˜
SENALES
Y SISTEMAS
Clase 9
Carlos H. Muravchik
9 de Abril de 2015
Hab´ıamos visto:
´
1. Correlacion.
2. Estacionareidad: ESE, ESA. Ejemplos ESA.
3. Procesos gaussianos. Distrib conjunta. Propiedades.
´ a Ergodicidad.
4. Brev´ısima introduccion
Y se vienen:
I
Sistemas. Generalidades.
I
I
I
I
I
I
I
Memoria.
Invariancia en el tiempo y al desplazamiento.
Linealidad.
Causalidad.
Estabilidad.
Sistemas Lineales. Generalidades.
´ discreta (SVID)
Convolucion
Generalidades
´ de uno o mas
´ objetos cuyas
´ Es una coleccion
Definicion:
magnitudes f´ısicas representativas interactuan
entre s´ı.
´
´ (temporal) de las magnitudes f´ısicas → senales.
˜
F Evolucion
˜ de entrada
F Un est´ımulo admisible al sistema es la senal
∈ Ce .
˜ de salida
F La respuesta del sistema al est´ımulo es la senal
∈ Cs .
´ del sistema se describe por un operador H (toma
F La accion
˜ de entrada y la convierte en otra senal,
˜ de salida):
una senal
y(t) = H{x(·)}(t) VIC
H : Ce → Cs ⇒
y[n] = H{x[·])}[n] VID
x(t)
-
y(t)
-
Hc {·}
x[n]
-
Hd{·}
y[n]
-
Sin y con memoria
Sistema sin memoria: la
salida en cada instante depende de la entrada en
ese mismo instante
Sistema con memoria: la salida
en cada instante depende de la
entrada en ese mismo instante y
de las entradas anteriores
R2 x(t)
R1 +R2
⇒ sin memoria
R t −(t−σ)/RC
1
Ejemplo 2: y(t) = vC (0)e−t/RC + RC
x(σ) dσ ⇒
0e
con memoria
Ejemplo 1: y(t) =
Ejemplo 3: Amplificador logar´ıtmico (usado en radar)
y (t) = K log x(t) + C ⇒ sin memoria
Numero
de entradas y salidas
´
´ entrada (unica)
La relacion
a salida (unica)
o E/S es:
´
´
y (t) = H{x(·)}(t) VIC
y [n] = H{x[·])}[n] VID
´
y es un sistema SISO (por sus siglas en ingles).
´ con multiples
Hay sistemas MIMO (por sus siglas en ingles)
´
entradas y multiples
salidas.
´
Ejemplo MIMO 1 Ducha: 1) temperatura y 2) caudal del agua
´ 3) caudal de gas e interesa la 4)
entrando al calefon,
˜
temperatura del agua en la flor de la ducha (3 senales
de
entrada y 1 de salida).
´ base con varias
Ejemplo MIMO 2 Celular 4G: Una estacion
antenas se comunica con un celular que tiene un arreglito de 2
antenas. Este “canal de comunicaciones” se puede describir
como MIMO.
´ Wi-Fi, WiMax, UWB.
Tambien
Lineales, no lineales
Se tratan de distinta manera segun
´ los sistemas sean lineales
(SL) o no lineales (SNL).
Condiciones para linealidad:
1. Homogeneidad: Si x1 (t) = cx(t) c ∈ R e
y1 (t) = H{x1 (·)}(t); entonces
y1 (t) = H{cx(·)}(t) = cH{x(·)}(t) = cy(t).
˜
2. Aditividad: Para cualesquiera senales
de entrada
admisibles x1 (t) y x2 (t), las salidas respectivas son y1 (t) e
y2 (t). Luego si y (t) = H{x1 (·) + x2 (·)}(t) es la salida a la
entrada x(t) = x1 (t) + x2 (t); resulta y(t) = y1 (t) + y2 (t).
´
H es lineal sii H es homogeneo
y aditivo.
Si un sistema no es lineal, entonces es no-lineal.
Ejemplos lineales, no lineales
Ejemplo 1: y(t) = x 2 (t) es no lineal.
Ejemplo 2: Un circuito con R, L, C ideales, constantes, con
condiciones iniciales nulas y que no tengan valores que
´ aplicadas es lineal.
dependan de la corriente o tension
Ejemplo 3: Una L con nucleo
de hierro es casi seguro no-lineal
´
˜ amplitudes pueda considerarse lineal).
(aunque para pequenas
Invariancia en el tiempo
Sistema con VIC. Idea:
1. Se aplica x1 (t) en t = 0 y se obtiene y1 (t) = H{x1 (·)}(t).
˜ en el instante t0 , se aplica una
2. Si se aplica la misma senal
x2 (t) = x1 (t − t0 ). La salida es y2 (t) = H{x2 (·)}(t).
3. El sistema es invariante en el tiempo si se cumple que
y2 (t) = y1 (t − t0 ).
´ 1: la respuesta que da el sistema a una
4. Interpretacion
entrada es la misma, pero desplazada acordemente, no
importa en que´ instante se la aplica.
´ 2: El sistema responde siempre de la
5. Interpretacion
‘misma forma’, salvo desplaziento temporal, no importa
´
˜ de entrada.
cuando
se aplique la misma senal
6. Un sistema lineal, que es invariante en el tiempo, se
denota abreviadamente SLIT.
Ejemplo no SLIT: divisor resistivo con termistor; si cambia la
temperatura a medida que transcurre el tiempo, cambia la
ganancia del sistema.
Invariancia al desplazamiento
Sistema con VID.
1. Se aplica x1 [n] y se obtiene y1 [n] = H{x1 (·)}[n].
˜ desplazada en n0 , se aplica
2. Si se aplica la misma senal
una x2 [n] = x1 [n − n0 ]. La salida de denomina
y2 [n] = H{x2 (·)}[n].
3. El sistema es invariante al desplazamiento si se cumple
que y2 [n] = y1 [n − n0 ].
´ 1: la respuesta que da el sistema a una
4. Interpretacion
entrada es la misma, pero desplazada acordemente, no
importa en que´ momento se la aplica.
´ 2: El sistema responde siempre de la
5. Interpretacion
´
‘misma forma’, salvo desplaziento, no importa cuando
se
˜ de entrada.
aplique la misma senal
6. Un sistema lineal discreto, que es invariante al
desplazamiento, se denota abreviadamente SLID.
Sistemas variantes
Si no son invariantes, son variantes: SVT y SVD.
I
El operador de un SVT cambia segun
´ el instante en que se
˜
aplica la senal.
I
Por ejemplo, se debe denotar y[n] = Hk {x(·)}[n] indicando
que se aplico´ la secuencia x[·] en el instante k y se
observa su respuesta y [·] en el instante n.
De manera similar para SLIT.
´ a base) y
Ejemplo 1: Celular - enlaces ascendente (movil
´
descendente (base a movil).
Ejemplo 2: Guiado - veh´ıculo con masa variable por consumo
~v )
de combustible (recordar F = d(m
dt ).
Causalidad
´ dado un cambio a la entrada, la respuesta al mismo
Intuicion:
´
aparece en la salida de un sistema causal solamente despues
˜ de entrada.
del cambio en la senal
I
I
I
Sistemas f´ısicos: son causales.
˜
VIC o VID con senales
de VI que no son tiempo ⇒
sistemas anticipativos o no-anticipativos.
´ tener sistemas anticipativos.
En la computadora es facil
Por ejemplo:
y[n] = x[n − 1] + x[n] + x[n + 1]
´
o en imagenes.
Estabilidad 1
´ Un sistema es estable si para una perturbacion
´ de
Intuicion:
˜ amplitud, no se aparta demasiado del
entrada de pequena
´ mas
´ o menos lentamente.
punto donde estaba y/o retorna a el,
Estabilidad 2
I
´ en Control,
Hay varios tipos de estabilidad (se vera´ mas
´
Control moderno) asintotica,
exponencial, uniforme, etc.
I
Usaremos una forma simple: estabilidad en sentido
entrada-acotada/salida-acotada, denotada EA/SA.
´ para cualquier entrada
Estabilidad EA/SA – intuicion:
´ resulta acotada.
acotada la salida tambien
I
I
I
I
I
Entrada acotada: significa que existe 0 < Ke < ∞ tal que
|x[n]| < Ke , ∀n ∈ Z.
x[n] = en no es acotada; x[n] = cos(2πf0 n + φ) es acotada
pues cualquier Ke ≥ 1 es una cota.
Estabilidad EA/SA: Un sistema es estable EA/SA si aplicar
cualquier entrada acotada causa que exista un
0 < Ks < ∞ tal que |y [n]| < Ks , ∀n ∈ Z; o sea, que la
salida sea acotada.
Igualmente para sistemas continuos.
Estabilidad – ejemplos
˙
´ inicial y(0) = y0 y
Ejemplo 1: y(t)
= y 2 (t) + x(t), con condicion
entrada nula x(t) = 0
y˙
=1 ⇒
y2
Z
y(t)
y0
dy
=
y2
t
Z
0
1
dτ ⇒ −
y
1
Luego t = y10 − y(t)
y finalmente y (t) =
0 ≤ t < 1/y0 y “explota” para t → 1/y0 .
y0
1−y0 t
y(t)
=t
y0
que vale para
˙
´ inicial x(0) = x0 ,
Ejemplo 2: y(t)
− ay(t) = x(t) con condicion
a > 0 y entrada nula x(t) = 0.
y˙
y(t)
= a ⇒ log
= at ⇒ y (t) = y0 eat
y
y0
Ej. 1
Ej. 2
y0e t
y0
0
y0
1/y0
t
0
t
Estabilidad – ejemplo discreto
Ejemplo 3: y[n]: balance de una cuenta; α: tasa diaria de
´ x[n]: depositos
´
interes;
diarios.
Entonces
y[n + 1] = (1 + α)y[n] + x[n]
Si comienzo el d´ıa cero con y[0] = y0 y nunca deposito nada,
y[1] = (1 + α)y0 + 0
y[2] = (1 + α)y [1] = (1 + α)2 y0
y[n] = (1 + α)n y0
... como α es positivo, sere´ rico si vivo lo suficiente!
´ de sistemas
Combinacion
I
Serie o cascada
-
I
Sistema 1
Sistema 2
-
Paralelo
Sistema 1
-
-
Sistema 2
I
´
Realimentacion
-+
i
6
-
-
Sistema 1
Sistema 2
Sistemas Lineales
Recordamos al operador que representa a un sistema:
y (t) = H{x(·)}(t) VIC
y [n] = H{x[·])}[n] VID
Sistema Lineal: es
I homogeneo
´
y
I aditivo.
O de manera equivalente, satisface el
´ para 2 constantes cualesquiera
Principio de Superposicion:
a, b ∈ R y dos entradas arbitrarias x1 (t), x2 (t) ∈ Ce , se forma
x(t) = ax1 (t) + bx2 (t). Sean y1 (t) = H{x1 (·)}(t) e
y2 (t) = H{x2 (·)}(t), entonces H satisface el principio de
´ si cumple
superposicion
y (t) = H{x(·)}(t) = ay1 (t) + by2 (t)
I Similar para sistemas discretos.
Incrementalmente lineales
Recordar el Ejemplo 2 de Sistemas con Memoria.
−t/RC
y (t) = vC (0)e
1
+
RC
Z
t
e−(t−σ)/RC x(σ) dσ
0
´
El sistema no es homogeneo
ni aditivo; no es lineal!!
Incrementalmente lineales
´
¿A que´ se debe? Al termino
con las condiciones iniciales. Eso
motiva
´ sistemas en los que la diferencia de las salidas para
Definicion:
´ lineal.
cualesquiera dos funciones de entrada es una funcion
Forma general de sistemas incrementalmente lineales
y0
x(t) -
sistema lineal
y 0 (t)- ?
y (t) +i
Invariancia en el tiempo
Sistema VIC.
1. Se aplica x1 (t) y se obtiene y1 (t) = H{x1 (·)}(t)
˜ en el instante t0 , se aplica una
2. Si se aplica la misma senal
x2 (t) = x1 (t − t0 ). La salida es y2 (t) = H{x2 (·)}(t).
3. El sistema es invariante en el tiempo si se cumple que
y2 (t) = y1 (t − t0 )
´ la respuesta que da el sistema a una
4. Interpretacion:
entrada es la misma, pero desplazada acordemente, no
importa en que´ instante se la aplica
5. Un sistema lineal, que es invariante en el tiempo, se
denota abreviadamente SLIT
Invariancia al desplazamiento
Sistema VID.
1. Se aplica x1 [n] y se obtiene y1 [n] = H{x1 (·)}[n]
˜ desplazada en n0 , se aplica
2. Si se aplica la misma senal
una x2 [n] = x1 [n − n0 ]. La salida de denomina
y2 [n] = H{x2 (·)}[n].
3. El sistema es invariante al desplazamiento si se cumple
que y2 [n] = y1 [n − n0 ]
´ la respuesta que da el sistema a una
4. Interpretacion:
entrada es la misma, pero desplazada acordemente, no
importa en que´ momento se la aplica
5. Un sistema lineal discreto, que es invariante al
desplazamiento, se denota abreviadamente SLID
´ discreta 1
Convolucion
Ingredientes:
I Sistemas lineales discretos (manejan SVID) con operador
´ Tanto para
H que satisface el principio de superposicion.
SLID como SLVD.
I Representacion
´ de SVID en terminos
´
de impulsos
x[n] =
∞
X
k=−∞
I
x[n − k]δ[k] =
∞
X
k=−∞
x[k]δ[n − k ]
Aplicando H, en la igualdad de la derecha se puede
interpretar a x[k]δ[n − k ] como una secuencia con un
impulso en k de amplitud x[k ].
y [n] = H
∞
X
k=−∞
x[k]δ[n − k]
[n] =
∞
X
k=−∞
x[k]Hk {δ[·]}[n]
´ discreta 2
Convolucion
y[n] =
=
∞
X
k=−∞
∞
X
x[k]Hk {δ[·]}[n] =
¯ k]
x[k]h[n,
k=−∞
¯ k ] es la respuesta impulsional: la respuesta
donde h[n,
observada en el instante n a un impulso (de Kronecker)
aplicado en el instante k.
´ discreta SLVT
Convolucion
Ejemplo:
P
x[n] = 1k=−1 x[k ]δ[n − k] con x[−1] = −2, x[0] = 5, x[1] = 2
y[n] =
1
X
¯ k]
x[k]h[n,
k=−1
5
x[n]
5
5
h[n,-1]
5
2
0
−2
0
5
−2
4
n
h[n,0]
5
0
−2
0
2
4
n
0
4
n
2
4
n
4
2
0
2
h[n,1]
5
4
3
0
2
−2
1
0
´ discreta SLVT
Convolucion
x[-1] h[n,-1]
5
0
n
−5
−10
−10
−2
0
2
4
x[0] h[n,0]
25
20
y [n] =
1
X
¯ k]
x[k ]h[n,
0
20
15
−2
0
20
2
4
n
2
4
n
8
10
4
2
−2
0
30
y[n]
23
20
12
9
10
0
n
x[1] h[n,1]
k=−1
0
4
2
−2
0
Repaso:
´
´
Operador basico
para todo SL: convolucion.
´ discreta
SLVD: Convolucion
y[n] =
=
∞
X
k=−∞
∞
X
x[k]Hk {δ[·]}[n] =
¯ k]
x[k]h[n,
k=−∞
SLID:
¯ k ] = h[n
¯ − 1, k − 1] = h[n
¯ − k , 0] , h[n − k]
h[n,
y [n] =
∞
X
k=−∞
x[k ]h[n − k ] =
´ SLID y[n] = {x ∗ h}[n]
Notacion:
∞
X
m=−∞
x[n − m]h[m]
´
Proxima
Clase
I
I
´ Discreta -final-.
Sistemas Lineales. Convolucion
´ para SLIT.
Convolucion
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