Page 1 Page 2 極方程式との関係を意識し図形を考察する教材の開発

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極方程式との関係を意識し図形を考察する教材の開発(
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佐藤,亮太
研究紀要/東京学芸大学附属高等学校(51): 17-23
2014-03-01
http://hdl.handle.net/2309/135735
東京学芸大学附属高等学校
東京学芸大学附属高等学校紀要
51 p
p.
1
7
-2
4,2
0
1
3
極方程式との関係を意識し図形を考察する教材の開発
De
ve
l
o
pme
nto
ft
e
a
c
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ngma
t
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r
i
a
l
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ne丘g
ur
e
s
c
o
ns
i
de
r
i
ngpo
l
a
re
q
ua
t
i
o
ns
数学科
<キーワード> 極座標
極方程式
佐
藤
亮
太
図形
1
.本稿の目的
単に表すことができる等,曲線を簡単な方程式で表すこ
高等学校学習指導要領において,極座標は,1
9
6
1年
とができることは極座標のよさであり,極座標を学習す
の科目｢
応用数学｣において直交座標の他の曲線の表わ
る意義であろう｡この他に,筆者は,直交座標のよさを
9
7
2年に内
し方として位置付けられていた｡しかし,1
認識させることも極座標を学習する意義としたい｡極座
容の精選ということで,学習内容から外れたが,1
9
9
0年,
標のよさ及び直交座標のよさを認識させるために,極方
程式とその極方程式が表す図形との関係を意識しながら
1
9
9
9年の科目｢数学 C｣において,1
9
61年同様, 曲線
0
0
9年の科目｢数学 Ⅲ｣図形を考察する一連の教材を提案する
の表し方として位置付けられ,2
｡
にも位置付けられている｡平面上の曲線の極座標による
表示の学習内容は,｢
極座標の意味及び曲線が極方程式
2.提案する一連の教材
で表されることを理解し,それらを事象の考察に活用す
0
0
9
,p.
3
7
)であり,以下のよ
ること｣ (
文部科学省,2
課題 1
㍗-βである点を集めよう｡
うに述べられている｡
課題 1の目的は,実際に点をプロットしてかかせるこ
｢
平面上の点 Pは,定点 0からの距離 γと,0 を端
点とするあらかじめ定められた半直線と OP とのなす
とによって,極座標と極方程式の意味を理解させること
である｡
この図形 (
図)
.
1
) は, アルキメデスの渦巻線であり,
角 βを用いても定めることができる｡ここでは,極座
標の意味,極座標と直交座標の関係について理解させ
蚊取り線香やアンモナイトの貝殻にみられる曲線であ
るとともに, コンピュータなどを用いて極方程式で表
上) を遠くから見た図が,図 1(
下)である｡
る｡図 1(
された曲線をかき,曲線と極方程式との関係を理解さ
なぜ蚊取り線香はこの形なのかを考えると面白い｡蚊取
せる｡
り線香が渦巻線であることは,渦巻線が,極方程式から
極座標や極方程式の意味を理解させるために,例
27
T) であるという特徴を
明らかなように,幅が一定 (
-βなどについて対応
持っているからであろう｡幅が一定であるからこそ,2
表にしたがって点をプロットしてかかせたり,楕円
つの蚊取り線香を重ねられるように設計できる｡課題 1
などを離心率を用いて極方程式で表したりする｡ま
を通して,極座標と極方程式を用いれば,身近な曲線を
た,極座標 (
r,
0)と直交座標 (
x,y) の関係 x-r
表すことができることと,そのよさを実感させたい｡
えば,アルキメデスの渦巻線
γ
ここでは β≧0の場合,すなわち γ≧0の場合を考え
c
o
sO,y - rs
i
n鋸こついても理解させる｡｣
0
0
9
,p.
3
8
)
(
文部科学省,2
ているが,γ
<0の場合は課題 2の後に考えることを想
定している｡しかし,生徒から γ
<0の場合のことにつ
このように,高等学校学習指導要領において,極座標は,
いて出てくれば,
考えてもよいだろう｡また,ここで (
2,
学習内容に位置付けられたり外れたりしてきた｡しかし,
2)の点をとる等で,弧度法を確認するとよいだろう
9
9
0年以降｢コンピュータなどを用いて｣
その内容は,1
が加わっただけで,変わりはない｡
高校数学における極座標を学習する意義はなんだろう
か｡2次曲線を離心率で表すとき,極座標を用いれば簡
-1
7-
｡
東京学芸大学附属高等学校紀要
51
図2-1
.円
図 2-2
. 2つの半円
γ< 0のときはどうするかと問うと,上の 2通りの解
)｡理由を聞くと,
答が出てくることを期待する (図 2
図 2-1は,γが負であるので,向きが反対である点な
のではないかという推測していた｡すなわち,γ<0の
図 1. アルキメデスの渦巻線
とき, (
r,0) を (- r,0+7
T) に対応させるという
課題 2
γ-2cosβである点を集めよう
ことである｡対して, 図 2-2は,rは極からの長さな
｡
ので,負の数はあり得ないので,絶対値を考えていた｡
課題 2は,課題 1に引き続き,γとβの対応表にした
≦β
がって点をプロットしてかかせる｡そうすると,0
≦意
T
<0<苫
7
Eのときはよいが,意 7
すなわち,γ
<0とき, (㍗,♂) を (- ㍗,♂) に対応
させるということである｡
<0
そこで, まず,共通している 0 ≦ 0≦ 意 7
Tは,円と予
7
Tのとき,r
想できるが,円であろうか｡この解決の方法として以下
となり, プロットできず困る｡
の 3つが考えられる｡
表1
. γ-2c
o
sβの対応表
(
)
1
玉
2
2
7
T 一
育 /
i
3
i
i
,7
T
1
.
9
3 1
.
7
3 1
.
41
4
士
(
∋ 直交座標になおす
5
7
T 菜.7
T
1
x-rc
o
sO,y -rs
i
nOを用いて
γ -2c
o
sβ
0
.
5
2
㍉-2rcosβ
6
7
8
9
1
0
ll
1
2
TF 7
T TF7
T TF7
r Tを 7
T 扇 7
T Tぎ 7
T .
TF7
t
0
05
2
.
-1
141
.
l
l.7 3
-
1.9 3
x
2+y2-2
x
12
(
xll)2+y2-1
よって,中心 (
1
,0
)半径 1の円
-1
8-
極方程式との関係を意識し図形を考察する教材の開発
以上をまとめると,課題 2の目的は,以下の 3つであ
る :①極座標を拡張すること ;②極座標と直交座標との
関係の理解を深めること ;③極座標と図形との関係を意
識すること｡
そして,kを定数として,r-f (0)が表す図形と,
r-k･
f (0)や r-f (0-k)が表す図形の関係を考
察した後,r-f (0)+kが表す図形との関係を考える
ために次の課題 3に取り組む｡
o
sβ+2である点を集めよう｡
課題 3 γ -2c
. ㍗-2c
o
sβ +2の対応表
表2
1
i
す 7
T
4
6
3
.
9
3 3
.
7
3 341
7
丁ぎ7
T T訂 7T
2
1
2
TF 7
T
0
1
8
TF 7
T
2
2
3
4
5
了す 7
T TF 7
T T訂 7
T T訂 7
T
14
8
8
i
す7
E
1
3
2
.
5
2
9
1
0
ll
TF 7
r TF 7
T Tを 7
T
0
.
5
9 0
.
2
7 0
.
0
7
1
3
1
4
1
5
1
6
Tを 7
T TF 7
T Tを 7
T Tを 7
T
0
.
0
7 0
.
2
7 0
.
5
7
1
1
7
Tを 7
T
1
.
4
8
1
9
20
21
22
23
24
TF 7
T Tを 7
T Tぎ 7
T TF 7
T TF 7
T TF 7
T
2
.
5
2
3
3
.
41 3
.
7
3 3
.
9
3
4
この課題を通して,特に②③ を通して,極方程式と図形
との関係を意識させたい｡また,
① より,
極座標 (
γ,♂)
課題 2において作った表 (
表1
) やかいた図 (
図 2-
と直交座標 (
x,y) との関係 x- rc
o
sO,y - rs
i
nO
1) をもとに,対応表をつくり図示すると図 3-1のよ
がわかる｡これを基に,
意7
t<0<i
iT
Eのときを考える｡
うになる｡この図形は,既習であれば, カージオイド
γ< 0のときの場合も,極座標と直交座標との関係 ∬-
(
c
a
r
di
o
i
d,心臓形) でないだろうかと予想することが
rc
o
so,y -rs
i
nOを保存するように,極座標を拡張
できる｡
する｡
x-rc
o
s0--r･-c
o
s0--rc
o
s(0+7
T)
y -rs
i
n0--r･- s
i
ne--rs
i
n(0+7
T)
そうすると,r<0のとき, (
r,0) を (- Y,0+7
T)
に対応させることには妥当性がある｡したがって,γ
<0
のとき, (
r,0) は (-r,0 + 7
T) の点を表すことと
定義し,極座標を拡張する｡このことにより,極座標と
直交座標との関係をよりいっそう意識させることができ
るだろう｡教科書では,γ<0のときの極座標の定義が
書かれているのみで,その理由は書かれていない｡これ
では,定義の妥当性も実感しにくいだろうし,極座標と
直交座標との関係を意識させる機会を逃しているだろう｡
図 3-1
. ㍗-2c
o
sβ+2と γ-2c
o
sβ
-1
9-
東京学芸大学附属高等学校紀要
カージオイドは ,外サイクロイドの特別な場合であり,
51
長さは常に 2である｡つまり, βを連続的に変化させた
1つの円の外側に , 等しい大きさの円を滑らせずに転が
とき PQ に着目すると,
長さ 2の線分が動いてみえる (
図
したときのある 1点の軌跡である｡図 3-2は,
中心(1
,
0
)
4-1
で半径 1の走円 A の外側に , 円 A と等しい大きさの円
するために,線分の中点に着目してみる｡
)｡
この線分はどのように動いているかを明らかに
B を α転がした図である｡
図 4-1
. 円とカージオイドの間の線分
図 3-2
. カージオイド
1+2c
o
sα,2
このとき直交座標での Bの座標は (
課題 4 この線分の中点の軌跡の極方程式を求めよう｡
s
i
nα)であり,Pの座標は (
1+2c
o
sα+c
o
s2α,2
s
i
nα+s
i
n2α)であるので,媒介変数 αでカージオイ
ドを媒介変数表示すると次のようになる｡
x-1+2c
o
sα+c
o
s2α
-1+2c
o
sα+2c
o
s
2
α- 1
-2c
o
sα(
c
o
sα+1)
y-2s
i
nα+s
i
n2α
-2s
i
nα+2s
i
nαc
o
sα
c
o
sα+ 1)
-2s
i
nα(
γ-2(
c
o
sヴ+1)はカージオイドであろうか｡上のカー
ジオイドを極座標で表すと,
cosα+ 1
)
rc
o
sβ-2c
o
sα(
irs
i
nβ-2s
i
nα(
c
o
sα+ 1)
図4
-2
. 円とカージオイドの間の線分の中点の軌跡
両辺足して
γ(
s
i
nβ+c
o
s宙)-2(
c
o
sα+ 1)(
s
i
nα+c
o
sα)
これを γ-2 (
c
o
sヴ+1) と比較すると, また,図から
もα-βと予想できる｡ △oAB ≡
△pBA (
OA -PB,
AB-BA, ∠ OAB - ∠PBA)
,ABに対して 0 と P
は同じ側にあるので,OP
/
/
ABである｡したがって,
α-βが示され,㍗-2(
c
o
s宙+1
)はカージオイドで
あることが示される｡
円 γ-2c
o
sβとカージオイドγ-2c
o
sβ+2は,檀
‖こ対して,円上の
方程式から明らかであるが,等しい (
点を P, カージオイド上の点を Q とすると,線分 PQの
-2
0-
極方程式との関係を意識し図形を考察する教材の開発
線分の中点の軌跡をかくと, 図 4-2のようになる｡
∠CoA - ∠ACO -2α｡したがって, ∠DAB - ∠
その極方程式として次の 2つの方法が出た｡1つ目は,
CoA + ∠ABO -2α+α-3α｡ゆえに, ∠DAB -3
o
sβとカージオイドの 2
偏角 βのときの γは, 円の 2c
∠ ABO であるので, ∠DABの三等分が作図できた｡
c
o
s宙+2の平均であるので,求める極方程式は γ-2
ここで,直交座標と極座標の違いを述べる｡直交座標
c
o
s宙+1であるという方法である｡2つ目は, 円の外
x
)の右辺に定数 kを加えた方程式は,y
では,y -f(
側と内側に分け,外側は極からの長さが円より1大きい
軸方向に kだけ平行移動した図形を表し,図形は合同で
ので γ-2c
osβ+1 (曲線① とする), また,内側は円
ある｡極座標では, 円 γ-2c
osβの極方程式の右辺に
osβ-1 (曲線② とする)で
より1小さいので γ -2c
2を加えた極方程式は, カージオイドγ-2c
o
sβ+2
あるという方法である｡曲線① と② を, コンピュータを
を表し, また, 1を加えた極方程式は, リマソン γ-2
使って図示すると,同じ図形を示しているように見える｡
c
o
sヴ+1を表し,全く異なる図形のように感じる
そこで,｢曲線① と② は同じ図形なのか｣という課題が
かし,意味は似ており,直交座標では,同じxに対して,
生まれる｡
yの値を k大きくしたもので,極座標では,同じと
=こ対
｡
し
曲線①上の点を P(
γ
1,
β1
) とすると,
して,γの値を 1または 2大きくしたものということで
-2c
o
sβ 1 + 1
ある｡これは視点の違いで,直交座標の世界では,平行
-γ
1-2c
o
sβ 1 - 1
移動したものが方程式から仲間とみることができること
-r
l-2cos(0 1 +7
T) -1
に対して,極座標の世界では,円, カージオイド, リマ
γ1
よって,点 (- rl,0 1 +7
T) は, 曲線② の極方程式
ソンを極方程式から仲間とみることができる 1ことの違
を満たすため, 曲線②上の点である｡一方で,点 (
γ
1,
いであろうし,お互いのよさでもあろう｡このことは,
01
) と点 (- rl,01+7
E) は同じ点を表す｡したがっ
直交座標ではまとめて表しづらい 2次曲線を,極座標で
て, 曲線①上の点は曲線(
参上でもある｡逆も同様である
はきれいに表すことができることに効いているのだろ
ので,曲線① と曲線② は同じ図形である｡
う｡また逆に,極座標の学習を通して,今までの直交座
γ-2c
osβ+1が表す図形を, リマソンという｡リ
標のよさを改めて認識させたい｡
マソンを使えば,角の三等分を作図できる｡どうやって
o
sβから始まり,右辺に
さて,話は戻り, 円 γ-2c
作図するかを考えることは面白い｡そこで,図 4-2を
定数を加えた極方程式が表す図形について考察してき
使って,角の三等分を作図せよという課題を出した｡生
osnO (
n:
た｡次に, 0の部分を変えてみて,r-2c
徒の解答は次であった (
図4
-3
)
0
整数)が表す図形はどんな図形だろうか｡これは,かい
てみると図 5-1のようになり,正菓曲線と言われる｡
次に,r-2c
os意 (
n:整数)が表す図形はどんな図形
であろうか｡かいてみると図 5-2のようになり,〝-
3のときがリマソンのように見えるそこで次の課題が
｡
生まれる｡
課題 5
γ-2cos÷ はリマソンか｡
osβ+
この課題を解決するために, リマソン γ-2c
1と γ-2c
os与を並べてかいてみると下 (図 5-3)
のようになり, リマソン γ-2c
osβ+1を左に 1平行
s
o ÷ と重なるのではないかと予想
移動すれば,㍗-2c
図4
-3
. リマソンと角の三等分
できる｡
リマソン上に B をとり,∠ABO -αとする｡ OA -
AC -CB (- 1)であるので,△ACBは二等辺三角形｡
よって, ∠CAB -αであるので, ∠ACO -∠ABO +
1
極方程式 r- a cosO+bが表す図形を,パスカルの蛸牛形という.
b-0のとき円を表し, a-bのときカージオイドを表し, a-2b
∠cAB-2α｡また,
△oACも二等辺三角形であるので,
のときリマソンを表す｡
-2
1-
東京学芸大学附属高等学校紀要 51
n-1
n -0
7
7 -4
n-2
図 5-2
.
7
7-5
γ-2cos÷
図 5-3
. r-2c
o
s÷ (
左) と r-2c
o
sO+ 1 (
右)
点A (
1,0),㍗-2c
o
s÷ 上の点 C (
2c
o
sα,3α)
7
l-4
とし,OCに平行で A を通る直線とリマソンとの交点を
図 5-1
. r-2c
o
snO
B とする (図 5-4
)
｡OC //AB より, ∠COB - ∠
ABO - ∠ⅩAB÷3- ∠AOC ÷3-3α÷3-α｡ゆ
えに, ∠AOB-∠AOC 一 ∠COB-3α-α-2αであ
2c
o
s2α+1
,
るので, リマソン上の点 Bの極座標は (
2α)である｡四角形 OABCが平行四辺形であることを
/ABであるので,OC-AB を示せばよい｡
示す｡OC/
-2
2-
極方程式との関係を意識し図形を考察する教材の開発
課題である｡
引用･参考文献
･文部省 (
1
9
61)高等学校学習指導要領解説
数学編,
大日本図書
1
972)高等学校学習指導要領解説
･文部省 (
数学編
理数編,大阪書籍
･文部省 (
1
979)高等学校学習指導要領解説
数学編
理数編,実教出版
÷(
左) とγ-2c
o
sβ+1 (
右)
1
9
90)高等学校学習指導要領解説
･文部省 (
数学編
･文部省 (
1
9
99)高等学校学習指導要領解説
数学編
･文部科学省 (
2
0
09)高等学校学習指導要領解説
図 5-4
. γ-2cos
△oAB における余弦定理より,
AB2-oA2
+oB2
-20A ･OB･c
o
s∠AOB
)
c
os2α
-1
2
+(
2c
o
s2α+ 1
)
2-2･1･(
2c
os2α+ 1
)-2･2c
o
s
2α- (
2c
osα)
2
-2 (
c
o
s2α+ 1
osβ ≧0のとき,AB -2c
osαとなり,OC
よって,2c
-ABが示され,四角形 OABCが平行四辺形であるこ
o
sα< 0のときも同様である｡よって,
とが言える｡2c
リマソン γ-2c
o
sβ+ 1を左に 1平行移動すれば,㍗
-2c
o
s
÷ と重なることが示され,㍗-2c
o
s
÷ もリマ
ソンを表すことが示された｡
この課題を通して, リマソンとその極方程式との関係
についての理解を深める｡
3.本教材の教育的価値と今後の課題
本教材の教育的価値を述べる｡
まず,上記の一連の課題の解決を通して,曲線と極方
程式との関係について理解を深め,極座標についての理
解を深めることができるとともに,極座標のよさの一つ
として曲線を簡単な方程式で表すことができることを認
識させることができると考える｡
また,課題 3-課題 5を通して,直交座標において,
x) とy -f(
x)+A (
A:定数)が表す図形の関
y -f(
係は,軸方向にだけ平行移動した関係であるが,極座
標においては,r-f (0) と r-f (0)+kが表す図
形はそうではないことから,平行移動が方程式上で読み
取りやすいという直交座標のよさを認識することができ
るだろう｡こうして,互いの座標のよさを認識できるの
ではないかと考える｡
極座標を事象の考察に活用する教材の開発が,今後の
-2
3-
数学編

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