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Estabilidad de Lyapunov
Objetivo específico
Presentar la teoría de estabilidad de Lyapunov
aplicada a sistema lineales y no lineales e
ilustrar su uso en el análisis y diseño de
sistemas no lineales
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Estabilidad de Lyapunov
Temas
1. Generalidades sobre estabilidad
2. Estabilidad de Lyapunov
Método directo de Lyapunov
Método indirecto de Lyapunov
Aplicación a sistemas lineales
3. Ejemplos
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Generalidades sobre estabilidad
Es la característica más importante de un sistema
dinámico lineal o no lineal: x(k+1) = f(x(k), u(k), k)
En general, la estabilidad es un concepto local
(depende de las c.i. y el punto de equilibrio)
Un sistema no lineal puede tener uno o varios puntos
de equilibrio (donde f = 0). Sistema lineal: sólo uno
Una solución es estable si al iniciar el sistema desde
una posición cercana a un punto de equilibrio,
entonces su estado permanecerá cerca de dicho
punto
El punto de equilibrio puede referirse también a una
trayectoria deseada, como en el caso de una
aeronave
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Generalidades sobre estabilidad
Primer método de Lyapunov o método de
linealización (1892): estabilidad local de un sistema
no lineal a partir de su aproximación lineal.
Justificación del enfoque lineal
Segundo método de Lyapunov o método directo:
estabilidad a partir del concepto de energía, no se
restringe a un caso local
f ( xsi
, t)
Interpretación física: un sistema es estable xsi=su
la energía total se reduce continuamente hasta
alcanzar su estado de equilibrio
E < 0
Aplicable a sistemas no lineales y lineales:
Estado de equilibrio: estado donde f(xo,t) = 0, para
todo t. Se puede hacer xo = 0 por cambio de variables:
x* = x – xo
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Generalidades sobre estabilidad
Estabilidad alrededor de una trayectoria
Problema: que tan cerca permanecerá una
trayectoria x*(t) de una trayectoria inicial x(t) al ser
levemente perturbada
El problema puede transformarse en un problema de
estabilidad del estado e(t) = x(t) – x*(t) alrededor de un
punto de equilibrio e(0). Ya hay dependencia de t
x * = f (x* )
x = f (x)
x* (0) = xo
x(0) = x o + δ xo
e = f (x* + e, t ) − f (x* , t ) = g (e, t )
e(0) = δ xo
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Generalidades sobre estabilidad
Punto de equilibrio estable
El punto de equilibrio xo es estable (en el sentido de
Lyapunov) si para cada ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que
todas las soluciones que cumplen || x(0) – xo || ≤ δ se
verifica que || x(t) – xo || < ε para todo t ≥ 0
Es decir, un punto de equilibrio es estable si todas la
soluciones que inician cerca de dicho punto
permanecen cercanas a él
Un p.e. es uniformemente estable si δ no depende
del tiempo inicial. Es decir, la estabilidad no se
pierde con el tiempo
xo es un estado de equilibrio si f(xo, t) = 0
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Generalidades sobre estabilidad
Punto de equilibrio estable
Cualquier solución que en t = 0
comience en el cilindro de base de
radio δ no puede abandonar el cilindro
de base con radio ε
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Generalidades sobre estabilidad
Punto de equilibrio asintóticamente estable
El punto de equilibrio xo es asintóticamente estable si
es estable en el sentido de Lyapunov y si
|| x(t) - xo || → 0 cuando t → ∞, siempre que || x(0) - xo ||
sea suficientemente pequeño
Es decir, un punto de equilibrio es asintóticamente
estable si todas la soluciones que inician cerca de
dicho punto tienden a él cuando t → ∞
Estabilidad asintótica global – el dominio de atracción
es infinito. Es decir, || x(0) - xo || puede tomar cualquier
valor
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Generalidades sobre estabilidad
Punto de equilibrio
asintóticamente estable
Dominio de atracción –
región más grande de
estabilidad asintótica
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Generalidades sobre estabilidad
Punto de equilibrio inestable
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Generalidades sobre estabilidad
Ejemplo de estabilidad asintótica - Péndulo
x(0)
δ
xo
ε
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Se selecciona el
círculo ε. Se puede
encontrar un círculo
δ, tal que todas las
soluciones que
partan dentro él
estarán dentro de ε,
incluso tenderán al
p.e.
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Generalidades sobre estabilidad
Ejemplo de estabilidad asintótica – Péndulo (2)
xo = (0,0) es un p.e.
asintóticamente
estable.
δ
xo
ε
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Se selecciona el
círculo ε. Se puede
encontrar un círculo
arbitrario δ, tal que
todas las soluciones
que partan dentro él
estarán dentro de ε,
incluso tenderán al
p.e.
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Generalidades sobre estabilidad
Ejemplo de inestabilidad – Oscilador de Van der Pol
x + c( x 2 − 1) x + x = 0
c=2
xo = 0 es un punto de equilibrio
inestable.
Se selecciona el círculo
arbitrario ε (dentro del ciclo
límite). Las soluciones que
arrancan de un δ cerca del
origen se saldrán del círculo ε.
ε
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Generalidades sobre estabilidad
Función de Lyapunov V
Función de "energía". No es única para un sistema
Función definida positiva y continua junto con sus
primeras derivadas parciales alrededor del origen
Ejemplo: forma cuadrática:
n
n
V (x) = xT Px = ∑∑ pij xi x j
i =1 j =1
P – Matriz positiva simétrica
La derivada con respecto al tiempo está dada por:
n
n
∂V
∂V
∂V
V (x) = ∑
xi = ∑
fi ( x) =
f ( x)
∂x
i =1 ∂xi
i =1 ∂xi
Superficie de Lyapunov: V(x) = c
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Estabilidad de Lyapunov
Definiciones
Función definida positiva: V(0) = 0 y V(x) > 0 para x ≠ 0
Función semidefinida positiva: V(0) = 0 y V(x) ≥ 0 para
x≠0
Función definida negativa: -V(x) es definida positiva
Función semidefinida negativa: -V(x) es semidefinida
positiva
Función indefinida: la función no tiene un signo
definido
Una función es definida (semidefinida) positiva si y
sólo si todos los valores propios de P en V(x) = xTPx
son positivos (no negativos), lo que se cumple si y
sólo si los menores de P son positivos (no negativos)
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Estabilidad de Lyapunov
Definiciones
Función definida positiva
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Estabilidad de Lyapunov
Teorema de estabilidad de Lyapunov
Sea x = 0 un punto de equilibrio de x = f (x) . Sea V(x)
una función de Lyapunov tal que:
V (0) = 0, V (x) > 0 en D − {0} y V (x) ≤ 0 en D
Entonces, x = 0 es un punto de equilibrio estable.
Además, si
V (x) < 0 en D − {0}
Entonces x = 0 es un punto de equilibrio
asintóticamente estable
El teorema da una condición suficiente mas no
necesaria
Problema: hallar V(x)
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Estabilidad de Lyapunov
Teorema de estabilidad asintótica global
Sea x = 0 un punto de equilibrio de x = f (x) . Sea V(x)
una función de Lyapunov tal que:
V (0) = 0, V (x) > 0 ∀x ≠ 0
x → ∞ ⇒ V ( x) → ∞
V ( x) < 0 ∀x ≠ 0
Entonces, x = 0 es un punto de equilibrio
asintóticamente estable global
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Estabilidad de Lyapunov
Interpretación del teorema de Lyapunov
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Estabilidad de Lyapunov
Teorema de Lyapunov para sistemas lineales
Sea el sistema x = Ax . El estado de equilibrio x = 0
es asintóticamente estable global si y sólo si dada
una matriz Q definida positiva, existe una matriz P
definida positiva, tal que
(ecuación de Lyapunov)
AT P + PA = -Q
La función de Lyapunov es:
V (x) = x* Px
V (x) = xT Px + x T Px = xT ( PA + AT P ) x = − xT Qx
Normalmente se selecciona Q = I
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Estabilidad de Lyapunov
Th. de Lyapunov para sistemas lineales discretos
Sea el sistema x(k + 1) = Φx(k ). El estado de equilibrio
x = 0 es asintóticamente estable si y sólo si dada una
matriz Q definida positiva existe una matriz P definida
positiva, tal que:
ΦT PΦ − P = −Q
(ecuación de Lyapunov)
La función de Lyapunov es:
V (x) = xT (k )Px(k )
∆V (x(k )) = V [ x(k + 1) ] − V [ x(k ) ] = xT (k + 1)Px(k + 1) − xT (k )Px(k )
= xT (k )ΦT PΦx(k ) − xT (k )Px(k )
= xT (k ) ⎡⎣ΦT PΦ − P ⎤⎦ x(k ) = − xT (k )Qx(k )
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Estabilidad de Lyapunov
Primer método de Lyapunov o método indirecto
Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema no lineal:
x = f (x)
es continua diferenciable y D es una
donde f: D Æ
región alrededor del origen. Sea:
∂f
- Jacobiano
A=
∂x x=0
Entonces:
1. El origen es asintóticamente estable si Re λi < 0 para
todos los valores propios de A
2. El origen es inestable si Re λi > 0 para uno o más
valores propios de A
Rn
Si Re λi = 0 no se sabe nada
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Ejemplos
Ejemplo 1 – Caso lineal
⎡1 3⎤
x(k + 1) = Φx(k ) = ⎢
⎥ x( k )
⎣ −3 −2 ⎦
Q=I
Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales:
ΦT PΦ − P = −Q
Matlab: P = dlyap(Phi',Q)
⎡ −0.2857 −0.1905⎤
P=⎢
⎥
⎣ −0.1905 −0.2381⎦
No es definida positiva
El sistema es inestable
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Ejemplos
Ejemplo 2 – Caso lineal
⎡−2 −1.5⎤
x = Ax = ⎢
x
0 ⎥⎦
⎣2
Q=I
Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales:
AT P + PA = -Q
Matlab: P = lyap(A',Q)
P=
1 ⎡ 28 16 ⎤
>0
48 ⎢⎣16 37 ⎥⎦
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Es definida positiva
El sistema es asintóticamente
estable
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Ejemplos
Ejemplo 3 – Caso no lineal
⎧⎪ x1 = x2 − x1 ( x12 + x22 )
⎨
2
2
⎪⎩ x2 = − x1 − x2 ( x1 + x2 )
Sea
V (x) = x12 + x22 = xT Px = [ x1
Estado de equilibrio único:
x1 = 0, x2 = 0
⎡1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤
x2 ] ⎢
⎥⎢ ⎥
⎣ 0 1 ⎦ ⎣ x2 ⎦
V ( x ) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2( x12 + x22 ) < 0
V(x) es una función de Lyapunov
Sistema asintóticamente estable
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Ejemplos
Ejemplo 3 – Caso no lineal: péndulo
⎧ x1 = x2
⎪
⎨
⎛g⎞
⎛k⎞
⎪ x2 = − ⎜ l ⎟ sen x1 − ⎜ m ⎟ x2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎩
Punto de equilibrio:
x1 = 0, x2 = 0
Sea V(x) la función de energía del péndulo:
1
⎛g⎞
V (x) = ⎜ ⎟ (1 − cos x1 ) + x22
l
2
⎝ ⎠
⎛g⎞
⎛k⎞
V (x) = ⎜ ⎟ x1 sen x1 + x2 x2 = − ⎜ ⎟ x22 ≤ 0
⎝l ⎠
⎝m⎠
V(x) es una función de Lyapunov
Sistema estable.
V(x) falla pues realmente es asintóticamente estable
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Ejemplos
Ejemplo 4 – Caso no lineal: control adaptativo
Planta: y = ay + u
Control adaptativo: u = −ky, k = γ y 2 , γ > 0
Sea x1 = y, x2 = k, entonces:
⎧ x1 = −( x2 − a ) x1
⎨
2
⎩ x2 = γ x1
Puntos de equilibrio:
x1 = 0, x2 = cualquier valor
Función de Lyapunov candidata:
V ( x) =
1 2 1
x1 +
( x2 − b) 2 , b > a
2
2γ
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Ejemplos
Ejemplo 4 (cont.)
Derivada de la función de Lyapunov:
1
V ( x) = x1 x1 + ( x2 − b) x2 = − x12 ( x2 − a ) + x12 ( x2 − b)
γ
= − x (b − a) ≤ 0
2
1
De esta manera, todo punto sobre la línea x1 = 0 es
un punto de equilibrio
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Ejemplos
Ejemplo 4 (cont.)
Retrato de fase
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Ejemplos
Ejemplo 5 – Primer método de Lyapunov
⎧ x1 = x2
⎪
⎨
⎛g⎞
⎛k⎞
⎪ x2 = − ⎜ l ⎟ sen x1 − ⎜ m ⎟ x2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎩
Punto de equilibrio:
x1 = 0, x2 = 0
Jacobiano:
∂f
A=
∂x x =0
⎡ ∂f1
⎢ ∂x
=⎢ 1
⎢ ∂f 2
⎢ ∂x
⎣ 1
∂f1 ⎤
0
⎡
∂x2 ⎥
⎥ =⎢ ⎛g⎞
⎢ − ⎜ ⎟ cos x1
∂f 2 ⎥
⎢ ⎝l⎠
⎣
⎥
∂x2 ⎦ x =0
1 ⎤
⎡ 0
⎥ =⎢
k
⎢− g
− ⎥
m ⎦⎥ x =0 ⎣ l
1 ⎤
k⎥
− ⎥
m⎦
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Valores propios:
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k 1 ⎛ k ⎞ 4g
λ1,2 = −
±
⎜ ⎟ −
2m 2 ⎝ m ⎠
l
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Ejemplos
Ejemplo 5 – Primer método de Lyapunov (cont.)
Para todos los valores posibles de g, l, m y k, los
valores propios satisfacen: Re λi < 0. Por lo tanto el
punto de equilibrio es asintóticamente estable
Si no hay fricción (k = 0) los valores propios están en
el eje imaginario y no se puede afirmar nada a partir
del modelo linealizado. Utilizando el método directo
de Lyapunov se deduce que este punto de equilibrio
es estable
El punto de equilibrio x1 = π, x2 = 0 es inestable, ya que
un valor propio es positivo:
⎡0
A = ⎢g
⎢
⎣l
1 ⎤
2
k 1 ⎛ k ⎞ 4g
±
k ⎥⎥ , λ1,2 = −
⎜ ⎟ +
2m 2 ⎝ m ⎠
l
−
m⎦
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Ejemplos
Ejemplo 6 – Región de atracción
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Ejemplos
Ejemplo 7 – Región de atracción
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Ejemplos
Ejemplo 8 – Región de atracción
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Ejemplos
Ejemplo 9 – Ecuación de Lotka-Volterra
Modelo de especies en competencia (liebres y ovejas
compitiendo por hierba en cantidad limitada)
⎧ x1 = x1 (3 − x1 − 2 x2 )
⎨
⎩ x2 = x2 (2 − x1 − x2 )
Puntos de equilibrio:
A(0,0), B(0,2), C(3,0), D(1,1)
Jacobiano:
⎡ ∂f1
⎢
∂f ⎢ ∂x1
=
A=
∂x ⎢ ∂f 2
⎢ ∂x
⎣ 1
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∂f1 ⎤
∂x2 ⎥ ⎡3 − 2 x1 − 2 x2
⎥=
− x2
∂f 2 ⎥ ⎢⎣
∂x2 ⎥⎦
−2 x2 ⎤
2 − x1 − 2 x2 ⎥⎦
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Ejemplos
Ejemplo 9 (cont.)
Se aplica el método indirecto de Lyapunov
Polos en cada punto de equilibrio
A(0,0). Polos: (3,2). Nodo inestable
B(0,2). Polos: (-1,-2). Nodo estable
C(3,0). Polos: (-3,-1). Nodo estable
D(1,1). Polos: (0.4142,-2.4142). Punto de silla
inestable
Interpretación: una de las dos especies
inevitablemente se extingue, ya que la cantidad de
especies tiende al punto C(3,0) o al punto B(0,2)
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Ejemplos
Ejemplo 9 (cont.)
Retrato de fase
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