˜
SENALES
Y SISTEMAS
Clase 2
Carlos H. Muravchik
5 de Marzo de 2015
Noticias Administrativas
1. ¿Se inscribio´ en Facultad? SIU-Guaran´ı
´
2. ¿Se inscribio´ en la catedra?
Complete la planilla en
http://www.ing.unlp.edu.ar/senysis/
´
3. Hoy comienza la Practica
1.
Problemas de repaso de probabilidades: Lunes pasado.
Por su rango o amplitudes 1
´ o secuencia
Rango de la funcion
f :D→R
I
Continuo: Las amplitudes toman valores que pertenecen a
R ≡ intervalo de R.
´ eficaz de l´ınea, temperatura promedio
Ejemplos: tension
´
´ intraventricular del
del d´ıa en un invernaculo,
presion
´ tension
´ sobre el cuero cabelludo de un electrodo
corazon,
de EEG
Por su rango o amplitudes 2
f :D→R
I
´ un numero
Discreto: Las amplitudes pueden tomar solo
´
˜ binaria); o
contable de valores; p.ej.: 2 niveles (o senal
R ≡ intervalo de Z.
˜ de manipulador telegrafico
´
Ejemplos: senal
(idealizada),
numero
de requerimientos de llamado a una central
´
´
telefonica,
numero
de fotones que llegan a un fotodiodo,
´
´
numero
de autos que pasan por “verde” de un semaforo,
´
´
´ y correccion
´ de errores, codigos
´
codigos
para deteccion
´ y seguridad.
para encriptacion
˜
Tipos de senales
I
´
Analogica:
SVIC y Amplitud continua
I
Muestreada: SVID y Amplitud continua
I
Cuantizada: SVIC y Amplitud discreta
I
Digital: SVID y Amplitud discreta
˜
Tipos de senales
Por su naturaleza 1
˜ que se toma de una experiencia sobre una
´ senal
Realizacion:
magnitud f´ısica.
I
Determin´ıstica: describible para todo valor de la variable
´ matematica
´
indep’te por una funcion
(sin variables
´ da
aleatorias). Al repetir una experiencia, cada realizacion
˜
la misma senal.
Ejemplo: x(t) = A cos(2πfo t + φ), con A, f0 , φ constantes.
˜
Senales
predecibles en todo su dominio.
˜
Tipos de senales
´ Variable aleatoria (VA).
Notacion:
Por su naturaleza 2
I
´
Aleatoria: no se puede describir por una funcion
´
matematica
sin recurrir a un numero
(finito o infinito) de
´
variables aleatorias. Al repetir una experiencia, todas las
´ o ensemble de
realizaciones difieren entre s´ı. La coleccion
´
realizaciones se denomina P ROCESO E STOC ASTICO
Ejemplos:
Con una VA: x(t) = A cos(2πfo t + φ) con φ una VA
distribuida uniformemente en [−π, π).
´
Con infinitas VA: proceso independiente e identicamente
distribuido iid (“ruido”).
˜
Senales
no predecibles en todo su dominio, a menos que se
estimen una o varias VA.
˜
Senales
aleatorias 1
Realizaciones de un generador
senoidal modelado como proceso
´
estocastico
´ de la tension
´ de
Una aproximacion
salida de un generador senoidal
desde su inicio
2.5
2
θ=0
θ=π/4
θ=9*π/16
θ=π/1.5
θ=π
2
1.5
señal del oscilador
envolvente
1.5
1
1
0.5
Amplitud
Amplitud
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
−2
−2.5
−0.1
−0.05
0
t[seg]
0.05
0.1
0.15
−2
0
0.05
0.1
0.15
t[seg]
0.2
0.25
˜
Senales
aleatorias 2
125
125
120
120
# de pedidos de llamada
# de pedidos de llamada
´
Numero
de llamadas a una central telefonica
en una hora pico
´
115
110
105
100
115
110
105
0
10
20
30
t[seg]
40
50
100
60
0
10
20
30
t[seg]
˜
Senales
aleatorias 3
240
240
235
235
230
230
225
225
Vrms
Vrms
´ eficaz de l´ınea
Registros de tension
220
220
215
215
210
210
205
205
200
0
200
400
600
t[seg]
800
1000
200
0
200
400
600
t[seg]
800
1000
40
50
60
˜
Senales
aleatorias 4
´
Se puede ir leyendo la primera parte de “Topicos
de procesos
´
estocasticos”
o mejor, cualquier buen libro de los indicados en
la bibliograf´ıa.
Lo anteriormente descripto no es la unica
forma posible de
´
˜
´
aleatoreidad; existen por ejemplo, las senales
caoticas,
fractales, etc. No las usaremos en SyS.
˜
Senales,
secuencias. VI: tiempo, ´ındice
SVIC
SVID
˜ entre muestras; no esta´ definida
No “hay” senal
˜
Senales
especiales
SVID
SVIC
I
´ → u[n]
escalon
´ → RN [n] de
cajon
´ para N
N-puntos, solo
impar
´
triangulo
→ no lo
definimos
I
´ → u(x)
escalon
´ → u(x)
cajon
I
´
triangulo
→ ∧(x)
I
exponencial → ecx , c ∈ C
sinc → sinc(x) = sen(πx)
I
sind →
(πNx)
sindN (x) = sen
sen(πx)
I
exponencial → ecn , c ∈ C
I
seno y coseno →
sen(2πf0 n + ϕ)
I
I
I
I
πx
˜
Senales
especiales
I
I
´
´
graficos
pizarron
´
graficos
computadora
Delta de Dirac – SVIC
Importante para
I
I
I
representar condiciones iniciales de sistemas (en circuitos
por ej, carga inicial de un capacitor)
˜
´
para poder transformar senales
periodicas
(Fourier,
Laplace)
para definir la respuesta impulsional de sistemas lineales
entre otros usos.
Delta de Dirac – Idea
p(t)
1/
Teor´ıa de distribuciones o
Funciones generalizadas
t
I
I
RPulso/l´ımite
R
l´ım→0 p (τ )dτ = 0 pero l´ım→0 p (τ )dτ = 1
Representantes de la Delta (“integral=1; soporte=0”)
^
l´ım 2a (ax);
a→∞
y
muchas
otras
sen(πax)
;
a→∞
πx
l´ım
a
2a
1
2
2
l´ım √
e−x /2σ
σ→0
2πσ
1
1
1
-1/a
1/a
1/a 2/a
1
1
Delta de Dirac – Propiedades 1
I
I
I
Igualdad en sentido distribucional δLI (x)“ = ”δLD (x) es
Z
Z
δLI (x)Φ(x)dx = δLD (x)Φ(x)dx
∀Φ(x) ∈ FPB
donde FPB es la clase de funciones que se “portan bien”.
´
´
Expansion-Compresi
on
Z
Z ∞
1
1 c∞
δ(x)dx =
δ(ct)dt =
c −c∞
|c|
−∞
No se puede definir, en general, el producto de
distribuciones de manera consistente
Delta de Dirac – Propiedades 2
I
´
Extraccion
Z
b
δ(x)f (x)dx = f (0)
a
siempre que a < 0 < b
I
Derivada
Z
b
δ (n) (x)f (x)dx = (−1)n f (n) (0)
a
I
con a < 0 < b, donde f (n) (x) es la derivada n-sima de f (x)
´
´
δ(x) tiene area
1; Aδ(x) tiene area
A
Delta de Kronecker – SVID
I
I
Juega un papel similar a la Delta de Dirac en SVIC
´ sencilla de tratar
Mucho mas
´
Definicion:
δ[n] =
1 si n = 0
0 si n 6= 0
˜ plot
Matlab: vector de ´ındices, senal,
1
n
-4 -3
-2 -1
0
1
2
3
4
Definiciones
´
´
1. SVIC periodica:
x(t) periodica
de per´ıodo fundamental T
si existe un T ∈ R de modo que T es el m´ınimo T > 0 que
satisface x(t) = x(t + T ), ∀t ∈ R.
´
´
2. SVID periodica:
x[n] periodica
de per´ıodo fundamental N
si existe un N ∈ N de modo que N es el m´ınimo que
satisface x[n] = x[n + N], ∀n ∈ Z.
´
SVIC periodicas
I
Exponencial compleja; si c = ω + jα
ejct =
−αt
e
|{z}
´
amortiguacion
jωt
e
|{z}
´
periodica
I
´ ω rad/seg. Frecuencia: ω = 2πf
Pulsacion:
I
Periodicidad de ejωt
ej2πft = ej2πf (t+T )
⇒ 2πfT = 2πk ;
⇒
ej2πfT = 1
con fT = k ∈ Z o´ T = k/f
I
“m´ınimo T > 0 . . .” ⇒ k = 1 si f > 0; o´ k = −1 si f < 0
I
Numero
de ciclos por segundo = 1/T = |f |
´
´
SVIC periodicas
Consecuencias
I
I
I
I
I
A mayor |ω| = 2π/T mayor cantidad de oscilaciones por
segundo
´
ejωt es periodica
∀ω ∈ R
´
Armonicos:
dada ejω0 t ; ω0 ∈ R; kω0 , k ∈ Z son las
´
´ dan SVIC periodicas
´
frecuencias armonicas,
que tambien
´
´ dan
Existe un infinito numero
de armonicos,
que tambien
´
jkω
t
´
SVIC periodicas
e 0
´
˜ periodica
´
Algunos armonicos
pueden serlo de una senal
´
de distinto per´ıodo fundamental. P.ej.: el armonico
k/T con
T = qT 0 y k = qk 0 y q ∈ N es en realidad la frecuencia
´
k 0 /T 0 , k 0 -simo armonico
de 1/T 0 , de per. fundam. T 0 .
Ejemplo ej2kπf0 t . Matlab.
´
SVID periodicas
I
Exponencial compleja; si c = Ω + jα
ejcn =
−αn
e
| {z }
´
amortiguacion
I
I
jΩn
e
|{z}
´
periodica
Exponencial imaginaria; si ejΩn ; n ∈ Z
´ Ω sin unidades o rad (n es adimensional).
Pulsacion:
“Frecuencia” (adimensional): Ω = 2πf
ejΩn = ejΩ(n+N)
⇒ ΩN = 2πm;
⇒
ejΩN = 1
con fN = m ∈ Z ⇒ f = m
N ∈Q
´
´ para f ∈ Q
es periodica
solo
I
´
Armonicos:
son los multiplos
de 1/N, si N es el per´ıodo
´
fundamental.
´
SVID periodicas
Consecuencias
I
´ hay N − 1 armonicos
´
Solo
distintos asociados a una
fundamental de per´ıodo N. Es un numero
finito de
´
´
armonicos.
I
´
Si el per´ıodo fundamental es N, los armonicos
son k /N
con k = 0, 1, . . . , N − 1.
I
Si f = m/N; m > N entonces m = kN + m0 , (k , m0 ) ∈ Z y
m0 < N. Como f = m/N = k + (m0 /N) = k + f 0 ; luego
0
´
ej2πfn = ej2π(m/N)n = ej2πf n (periodica
en n con per´ıodo
´ periodica
´
fundam. N, pero tambien
en la variable continua
f , con per´ıodo fundamental 1).
´
Algunos armonicos
podr´ıan tener distinto per´ıodo
´
fundamental. P.ej.: el armonico
k /N con N = qN 0 y k = qk 0
´
y q ∈ N es en realidad la frecuencia k 0 /N 0 (fraccion
coprima) con per. fund. N 0 = N/q.
I
´
SVID periodicas
´ consecuencias
Mas
I
A mayor Ω las pulsaciones (y frecuencias) se repiten en
´
forma periodica.
Sea Ω0 con per´ıodo fundamental N o sea
Ω0 N = 2π entonces,
(Ω0 + 2πk )N = 2π + 2πkN = 2πl
I
l = 1 + kN ∈ Z
Se repiten las pulsaciones cada 2π. A medida que se
eleva la frecuencia no necesariamente aumentan los ciclos
u oscilaciones por segundo
´
Ejemplo: cos(2π(1/3)n) y su armonico
cos(2π(2/3)n).
Considere cos(2π(3/3)n) y cos(2π(4/3)n)
Matlab: el ejemplo con otra frecuencia. Ver cos(2π(1/110)1/2 n)
˜ discreta periodica
´
Senal
- Ejemplo
´
Sinusoide con N = 100. Fundamental y armonicos
2 y 3.
N=100;
n=0:200;
xf=sin(2*pi*n/N);
x2=sin(2*pi*2*n/N);
x3=sin(2*pi*3*n/N);
h=stem(n’,[xf’ x2’ x3’]);
Observar el per´ıodo de xf, x2 y x3.
Script: armonicos.m
´
Ud. mismo pruebe con N = (9990)1/2 en el script y vea como
´
luce: parece periodica,
pero no lo es. ¿Lo ve? ¿Por que´ ocurre
esto?
Ensayos audibles con Matlab
PASO 0: preparar Matlab para registrar/reproducir.
´ adelante en el curso
Detalles: mas
N=16000; % n´
umero de muestras a tomar
ai=analoginput(’winsound’);
ao=analogoutput(’winsound’);
addchannel(ai,1);
addchannel(ao,1);
set(ai,’SamplesPerTrigger’,N);
set(ai,’SampleRate’,N/2);
Script: prepsalida
Script: tomar
Sinusoides
Sinusoide 1KHz - Script: senoide.m
salida=sin(2*pi*1000.*(0:1:N)/(N/2));
plot(0:100,salida(1:101))
putdata(ao,salida’) % poner la secuencia
start(ao) % escuchar la secuencia
Note: salida es un vector fila. Pero putdata necesita una
columna, por eso va transpuesta.
´
Sinusoide 0.5KHz y sus armonicos
2,3,4 0.5 segundo cada una
- Script: senarmonico.m
Ruido
Ruido - Script: ruido.m
salida=randn(1,N);
plot(0:1000,salida(1:1001))
putdata(ao,salida’) % poner la secuencia
start(ao) % escuchar la secuencia
Ud. mismo pruebe escuchar “senoide + G*ruido” dando a G
diversos valores.
´
Proxima
Clase
Transformaciones de la Variable Independiente.
˜
Senales
par e impar VID-VIC.
Energ´ıa, potencia, valor medio temporal (VID-VIC).
Y luego,
Cuernos, Doblete y Peine.
´ de senales
˜
Representacion
VID con impulsos.
´ de senales
˜
Representacion
VIC con impulsos.
´ de Probabilidades
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