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I
SSN0
3
8
7-1
7
8
9
大阪市大 r
季刊経済研究j
γol
.
2
5No.
4Ma
r
c
h2
0
03,pp.7
590
空間計量経済学 (
Spa
t
i
a
lEc
onome
t
r
i
c
s
) における
空間的外部性の扱い方について
小長谷
一
之
【
摘要】
通常の統計 (
分析)手法は観測単位ごとの独立性を仮定しているが,たいていの地域デー
タは,空間的自己相関が存在するため独立でない. この空間的自己相関のために,本来,す
べての地域データにおいて,通常の統計分析手法を安易に適用できないはずである. この間
題をあつかう上でヒントとなるのは,時間方向の手法である. いわゆる時間方向の相関デー
タは,計量経済学でもっとも頻繁にあらわれ,それゆえ重要であり,時系列分析では,時間
的自己相関を考慮した正統的統計手法が確立されている. この時系列分析を空間次元に拡張
したのが｢
空間計量経済学｣(
Spa
t
i
a
lEc
onome
t
ic
r
s
)であるが,時間 1次元を空間 2次元 (+
時間 1次元) にするだけでも,方向性が出てくるため複雑である. しかし本来は地価や土地
利用などの地域経済データの分析には不可欠である.現在は手法の洗練化の段階であるが ,
最終的には,時系列分析のような多様な手法が開発されることが望ましいとみられている.
本論文では,その最近の試みを整理し,最尤法の計算法に関する若干の考察をおこなう.
Ⅰ.空間計量経済学とは
1.空間計量経済学の意義
空間経済学 ,地域経済学 ,都市経済学等であらわれる地域データには空間的自己相関
(
spa
t
i
a
lAut
o
c
o汀e
l
a
t
i
on) という特殊な問題があることが知られている.多変量解析等の通常
の統計手法は,観測値の独立性という大前提に基づいており, これを前提として地域データ
に対しても通常の続計手法の無批判的な適用がなされるが,実は,空間的自己相関が強い場
合は,こうした適用自体がすべて疑わしくなってしまう.
1
9
7
0
年代 ∼1
9
8
0
年代にかけて, この空間的自己相関の問題に気がついた研究者は, これに
76
季刊経済研究
5巻
第2
第 4号
対処する方法をいくつか開発したが , もっとも有望なのは,近年計量経済学の分野で急速に
進歩した時系列相関分析に並行的な理論を構築するというものである.時系列相関分析は,
時間方向の自己相関を,主に回帰モデルをベースとして, これに時間方向のラグをもった項
を追加したモデルを明示的に特定化すること･
によって,正面からあつかう手法である. これ
に対応して,空間的自己相関そのものを組み込んだモデルを特定化することによって ,空間
spa
t
i
a
lEc
o
nome
t
ic
r
s
)
的自己相関問題を正面から解決しようとする方法を,空間計量経済李 (
という. これはクリフ (
Cl
i
f) とオルド (
Or
d) による空間的自己相関研究から出発し, 1
9
8
0
年代にアンセリン (
血s
e
l
i
n) によってその概容が整えられた.
本論文は, この空間計量経済学の出現の経緯とその枠組に関する短いまとめを行ったあと,
特にその分析面で重要な役割をはたす行列方程式に対する最尤推定法の適用と計算法につい
て若干の考察をおこなうことを目的としている.
2.地価データの特殊性
経済学において,空間的自己相関分析の要因となる外部性効果が反映する典型的な空間チ
ータとして,地価･不動産価格のデータがあるが, これには,以下のような特有の問題があ
ることを最初に指摘しておく.
(1) データ平滑化の必要性
地価は,理想的には, 同一地点の時系列変化を分析するべきであるが,それは,実質的に
も理論的にも不可能である. たとえば公示地価の場合 ,観測点を意識的に変える政策があり,
実質的に 5年程度で場所が変化する. このような場合 , なんらかの形でクロスセクション
(
同一時間断面) の地価関数を推定し,平滑化した外挿地価を計算し,同一定点の修正地価と
してデータセットを整備する必要がある.
(2)空間的相互作用の構造の把握の問題
土地利用と同じく,構造行列には,① 隣接相互作用 (
- 計量地理学でいうところの近隣効
莱),② 遠隔相互作用 (
- 計量地理学でいうところの階層効果 ,離れた都市 (
ないし都心) か
らの重力モデル型行列) の 2者がある. これに通常のオンサイトの説明変数が加わる.
Ⅰ
.空間計量経済学の歴史
1.空間的依存性 (
空間的自己相関)の発見一空間統計学からの貢献
今日の空間計量経済学が成立する最大の誘因となったのは,空間･
的依存性の定量的証拠で
Spa
t
i
a
lAut
o
c
o
汀e
l
a
t
i
on)の発見である.空間的自己相関
ある, いわゆる｢
空間的自己相関｣(
空間計量経済学 (
spa
t
i
a
lEc
onome
t
r
i
c
s
) における空間的外部性の扱い方について
77
はいわゆる時系列相関を空間方向の｢
近隣｣に拡張したものであり,典型的にはモランの Ⅰ
統計量
Ⅰ-eーwe/ e′
°
によって計測される. ここでW は近隣を指定する空間的ウェイト行列 (
構造行列), eは誤差
項で,結局 Ⅰは近隣の 2点の誤差ベクトルのモーメント和をとったものである.特にクリフ
とオルド (
1
97
3, 1
981) に始まる,バートレット,ベネット, リグリー, グリフィス, アブ
トン, フィングルトンらの研究は重要である.空間的自己相関の存在は,地域データに対し
て空間的効果を明示的に取り入れない通常の統計学手法が適用できないことを示し,地域科
学における空間計量経済学手法の確立を急がせたのである.
2.空間計量経済学モデル (空間的自己回帰モデル)の考案
空間統計学における空間的自己相関の研究は,空間的依存性の存在を示しただけで,その
対処法を提示することはできなかった. ここに空間統計学におけるデータ志向のアプローチ
から,モデル志向のアプローチ- の移行がどうしても必要だったのである.そのモデル志向
アプローチの研究がクリフ, オルド, ドライアン, ドゥ,アンセリンらによって始められた.
(1)空間的効果モデル (
被説明変数の空間的自己相関)
9
8
0年にドライアン (
Do
r
e
i
a
n)が,空間的自己相関は,被説明変数自身に反映され
まず ,1
pa
t
i
a
lEfe
c
tMode
l
) を導入した. (
以下,スカ
ているとして,空間的効果モデル (SEM :S
ラー以外のベクトルや行列をゴチック体活字で示す)
Y- pW .Y+X β+ ∈ - (1)
E (【)-0
E (Eel
) -62
tl
(
分散均一)
ここで,
Y:従属変数の N次元列ベクトル (
Nはデータ数)
x:
一般説明変数の NXK行列 (
Kは説明変数の種類)
β :一般説明変数パラメータの K次元列ベクトル
W, :従属変数の空間的ウェイトの N次正方行列
(
構造行列)
p :従属変数 Yの空間的自己回帰パラメータ
【 :誤差項の N次元列ベクトル
(2)空間的撹乱モデル (
誤差項の空間的自己相関)
982年にドゥ (
Do
w)が ,空間的自己相関は,誤差項に反映しているとして,空間
次に, 1
S
p
a
da
lDi
s
t
ur
ba
nc
eMo
d
e
l
) を導入した.
的撹乱モデル (SDM :
78
季刊経済研究
第2
5巻
第 4号
Y-x β+ 【 ∴･(2)
∈- AW 2 ∈+ p - (3)
E (p)-0
ここで,
Y:従属変数の N次元列ベクトル (
Nはヂ- タ数)
x:一般説明変数の NXK行列 (Kは説明変数の種類)
β :一般説明変数パラメータの K次元列ベクトル
W2:誤差項の空間的ウェイトの N次正方行列 (
構造行列 )
人 :誤差項
【の空間的自己回帰パラメータ
【, ド :誤差項の N次元列ベクトル
3.アンセリンによる空間計量経済学モデルの統合
(1) アンセリンの研究の背景
アンセリンは, 1
9
8
0
年代後半に空間計量経済学の基本的枠組みを確立した人物である. 当
Aが設置され,地理情報科学
時彼のいたカリフォルニア大学サンタバーバラ校は, NCGI
と他の科学の融合が進められていた. いわば地理情報科学と地域科学･経済学の幸福な出会
いが空間計量経済学が生み出したといえる. ちなみにアンセリンはその地理･経済学部
(
De
p
a
rt
me
ntofGe
o
g
r
a
p
hya
ndEc
o
no
mi
c
s
)において空間計量経済学の基本を構築したのであ
る.
こうしたクリフ, オルド, アンセリンらによる1
9
8
0
年代後半の空間計量経済学は,それま
での空間的自己相関研究から進んで,確率モデルを用いた推計統計学的観点を確立したこと
によって大きく進展した. これまで,横断面の地域データは｢ユニークであり二度と生起し
ない母集団そのものである｣という立場があったが,推計統計学的確率モデルでは,｢背後に
母集団をもった確率モデルの実現である｣という立場をとる. これによって, さまざまな計
量経済学手法の適用が可能となったのである.
(2) アンセリンによる空間計量経済学の定義
アンセリンによれば,空間計量経済学とは, ｢空間的依存性と空間的不均一性の構造を定式
化して,地域科学におけるモデル構築のため,適切な特定化 ,推定 ,仮説検証を実行する手
段をあたえる方法｣と定義される.彼は次の諸点を指摘している.
① 空間計量経済学は,地域科学 (
RS:Re
i
gona
l
S
c
i
enc
e)の一分野でもある.
(
参通常の計量経済学と異なる点は,空間的効果を明示的に取り入れていること. これによ
って,空間データの非独立性の問題を克服しようとする. また空間の多方向性のため,通常
空間計量経済学 (
spa
t
i
a
lEc
onome
t
ic
r
s
) における空間的外部性の扱い方について
7
9
の計量経済学の時系列分析の時間方向を空間方向に単純に拡張したものにはならない⊥
③ データ志向型の空間統計学と異なる点は,モデル志向型アプローチであること.
④ 空間的効果は , 空間的依存性 (
Spa
t
i
alDependenc
y) と空間的不均一性 (Spa
t
i
al
He
t
e
r
o
ge
ne
i
y) に分けられる.
t
⑤ アンセリン以前にアイサードが空間経済学･地域科学の領域としてきたテーマ (
空間的
相互作用,都市の密度関数 ,地域計量経済モデル等)のうち,通常の計量経済学の手法でで
きるものも,空間的効果 (
特に空間的自己相関) を明示的に取り入れることによって深化す
る可能性がある.
⑥ ｢
空間的依存性｣をモデルにおいて実現する道具は空間的ウェイト行列 (
構造行列)で
ある.空間的依存性は, トープラ-の地理学第 1法則｢
すべてのものが他のすべてのもの関
係するが,近いものは遠方のものより強く関係する (
e
v
e
r
y
t
hi
ngi
sr
e
l
a
t
e
dt
oe
v
e
r
y
t
hi
nge
l
s
e,
butne
r t
a
hi
n
gsa
r
emo
r
er
e
l
a
t
e
dt
ha
ndi
s
t
a
ntt
hi
ngs
)
｣がよく示すように,地域科学の中心的概
念である.
⑦ ｢空間的不均一性｣は,モデル内の関数形とパラメータ (
特に分散 )が位置やデータセ
ットの中で一様でないことを示す.標準的計量経済学手法によって対処できるものが多い.
(3) アンセリンによる空間計量経済学モデルの統合
被説明変数および誤差項双方に空間的自己相関をもち,かつ空間的不均一性をもらたもっ
とも一般的モデルは,空間的効果モデルと空間的撹乱モデルを融合した形をしている.
Y-PW,
Y+Xβ+ ∈ - (1)
･-AW2∈+ p - (3)
E (p)- 0
E (川 '
) -n (
一般行列は分散不均一 -空間的不均一性をあらわす)
こ
こで,
Y:
従属変数の N次元列ベクトル
(
Nはデータ数)
x:
一般説明変数の NXK行列 (
Kは説明変数の種類)
β :一般説明変数パラメータの K次元列ベクトル
W, :従属変数の空間的ウェイトの N次正方行列
(
構造行列)
W2:誤差項の空間的ウェイトの N次正方行列 (
構造行列)
β :従属変数 Yの空間的自己回帰パラメータ
人 :誤差項
亡の空間的自己回帰パラメータ
E,p:誤差項の N次元列ベクトル
Oが表現している･
ここで,空間的依存性は, pW .と AW 2,空間的不均一性は,.
季刊経済研究
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第2
5
巻
第 4号
Ⅱ.空間計量経済学のモデルの解法
1`一般形
(1)非線形モデルの陰関数表現
Y と【の変数をまとめるため,
A- I-PW I
B- I- 1W 2
とおく.
こうすると,一般モデル (1), (3) は,
AY-Xβ- 【
(6)
B ∈〒 p
(7)
となる.
これを解くには,正規分布という性質のわかっている独立誤差項 pから逆に出発する.誤
差共分散行列 E [いい'
]が対角的であるので, これを Q とおくと, Q
1/ 2
日は,標準正規分
.とおくと,
散の正規分布の独立撹乱項ベクトルとなる. これを V
V-a-1
/2日
(8)
すると p-Ql
/2V
(9)
で,誤差項【は
【-B-1･Q l
/2V
(
1
0)
となり, (6) に代入して
AY-Xβ+B-一･O/2V
(
ll)
変形して,
E
) 1/2B (
AY-XP)- V
(
1
2)
これは,非線形モデル (
すなわち,パラメタ群
0が非線形)の陰関数形の表現
f(
Y, X, 0)- V
となっている.
(2)対数尤度関数の導出
尤度関数は Yに関する確率密度関数の積なので,対数尤度関数は Yに関する確率密度関数
の対数和となる.いま, Vは標準正規分布であるから Vに関する確率密度関数は簡単である.
そこで, VからYへの確率密度関数の変換公式を使えば Yに関するものが求められる.
f(
Y) - lJト f (V)
ここで確率変数 Vのベクトルから,確率変数 Yのベクトルへの,変換のためのヤコピアン
∫-de t (∂ V/ ∂Y)
空間計量経済学 (
spa
t
i
a
lEc
onome
t
r
i
c
s
) における空間的外部性の扱い方について
81
は, (
1
2) より,
J- l
E
)1/2 ･
B ･A l
- I
Q1/2 I
･l
Bl･ lA l
(
1
3)
誤差項 Vが結合標準正規分布なので,観測値 Yの対数尤度関数は,
1--(
N/2)l
n (7
T)-(
1
/2
)･l
nl
aI
+l
nJ
BI
+l
nl
A
ト
(
1
/2
)vl v
ここで, VV- (Ay-Xβ)B'
01 1B (Ay-Xβ)
(
1
4)
(
1
5)
は,適当に変換された誤差項の二乗和である.
結局,尤度関数の最大化は,｢ヤコピアンの行列式によって修正された (
変換された)誤差
15)式の誤差項のなかの二次形
二乗和の最小化｣に同等となる.対数尤度の本質的部分は, (
式で , これはふるまいのよい最適化問題であるが, Aと Bの中に空間的項が隠れており, こ
M LE) は最小 2乗推定値 (LSE) と異なる.その違いの程度は,空
のため最尤推定値 (
間的ウェイト行列 W ., W 2を含む A, Bに関する行列式によっており,･p- + 1かス- + 1
に近づくにつれて大きくなる.最尤推定量のための漸近的な特性を確保するために,通常は
a, A, Bに適当な条件をかすのが普通である.
2.空間的に均一な SEMの例
(1)モデルの定義
SEM)を調べることにより,
被説明変数のみに空間的自己相関がある空間的効果モデル (
被説明変数と誤差項の双方に空間的自己相関がある場合も一般性を失わず , ほぼ同じ扱いが
できるので, ここでは SEMを考える.
Y-PWY+Xβ+ 【･
･
･(1)
E (e)-0
E (【【'
) - 62I
(
分散均一)
ここで
,
Y:従属変数ベクトル (
NXl)
x:
一般説明変数行列
(
NXK)
W:空間的自己回帰構造行列 (
NXN)
p :空間的自己回帰パラメータ
β :一般説明変数パラメータベクトル
【 :誤差ベクトル (
NX l)
である.
(2)最尤法
1) 【に関する尤度関数
変換手続きで, Cは正規分布 (
nor
ma
ldi
s
t
ibut
r
ion)であることに注目する.
82
季刊経済研究
第2
5巻
第 4号
AY-Xβ- 【
と変形する. ここで,
A- J-pW
-A (p)
- pの関数,である･
【は,正規分布なので,尤度関数は簡単である.
L (【)- 1/ (27
T62
)N
/2･exp l
- 1/ (262
) ･【e]
2)Yに関する尤度関数
そこで, 【からYへ変換する.変換後の Yに関する尤度関数は,
L (Y) 主 L (C) ･ l∂ 【/ ∂ ･
l(
変換のヤコピアン)
Y
-L (【) ･ lA l
±1/ (27
rq2
)N
/2･exp l
- 1/ (262
) ･(AY-Xβ)
-(
AY-X β)
]･JA 1
3) Yに関する対数尤度関数
l(
Y)- 1nL (
･
Y)
--N/ 2･ln (2'
r)-N/ 2･ln (02
)- 1/ (202
)･(YI
A■
AYl 2β●
XAY+
β一
XI
Xβ)+ ln lA 1
4)対数尤度最大化問題
,
1(
Y)を β, 0 2で偏微分し,その偏微係数 -0の条件から
β*- (xx)
1
(X■
AY)
YI
AI
AY-2βXAY+ βl
X.
X β)
c
r'2-2/N ･ (
これをまた 1 (
Y) に代入すれば,
1 (Y, p, β書, g'2
)- const-N/ 2 (lno'2-2/N ･ln lA l
`
)
言い換えると,
対数尤度最大化問題は,
le
触 dve
l (Y) - Ino*2- 2/N ･ 1n IA Jの最小化問題に帰着される.
に代入すると,完全に β
が消えて
さらに, β書を o*2
o*2- 2/N ･ (
Y'
A■
MAY) (
M≡ Ⅰ-X (X.
X)-1 XT
)
これを代入すれば,
lで完全にβ, Oが消えて,定数を除けば,
le
ue
c
d
v
e
le
u
dv
e2 (Y) - 1n (
YI
A'
MAY)-2/N ･ 1n lA'tの最小化問題に帰着される.
この表式では,パラメータ β, Jが消去され ,完全に p のみの関数となっているので ,
In lA lが計算できれば, pのみの最小化問題を考えればよい.
(3) オルドによる固有値分解法 (
1
97
5)
結局, 1n I
A lを評価することになるが,これはオルドが問題を簡単化させている.
構造行列W の固有値 Ai
の定義から,固有値は最高次係数が 1の固有方程式の解であるので,
固有多項式は,
空間計量経済学 (
spa
t
i
a
lEc
onome
t
r
i
c
s
) における空間的外部性の扱い方について
IA I-W l-r
I.
.
.
N
=1.
8
3
(A- li
)
と変形できる. したがって,
JA l- Jl- pW l
-l(1/ p) l-W
Ixp"
-r
l i=1.
.
N (
1/ p- li) xp"
-r
li
=1.
.
N (
1- p li
)
最終的に,このヤコピアンも評価でき,
le
u
e
c
d
v
e3 (Y) - In (Y'
A'
MAY)- 2/N ･∑ ,
.
=1.
.
N ln (
1- p li
) の最小化問題
となる.結局,解の概略は,構造行列Wの固有値で決まるといってよい.
Ⅳ.構造行列の固有値の構造
1.構造行列と空間伝播
上下左右の隣接格子点との間のみ非 0の
構造行列は,正方格子セルなら,図 1のように,L
成分をもつような行列となる.
図 1 典型的構造行列 (
ルーク型)を取った場合の時空間相互作用の伝播の仕方
8
4
季刊経済研究
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5巻
第 4号
構造行列の,空間的波及効果モデルとの関係としては,山田･安藤他の波動方程式モデル
9
9
7
)
.波動方程式の主要部をなすラプラシアン作用素
との関係をあげておきたい (
西村他 ,1
△-∂2
/∂2Ⅹ +∂2
/∂2y+∂2
/∂2Z
は,隣接セルの変化の平均を平滑化した 2次量であり,空間的自己回帰モデルの隣接相互作
用で表現可能である.すなわち,局所的な総合作用によって波が伝わるのであるから,両者
はきわめて密接な関係にあるといえる.
2.構造行列 Wのある表現 -チェッカー型の基底
相互作用の興味深い構造を把握するため, グリッド空間で市松模様に基底をとり表現して
みる.
今 ,現実の地理的 (
物理的)空間を一辺が 2Nのスケールであるとする.すると相互作用
次の正方行列となる.相互作用をチェッカーの市松模様のよう分解し (
表現の基
行列は 4N2
底を組み替えることに相当), 2つのレイヤー同士の重ね合わせとして捉え直す.
【ノード番号のチェッカー的番号づけ順序】
Ll(1st 1ayer)
1
2
3
N+1
N+
2
2
N+1 2
N+
22
N+
3
N1 N
2
N･
2 2
N1 2
N
3
N1 3
N
N2
N･
12
N2
｣
N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.2
2
N2
2
N+12
N2
2
N+
22
N2
･
2
N+
3 .
2
N2
･
12
N2
L2 (2nd
lay er)
2
N2
+12
N2
+
22
N2
+
3
2
N2
+
N+12
N2
+
N+
22
N2
+
N+
3
4
N2
1
2
N+14
N2
2
N+
24
N2
2
N+
3
4
N2
N+14
N2
N+
2 4N2
N+
3
2
N2
+
N12
N2
+
N
2
N2
+
2
N
4
N2
N
4
N2
N- 4
N2
･
14
N2
1
空間計量経済学 (
spa
t
i
a
lEc
onome
t
r
i
c
s
) における空間的外部性の扱い方について
8
5
このようにすると,相互作用は一方から他方に移る変換として定式化できる
N-4の場合
01 3
3
3
70
5
0
9 41
4
5 1
3
1
74
9
5
3 21
2
55
7
61 2
9
0
2 3
4
3
80
6
1
0-4
2
4
6 1
4
1
85
0
5
42
2
2
65
8
6
23
0
0
3
3
9
1
1
4
7
1
9
5
5
2
7
6
3
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J
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N) J(
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N) J(
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N)
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N) J(
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N)
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N) J(
I(
N)はN次単位行列
J(
N)は左下三角のN次のJ
or
da
n細胞
このようにするとW の高次作用も一般公式で得られ,固有値の振る舞いも明確になる.時系
列分析とある程度並行的に扱うことができるものもある.
86
季刊経済研究
第2
5
巻
第4
.
号
4.固有方程式のリダクション
-M とおくと､
簡単のため､ 2N2
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[u
u
]
固有方程式
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N- A L2
M
×A M
(2M次行列式)
×A M
(2M次行列式)
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+ 1/ … YyM
'
(× (
-))
" (M次行列式)
=l川
M
+UMUM
'
(
M次行列式)
であるので,固有方程式は,
Jl 2 IM
+UMUM
' I- o
となり,かならず絶対値の同じ士のペアとなる解となる. 0も偶数回縮退している.
5.固有値の例
(1) N-1のケース
物理的空間 :2N-2次のサイズ
工 ……
構造行列 : (2N)
2
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日日
J
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固有値 :±2
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含縮退)
空間計量経済学 (
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) における空間的外部性の扱い方について
(2)
･N-2のケース
87
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物理的空間 :2N-4次のサイズ
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構造行列 : (2N)
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-1
6
次行列
J-Ⅹ4 (Ⅹ2- 1)2 (x12- 5)2 ((Ⅹ2- 4)2-
(2 Ⅹ)2)
- Ⅹ4 (Ⅹ21 1)2 (Ⅹ2- 5)2 (Ⅹ4
･
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2Ⅹ2+1
6)
固有値 :±3
.
2
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.
2
4, ±2
.
2
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.
2
4, ±1
.
0
0, ±1
.
0
0,0,0,0,0 (
含縮退 )
これらの固有値の振る舞いは一般化することが可能で,それが最終的な対数関数尤度 (
の逆
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符号)
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【
参考文献】
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8
季刊経済研究
第2
5
巻 ‥第 4号
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1
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安藤朝夫 (
1
991
)｢
地価の動的･空間的連関構造に関する基礎的研究｣土木学会論文集J第4
25
号 (
第1
4
巻第 4号)
,pp.
1
27
･
1
3
3.
安藤朝夫･内田隆一･田中稔晃 (
1
992)｢
東京圏における地価変動の時空間的波及一一次元拡散モデルに
r
よる実証分析｣日本不動産学会学術講演会梗概集]第 8号,pp.
1
0
9
1
1
2.
小長谷一之 (
2
0
03) ｢
空間計量経済学｣｢
空間計量経済学モデル｣｢
空間的自己回帰モデルの解法｣｢
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ウェイト行列｣他 (
小長谷一之他編 r
地理情報科学辞典J
)朝倉書店.
･
空間計量経済学 (
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) における空間的外部性の扱い方について
西村周三･綿貫伸一郎･田捌隆俊
肥田野登･山村能郎
8
9
(
1
9
9
7
)帽β市と土地の経済学』日本評論社 .
(
1
9
9
2
)｢地価変動に注目した首都圏の土地市場セグメントの抽出とその連関｣『日本
p
.
1
0
1
1
0
4
.
不動産学会学術講演会梗概集』第 8号 ,p
肥田野登･山村能郎･樋口洋一郎
(
1
9
9
4
)｢ネットワーク自己相関モデルを用いた首都圏における地価動
向モデルの構築｣『日本不動産学会誌』第 9巻第 2号,pp.
5
3
6
3.
(
2
0
0
3. 2.1
0 受理)

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