. . 髙田耕治 KEK [email protected] http://research-up.kek.jp/people/takata/home.html 総研大加速器科学専攻 2015 年度「加速器概論Ｉ」講義 2015 年 4 月 16 日 . . .. . 加速器の基本概念 II : 高エネルギービームの力学 (1) 目次 §1 粒子加速器のあけぼの §2 高エネルギービームの力学 (1) 1 高周波加速における位相安定性の原理 2 ビーム軌道の強集束法 §3 高エネルギービームの力学 (2) §4 高周波加速技術 §5 これからの高エネルギー加速器 §6 参考文献 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 2/1 [ I ] 位相安定性の原理 (1) 粒子のエネルギー分布が幅をもつと • 速度と軌道長両方がエネルギーに依存 • エネルギーによって周回時間が異なり加速高周波と非同期しかし加速高周波の振幅が十分大きいと、高周波電場は粒子にたいし復元力をもち、平均ではエネルギーが揃うであろうその結果、電圧が設計上の加速電圧に等しい位相のまわりに粒子が集まる (集群: bunch する)、 • この位相を同期位相 • つねに同期位相上にのりつづける粒子を同期粒子この原理は V. I. Veksler ∗1 と E. M. McMillan ∗2 により独立に見出されたこうにしてバンチ全体として高エネルギーへ加速されうる 1 2 DAN (USSR) 44, p.393(1944) Phys. Rev. 68, p.143(1945) Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 3/1 位相安定性の原理 (2) この原理にもとづく円形加速器を “synchrotron.” という名前は当時すでに実用化されていた同期モータ: “synchronous motor”∗ 3 に由来する。加速電圧を力学トルクに読みかえれば原理は同じ。 3 McMillan: ibid Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 4/1 シンクロトロン振動 (1) 空洞加速電圧：振幅 V0 の正弦波とする V = V0 sin(ωt + ϕ) 同期エネルギー (Es と表わす) の粒子 V0 が空洞中心を Va ωt = 0, 2π, 4π, . . . −π に通過し、同期が続くための加速電圧は Va (< V0 ) とする φs π /2 π−φs π 2π ωt この同期条件をみたす位相 ϕ は Va = V0 sin ϕ であって、高周波の 1 周期に 2 つある: ”V の勾配が正か負か” Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 5/1 シンクロトロン振動 (2) このうち一つは粒子を補足し、他は発散させる • エネルギーのより高い (∆E = E − Es > 0)、言いかえればより速度の大きい粒子がより速く 1 周するか、より遅く 1 周するかに依存加速に使えるのは補足作用がある方の位相で同期位相: synchronous phase ϕs という粒子の周回ごとの到着位相は ϕs のまわりに進み遅れをくりかえし、粒子群は集群（bunching）されるこの位相振動をシンクロトロン振動 : synchrotron oscillation という Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 6/1 シンクロトロン振動と RF Bucket (1) 位相平面 (∆ϕ, ∆E) 上のある等高線にある粒子は永久に同じ等高線上を周りつづける • ϕs = 30◦ の場合の等高線群を例示する • 横軸 : ∆ϕ = ϕparticle − ϕs • 縦軸 : RF voltage V および粒子エネルギー ∆E = Eparticle − Es (単位は任意) 点 (30◦ , 0) のまわりの魚の目領域を RF bucket という Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 7/1 シンクロトロン振動と RF Bucket (2) もう一つの大事な例として平均加速量が 0 である ϕs = 0◦ の場合を考える • 横軸 : ∆ϕ = ϕparticle − ϕs • 縦軸 : RF voltage V と粒子エネルギー ∆E = Eparticle − Es （任意単位） 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 8/1 シンクロトロン振動と RF Bucket (3) ϕs = 0◦ の場合 (つづき) 粒子の周回角周波数 ωs の振幅による違いに注目 • 初期条件としてすべての粒子は横軸上から出発するとして数値計算大きい ∆ϕ ほどゆっくり進む、いいかえればより小さい ωs をもつ • t = 0 で横軸上一線にならんだ粒子群の一定時間おきの位置の経過 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 • 長時間後の位相平面上の粒子分布は RF バケット内で一様になる Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 9/1 [ II ] 磁場によるビーム集束加速器では殆どの場合、ビーム断面 (横方向寸法) はできるだけ小さくしたい。さもないと各種装置（磁石、空洞、・・・）の寸法が大きくなりすぎる。相対論的粒子 (v ∼ c) の横方向集束には磁場が必須である。なぜなら次の方程式に実用的な電場、磁場を MKS 単位で入れて比較してみよう F⊥ = e (E⊥ + v × B) = e (E⊥ + v × B⊥ ) Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 10 / 1 初期の方法：弱集束初期のサイクロトロンやベータトロンでは (弱集束とよばれる) 方式がつかわれた。それは円軌道をつくるための主磁場に ∂Bz 緩やかな動徑依存性をもたせたものである。 ∂r • 磁場（の絶対値）を r が大きいほど弱くする静磁場では ∇ × B = 0 したがって ∂Br ∂Bz = ∂z ∂r これらの微分値が負であれば水平方向 r と鉛直方向 z ともに集束が可能. ここで n ≡ − Koji Takata (KEK) r ∂Bz (n 値とよぶ）が集束のための大事な目安 Bz ∂r 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 11 / 1 弱集束：ベータトロンとサイクロトロンの磁場 z 基準円起動の近傍で Bz を Bz = B0 (r0 /r)n , r 0 と近似すると − 左図では n > 0 r →大で Bz →小 Koji Takata (KEK) r0 ∂Bz = n. B0 ∂r 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 12 / 1 弱集束：ベータトロンとサイクロトロンの磁場 (つづき) 前ページの磁場の 1 次近似: ) ( x Bz = B0 1 − n + . . . および r ( z ) Br = B0 n + . . . , r ここで x は基準軌道半径 r からの微小ずれ運動方程式: d2 x 1 − n + x = 0, ds2 r2 d2 z n + 2z = 0 2 ds r ベータトロン波長 (焦点距離): √ λβ,x = 2πr/ 1 − n √ λβ,z = 2πr/ n 水平・鉛直両方向の集束のためには → 0 < n < 1 この集束力は高エネルギービームには弱すぎる!! → 新しい方法へ Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 13 / 1 新しいビーム集束技術: 強集束新しい強集束方式は次の人々により独立に提案された： • Nicholas C. Christofilos (1950) • E. D. Courant, M. S. Livingston, および H. S. Snyder (1952) 当初この方式は偏向磁石の磁極形状に大きく手を加え、 • 円軌道のための 2 極磁場 • 集束のための 4 極磁場の両成分をもたせることを前提としていた後に日本の北垣は 2 極磁場専用磁石と 4 極磁場専用磁石をリングに沿って配置することを提案 (1953) • 機能分離方式として現在では標準となっている Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 14 / 1 J-PARC シンクロトロンでの磁石配列 (1) 主リングの磁石群 (1) 青色: 2 極 (偏向) 磁石黄色: 4 極 (集束) 磁石 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 15 / 1 J-PARC シンクロトロンでの磁石配列 (2) 主リングの磁石群 (2) 青色: 2 極 (偏向) 磁石黄色: 4 極 (集束) 磁石緑色: 6 極磁石 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 16 / 1 荷電粒子の軌道理論 (1) 電荷 q をもつ粒子の電磁場中での運動方程式: d(γmv) = q (E + v × B) dt ここで m : 静止質量 √ γ = 1/ 1 − β 2 : Lorentz 係数 β = |v| /c = v/c • F ≡ q (E + v × B) は Lorentz 力 • P ≡ γmv は運動量 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 17 / 1 荷電粒子の軌道理論 (2) 慣性系 • 同期粒子 (synchronous particle) の軌道を基準軌道 (reference orbit) • 基準軌道の各点で座標系を定義する：接線方向を縦座標軸 s、 s 方向に直角で水平方向を x 軸、同じく垂直方向を y 軸とし、下図のように右手系にとる • ρ は曲率半径一般の粒子の位置は (x, y, s) で表わす、ただし原点からのずれは微小とする各粒子の x と y を s の関数として運動方程式から求める y x particle ρ s reference orbit Koji Takata (KEK) tangent at s 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 18 / 1 荷電粒子の軌道理論 (3) p.?? の方程式と関係式 |p| = p = qBy ρ, を使うと次のような運動方程式が得られる：  [ ] d2 x  1 1 ∂By   + 2+ x=0   ρ By ρ ∂x  ds2       d2 y 1 ∂By − y=0 2 ds By ρ ∂x ただし ρ と By は基準軌道に沿って測った距離 s の関数 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 19 / 1 4 極磁場：強収束の構成要素弱収束では 0 < n < 1 でなければならなかったが、強収束ではではこの制限がなくなり、広範囲の n 値を採用できるようになる問題は x (y) 方向に収束力であると y (x) 方向には発散力となることである。しかし以下で “収束力 > 発散力” が常に成立つことを示そう。 y 2 1 -2 -1 1 2 x -1 -2 4 極磁場の磁力線と等磁位線 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 20 / 1 1/ρ2 を光学レンズモデルで考える y 2 1 -2 -1 1 2 x beam -1 -2 4 極磁場に等価な光学レンズ 4 極磁場の磁力線と等磁位線 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 21 / 1 4 極磁石を周期的に配置する：強集束の基本パターン強集束の基本パターンは 4 極磁石（quad）を等間隔で周期的に配置することであるただし水平方向集束（鉛直方向には発散）用 4 極磁石と鉛直方向集束（水平方向には発散）用 4 極磁石を交互に置かなければならない • 以下では水平方向集束用 4 極磁石を “QF”、鉛直方向集束用 4 極磁石を “QD” と略称する ∗4 以下ではまず QF だけの周期配列での水平方向のビーム軌道の様子を調べ、次いでそれをもとに QF → QD → QF → QD・・・・列での水平、鉛直方向での軌道を調べる 4 偏向磁石には “B”、磁石間隙の自由空間には “O” を当てる Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 22 / 1 4 極磁石の薄肉レンズ近似まずはじめに普通の円筒対称な凸レンズを周期的に置いた場合の光線束の性質の復習をする焦点距離 f (> 0) ( 凸レンズでは −f ) 薄肉レンズ近似とはレンズの厚さが 0 の極限を考えることである Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 23 / 1 光線の初等的計算 (1) 下図のような凸レンズ列について考える • 加速器では FOFO 格子（lattice）に相当する Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 24 / 1 光線の初等的計算 (2) 例として f = 1.6L の場合を計算する 1 0.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 25 / 1 光線のベクトルと行列による表示 (1) 点 x(s) を勾配 x′ = dx/ds をもって通る光線を 2 次元ベクトル ( ) x(s), x′ (s) で表わす厚さ 0 の薄肉凸レンズについて • 上流側入射面の x と x′ を (x = x− , x′ = x′− ) 下流側出射面のそれらを (x = x+ , x′ = x′+ ) と表わすと x+ = x− および x′+ = − xf− + x− という関係がある • この関係は入射面ベクトルと出射面ベクトルが次の行列 (転送（transfer）行列という) で ( ) ( x+ 1, = x′+ −1/f, 0 )( 1 x− x′− ) . と変換されることを表わす薄肉の凸レンズでは f → −f とすればよい Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 26 / 1 光線のベクトルと行列による表示 (2) レンズ以外の自由区間の 2 点間（s = s1 → s = s2 ）では： • s = s1 で、(x, x′ ) = (x1 , x′1 ) s = s2 で、(x, x′ ) = (x2 , x′2 ) とすれば、傾斜は変わらないので x2 = x1 + x′1 (s2 − s1 ) および x′2 = x′1 , である • これらは転送行列を使って表示すれば ( x2 x′2 ) ( = 1, s2 − s1 0, 1 )( x1 ) x′1 となる Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 27 / 1 光線のベクトルと行列による表示 (3) とくにレンズ 1 の入射面 s = s1 から自由区間の任意の点 s (0 ≤ s − s1 < L). までの転送行列表示は   x x′  ( = 0,   =  Koji Takata (KEK) 1, s − s1 )  1 1, 0  x1−    1 ′ − , 1 x1− f  s − s1   , s − s1  x1− f    1 ′ x − , 1 1− f 1− 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 28 / 1 初歩的な計算 (1) 1 本の光線が n 番目のレンズの入射面でもつ位置と傾斜角 (xn− , x′n− ) を順次追跡してみる • 初期値として 0 番目で (x0 , 0) を仮定する • レンズ間隔として f = 1.6L を仮定する 6 区間計算したのが下図 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 29 / 1 初歩的な計算 (2) 各点は一つの楕円上に載っているようにみえる: • 実際に初等的な計算によって楕円の方程式は x′2 1 x + 2 = x20 ただし k = k L 2 √ L f ( ) L 1− 4f となることが確かめられる→ (f > L/4 でなければならない) x! /k PSfrag replacements #0 #1 #2 #3 0 -1 0.5 x/x0 0.5 1 #4 #5 #6 この計算を下流の任意のレンズまで続けても同一楕円上に載ることが証明できる Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 30 / 1 初歩的な計算 (3) 次に初期値をいろいろ変えてみる: • ただし初期値は同じ楕円上にあるとする 1 0.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 31 / 1 初歩的な計算 (4) 包絡線: • この曲線 (を適当な係数で規格化したもの) をベータ関数 β(s) という • ベータ関数は横方向ビーム寸法の目安となる 1 0.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 32 / 1 初歩的な計算 (5) 以上の計算を強収束 4 極磁石列に応用するそのために各凸レンズの中点に同じ強さの凹レンズを置く 1 0.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 これが FODO 格子の基準型である Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 33 / 1 初歩的な計算 (6) 上の FODO 格子の場合の包絡線 1 0.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 水平方向の振動のベータ関数 βh と鉛直方向のベータ関数 βv は全く同型であるが、ただ進行方向 s にかんして互いに ∆s = L/2 だけずれている。 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 34 / 1 初歩的な計算 (7) p.?? の FOFO の包絡線と p.??の FODO の包絡線の比較 1 0.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 1 0.5 -0.5 -1 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 35 / 1 加速器で使われる色々な多極磁場磁極間隙にくらべ十分に長い磁石の磁場は x − y 平面上の 2 次元場で近似できる磁極の数: 2n ( n = 1, 2, 3, . . . ) • 偏向磁石: n = 1 • 4 極磁石: n = 2 • 6 極磁石: n = 3 4 極磁場と 6 極磁場のパターン y 2 1 -2 -1 1 2 x -1 -2 Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 36 / 1 2 極磁場の等角写像としての 2n 極磁場 2 極磁場 (n = 1) から任意の n の場への等角写像 x + jy = (a + jb)1/n 横軸: x、縦軸: y 6 5 4 -7.5 -5 -2.5 3 4 3 2 1 2 1 5 2.5 7.5 10 -4 -2 4 2 6 n = 1 (2 極) n = 6/5 (使えない) n = 3/2 (使えない) 3 2 1.75 2.5 1.5 2 1.25 1.5 1 0.75 1 0.5 0.5 0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 n = 2 (4 極) n = 3 (6 極) Koji Takata (KEK) 加速器基本概念 II 2015 年 4 月 16 日 37 / 1