第 30 回 愛媛和算研究会 『現代数学教育に取り入れたい和算家の解法』 (資料発表) 長崎和算研究会 〒856-0827 米光 丁 大村市水主町 1-978-90 Tel＆Fax 0957-54-4507 E-mail [email protected] URL http://hyonemitsu.web.fc2.com はじめに 第 30 回愛媛和算研究大会のご案内を頂き、参加できないが資料発表ということでお願いできれば と思い、『精要算法』巻之下(1781 年藤田定資著)の問題を『初等数学』(松田康雄氏発行)という研究誌 に掲載さて頂いている和算講座の次回分を発表してみます。皆様のご指導、ご教示をお願いします。 『精要算法』巻之下、問題 37. より 原文 問題.37 今図の如く、直角三角形内に大中小の円が内接している。 中円の直径 4635 寸、小円の直径が 2060 寸のとき大 円の長径はいくらか。 小円 釣 答曰く 大円の長径 7031 寸 000 有奇 術 大 中径に小径を掛けて平方に開きこれを天とする。天を 円 股 中 2 倍して中径と小径を加えてこれを地とする。1.5 より 円 斜率( 2)を引き余りに地を掛けてこれを人とする。 人に 2 天を加え人を掛けてこれを平方に開き、人と天 を加えると大径に合問 - １ - 術 天＝ 中径×小径＝ 4635×2060＝3090 地＝2 天＋中径＋小径＝12875 人＝(1.5－ 2)地＝1104.500389 (人＋2天)×人＝ (7284.500389)×1104.500389＝2836.50022 大径＝ (人＋2天)×人＋人＋天＝7031.000609 寸となる。 (解法) 解法)1. 『精要算法集解』北川孟虎著文政 8 年 1825 年の解法 補助円を加え『算法天生法指南』第五巻会田安明著(1810)・『精要算法』等の結果を利用したもの。 1.黒円(補助円)を入れ 小 釣 小 ⇒ 大 釣 ⇒ 大 中 円 小 円 中 円 股 全 大 股 中 2.全＝ 大・ 中＋ 大・ 小＋ 中・ 小を利用する。 A 小円 O3 O1 O1 極 ⇒ 円 小 円 大 中 O2 O4 B D E O4 円 B C 股 D E △OBE に大円と B の間に極小円を内接させて考える。大円、中円、小円、極小円の中心をそれぞれ O1,O2,O3,O4、各円の直径を d1,d2,d3,d4 とすると d1 d1 d4 d4 O1B の長さは 2＝ ＋ ＋ 2 , 2 2 2 2 d1 BE の長さは d1d4,O1E の長さは 2 2(d1－d4)＝d1＋d4 両辺を平方して 2(d12－2d1d4＋d42)＝d12＋2d1d4＋d42, d12－6d1d4＋d42＝0 d4＝3d1± 9d12－d12＝3d1－2 2d1 ,d4＝2d1－2 2d1＋d1 d4＝2d1－2 2d1＋d1＝( 2d1－ d1)2 , d4＝ d1( 2－1) 小 円 ここで『算法天生法指南』第五巻会田安明著(1810) ・『算法新書』千葉胤秀著(1830) 全 ・『精要算法』巻之下前問結果などを利用する。 円 ※『初等数学』第 72 号和算講座 35 回(拙著) 大 を参照してください。 円 - 2 - 中 円 全＝甲＝ 大・ 中＋ 大・ 小＋ 中・ 小 だから 全＝d1,大＝d4 ,中＝d2,小＝d3 ,とすると d1＝ d4・ d2＋ d4・ d3＋ d2・ d3 d2・ d3＝A とおく d1－A－ d4 ( d2＋ d3)＝0 d4＝ d1( 2－1)より d1－A－ d1( 2－1)( d2＋ d3)＝0 d2＝4635 寸、d3＝2060 寸 A＝ 4635×2060＝3090 , 2－1＝B, B2＝3－2 2≒0.171572 とおく d1－3090＝ d1B( d2＋ d3) d12－6180d1＋9548100＝d1B2(d2＋2A＋d3) d12－d1(6180＋2208.9895)＋9548100＝0 d12－2d14194.49475＋9548100＝0 d1＝4194.49475± 17593786.2－9548100(－は不適当) d1＝4194.49475＋2836.491882＝7030.986632 d1≒7031 寸 (解法 2.) 2.)内接円に六斜を書き、子丑＋寅卯＝辰巳(トレミーの定理:『数理無尽蔵』1830 年池田純夫著を 利用したもの 『精要算法解』梅村重徳著明治 4 年(1871 年)より 子丑＋寅卯＝辰巳(トレミーの定理)を利用する。 小 釣 小 ⇒ 大 大 卯 辰 丑 中 円 子 股 中 巳 寅 (解法) 六斜便覧矩合によって 氐＝ 大( 中＋ 小) (『算法助術』(前田賀前著 1841 年)第 40 番より) 子＝ 大 2 (子は直角三角形に内接する大円の半径の斜辺) 大氐 丑＝ ( 大＋ 中)( 大＋ 小) 小 氐 大 卯 辰 丑 子 (『算法助術』第 51 番より) - 3 - 巳 寅 中 寅＝ 卯＝ 大 中 大＋ 中 小 大 小 大＋ 小 大 O 大A 2 2 寅 (証明) 正弦定理より 中 B 1 1 寅 2＝ 大 2－ 大 2cos∠BOA 2 2 1 1 大－中 大 中 大 小 ＝ 大 2－ 大 2・ ,寅＝ 同様にして卯＝ 2 2 大＋中 大＋ 中 大＋ 小 大( 大＋ 小) 辰＝ 2 大＋小 小 (証明) 卯 中勾 辰 子 子卯 中勾＝ (『算法助術』第 25 番より) 大 辰＝ 子2－中勾2＋ 卯2－中勾2＝子 ＝ 大 2 ( 卯2 1－ 2＋卯 大 子2 1－ 2 大 中 大 )2 2 大 小 1 大( 大＋ 小) 1－ ＋ ・ ＝ 大2 大＋ 小 2 2 大＋小 大( 大＋ 中) 同様に巳＝ 2 大＋中 子丑＋寅卯＝辰巳(トレミーの定理:『数理無尽蔵』)に代入する 大 大氐 大 中 大 小 大( 大＋ 小) 大( 大＋ 中) ・ ＋ ・ ＝ ・ 2 ( 大＋ 中)( 大＋ 小) 大＋ 中 大＋ 小 2 大＋小 2 大＋中 1 大2氐 大2( 大＋ 中)( 大＋ 小) { ＋大 2 中小－ }＝0 2 ( 大＋ 中)( 大＋ 小) 2 { 大( 中＋ 小) ( 大＋ 中)( 大＋ 小) ＋ 中小－ }＝0 2 2 2 大( 中＋ 小)＋2 中小－( 大＋ 中)( 大＋ 小)＝0 2 大 中＋ 2 大 小＋ 中小－(大＋ 大 小＋ 大 中)＝0 大 中( 2－1)＋ 大 小( 2－1)＋ 中小－大＝0 ( 2－1)( 中＋ 小) 大＋ 中小－大＝0 ( 2－1)( 中＋ 小) 大＝大－ 中小 平方して 大(3－2 2)(中＋小＋２ 中小)＝大 2－2 大 中小＋中小 ここで中＝4635 寸、小＝2060 寸、 中小＝3090 寸を代入して 大(3－2 2)(4635＋2060＋6180)＝大 2－大 6180＋9548100 大 2－大(44805－ 225750)＋9548100＝0 大 2－25750 大(1.74－ 2)＋9548100＝0 大＝12875(1.74－ 2)± 128752(1.74－ 2)2－9548100 - 4 - 大＝4194.500389± 128752(1.74－ 2)2－9548100 (－は不適当) ＝4194.500389＋2836.500215 ＝7031.000604 寸 ≒7031 寸となる。 同様の問題を扱っている文献 『滋賀の算額』桑原秀夫・山口正・吉田柳二著昭和 52 年 p.16 大浜神社 『算法浅問抄解義』和算書の紹介北原勲著平成 17 年 p.91 などがある。 おわりに 「愛媛和算研究会」に参加させてもらいこの問題の説明をすべきところ、資料発表とさせて頂きました。 大変心苦しいところがありますが、この資料を先生方が生徒の皆さんに利用して頂けるならば たいへん幸せに思います。 尚「初等数学」・「和算を楽しむ会・大村」・「長崎和算研究会」・「チャレンジ問題」のレジュメは毎 回私のホームページ・ブログ・フェイスブック・ツイタ―で公開しています。興味ある方はアクセスし てみてください。 - 5 -
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