8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8. Drehbewegungen 8.1 8.2 8.3 8.4 85 8.5 8.6 87 8.7 8.8 89 8.9 8.10 Gleichförmige Kreisbewegung Drehung ausgedehnter Körper Beziehung: Translation - Drehung Vektornatur des Drehwinkels Ki ti h Energie Kinetische E i der d Rotation R t ti Berechnung von Trägheitsmomenten Steiner‘sche Steiner sche Satz Das Drehmoment Drehimpuls Rotierende Bezugssysteme Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8 Drehbewegungen D ehbe eg ngen Drehung der Erde - Tag/Nacht - Großwetterlage g - Jahreszeiten Drehung der Elementarteilchen - magnetische Eigenschaften - Aufbau der Materie - Wechselwirkungen Stabilisierung von - Raketen - Schiffen - Fahrrädern (aber wenig) Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8 1 Gleichförmige 8.1 Gl i hfö i Kreisbewegung K i b Kreisbewegung einer Punktmasse > Wir hatten: r Zentripetalbeschleunigung a = azp erzwingt Kreisbahn Für Betrag gilt: Vektoriell gilt: Allgemein gilt: radiale Beschleunigung Punktmasse erfährt radiale + tangentiale Beschleunigung Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8.2 Drehung ausgedehnter Körper Idealisierung starrer Körper Besteht aus n ( unendlich) Punktmassen, deren gegenseitige Abstände immer konstant bleiben Dennoch Problem zur Beschreibung Für einzelne Punktmasse gilt: Mögliche, aber unpraktische Beschreibung Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker Besser Beschreibung g über Drehgrößen g (zunächst ( skalar)) Beschreibung über: Drehwinkel h k l (in ( Radiant) d ) ϕ Man definiert Winkelgeschwindigkeit ω Man definiert Winkelbeschleunigung g gα Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker Spezialfälle 1. Winkelgeschwindigkeit ω ist konstant. 2. Winkelbeschleunigung α ist konstant. Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8.3 Beziehung Translation - Drehung Tangentialgeschwindigkeit im Abstand r Winkelgeschwindigkeit 8.4 Vektornatur des Drehwinkels Für infinitesimal kleine Drehungen g wird Drehung g durch Drehvektor dϕ beschrieben Def : dϕ parallel zur Drehachse, Def.: Drehachse Richtung durch Rechte-Hand-Regel Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker Es gilt: Drehsinn Drehsinn ω r r v v ω Flash Movie Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8.5 Kinetische Energie der Rotation Wir hatten Ekin über vtan gegeben Falls Für n (diskrete) Punktmassen Punktmasse im Abstand r da starrer Körper (Massen)Trägheitsmoment T ä h it t = Definition Für kontinuierliche Massenverteilung Kinetische Energie g bei Rotation für ausgedehnte Körper Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8.6 Berechnung von Trägheitsmomenten (nur für symmetrische Körper analytisch berechenbar) I von 3-dim Körpern wird über Volumenintegral berechnet Beispiel: Stab konstanter Dichte (1-dim Massenverteilung) Mit L >> Lz und L >> Ly mit Liniendichte λ = m/L dm = λ dx Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8.7 Steiner‘sche Satz Probleme: 1 Trägheitsmomente sind schwierig zu berechnen 1. 2. Bei Änderung der Drehachse muss Rechnung wiederholt werden Steiner‘sche Satz erlaubt einfache Berechnung von I bezüglich der Achse,, die p parallel zur Schwerpunktsachse p verschoben ist Is mges d Trägheitsmoment um Schwerpunktsachse Gesamtmasse Abstand der Drehachsen Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker Steinersche Satz: Jede Drehungg ist zerlegbar g in Translation des Schwerpunktes p der Gesamtmasse und Drehung der Masse um die Schwerpunktsachse. = + Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Beweis Steiner‘sche Satz Physik für E-Techniker (in zwei Dimensionen) 0 Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker ? Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8.8 Das Drehmoment Frage: Ursache von Drehungen? Antwort: Ursache ist Kraft ! p der Kraft F senkrecht r bewirkt Drehung. g Aber! Nur Komponente Def.: Drehmoment Spezialfall: F senkrecht r Kraft mal Hebelarm Massenverteilung Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8 9 Drehimpuls 8.9 D hi l L Kraft = Änderung des Impulses Def.: Drehmoment Def.: Drehimpuls L Drehmoment D h t=Ä Änderung d des Drehimpulses I Impuls l p senkrecht k ht zu r System von Punktmassen Drehimpulserhaltung e pu se a tu g !! [Animation] [Animation] Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8.10 Rotierende d Bezugssysteme Zunächst 2-dim. Betrachtung Rotierendes System ω = konstant Inertialsystem ruhend P kt Punktmasse iim P Punkt kt P Geschwindigkeit der Punktmasse Beschleunigung der Punktmasse Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker Falls x´= y´= 0 gilt : (Masse ruht im rotierenden System) Inertialbeobachter sieht beschleunigte Bewegung In 3 Dimensionen gilt: (ohne Beweis) oder umgeformt: g y treten zwei Trägheitskräfte g auf In rotierenden Bezugssystemen Corioliskraft: FC = Z t if Zentrifugalkraft: lk ft Fzf = Man kann mit Hilfe einer Messung feststellen, ob man in einem Rotierenden Bezugssystem ist Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8.10.1 Zetrifugalkraft Es gibt E ibt verschiedene hi d Schreibweisen S h ib i für Zentrifugalkraft Was wird beobachtet? Beispiel rotierende Scheibe: IIntertialbeobachter: t ti lb b ht Es wirkt Zentripetalkraft Rotierender Beoabchter: Es wirkt Zentrifugalkraft Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen 8.10.2 Corioliskraft Physik für E-Techniker Geschwindigkeit der Masse im rotierenden System Im rotierenden Bezugssystem wirkt Corioliskraft Merke! - Corioliskraft ist unabhängig von r - Corioliskraft tritt nicht auf, falls W wird Was i d beobachtet? b b ht t? Beispiel B i i l rotierende ti d Scheibe: S h ib Inertialbeobachter Rotierende Beobachter Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker 8.10.3 Erde als rotierendes Bezugssystem Auf Masse in A auf Erde muss Zentripetalbeschleunigung wirken mit it und Tangentialgeschwindigkeit folgt für λ = 0o Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker Messung der Erdrotation mit Foucault`schen Pendel Prinzip: p Pendel behält Schwingungsebene bei (Inertialsystem) während sich Erde dreht mit Pendel Erde Äquator Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker Für rotierenden Beobachter gilt N V Auf A wirkt Zentrifugalbeschleunigung A D g0 mit r C λ Ä Äquator-Ebene t Eb Beschleunigung durch Gravitation g0 wird vermindert Doris Samm FH Aachen 8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker Geographische B it l Breite Beschleunigung g in i m/s / 2 90o N d l Nordpol 9,8321 0o Äquator 9,7799 48o 50´ ((Paris (F)) ( )) 9,8094 Doris Samm FH Aachen
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