z = 6
verifica: a) ?12 ² x 1 ² 2;
0 ² y 1 ² 31;
?2 ² z 1 ² 0
0 ² y 1 ² 25;
(Sol.: b)
?40 ² z 1 ² 9
b) 5 ² x 1 ² 10;
0 ² y 1 ² 25;
?40 ² z 1 ² 2;
c) ?2 ² x 1 ² 7;
$5(S99D9). El sistema
2x + 3y ? 2z = 1
4x + 7y ? z = 3
2x + 2y ? 5z = 1
a) es compatible determinado; b) es compatible indeterminado; c) es incompatible (Sol.: c)
$6(J99H3). El sistema
kx + y + 3z = 3
x?y?z = 0
5x ? 3y ? 2z = 6
verifica: a) para k = 6 el sistema es incompatible; b) para k =
sistema es compatible indeterminado. (Sol.: b)
3
5
el sistema es compatible determinado; c) para k =
1
5
el
$7(J97B1). Dado el sistema
ax ? y + 2z = 1
x ? 2y = 0
ax + y ? z = 1
se verifica que a) para a = ? 16 y a = 1 es compatible; b) para a = ? 16 y a =
es compatible. (Sol.: c).
$8(S96H1). Dado el sistema
4
9
es incompatible; c) para a =
1
6
y a =
3
2
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
89
2x ? 8y + 3z = 0
x ? 5y + 2z = 0
?x?y+z = 0
V
2
¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) la solución del sistema es x =
”incompatible”; c) x = 0; y = 0; z = 0 es la única solución del sistema (Sol.: a).
V
2
; y=
; z = V; b) el sistema es
$9(J95C7). Se verifica que el sistema
2x ? 6y + 4z = 6
3x ? 9y + 6z = 9
a) tiene solución única; b) tiene infinitas soluciones; c) no tiene solución (Sol.: b)
Problemas propuestos
$P1(è 1). Resolver los siguientes determinantes:
a)
?1 3
9
,
b)
9
(Sol: a) ?36; b)
77
2
0
1 ?1
0
7
2
2
7
5
0
2
,
3
c)
3
,,
d)
? 3 ?1
0
1
0
?7 1
0
0
1
0
0
1
1
?1 ?1 ?2
,
; c) 0; d) ?2)
$P2(è 2). Resolver los siguientes determinantes tratando de hacer ceros:
1 1
?1 ?5 ?3
a)
?1 ?5
7
5
,
0
1
2
2 ?1 ?2 4
b)
4
1 2
0
3 1
?1 2
,
c)
2
1 2
3
1 2
0
1 1
,
d)
7 5 12
1
2
1 ?1 ?2 2
1 3
3
3 1
?1 2
,
2
(Sol: a) ?90; b) ?28; c) ?27; d) ?8)
$P3(è 3). Determinar los rangos de las siguientes matrices.
a)
?1
?10 10
3
2
e)
1
,
b)
2 0
1 5 0
1 0 1
,
f)
0
0
2
3
?1
1
1
1
1
0 2
,
?1
3 3
,
g)
?1 6
,
d)
2 4 6
,
h)
10
2
1 4 2
0
1
1 0 2
1
?3 1 0 1
0
1
f) 2
g) 2
,
3 6 9
3
?2 1
3
?1 0
(Sol: a) 1; b) 1; c) 2 d) 1 , e) 3
1 2 3
0 1 ? 12
c)
,
1 1 ?2 3
h) 4 )
$P4(S98A1)(è 4). Si Ýx 1 , y 1 , z 1 Þ es la solución del sistema
3x + y + z = 1
? x + 2y ? z = 5
2x ? y ? 3z = 1
entonces verifica: a) ?3 ² x 1 ² ?1;
y 1 = 0;
?2 ² z 1 ² 12
(Sol.: b)
? 32
² y1 ²
3
2
;
z 1 = ?1
b) x 1 = 0;
0 ² y 1 ² 2;
?2 ² z 1 ²
3
2
;
c) ?1 ² x 1 ² 0;
$P5(J98H2)(è 5). El sistema
2x ? y + z = 3
x + 3y ? 2z = 0
4x ? 3y + z = 1
verifica a) es incompatible; b) es compatible determinado; c) es compatible indeterminado. (Sol.: b).
$P6(J97E5)(è 6, 7). Dado el sistema
x+y+z = 2
3x + 2y ? z = 4
? 2x + y + +az = 2
se verifica que a) para a = 4 es incompatible; b) para a = 10 es compatible e indeterminado; c) para a = ?3 tiene
infinitas soluciones. (Sol.: b).
$P7(S96A1)(è 6, 7). Dado el sistema
? 2x + y + 3z = 0
x + Jy ? z = 3
x + 4y ? z = 1
¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) el sistema es ”compatible-determinado” para J = 4; b) el sistema es
90
TREVERIS multimedia
”incompatible” para J = 4; c) el sistema es ”compatible-indeterminado” para J ® 4. (Sol.: b).
$P8(J99B1)(è 6, 7). El sistema
kx + y + 3z = 3
x?y?z = 0
5x ? 3y ? 2z = 6
verifica a) para k = 25 el sistema es incompatible; b) para k =
sistema es compatible indeterminado. (Sol.: b)
3
5
el sistema es compatible determinado; c) para k =
1
5
el
$P9(J98A3)(è 6, 7). El sistema
kx + y ? z = 1
x + 2y + z = 2
x + 3y ? z = 0
verifica a) para k = 0 el sistema es compatible indeterminado; b) para k = ?3 el sistema es incompatible; c) para k = 4 el
sistema es compatible determinado. (Sol.: c).
$P10(J96G2)(è 4, 5, 6, 7, 8). Dado el sistema
x?y?z = 0
2x + y ? 5z = 0
3x + 2y ? 8z = 0
¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) el sistema es incompatible; b) x = 0; y = 0; z = 0 es la única solución
del sistema; c) la solución del sistema es x = 2V; y = V; z = V; (Sol.: c).
$P11(S97A5)(è 4, 5, 6, 7, 8). Dado el sistema
x+y+z = 0
y?z = 0
2x + 3y + z = 0
se verifica que: a) es compatible determinado, con solución: x =
con solución: x = ?2t;
y = t;
z = t; c) es incompatible (Sol.: b).
2
3
;
y=
?1
3
;
z = ? 13 ; b) es compatible indeterminado,
$P12(S95E8)(è 4, 5, 6, 7, 8). Dado el sistema
x+y+z = 1
2y ? z = 2
x ? 3y + 3z = ?3
¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) el sistema es ”compatible-indeterminado”, con solución x = ? 3V
;
2
y = 2+V
; z = V; b) el sistema es ”compatible-determinado” con solución x = ?3; y = 2; z = 2; c) el sistema es ”incompatible”
2
(Sol.: a).
$P13(J95I4)(è 9). El sistema
? 2x + 4y ? 6z = 1
3x ? 6y + 9z = 3
a) no tiene solución; b) tiene infinitas soluciones; c) tiene solución única (Sol.: a)
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
91
Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometría
Ángulos, triángulos, teorema de Tales, teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, fórmulas trigonométricas
Problemas de clase
$1. Pasar a radianes los siguientes ángulos en grados: 30 o , 60 o , ?45 o , 235 o , 1400 o
radianes: 7^
, ?^, 0, 10.
12
y a grados los siguientes ángulos en
$2. Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 120 o , 225 o , 270 o , 330 o ,
siguientes: sen 0 = 0; sen 30 = 12 ; sen 45 = 22 ; sen 60 = 23 ; sen 90 = 1.
? 120 o conociendo las
$3. Sabiendo que el seno de cierto ángulo es 0.35, calcular el resto de sus razones trigonométricas.
$4. Calcular las razones trigonométricas del ángulo 105 o .
$5.(S98A6). El valor de la tangente de cada uno de los ángulos de un triángulo que tiene los tres lados iguales es a) 2 3
b) 3 a) 3 2 3 .
$6.(J97B4). En la figura siguiente, conociendo que el radio de la circunferencia es 1 y que el seno del ángulo J vale
3 ; c) 2 13
se puede afirmar que el segmento PQ mide: a) 4 5 3 , b) 2 13
5
2 3
5
,
Q
α
P
O
$7. Caminando por una superficie plana vemos una torre de 55 metros bajo un ángulo de 17 o . ¿A qué distancia estamos
de la torre? (suponemos conocidas las razones trigonométricas de 17 o ).
Problemas propuestos
$P1(è 1). Pasar a radianes los siguientes ángulos en grados: 35 o , ?270 o , 600 o ; y a grados los siguientes ángulos en
radianes: ^4 , ? ^2 , 6^
$P2(è 2). Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 135 o , 180 o , 210 o , 300 o ,
siguientes: sen 0 = 0; sen 30 = 12 ; sen 45 = 22 ; sen 60 = 23 ; sen 90 = 1.
$P3.(J97E2)(è 3). Si para el ángulo J =
cosJ = ?1 + a
2
y
cotgJ
=
?1+a 2
a2
7^
12
4
c) cosJ = 1 ? a
se supone que
y secJ =
1
1?a 4
2
senJ
= a 2 , entonces:
? 45 o conociendo las
a) cosJ = ? 1 ? a 4 y
tgJ
= ?
a2
1?a 4
b)
(Sol.: c); ayuda: olvidarse del valor del ángulo J, que aquí
no aporta nada, y centrarse en la aplicación de la fórmula sen J + cos 2 J = 1 y en la relación existente entre las razones
trigonométricas secundarias (sec, cosec y tg) con las principales (sen, cos y tg).
$P4(è 4). Calcular el valor aproximado del seno de 50 o sabiendo que sen25 o p 0.423 y cos25 o p 0.643 (Sol.:
p 0.766;
ayuda: tener en cuenta que 50 es el doble de 25, y tambièn la fórmula para calcular el seno de una suma de
dos ángulos: senÝJ + KÞ = senJ cosK + cosJ senK).
sen50 o
$P5.(S96A7)(è 5, 6). Un triángulo rectángulo tiene dos catetos con la misma longitud y su hipotenusa mide 2 metros.
¿Cuánto miden los catetos?
a) 1
b) 2
c) 2.
(Sol.: c); ayuda: aplicar el teorema de Pitágoras)
$P6(è 7). Queremos calcular la altura de una pirámide de base cuadrada de 32 m de lado, con las caras orientadas a los
cuatro puntos cardinales y plantada sobre un extenso valle de superficie lisa. Para ello, al amanecer medimos la sombra que
proyecta la pirámide desde su base, medida que resulta ser de 102 m. También medimos la sombra de una vara de 75 cm
clavada en el suelo, sombra que resulta ser de 1 m y .23 cm. ¿Qué altura tiene la pirámide? (Sol.: 72 m, aprox.
Ayuda:
aplicar el teorema de Tales (teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos formados por la altura de la pirámide y su
sombra y la vara y su sombra), o, mejor aún, la definición de tangente de un ángulo, considerando que estamos hablando de
igualdad de ángulos en los triángulos aludidos).
92
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Tema 14: Números complejos
Números complejos en forma binómica y en forma trigonométrica, Operaciones con complejos
Problemas de clase
$1 Resolver la ecuación de cuarto grado (ecuación bicuadrada) x 4 + x 2 + 1 = 0 (Sol.: x = ? 12 +
x = 12 ? 23 i; x = 12 + 23 i)
$2 Dados los números complejos z 1 = 2 + 2i
z 2 = ?3i
z1
z1 + z2
z2 ? z3
z 1 Ýz 1 ? z 2 Þ
z1 6 z2 6 z3
z 2 +z 3
$3 (S99D4) El valor de
i298
i481 ?i275
es
a) ? 12 +
1
2
i
b)
z 3 = ?5
3
2
i;
x = ? 12 ?
3
2
i;
efectuar las siguientes operaciones:
1
c) ? i?1
i
2
Ý4?3iÞÝ1+iÞ
3?i
$4 (S98A10) La parte imaginaria del número complejo
es a) 2
b) ?3
c) 1
$5 Expresar en forma trigonométrica los siguientes complejos escritos en forma binómica: z 1 = 2 + i
z 2 = 2 ? 2i
y en forma binómica los siguientes escritos en trigonométrica :z 3 = 2Ýcos30 + isen30Þ
z 4 = ?Ýcos135 + isen135Þ
$6 Dados los complejos
z 1 = 81
z 2 = ?1 ? i
4
formas trigonométricas):
z1 6 z2
z1 : z2
z1
$7 (J95C5) Deterninar a para que el cociente z =
2
expresarlos en forma trigonométrica y calcular (haciendo uso de las
z2
sea un número real. a) a = ±
4+2ai
3a+i
2
3
b) a = 0
c) a =
1
± 3
Problemas propuestos
x = ?1 + i;
$P1(è 1) Resolver la ecuación de segundo grado: x 2 + 2x + 2 = 0 (Sol.:
$P2(è 2) Dados los números complejos z 1 = 2 + 2i
z 2 = 1 ? 3i
z1
operaciones: z 1 + z 2 ? z 3
z 1 Ýz 1 + z 2 + z 4 Þ
Ýz 1 ? z 2 Þ 6 Ýz 3 ? z 4 Þ
z2
$P3 (J96G7)(è 2) El valor de
Ý4?3iÞÝ1+iÞ
3?i
es a) 2 + i
$P4 (J95I3)(è 3) Calcular z =
i302
i485 ?i274
a) ?1 ? i
b)
b)
4?3i
3?i
1
i?1
$P5 (S97A8)(è 4) La parte real del número complejo z =
6
1+i
3+i
i485 ?i274
22+10i
8
c)
c) ? 12 +
i302
x = ?1 ? i)
z 3 = ?5
z4 = i
efectuar las siguientes
(Sol.: 8 ? i
6 + 6i
?26i
? 25 + 45 i)
1
2
i
es a) 0
(Sol. c)
b) ? 12
c) ?1 (Sol. b)
$P6(è 5) Expresar en forma trigonométrica los siguientes complejos escritos en forma binómica: z 1 = 1 + 3i
z 2 = 2 ? 2i
y en forma binómica los siguientes escritos en trigonométrica :z 3 = 3Ýcos45 + isen45Þ
z 4 = ?5Ýcos90 + isen90Þ
(Sol.: z 1 = 2Ýcos60 + isen60Þ
z 2 = 8Ýcos315 + isen315Þ
z 3 = 26 + 26 i
z 4 = ?5)
$P7(è 6) Dados los complejos
z 1 = ?16
z 2 = ?i
expresarlos en forma trigonométrica y calcular (haciendo uso de
4
2
las formas trigonométricas):
z1 6 z2
z1 : z2
z 52
z1
z2
(Soluciones expresadas en forma binómica.: 16i
? 16i
?i
2 + 2i; ? 2 + 2i; ? 2 ? 2i; 2 ? 2i
? 22 + 22 i; 22 ? 22 i
)
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
93
Temas 13 y 15: Vectores
Vectores, módulo de un vector, suma y resta, multiplicación por un escalar, producto escalar, ángulo entre dos
vectores, producto vectorial, combinación lineal, dependencia e independencia lineal, base y sistema de
generadores
Problemas de clase
$1 Las coordenadas del extremo de un vector en R 3 son Ý0, 3, 4Þ y las de su origen Ý1, 2, 1Þ. ¿Cuáles son las
coordenadas del vector? ¿Cuál es su módulo?
$2 Sean los vectores u = Ý1, 2, 3Þ, v = Ý?1, ?2, ?3Þ y w = Ý0, 1, 0Þ. Efectuar con ellos las siguientes operaciones: a)
u +v
b) u ? v
c) 2u + v ? 3w
d) au ? bv
e) u 6 v
f) v 6 w
g) v × w
h) w × v
$3 ¿Qué ángulo forman los vectores Ý0, 1Þ y Ý2, 2Þ?
$4 Sean los vectores u = Ý0, 0, 2Þ, v = Ý2, 3, ? 3Þ y w = Ý2, 4, 6Þ. Calcular sus módulos y sendos vectores unitarios de la
misma dirección y sentido que cada uno de ellos.
$5 Sean los vectores u = Ý1, ?1, 2Þ v = Ý1, 3, 1Þ y w = Ý0, 1, 0Þ. ¿Cuánto deben valer V, W y X para que se cumpla la
siguiente igualdad: Vu + W v + Xw = 0 ? En este caso se puede decir que los vectores u, v y w son ¿linealmente
dependientes o independientes?
$6 (J98A8) Los vectores u = Ý1, 0, ?1Þ v = Ý?1, ?1, 3Þ y w = Ý?2, 1, 1Þ de R 3 verifican:
a) son linealmente
dependientes
b) son linealmente independientes
c) el vector v es combinación lineal de w
R3
$7 (S97A7,J95C1) Los vectores Ý1, 1, 1Þ, Ý1, 2, 3Þ, Ý1, 4, 9Þ y Ý2, 0, ?1Þ de R 3 verifican:
a) constituyen una base en
b) son linealmente independientes
c) constituyen un sistema de generadores de R 3
$8 (S95E3) ¿Cuánto debe valer J para que el vector ÝJ, 4, ?7Þ pertenezca al subespacio vectorial de R 3 sobre R
engendrado por los vectores Ý1, ?2, 5Þ y Ý?1, 0, 1Þ? a) J = 0
b) J = ?5
a) J = 2
$9. Sea la base
Ý1, 2Þ, Ý?1, 3Þ
. ¿Qué coordenadas tiene en dicha base el vector Ý1, 2Þ (expresado en base canónica)?
$10. Expresar en base canónica el vector cuyas coordenadas son Ý2, ?1Þ en la base
Ý0, 2Þ, Ý1, 1Þ
Problemas propuestos
$P1(è 1) Las coordenadas del extremo de un vector en R 3 son Ý1, ?3, ?1Þ y las de su origen Ý1, 2, 1Þ. ¿Cuáles son las
coordenadas del vector?¿Cuál es su módulo? (Sol.: Ý0, ?5, ?2Þ; 29)
$P2(è 2) Sean los vectores u = Ý1, 0, 0Þ, v = Ý1, 2, 3Þ y w = Ý1, 1, ?1Þ. Efectuar con ellos las siguientes operaciones: a)
u +v
b) u ? v
c) 2u + v ? 3w
d) au ? bv
e) u 6 v
f) v 6 w
g) v × w
h) w × v
(Sol.: a) Ý2, 2, 3Þ
b)
Ý0, ?2, ?3Þ
c) Ý0, ?1, 6Þ
d) a ? b, ?2b, ?3b
e) 1
f) 0
g) Ý?5, 4, ?1Þ
h) Ý5, ?4, 1Þ
$P3(è 3) ¿Qué ángulo forman los vectores Ý1, 0, 0Þ y Ý0, 1, 0Þ? (Sol.: 90 o ; ayuda: usar la definición de producto escalar)
$P4(è 4) Sean los vectores u = Ý1, 0, 0Þ, v = Ý0, 3, 4Þ y w = Ý1, 1, ?1Þ. Calcular sus módulos y sendos vectores unitarios
de la misma dirección y sentido que cada uno de ellos (Sol.: 1, 5, 3;
Ý1, 0, 0Þ, Ý0, 35 , 45 Þ Ý 33 , 33 , ? 33 Þ )
$P5(è 5) Sean los vectores u = Ý3, 3, 3Þ v = Ý1, ?3, 1Þ y w = Ý?1, 1, ?1Þ. ¿Cuánto deben valer V, W y X para que se
cumpla la siguiente igualdad: Vu + W v + Xw = 0 ? En este caso se puede decir que los vectores u, v y w son ¿linealmente
dependientes o independientes? (Ayuda: el vector 0, o vector nulo, equivale a un punto, y tiene por coordenadas Ý0, 0, 0Þ;
tres vectores se dice que son linealmente independientes cuando al plantear una ecuación como la anteror con ellos se
obtiene como única solución V = 0; W = 0; X = 0; en otro caso son linealmente dependientes. Sol.: V = t; W = 3t; X = 6t, siendo
t un parámetro cualquiera; es decir, hay infinitas soluciones, y por tanto los vectores u, v y w son linealmente
dependientes; efectivamente, puede comprobarse que u = ?3v -6w)
$P6 (J98H1)(è 6) Los vectores u = Ý2, 0, tÞ v = Ý1, ?2, 5Þ y w = Ý0, 3, 1Þ de R 3 verifican:
a) para t =
2
3
, w es
combinación lineal de u. y v
b) para t = 15 , w es combinación lineal de u. y v
c) para t = 34
, w es combinación
3
lineal de u. y v (Ayuda: si el determinante planteado con los tres vectores da cero, hay una dependencia lineal dentro de él;
escribirmos entonces el determinante con el parámetro t incluido, con lo que lo resolveremos en función de t; ese resultado lo
igualamos a 0 para ver así qué valor o valores de t hacen cero el determinante y, por tanto, que exista dependencia lineal.
Sol.: c)
$P7 (S96H2)(è 6, 7) Dados los vectores u = Ý2, 3, 5Þ v = Ý2, ?2, 2Þ y w = Ý1, ?6, 0Þ de R 3 se tiene que:
a) u y v
constituyen un sistema de generadores de R 3
b) u, v y w son linealmente independientes
c) u, v y w son linealmente
dependientes(Sol.: b)
$P8 (J95I7)(è 6, 7) Una base del subespacio vectorial de R 4 engendrado por los vectores Ý1, 1, 2, 0Þ, Ý2, ?1, 0, 1Þ, Ý5, ?1, 2, 2, Þ
y Ý3, 0, 2, 1Þ es a) Ý2, ?1, 0, 1Þ, Ý5, ?1, 2, 2, Þ y Ý3, 0, 2, 1Þ; b) Ý1, 1, 2, 0Þ, Ý2, ?1, 0, 1Þ, y Ý3, 0, 2, 1Þ; c) Ý2, ?1, 0, 1Þ y Ý3, 0, 2, 1Þ
$P9 (S99D10)(è 7) ¿Para qué valores de t los vectores u = Ý1, 1, 1Þ v = Ý2, 2, tÞ y w = Ýt, 0, 0Þ no forman parte de una
base de R 3 ?
a) t 1 = 0 y t 2 = 1
b) t 1 = 0 y t 2 = 2
c) t 1 = 1 y t 2 = 2
(Sol.: b)
$P10 (S96A10)(è 7) Los vectores u = Ý2, ?2J, 1Þ y
v = Ý?4K, ?1, 3Þ son linealmente dependientes cuando::
a) J =
1
2
94
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y K = ? 12
b) J = 0 y K = 0
múltiplo de otro. Sol.: c).
c) J =
1
6
y K = ? 32 (Ayuda: dos vectores son linealmente dependientes cuando uno es
$P11 (J99A7)(è 9) Considérense los vectores v = Ý1, 1Þ y w = Ý2, 1Þ. Las coordenadas del vector u = Ý?1, 12 Þ respecto
a la base
v,w
son a) Ý3, 2Þ
b) Ý2, ? 32 Þ
c) Ý?2, 52 Þ
(Ayuda: las coordenadas de un vector respecto a cierta base
distinta de la canónica —llamemos a esas coordenadas c 1 , c 2 — son simplemente los números por los que hay que
multiplicar los vectores que foman dicha base para que nos dé el vector en base canónica, es decir, Ýu 1 , u 2 Þ; esto se puede
plantear con la siguiente fórmula: Ýu 1 , u 2 Þ = c 1 Ýv 1 , v 2 + c 2 Ýw 1 , w 2 Þ
Sol.: b)
$P12 (J99H5)(è 10) Sea u el vector de coordenadas Ý3, ?4Þ respecto a la base Ý1, 1Þ, Ý5, 7Þ
del plano. Las
coordenadas de u respecto a la base canónica
Ý1, 0Þ, Ý0, 1Þ
son a) Ý?17, ?25Þ
b) Ý18, ?32Þ
c) Ý?7, 8Þ
(Ayuda:
emplear la fórmula del ejercicio antedicha. Sol.: a)
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
95
Tema 16: La recta
Ecuación de la recta, vector de dirección, ángulo entre rectas, distancia entre una recta y un punto, posición relativa
de dos rectas,
Problemas de clase
$1 Representar gráficamente la recta y = 2x + 1. ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ordenada en el origen? Dar un
vector de dirección y escribir unas ecuaciones paramétricas.
$2 (S94CD) Hallar la ecuación implícita de la recta de ecuaciones paramétricas á
x = 1 ? 2t
y = 6t
a) r ¯ á
$3 (J98H6) La ecuación de la recta que pasa por los puntos AÝ1, 0Þ y BÝ1, 1Þ es:
c) r ¯ á
x= 1+
y=
x= 1
y= t
b) r ¯ á
x = 1 + 2t
y = 1+t
t
2
t
3
$4 (J96G1) La ecuación de la recta que pasa por el punto Ý?2, 1Þ y tiene pendiente
3x ? 2y + 8 = 0; c) x+2
= y?1
3
2
3
2
es a) 2x + 3y + 1 = 0; b)
$5 (S96A6) Una ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto AÝ1, 0Þ y es perpendicular a la recta
x = ?3t
x = 1 + 2t
x = 1 + 3t
3x ? 2y ? 1 = 0 es: a) á
b) á
c) á
y = 23 + 2t
y = 3t
y = 1 ? 2t
$6 (S94BD) Hallar la intersección de la recta de ecuación x = ?y con la recta á
x = 1+t
y = 2+t
$7 (J99H6) Considérense las rectas r ¯ x ? y + 2 = 0 y s ¯ x ? 3 = 0. a) r y s son paralelas; b) r y s coinciden; c) r y s
se cortan.
$8 (J94Ac) Dadas las rectas r 1 ¯ á
x = 3?t
y = 1+t
y
r2 ¯ á
x= t
y = 3?t
calcular los vectores de dirección de ambas y su
posición relativa.
$9 (S99D2) El coseno del ángulo que forman las rectas r 1 ¯ x ? y + 1 = 0 y r 2 ¯ 2x + 2y ? 6 = 0
$10 (J99B7) Considérese las recta r 1 ¯
P 5 E 2 : P tiene coordenadas Ý1, 1Þ + tÝ2, 1Þ : t 5 R
vale a)
1
2
; b) 0; c) 1
(siendo E 2 el conjunto de
todos los puntos del plano); a) el punto Ý3, 0Þ pertenece a la recta r 1 ; b) el punto Ý3, 2Þ no pertenece a la recta r 1 ; c) el
punto Ý?1, 0Þ pertenece a la recta r 1 .
Problemas propuestos
$P1(è 1) Representar gráficamente la recta y ? 23 x + 2 = 0. ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ordenada en el origen?
Dar un vector de dirección y escribir unas ecuaciones paramétricas.
$P2 (S94DD)(è 2) Hallar la ecuación implícita de la recta de ecuaciones paramétricas á
x = 3?t
y = 1 + 2t
$P3(è 3) Hallar la ecuación implícita y unas paramétricas de la recta que pasa por los puntos AÝ0, 0Þ y BÝ?2, ?2Þ
$P4(è 4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Ý0, ?1Þ y tiene pendiente ?1.
$P5 (S96H9)(è 5) La ecuación de la recta que pasa por el punto AÝ4, ?6Þ y es perpendicular a la recta y = 2x + 1 es a)
x = 4t
2x + 4y + 16 = 0; b) y = ?2x + 2; c) á
y = ?6t
$P6(è 6) ¿En qué punto se cortan las rectas y ? 2x ? 5 = 0 y á
$P7 (J98A7)(è 6) La intersección de la recta r 1 ¯ á
intersección vacía, c) la recta r 3 ¯ á
x = 3 + 2t
y = 4 ? 2t
$P8 (J97B10)(è 7) Las rectas r : á
x = 1+t
y = 2?t
x = 2?t
y = 3?t
?
con la recta r 2 ¯ á
x = 2+t
y = 2+t
es a) el punto Ý 32 , 32 Þ, b)
.
x = 1 ? 10t
y = 2 + 5t
y
s : x + 2y ? 5 = 0
a) coinciden,
b) son paralelas, c) se cortan.
96
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$P9 (J97E8)(è 7) Las rectas r : á
y=
x = 1 + 6t
y
y = 1 + 3t
s : x ? 2y + 1 = 0
a) son paralelas,
b) ,se cortan c) coinciden .
$P10 (S95E4)(è 7) ¿Cuál de las siguientes rectas no es paralela a las otras dos? a) 8x ? 6y ? 3 = 0 b) 3x ? 4y + 2 = 0 a)
4x? 6
3
5
$P11 (J95C1)(è 7) Las rectas r 1 ¯ á
x= t
y = 2t
y
r2 ¯
x?1
2
= y
a) son paralelas, b) se cortan en un punto, c) son la
misma recta.
$P12 (J95I1)(è 7) Las rectas r 1 ¯ 4x ? 3y + 1 = 0
punto.
y
r2 ¯
x?2
3
=
y+1
4
a) son paralelas, b) ,coinciden c) se cortan en un
$P13 (1993?)(è 7) Comprobar que las tres rectas 2x ? y = 0, x + y ? 3 = 0
$P14 (è 7, 8) Dadas las rectas á
x = ?t
y= t
y
y
3x ? y ? 1 = 0 se cortan en un punto.
y = 5 calcular los vectores de dirección de ambas y su posición relativa.
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
97
Temas 18, 19 y 22: Sucesiones, límite de sucesiones; límite de
funciones (I)
SSucesiones, límite de sucesiones, el número e, propiedades de los límites; límite de funciones
Problemas de clase
$1 Calcular el límite de las sucesiones de término general a n =
n2
n 3 +1
;
$2 (S99D6) El valor del límite de la sucesión de término general a n =
bn =
n 2 +3n?1
3n 3 ?3
n 3 +1
3n+1
n 2 +2n
y an + bn
es: a) e 3 ; b) e 6 c) e ?4
$3 (J99H10) El valor del límite de la sucesión de término general a n = n 2 + 6n ? n 2 + 2n ? 1
$4 (J98H7) El valor de
2
lim+ 4?Ýx+2Þ
x2
x¸0
es: a) 1; b) 4 c) 2
es a) ?2; b) ?K; c) ?4
Problemas propuestos
$P1 (J98A10)(è 1) El valor del límite de la sucesión de término general a n =
3
es: a) 0; b) K c)
5n 2 +3n?2
7n 4 ?2n+5
5
7
(Sol.:
b)
$P2 (S95E7)(è 1) Sea la sucesión Ýa n Þ =
3
4n 2 ?1
3n 9 ?1
;
entonces:
a) lim
an =
n¸K
3
4
3
;
b) lim
a n = K;
n¸K
c) lim
an = 0
n¸K
(Sol.: c)
$P3 (S98A8,J96G5)(è 2) El límite de la sucesión de término general a n =
(Sol.: b)
n 2 +2n+1
n2
n 2 +1
n?1
es: a) e 3 ; b) e 2 c) e ?3
$P4 (J99B10)(è 3) El valor del límite de la sucesión de término general a n = n 2 ? 2n ? n 2 + 4
(Sol.: b)
$P5 (S95E7)(è 3) El valor de lim
Ý 4n 2 + 6n ? 9n 2 + 2n ? 1Þ
n¸K
es: a) ?K; b) ?5 c) ? 1
(Sol.: a)
es: a) ?2; b) ?1 c) 2
98
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Temas 20 y 21: Funciones y polinomios
Funciones, dominio, gráficas, operaciones con funciones, función inversa, funciones crecientes y decrecientes,
pares e impares. Polinomios, operaciones con polinomios, raíces de un polinomio, descomposición de un polinomio
en factores, descomposición de funciones racionales en fracciones simples
Problemas de clase
$1. Si fÝxÞ =
2
x+1
, ¿cuánto vale f ?1 Ý 12 Þ
$2.(J95I10) El dominio de la función fÝxÞ =
$3 Efectuar la siguiente división:
x??2
2x+3
a) R ?
es:
? 32 , 2
c) Ý?K, ?2Þ W Ý2, +KÞ
b) ß2, +KÞ
2x5 ?3x3 +2x?1
x2 +2
$4.Reducir a factores irreducibles el polinomio
x 4 + 2x 3 ? x ? 2
$5. Descomponer en fracciones simples la función racional
3x+5
x3 +4x2 +7x+6
$6. Descomponer en fracciones simples la función racional
?2x5 +5x3 ?1
4x6 +16x4 +8x5 +24x3 ?32x?4x2 ?16
Problemas propuestos
$P1.(è 1) Si fÝxÞ = 2x 2 + 1, ¿cuánto vale f ?1 ÝxÞ? ¿Y f ?1 Ýa + 1Þ?
$P2.(J95C6)(è 2) El dominio de la función fÝxÞ =
2x
3x?5
es:
a)
(Sol.: f ?1 ÝxÞ =
Ý?K, ? 53
Þ W Ý , +KÞ
x?1
2
f ?1 Ýa + 1Þ =
;
c) R ?
b) Ý , +KÞ
5
3
5
3
a
2
)
0,
5
3
(Sol.:
b)
$P3.(S99D3)(è 2) El dominio de la función fÝxÞ = x 3 + 3x 2 ? 4x es:
?4, 0 W ß1, +KÞ
(Sol.: c)
$P4.(S97A2)(è 2) El dominio de la función fÝxÞ = log
logaritmo neperiano)
(Sol.: b)
x2
2x+1
es:
b) Ý?K, ?4àWÝ1, +Kà
a) Ý?K, 0àW 1, 4
a) Ý0, +KÞ
$P5.(J98H9)(è 3) ¿Para qué valor de m el resto de la división del polinomio
a) m = 1 b) m = ? 58 c) 13
(Sol.: c)
16
b) Ý? 12 , +KÞ
c) R ?
x 3 + mx 2 ? 2x + m
$P6.(J96G4)(è 4) La descomposición en factores irreducibles del polinomio P = 2x 4 ? 3x 2 ? 5
2 x ? 52
x + 52
x+1
x?1
b) 2 x 2 ? 52
x2 + 1
c) 2 x ? 52
x + 52
x2 + 1
$P7(è 4) Reducir a factores irreducibles el polinomio
2 x+1
x 2 + 2x + 2
x + 3 3)
c)
$P8.(S98A4)(è 5) En la descomposición en fracciones simples de la fracción
(Sol.: a)
$P9(è 6) Descomponer en fracciones simples la función racional
1
+ 36 13
+ 26 41
? 676341
+ 1521
6 ?1251+218x
)
Ý x?1 Þ
x?3 2
Ý x?3 Þ
x2 ?2x+10
Ý
Þ
19x+31
x2 +5x+6
(Nota: log es el
entre x ? 1
5
8
?
(Sol.:
aparece el sumando a)
3x3 +1
x6 ?10x5 +48x4 ?148x3 +277x2 ?258x+90
es
es a)
(Sol.: c)
2x 6 + 24x 5 + 116x 4 + 292x 3 + 414x 2 + 324x + 108 =
?7
x+3
1
9 Ý x?1 Þ 2
? 12
c)
(Sol.:
?7
x+2
b)
26
x+2
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
99
Tema 23: Continuidad de funciones
Funciones continuas, funciones continuas en un intervalo, teoremas de continuidad, continuidad de la función
inversa
Problemas de clase
x2 ?4
4x?8
$1.(J99B8) La función
fÝxÞ =
si
?K < x ² 1
x2 +x?2
4x?4
si
1 <x<2
2x ? 3
si
2 ²x<5
x>5
si
7
a) es continua en x = 5 ; b) es discontinua en x = 2; c) es continua en x = 1
x + 4 si ?K < x ² ?1
$2.(J98A6) La función
fÝxÞ =
6x?6
x2 ?1
si ?1 < x < 1
3x
si 1 ² x < +K
?K, 1
a) es continua en todo R; b) es continua en
W
?K, ?1
1, +K ; c) es continua en
$3.(S96A2) ¿Cuánto deben valer J y K para que la función
fÝxÞ =
W
?1, +K
?x + J
si x < ?1
x2 ? 4
si ?1 ² x < 2
2
logÝx ? KÞ si x ³ 2
sea continua en todo R?
a) J = ?1 y K = 2; b) J = ?3 y K = 2; c) J = ?2 y K = 1
$4.(J94Ad) Estudiar la continuidad en el punto x = 0 de la función definida por
si ?1 < x < 0
2x+2
x2 +x
fÝxÞ =
3x ? 2 si 0 ² x < 2
Problemas propuestos
$P1.(J99H4) (è 1) La función
fÝxÞ =
2
si
x < ?2
4+x
si
? 2 < x ² ?1
6x?6
x2 ?1
si
?1 < x < 1
3x
si
1 ² x < +K
a) es continua en x = ?2 ; b) es discontinua en x = ?1; c) es discontinua en x = 1
si x ² ?1
x
$P2.(J97E9) (è 1, 2) La función
fÝxÞ =
1 ? x 2 si ?1 < x ² 2
?3
si 2 < x
a) es continua en R?á?1â; b) es continua en todo R; a) es continua en R?á?1, 2â
$P3 (J97B7).(è 1, 2) La función
fÝxÞ =
(Sol.: b)
?x
si x ² 1
? 1x
si 1 < x ² 3
1
si 3 < x
(Sol.: a)
a) es continua en todo R; b) es continua en x = 1 y discontinua en x = 3; a) es continua en R?á0, 3â
$P4.(S97A9) (è 1, 2) La función
fÝxÞ =
7
si x < 0
5
x+4
si 0 ² x ² 2
6x?7
6
si x > 2
a) es continua en R?á0, 2â; b) es continua en R?á2â; a) es continua en R?á0â
(Sol.: b)
(Sol.: a)
?2x ? 4 si ?K < x ² ?1
$P5 (J98H3).(è 2, 1) La función
fÝxÞ =
si ?1 < x < 0
2x+2
x2 +x
3x ? 2
a) es continua en Ý?K, +K Þ; b) es continua en
si 0 ² x < +K
?K, ?1
W
?1, +K ; c) es continua en
$P6.(S95E1) (è 3) ¿Cuánto debe valer J para que la función fÝxÞ =
a) J = 0; b) J = 1; c) J = ?1
(Sol.: c)
2
x +1
si x ² 1
?K, 0
?Jx ? J si x > 1
W
0, +K
(Sol.: c)
sea continua en todo R?
100
TREVERIS multimedia
?2x + 1 si x < ?2
$P7.(S96H10)(è 3) ¿Cuánto deben valer J y K para que la función
fÝxÞ =
Jx + 2
x2 + K
sea continua en todo R?
a) J = ?4 y K = 2; b) J = 5 y K = 1; c) J = ? 32 y K = ?5
$P8.(J94Bd)(è 4) Estudiar la continuidad en el punto x = 0 de la función definida por
(Sol.: no es continua en x = 0)
si ?2 ² x < 2
si x ³ 2
(Sol.: c)
fÝxÞ =
2x+2
?x2 +x
si ?1 < x < 0
5x ? 2 si 0 ² x < 2
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
101
Temas 24, 26 y 27: Derivadas
Funciones derivables, cálculo de derivadas simples, funciones trigonométricas y sus derivadas, funciones
logarítmicas y exponenciales y sus derivadas
Problemas de clase
$1.(S99D6) La derivada de la función gÝxÞ = e x +2x + 5
3
es: a) g v ÝxÞ =
2
3 +2x2
2 ex
$3.(S98A2) La derivada de la función fÝxÞ =
1 ;
2x ln x
v
es a) f ÝxÞ =
3x2 +5
Ýx?1ÞÝx?2Þ
b) f v ÝxÞ =
3
2
c) f v ÝxÞ =
1 ;
2 ln x
v
6x3 +3x2 ?4
Ýx?1Þ 2 Ýx?2Þ 2
es a) f v ÝxÞ =
1 ? x2
$4.(J98A1) La derivada de la función fÝxÞ = sen 3
f ÝxÞ =
e x +2x + 5 x 3 + 2x 2
1
2
; c)
+5
$2.(J99H2) La derivada de la función fÝxÞ = ln ln x es: a) f v ÝxÞ =
v
; b) g v ÝxÞ =
x3 +2x2
3
2
ex +2x +5
3
2
ex +2x Ý3x2 +4xÞ
?18x2 ?15
; b) f ÝxÞ =
?3xsen 2 Ý 1?x2 Þ
1?x2
Ýx?1Þ 2 Ýx?2Þ 2
1
2x ln x
?9x2 +2x+15
Ýx?1Þ 2 Ýx?2Þ 2
c) f v ÝxÞ =
;
3 sen 2 Ý 1?x2 Þ cos 1?x2
2 1?x2
; b) f v ÝxÞ =
;
c)
?3xsen 2 Ý 1?x2 Þ cos 1?x2
1?x2
es a) f v ÝxÞ =
$5.(S96A8) La derivada de la función fÝxÞ = x 3 ? 4xarctn x 3 ? 4x
v
arctn Ý x3 ?4xÞ
x ? 4x
3
f ÝxÞ =
1+Ý x3 ?4xÞ 2
;
c)
x ? 4x
3
1
x3 ?4x
+
arctn Ý x3 ?4xÞ
3x 2 ? 4
+
2 x3 ?4x
x3 ?4x
1+Ý x3 ?4xÞ 2
; b)
1
1+Ý x3 ?4xÞ 2
?2xtgÝ x2 ?3 Þ
es a) f v ÝxÞ =
$6.(J98H8) La derivada de la función fÝxÞ = log cos x 2 ? 3
cosÝx2 ?3Þ
?2xsen Ý x2 ?3 Þ
; b) f v ÝxÞ =
cosÝx2 ?3Þ
;
c)
f v ÝxÞ = ?xtg x 2 ? 3
$7.(J95C8) La derivada de la función fÝxÞ = ln x 2 ? 3x cos 1x es a) f v ÝxÞ =
? ln x 2 ? 3x sen 1x ; c) x2x?3
?sen 1x x12
2 ?3x
2x?3
x2 ?3x
cos 1x + ln x 2 ? 3x
sen 1x
1
x2
; b)
2x?3 sen 1
x
x2 ?3x
Problemas propuestos
$P1.(J95I8)(è 1) La derivada de la función fÝxÞ = e x +7x + 2 es a)
2
2 +7x
Ý2x+7Þ
ex
; b)
2 +7x
2 ex
+2
x2 +7x
2
2 ex +7x+2
;
c)
e x +7x + 2 x 2 + 7x
2
1
2
(Sol.: a)
$P2.(J99B2)(è 1) La derivada de la función fÝxÞ = e
x2 +1
es a) f v ÝxÞ = 2xe
x2 +1
2
; b) f v ÝxÞ =
e2x x +1
2 x2 +1
;
2
c) f v ÝxÞ =
xe x +1
x2 +1
a
2
(Sol.: c)
(Sol.: c)
$P3.(S95E6)(è 2) La derivada de la función fÝxÞ = ln e ax+b es a) f v ÝxÞ =
$P4.(J97B3)(è 3) La derivada de la función fÝxÞ =
ln x
f v ÝxÞ = 11?6
(Sol.: c)
x4
es a) f v ÝxÞ =
2 ln x?3
x3
$P5.(S97A1)(è 3) La derivada de la función fÝxÞ = ln 1?x
1+x
es a) f v ÝxÞ =
3
$P6.(J96G10)(è 4) La derivada de la función fÝxÞ = 5sen 5x + 1
f v ÝxÞ = 300 5x + 1 3 sen 2 5x + 1 4 cos 5x + 1 4 ; b) f v ÝxÞ = 60 5x + 1
15sen 2 5x + 1 4 cos 5x + 1 4
(Sol.: a)
4
x?3
1?x2
1
x
?3x2
x3
; b) f v ÝxÞ =
; b) f v ÝxÞ =
es a)
5x + 1
sen 2
; b) f v ÝxÞ = a e ax+b ;
a
2 ea x+b
2
4
cos 5x + 1
$P7.(J97E1)(è 4) La derivada de la función fÝxÞ = arctn x 2 ? 1 ?sen 2 Ý3xÞ es a) f v ÝxÞ = 2
2x
f ÝxÞ =
? 6sen3xcos3x; c) f v ÝxÞ = x x12 ?1 ? 6sen3xcos3x
(Sol.: c)
2
2
2
v
Ý 1+ x ?1 Þ
b) f ÝxÞ =
x
x2 ?1
c) f v ÝxÞ =
;
4
;
;
+
c)
2
x2 ?1
(Sol.: c)
c)
1
2
cos 2 3x
; b)
x ?1
$P8.(S96H5)(è 5, 6, 7) La derivada de la función fÝxÞ = log
v
?2+x
Ý 1+xÞ 2
c)
2x2 ?3x2 Ý 2 ln x?3 Þ
x9
3x2 sen Ý x2 ?3xÞ +x3 Ý 2x?3 Þ cos Ý x2 ?3xÞ
x3 sen Ý x2 ?3xÞ
;
v
c) f ÝxÞ =
3x2 sen Ý x2 ?3xÞ +x3 cos Ý x2 ?3xÞ
2x3 sen Ý x2 ?3xÞ
x 3 sen x 2 ? 3x
(Sol.: a)
es a) f v ÝxÞ =
3
2x
+
1
2
2x ? 3
cotg
x 2 ? 3x ;
102
TREVERIS multimedia
Temas 25: Estudio y representación de funciones; más sobre límite
de funciones
Simetría y asimetría, máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad, asíntotas; regla
de L’Hôpital, recapitulación de límite de funciones (en temas 25 y 27)
Problemas de clase
$1.(S98A3) En el intervalo ß0, 2^Þ la función fÝxÞ = senx + cosx corta a los ejes de ccordenadas en los puntos: a)
1, 0 ; ^4 , 0 ; ? ^4 , 0
b) 0, 1 ; 3^
, 0 ; 7^
,0
c) 0, 1 ; 5^
, 0 ; ^4 , 0
4
4
4
$2.(J99B5) Dada la función fÝxÞ = x 3 ? 2x 2 + 1 se verifica: a) en el intervalo
0, 43
la función es decreciente; b) en
el intervalo
?K, 0
la función es decreciente; c) en el intervalo
? 43 , 43
la función es decreciente
$3.(J99H9) Dada la función fÝxÞ = x ? 1
x?1
x+2
se verifica: a) en el intervalo
?1, 1
la función es
cóncava; b) en el intervalo
1, +K
la función es cóncava; c) en el intervalo
?K, 0
la función es cóncava
2
$4.(S99D1) Dada la función fÝxÞ = x3 ?3x
se verifica a) en x = 1 la función f tiene un máximo;
3
tiene ni máximos ni mínimos; c) en x = 1 la función f tiene un punto de inflexión
b) la función f no
$5.(S97A3) Dada la función fÝxÞ = xx32?27
para x ® ±2 se verifica que: a) la función f no tiene asíntotas verticales; b)
?4
x + 3 = 0 es una recta asíntota vertical de la función f; c) x + 2 = 0 es una recta asíntota vertical de la función f
2
$6.(S94B1) A) Dada la función fÝxÞ = x3 ?3x
calcular 1) campo de existencia de fÝxÞ; 2) puntos de discontinuidad de
3
fÝxÞ; 3) intersección de fÝxÞ con los ejes; 4) intervalos de crecimiento de fÝxÞ; 5) intervalos de decrecimiento de fÝxÞ; B) Si
la derivada de la función gÝxÞ es g v ÝxÞ = x 2 ? 2x calcular: 1) máximos relativos de gÝxÞ; 2) mínimos relativos de gÝxÞ; 3)
intervalos de concavidad de gÝxÞ; 4) intervalos de convexidad de gÝxÞ; 5) puntos de inflexión de gÝxÞ
$7.(S98A9, S96A5) El valor de lim+
x¸1
$8 ¿Cuál es el valor de lim
x¸K
x2 +1
x2 ?3
x ?1+ x?1
x2 ?1
x3 +1
x?1
es a)
2
2
; b) ?1; c) K
?
Problemas propuestos
$P1.(J98H4)(è 2) Dada la función fÝxÞ = ?2x 4 + 4x 2 se verifica: a) la función es siempre decreciente; b) en
?5, ?1 W 1, +K
la función es creciente; c) en ?1, 0 W 1, +K
la función es decreciente(Sol.: c)
$P2.(J95E10)(è 2) La función fÝxÞ = x 2 Ýx 2 ? 2Þ verifica: a) es creciente en
?K, ?1 W 1, +K ; ; c) es creciente en ?1, 0 W 1, +K
(Sol.: c)
?1, 0
W
0, +K ; b) es decreciente en
1
$P3.(J96G3)(è 3) Dada la función fÝxÞ = x+3
para x ® ?3 ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) la
función f es cóncava en ?3, 3 ; b) la función f es cóncava en ?K, ?3 ; c) la función f es cóncava en ?K, 3
(Sol.: b)
1
$P4.(S96H8)(è 3) Dada la función fÝxÞ = x+5
¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) la función f es
cóncava en ?K, 5 ; b) la función f es cóncava en ?K, ?5 ; c) la función f es cóncava en ?5, 5
(Sol. b)
$P5.(J97E3)(è 2, 3) Sea f :R¸R una función tal que f v ÝxÞ = x 2 ? 4x. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) en el intervalo Ý2, 4Þ la función es decreciente y convexa; b) en el intervalo Ý0, 4Þ la función es decreciente y cóncava;
c) en el intervalo Ý?2, 1Þ la función es creciente y cóncava (Sol.: a)
$P6.(S96A3)(è 4) Dada la función fÝxÞ = x 5 ? 2x 4 + x 3 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) la función
f tiene un máximo en x = 1; b) la función f tiene un mínimo en x = 1 ; c) la función f tiene un punto de inflexión en
x = 1 (Sol.: b)
$P7.(S96A3)(è 4) La función fÝxÞ = x ? 1 4
presenta un punto de inflexión en x = 1 (Sol.: a)
a) presenta un mínimo en x = 1; b) presenta un máximo en x = 1; ; c)
$P8.(J95I2)(è 4) La función fÝxÞ = x 4 ? 1 a) presenta un mínimo en x = 0; b) presenta un máximo en x = 1; c)
presenta un punto de inflexión en x = 0 (Sol.: a)
$P9.(J96G6)(è 5) Dada la función de R en R definida por fÝxÞ =
3x
2x2 +3
3
2
a) la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función f; b) en x =
recta y = 0 es una asíntota vertical de la función f; (Sol.: a)
¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
existe una asíntota vertical de la función f; c) la
$P10.(J97B5)(è 2, 4, 5) Dada la función fÝxÞ = x 4 ? 2x 2 se puede afirmar que: a) en el intervalo ?5, ?1
la función es
decreciente y en el punto ?1, ?1
existe un mínimo; b) existe una asíntota horizontal; c) en el intervalo
1, 5
la
función es decreciente y en el punto Ý1, 8Þ existe un mínimo (Sol.: a)
1
$P11.(J98A9)(è 2, 3, 4, 5) Dada la función fÝxÞ = x+5
para x ® ?5 se verifica: a) en x = ?5 existe una asíntota
horizontal; b) en el intervalo
?5, +K
la función es convexa y creciente; c) en el intervalo
?K, ?5
la función es
cóncava y decreciente (Sol.: c)
2
$P12.(S94C1)(è 6) A) Dada la función fÝxÞ = x3 ?12x
calcular 1) campo de existencia de fÝxÞ; 2) puntos de
3
discontinuidad de fÝxÞ; 3) intersección de fÝxÞ con los ejes; 4) intervalos de crecimiento de fÝxÞ; 5) intervalos de
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales
103
decrecimiento de fÝxÞ; B) Si la derivada de la función gÝxÞ es g v ÝxÞ = x 2 ? 8x calcular: 1) máximos relativos de gÝxÞ; 2)
mínimos relativos de gÝxÞ; 3) intervalos de concavidad de gÝxÞ; 4) intervalos de convexidad de gÝxÞ; 5) puntos de inflexión
de gÝxÞ (Sol.: A1: existe en todo R; 2A: no los hay (es un polinomio); A3: corta al eje X y al Y en 0, 0 ; A4: crece en
?K, 0 , A5: decrece en 0, +K ; B1: en x = 0; B2: en x = 8; B3: ?K, 4 ; B4) 4, +K ; B5) en x = 4
$P13.(J97B8)(è 7) El valor de lim
1
senx
$P14.(J97E6)(è 7) El valor de lim
1
x
x¸0
x¸0
$P15.(S96H6)(è 7) El valor de lim
1?x
ln Ý 1+xÞ ?x+
x¸0
$P17 (S97A6)(è 8) El valor de lim
x¸K
es a) 0; b) ? 12 ; c) K (Sol.: a)
1
x
1
log Ý 1+xÞ
x log 2 x
x¸1
$P16.(S95E9)(è 7) El valor de lim
?
?
(Sol.: c)
es a) ?1; b) K; c) 0 (Sol.: c)
x2
2
x2
5x+1
5x?1
es a) ?1; b) ?K; c) ? 12
3x+2
es a) 0; b) 1; c) K (Sol.: a)
6
3
es a) e 5 ; b) e 3 ; c) e 5 (Sol: a)
104
TREVERIS multimedia
Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidas
Primitiva de una función; métodos de integración: por partes, por cambio de variable, integración de funciones
racionales y de funciones trigonométricas; integral definida; la integral como área
Problemas de clase
$1.(J95I5) Calcular
X 32xx dx
$2.(J95C3) Calcular
X xdx
2 +7
a) x3 x ? ln
3
1 arctg x
7
7
a)
x
+ k; b)
+ k; b)
3
2
x + k; c)
3
1 arctg
7
1
2
x2 + 7
3
ln
+k
x
+ k; c)
1
2
ln x 2 + 7
$3 (S94B2b) Aplicando el método de integración por partes calcular: I = X 2x 5 ? x
$4.(J99H7) La integral
X xe dx vale a) 0; b) ?e; c) 1
$5.(S96H7) El valor de
X ^0 xsenxdx es a) ?2; b) ^; c) 0
$6.(J98A2) La integral
X 10 2 + 5x dx vale a)
$7. Resolver
X 53
5x+6
2x?3+x2
1
0
+k
1/3
dx
x
14 7 ?4 2
15
; b)
2 7 ?2 2
15
7? 2
15
; c)
dx
^
$8.(S99D7) Calcular cuánto vale la integral X 30 3 x 2 tgx 3 dx recordando que
2
2
log es el logaritmo neperiano) a) log3 2 ; b) 2?log
; c) ?1+log
3
3
tg x
=
sen x
cos x ;
y que
sen ^
3
=
3
2
; cos ^3 =
1
2
; (nota:
Problemas propuestos
$P1.(J96G9)(è 1) El valor de
X 10
2x2
x+1
dx es a) 1; b) ?1 + 2ln 2; c) 1 + ln 2 (Sugerencia: efectuar primero la división y
transformar la fracción mediante el algoritmo de la división ( D
= c+
d
$P2(è 2). Calcular
X
dx
2x2 +3
(Sol.:
X
$P3.(J97B6)(è 3, 4, 5) La integral
1
6
r
d
); Sol.: b)
1
3
6 arctan x 6 )
3
x
0 1+4x2
dx vale a)
log 37
8
; b)
37
8
log 37?1
4
; c)
(sugerencia: es casi inmediata, tipo ln;
Sol.:a)
$P4.(S94C2b)(è 3, 4, 5) Aplicando el método de integración por partes calcular: I =
3x dx (Sol.:
X Ý5+x
Þ2
$P5.(S94D2b)(è 3, 4, 5) Aplicando el método de integración por partes calcular: I = X 3x 2 ? x
(? 12
5
2?x
5
+
6
7
2?x
7
)
dx
X 20 xe x dx es a) ?1 ? e 2 ; b) e 2 + 1; c) ?e 2 (Sol.: b)
X 0?2 3 + 4x e ?x dx vale a) ?1 + 2e 2 ; b) ?7 ? e 2 ; c) ?5 + e 2 (Sol.: b)
$P7.(S97A10)(è 3, 4, 5) La integral
^
X 02 xsenxdx vale a) 1; b) 0; c) ? ^2 + 1 (Sol.: a)
$P8.(J99B3)(è 3, 4, 5) La integral
$P10.(J98H10)(è 6) La integral
+ 3ln 5 + x
)
$P6.(S96A4)(è 3, 4, 5) El valor de
$P9.(J97E10)(è 6) El valor de
para que quede inmediata; Sol.: b)
3/2
15
5+x
X ^0 cos
X 20
1
2
x dx es a) 0; b) 2; c)
dx
x2 +4x+4
vale a)
1
4
; b)
3
4
; c)
1
2
5
16
(Sugerencia: hacer primero un cambio de variable
(Sugerencia:factorizar el denominador y luego
hacer el cambio de variable t = x + 2; Sol.: a)
$P11.(S98A5)(è 7) La integral X 20
(Nota: log es el logaritmo neperiano)
19x+31
x2 +5x+6
dx vale a) log 5 26 6 2 ?7 6 3 ?26
; b) log 7 26 6 3 ?33
; c) log 5 26 6 2 7 6 3 7
3
4
$P12.(J94D2b)(è 8) Utilizando tgx = senx
cos x calcular: I = X 2x tgÝx Þdx(Sugerencia: tras sustituir la tangente por el cociente
entre seno y coseno hacer el problema por cambio de variable, teniendo en cuenta que la función es impar en seno.
Sol.:? 12 ln cosx 4 )

Taller vectores - Germán Isaac Sosa Montenegro

Mensaje de Stephen Patoray, Director del BIML

Una vez que conocemos cómo se construye la sucesión de

2014

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El temario se puede encontrar aquí.

08 Vectores en el plano

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Problemas Sesión 6