平成 27 年度経済統計分析入門 第 6 回 「 2 次元データの整理」 . 原 尚幸 . 新潟大・経済 http://www.econ.niigata-u.ac.jp/˜hara/G-stat/ [email protected] H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 1 / 18 2 次元データの整理 これまで 1 次元データの分布と特性値を学習 家賃, ビッグマック価格, GDP etc... ここでは 2 次元データを扱う 各都道府県の (大卒率, 平均月収) 各国の (GDP, 人口増加率), 各年の (消費者物価指数, 為替レート ) etc.. 変数間の関係の有無, 強弱を視覚的, 定量的に とらえる手法を学ぶ 散布図 共分散 相関係数 H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 2 / 18 記法 2 次元データが n 個得られているとする n 個の組を (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) とあらわす 各都道府県の (大卒率, 平均月収) 各国の (GDP, 人口増加率), 各年の (消費者物価指数, 為替レート ), etc.. データの種類ごとに x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ともあらわす H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 3 / 18 散布図 2 次元データを平面上にプロットした図 (例) 都道府県別男性の大卒率と平均月収 x 軸：大卒率 (2010 年国勢調査) y 軸：平均月収 (2010 年賃金構造基本統計調査報告) 350 大卒率が高 (低) ければ 月収も高 (低) い傾向 分布が右上がり 300 average salary 400 大卒率と平均月収は比例的 大卒率と月収は正の相関を持つと いう 0.15 0.20 0.25 0.30 percentage of collage grad H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 4 / 18 散布図 2 次元データを平面上にプロットした図 (例) 世界の一人当たり GDP と人口増加率の関係 データ：World Bank のデータ (2009 年) 貧しい国ほど人口増加率が高いのでは？ 0.15 横軸：対数一人当 GDP 人口増加率の外れ値が 3 国 0.05 アラブ首長国連邦, カタール バーレーン 外国人労働者の流入が主原因 0.00 Population growth rate 0.10 縦軸：人口増加率 5 6 7 8 9 log(GDP per capita) H. Hara (Niigata U.) 10 11 12 今回の分析の目的からすると外れ値 ⇒ ここではこの 3ヶ国を除去 2 次元データの整理 May 27, 2015 5 / 18 散布図 2 次元データを平面上にプロットした図 (例) 世界の一人当たり GDP と人口増加率の関係 データ：World Bank のデータ (2009 年) 貧しい国ほど人口増加率が高いのでは？ 0.05 横軸：対数一人当 GDP 0.03 一人当 GDP と人口増加率は反比例 0.01 0.02 一人当 GDP が高 (低) ければ 人口増加率も高 (低) い傾向 0.00 分布が右下がり −0.01 Population growth rate 0.04 縦軸：人口増加率 5 6 7 8 9 10 11 12 x と y は負の相関を持つという log(GDP per capita) H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 5 / 18 共分散 共分散 データ x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) に対し 1∑ (xi − x¯)(yi − y¯) n i=1 n Sxy = . を x と y の共分散という 相関関係の定量化指標 Sxy = Syx x と y が正の相関 ⇔ Sxy > 0 x と y が負の相関 ⇔ Sxy < 0 x = y のときは x = y の分散 H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 . May 27, 2015 6 / 18 共分散と相関の正負 350 300 average salary 400 大卒率 (x) と平均月収 (y) 0.15 0.20 0.25 percentage of collage grad H. Hara (Niigata U.) 0.30 x1 − x¯, . . . , xn − x¯ を y1 − y¯, . . . , yn − y¯ に対してプロット 正の相関がある ⇒ xi − x¯ > 0 だと yi − y¯ > 0 xi − x¯ < 0 だと yi − y¯ < 0 の傾向が強い ⇒ 第 1, 3 象限にデータが集まる の傾向が強い ⇒ (xi − x¯)(yi − y¯) > 0 になる の傾向が強い ⇒ Sxy = 1.248 > 0 2 次元データの整理 May 27, 2015 7 / 18 共分散と相関の正負 −100 −50 0 50 100 大卒率 (x) と平均月収 (y) −0.10 −0.05 0.00 H. Hara (Niigata U.) 0.05 0.10 x1 − x¯, . . . , xn − x¯ を y1 − y¯, . . . , yn − y¯ に対してプロット 正の相関がある ⇒ xi − x¯ > 0 だと yi − y¯ > 0 xi − x¯ < 0 だと yi − y¯ < 0 の傾向が強い ⇒ 第 1, 3 象限にデータが集まる の傾向が強い ⇒ (xi − x¯)(yi − y¯) > 0 になる の傾向が強い ⇒ Sxy = 1.248 > 0 2 次元データの整理 May 27, 2015 7 / 18 共分散と相関の正負 −100 −50 0 50 100 大卒率 (x) と平均月収 (y) −0.10 −0.05 0.00 H. Hara (Niigata U.) 0.05 0.10 x1 − x¯, . . . , xn − x¯ を y1 − y¯, . . . , yn − y¯ に対してプロット 正の相関がある ⇒ xi − x¯ > 0 だと yi − y¯ > 0 xi − x¯ < 0 だと yi − y¯ < 0 の傾向が強い ⇒ 第 1, 3 象限にデータが集まる の傾向が強い ⇒ (xi − x¯)(yi − y¯) > 0 になる の傾向が強い ⇒ Sxy = 1.248 > 0 2 次元データの整理 May 27, 2015 7 / 18 0.03 0.02 0.01 0.00 −0.01 Population growth rate 0.04 0.05 共分散と相関の正負 5 6 7 8 9 log(GDP per capita) H. Hara (Niigata U.) 10 11 12 GDP (x) と人口増加率 (y) x1 − x¯, . . . , xn − x¯ を y1 − y¯, . . . , yn − y¯ に対してプロット 負の相関がある ⇒ xi − x¯ > 0 だと yi − y¯ < 0 xi − x¯ < 0 だと yi − y¯ > 0 の傾向が強い ⇒ 第 2, 4 象限にデータが集まる 傾向が強い ⇒ (xi − x¯)(yi − y¯) < 0 になる 傾向が強い ⇒ Sxy = −0.00460 < 0 2 次元データの整理 May 27, 2015 8 / 18 −0.03 −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 共分散と相関の正負 −2 0 H. Hara (Niigata U.) 2 GDP (x) と人口増加率 (y) x1 − x¯, . . . , xn − x¯ を y1 − y¯, . . . , yn − y¯ に対してプロット 負の相関がある ⇒ xi − x¯ > 0 だと yi − y¯ < 0 xi − x¯ < 0 だと yi − y¯ > 0 の傾向が強い ⇒ 第 2, 4 象限にデータが集まる 傾向が強い ⇒ (xi − x¯)(yi − y¯) < 0 になる 傾向が強い ⇒ Sxy = −0.00460 < 0 2 次元データの整理 May 27, 2015 8 / 18 −0.03 −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 共分散と相関の正負 −2 0 H. Hara (Niigata U.) 2 GDP (x) と人口増加率 (y) x1 − x¯, . . . , xn − x¯ を y1 − y¯, . . . , yn − y¯ に対してプロット 負の相関がある ⇒ xi − x¯ > 0 だと yi − y¯ < 0 xi − x¯ < 0 だと yi − y¯ > 0 の傾向が強い ⇒ 第 2, 4 象限にデータが集まる 傾向が強い ⇒ (xi − x¯)(yi − y¯) < 0 になる 傾向が強い ⇒ Sxy = −0.00460 < 0 2 次元データの整理 May 27, 2015 8 / 18 共分散の性質 データ x の各要素を a 倍したものを z とおく z = (z1 , . . . , zn ) = (ax1 , . . . , axn ) z と y の共分散は 1∑ = (zi − z¯)(yi − y¯) n i=1 n Szy 1∑ a(xi − x¯)(yi − y¯) n i=1 n = = aSxy 値が大きければ相関が強いというわけではない 相関の強さの指標としては不適切 単位を変えても相関関係は変わらない H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 9 / 18 相関係数 相関係数 データ x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) に対し , Sx , Sy を それぞれ x, y の標準偏差, Sxy を x, y の共分散とする. そのとき, Sxy rxy = Sx Sy . を x と y の相関係数という 相関関係の定量化指標 Sxy = Syx x と y が正の相関 ⇔ Sxy > 0 ⇔ rxy > 0 x と y が負の相関 ⇔ Sxy < 0 ⇔ rxy < 0 H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 . May 27, 2015 10 / 18 相関係数の性質 xi の基準化変数 xi − x¯ yi − y¯ と yi の基準化変数 の共分散 Sx Sy −1 ≤ rxy ≤ 1 z = (z1 , . . . , zn ) = (ax1 , . . . , axn ) のとき rzy = rxy rxy の絶対値が大きいほど相関関係が強いと解釈する yi = axi + b とすると a > 0 のとき rxy = 1 a < 0 のとき rxy = −1 H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 11 / 18 相関係数 国別 GDP と人口増加率 −100 −0.03 −50 −0.02 −0.01 0 0.00 0.01 50 0.02 100 0.03 都道府県別大卒率と平均 月収 −2 −0.10 −0.05 0.00 0.05 2 rxy = −0.168 rxy = 0.831 H. Hara (Niigata U.) 0 0.10 2 次元データの整理 May 27, 2015 12 / 18 クラスの大きさと教育効果の関係 興味 700 . 小さいクラスは教育効果を上げるか？ 660 640 データ 加州の小学校 420 校の 620 Test Score 680 テスト スコアと教師一人あたりの 生徒数 (STR:student-teacher ratio) は負の相関を持つか？ 14 16 18 20 22 24 26 STR カリフォルニア州の 420 校の テスト スコアと生徒 / 教師比 (STR) H. Hara (Niigata U.) 縦軸：統一テスト の平均点 .. 横軸：STR 共分散・相関係数 Sxy = −8.159, rxy = −0.226 2 次元データの整理 May 27, 2015 13 / 18 たばこの値段と需要量の関係 興味 5.2 . たばこ税は喫煙を抑制するか？ 4.6 4.8 価格と消費量には負の相関があるか？ 4.2 4.4 データ 米国 48 州の’85 年と ’95 年における ..(対数) 一人当売上箱数 縦軸： 4.0 Packages per capita 5.0 価格が上がれば消費量が減るか？ 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 Price 米国 48 州のたばこの平均価 格と一人当たりの売上げ箱数 (1985 年と 1995 年) H. Hara (Niigata U.) 横軸：(対数) 税込価格 ※ 米国は州によってたばこ税が異なる 共分散・相関係数 Sxy = −0.0532, rxy = −0.686 2 次元データの整理 May 27, 2015 14 / 18 因果関係と相関係数 (雑談) 通常の経済理論によれば・ ・ ・ 円高 (ド ル安) ⇒ 輸入品物価の下落 ⇒ 国産品の物価も下落 円高 (ド ル安) ⇔ 円 / ド ルレート は小 円 / ド ルレート と消費者物価指数は正の相関を持つだろう H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 15 / 18 因果関係と相関係数 (雑談) ところが・ ・ ・ 90 100 1972 年∼2004 年の円 /ド ルレート と消費者物価指数 (CPI) の関係 70 50 60 相関係数 = −0.901 ⇒ 強い負の相関？？ 40 CPI 80 横軸：円 / ド ルレート 縦軸：CPI 理論が誤りなのか？？ 100 150 200 250 300 Yen/US dollar rate H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 16 / 18 因果関係と相関係数 (雑談) 物価は円 /ド ルレート 以外の要因にも依存して決定している 賃金率 100 100 60 wage rate 80 70 CPI 40 50 40 60 70 40 50 60 CPI 80 80 90 90 100 賃金率と物価は正の相関 賃金率と円 / ド ルレート は負の相関 100 150 200 250 300 Yen/US dollar rate x : 円 / ド ル , y : CPI 相関係数 = −0.901 H. Hara (Niigata U.) 40 60 80 100 wage rate x : 賃金率, y : CPI 相関係数 = 0.984 2 次元データの整理 100 150 200 250 300 Yen/US dollar rate x : 円 / ド ル , y : 賃金率 相関係数 = −0.933 May 27, 2015 17 / 18 因果関係と相関係数 (雑談) 物価は円 /ド ルレート による 物価は賃金率にもよる 円 /ド ルレート は賃金率を介しても物価に影響する 円 /ド ルレートが下落 (円高に傾く) 1 2 直接的には物価を下げる効果 賃金が上昇 ⇒ 物価も上昇 円 /ド ルレート と CPI は負の相関 直接的な効果より賃金を介した 間接的な効果の方が大きい . 因果関係の正負と相関関係の正負は . 必ずしも符合しないので注意が必要 H. Hara (Niigata U.) 2 次元データの整理 May 27, 2015 18 / 18 .
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