JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Stichprobenverfahren Sommersemester 2015 1. Einf¨ uhrung 1 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Personen Jun.-Prof. Dr. Hans Manner Lehrstuhlvertretung “Statistische Methoden mit Schwerpunkt Psychometrie” Raum: M 737 E-mail: [email protected] Tel.: 0231 755 - 8259 ([email protected]) Sprechstunde: Nach Vereinbarung, idealerweise Dienstags M.Sc. Joanna Wiedom Raum: E 16a E-mail: [email protected] Sprechstunde: Nach Vereinbarung 1. Einf¨ uhrung 2 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Zeiten und Daten Vorlesung: Dienstags 12.15-13.45h in M/E25, ¨ Ubung: Montags 14.15-15.45h in H¨orsaal M/E21 (findet nicht immer statt). Klausuren: TBA, aber zwei Termine, einer direkt nach Vorlesungsende und einer im September 1. Einf¨ uhrung 3 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Organisation und Materialien • Alle Unterlagen auf meiner Webseite an der TU Dortmund verf¨ ugbar • Wichtig: Zeitplan zur Vorlesung, wird aktualisiert, beinhaltet ¨ Abgabedaten der Ubungsbl¨ atter • Skript • Zus¨atzliche Folien (wie diese, evtl. mit Notizen) ¨ • Ubungsbl¨ atter werden regelm¨aßig hochgeladen • Weitere Materialien und Bekanntmachungen 1. Einf¨ uhrung 4 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren ¨ Ubungen ¨ • Es gibt 7 Ubungsbl¨ atter • Davon m¨ ussen mindestens 3 abgegeben werden, um an der Klausur teilnehmen zu d¨ urfen ¨ • Außerdem 3 R-Ubungen bez¨ uglich der praktischen Implementierung der Verfahren ¨ • Ubungen finden nicht immer statt, siehe Zeitplan ¨ • Nur eine große Ubungsgruppe, verbleibende individuelle Fragen in der Sprechstunde 1. Einf¨ uhrung 5 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Literatur • Skript zum Kurs (auf Webseite verf¨ ugbar) • Kauermann und K¨ uchenhoff, “Stichproben - Methoden und praktische Umsetzung mit R”, Springer Verlag, 2011. (Als Ebook kostenlos f¨ ur Studenten der TU Dortmund zug¨anglich.) • Cochrane, “Stichprobenverfahren”, De Gruyter, 1972. • Kreienbrock, “Einf¨ uhrung in die Stichprobenverfahren”, Oldenbourg, 1989. • Pokropp, “Stichproben: Theorie und Verfahren”, Oldenbourg, 1996. 1. Einf¨ uhrung 6 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Klausur • Anmeldung via e-mail bis maximal eine Woche vor der Klausur • Voraussetzung ist die Abgabe von mindestens drei ¨ Ubungsbl¨ attern, die mit ausreichend bewertet sein m¨ ussen (sprich es muss mindestens die H¨alfte richtig sein) • 90 min¨ utige schriftliche Klausur • Rechen- und Verst¨andnisaufgaben • Als Hilfsmittel ist ein A4 Blatt mit handgeschriebenen Notizen erlaubt (und nat¨ urlich ein Taschenrechner) 1. Einf¨ uhrung 7 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Kursinhalte • Einf¨ uhrung in die Stichprobenverfahren • Modellbasierte Stichprobenverfahren • Designbasierte Stichprobenverfahren • Geschichtete Stichproben • Klumpenstichproben • Mehrstufige Verfahren • Zweiphasige Verfahren • Capture-Recapture Verfahren • Ausblick auf weitere Verfahren 1. Einf¨ uhrung 8 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Schwerpunkte 1. Theoretische Eigenschaften 2. Praktische Beispiele 3. Numerische Umsetzung in R 1. Einf¨ uhrung 9 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Fragen? 1. Einf¨ uhrung 10 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Einf¨ uhrung • Wie bekommt man nach Schließung der Wahllokale genaue Wahlprognosen durch eine Befragung von nur 2000 Personen? • Wie w¨ahlt man die Personen aus? • Wie h¨ angt die Berechnung der Prognose von der Auswahl der Personen aus? • Wie sollte man es nicht tun? • Weitere Anwendungen von Stichprobenverfahren: – Marktforschung – Mikrozensus und Sozio¨okonomisches Panel – Medizinisch-epidemiologische Studien – Absch¨ atzung von Umweltbelastungen – ... 1. Einf¨ uhrung 11 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Population und Stichprobe • Die Population oder Grundgesamtheit ist die Menge alle Individuen oder Objekte, u ¨ber die eine Aussage getroffen werden soll. • Merkmalstr¨ ager, Untersuchungseinheiten, statistische Einheiten oder Individuen sind die Einheiten oder Objekte, an denen Untersuchungen, Messungen oder Beobachtungen vorgenommen werden • Merkmale sind die Eigenschaften der statistischen Einheiten, die untersucht, beobachtet oder gemessen werden • Eine Stichprobe S ist die Teilmenge der Population, an der die Merkmale erhoben werden • Wir unterscheiden eine Vollerhebung und eine Teilerhebung 1. Einf¨ uhrung 12 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Notation • Die Menge potentieller Untersuchungseinheiten {U1 , U2 , . . . , UN } heißt Grundgesamtheit (kurz: GG) vom Umfang N . • Jeder Untersuchungseinheit Ui wird ein eindeutig fester Merkmalswert Yi zugeordnet. • Es wird eine zuf¨ allige Stichprobe vom Umfang n gezogen. • Die “Ergebnisse” yi , i = 1, . . . , n, repr¨ asentieren Zufallsvariablen. • Notation bei Stichprobenverfahren In der Grundgesamtheit: Großbuchstaben, feste Werte (meist) unbekannt In der Stichprobe: Kleinbuchstaben, zuf¨ allige Werte, Realisationen von Zufallsvariablen 1. Einf¨ uhrung 13 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Homograd und heterograd Ist Yi qualitativ, Yi ∈ {0, 1}, sprechen wir vom homograden Fall. Hier interessieren uns in der Regel Anteilwerte. (Beispiele?) Sind die Merkmalswerte Yi quantitativ, Yi ∈ R, sprechen wir vom heterograden Fall. Hier interessieren uns in der Regel Mittelwerte. (Beispiele?) 1. Einf¨ uhrung 14 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren G¨ utekriterien im Rahmen der Stichprobentheorie • Erwartungstreue: Sei θ der interessierende Parameter, dann heißt T (y1 , . . . , yn ) erwartungstreu f¨ ur θ, falls E(T (y1 , . . . , yn )) = E(T ) = θ. • Varianzvergleich: Seien T1 und T2 zwei erwartungstreue Sch¨ atzer f¨ ur θ, dann heißt T1 ”besser” als T2 , falls Var(T1 ) < Var(T2 ). • MSE-Vergleich: Seien T1 und T2 zwei beliebige Sch¨ atzer f¨ ur θ, dann heißt T1 ”besser” als T2 , falls MSE(T1 ) < MSE(T2 ). (Hinweis: MSE(T ) = Var(T ) + [E(T ) − θ]2 ) 1. Einf¨ uhrung 15 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren G¨ utekriterien In der Regel interessiert uns der Mittelwert der Population N X 1 Yi Y¯ = N i=1 und die dazu geh¨orige Varianz N 2 1 X 2 ¯ S = Yi − Y . N − 1 i=1 ¯ Außerdem interessiert uns f¨ ur einen Sch¨ atzer Yˆ V ar(Yˆ¯ ) 1. Einf¨ uhrung 16 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren G¨ utekriterien • Wir m¨ochten diese Gr¨ oßen unverzerrt sch¨ atzen • Wir wollen idealerweise ein Stichprobenverfahren und den dazu geh¨origen Sch¨ atzer so w¨ahlen, dass die Varianz des Mittelwertsch¨ atzers so klein wie m¨oglich ist • Berechnung von Konfidenzintervallen • Wie w¨ahlt man den Stichprobenumfang n unter bestimmten Zieloder Kostenfunktionen? 1. Einf¨ uhrung 17 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Nicht-zuf¨ allige Auswahlverfahren • Auswahl auf “Geratewohl”, den “Mann auf der Straße” befragen • Beispiel: Zuf¨allige Befragung an einem Vormittag im Supermarkt zur Kundenzufriedenheit • Typische Stichprobe • Beispiele: Warenkorb zur Inflationsberechnung, Stadt Haßloch als Testmarkt • Quotenstichprobe, z.B Altersgruppen und Geschlechterverteilung exakt auf die Population abstimmen → St¨orgr¨ oßen werden kontrolliert, aber zuf¨ allige Auswahl n¨ otig • Systematische Stichproben: W¨ ahle jedes p’te Element aus der Population 1. Einf¨ uhrung 18 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Verzerrungen • Eine Stichprobe kann f¨ ur eine Fragestellung geeignet sein, f¨ ur eine andere jedoch nicht • Beispiel: Eine Gemeinde in einem Landkreis kann repr¨ asentativ f¨ ur das Konsumverhalten im Landkreis sein, aber nicht f¨ ur die Parteipr¨aferenz f¨ ur eine bestimmte Partei, weil z.B. eine sehr beliebter B¨ urgermeister dieser Partei in der Gemeinde ist • Man hat also eine verzerrte Stichprobe bez¨ uglich der Parteipr¨aferenz • Anderes Beispiel: Man befragt vormittags in einem Supermarkt die Leute nach ihren Berufen 1. Einf¨ uhrung 19 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Auswahlform 1 • Alle N Element sind verf¨ ugbar und mit Nummern (labels) versehen → wir haben eine Populationsliste • Zufallsauswahl aus den Nummern 1, . . . , N • Die dazugeh¨origen Untersuchungseinheiten bilden die Stichprobe S • Man kann mit Zur¨ ucklegen (mZ) oder ohne Zur¨ ucklegen (oZ) ziehen • Eigentlich interessiert nur oZ, aber Formeln f¨ ur mZ in der Regel einfacher • Wenn der Auswahlsatz n/N klein ist kann man oZ Stichproben wie mZ behandeln 1. Einf¨ uhrung 20 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Auswahlform 1: Einfache Stichprobe Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Stichprobe S vom Umfang n ist dann 1 P (S) = N −n−1 n beim Ziehen mZ und P (S) = 1 N n beim Ziehen oZ. Jedes Element die gleiche Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe zu gelangen. Diese Auswahlwahrscheinlichkeit ist gegeben durch n π= N ¨ Herleitungen davon in der Ubung. 1. Einf¨ uhrung 21 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Studienpopulation • Eine Studienpopulation ist eine zur Verf¨ ugung stehende Untermenge der Population • Beispiel: Leute mit Telefon bei einer Telefonumfrage 1. Einf¨ uhrung 22 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Auswahlform 2: Gr¨ oßenproportionale Stichproben (pps) • Wir w¨ahlen die Auswahlwahrscheinlichkeiten πi proportional zu Yi • Hilfsvariable Xi die mit Yi korreliert wird dazu verwendet • So werden informativere Beobachtungen mit h¨ oherer Wahrscheinlichkeit gew¨ ahlt • Varianzreduktion bei der Mittelwertsch¨ atzung 1. Einf¨ uhrung 23 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Auswahlform 3: Geschichtete Stichprobe • Die Grundgesamtheit ist in M Teilgesamtheiten vom Umfang Nh f¨ ur die h-te Teilmenge zerlegt • Diese Teilmengen nennt man Schichten • Man zieht aus jeder Schicht und setzt die Gesamtstichprobe daraus zusammen • Dies kann zu einer Reduktion der Varianz der Mittelwertsch¨ atzung im Vergleich zur einfachen Stichprobe f¨ uhren • Beispiel: Deutschland und die Bundesl¨ander 1. Einf¨ uhrung 24 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Auswahlform 4: Klumpenstichproben • Man zerlegt die GG in M disjunkte Teilmenge • Man w¨ahlt zuf¨ allig m dieser Teilmengen • F¨ ur jede dieser gew¨ ahlten Teilmengen f¨ uhrt man eine Vollerhebung durch • Beispiel: GG ist die Menge aller Schulanf¨anger in einer Stadt. Es werden ganze Klassen ausgew¨ ahlt und vollst¨ andig befragt 1. Einf¨ uhrung 25 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Auswahlform 5: Gebundene Hochrechnung ¯ • Wir beobachten ein weiteres Merkmal X und wir kennen X • Wir unterstellen einen linearen Zusammenhang zwischen X und Y • Wir verwenden diese Vorkenntnis u ¨ber X um Y¯ zu sch¨ atzen • F¨ uhrt in der Regel zu Varianzreduktion • Beispiel: Bei der Wahlprognose kennen wir das Ergebnis bei der letzten Wahl genau und erfragen das Wahlverhalten bei der letzten Wahl 1. Einf¨ uhrung 26 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Auswahlform 5’: Zweiphasige Stichprobe ¯ ist unbekannt • Situation wie bei 5, aber X • Wir nehmen an, dass X relative g¨ unstig erhoben werden kann ¯ • In Phase 1 ziehen wir eine Stichprobe und sch¨ atzen X • In Phase 2 gehen wir vor wie in 5 1. Einf¨ uhrung 27 JProf. Dr. Hans Manner Stichprobenverfahren Auswahlform 6: Capture-Recapture • Wie viele Ratten gibt es in New York? • Fange 1000 Ratten • Markiere diese und lasse Sie wieder frei • Fange nach einem Monat wieder 1000 Ratten • Wie viele sind davon markiert? 1. Einf¨ uhrung 28
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