Survival Analysis (Modul: Lebensdaueranalyse) R OLAND R AU Universität Rostock, Sommersemester 2015 07. April 2015 c Roland Rau Survival Analysis 1 / 22 Ankündigung — kein (!) Aprilscherz Vortrag von Griffith Feeney am 14. April 2015 um 16h am MPI http://www.demogr.mpg.de/en/news_press/news_1917/six_ outstanding_problems_in_developing_country_demography_4050.htm c Roland Rau Survival Analysis 2 / 22 Formalia & Übersicht Seminar: wöchentlich um 09:15 in Raum 227 (PC-Pool) der Ulmenstr. 69 Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Datum 07. April 14. April 21. April 28. April 05. Mai 12. Mai 19. Mai 26. Mai 02. Juni 09. Juni 16. Juni 23. Juni 30. Juni 07. Juli 14. Juli TBA evtl. Besonderheiten heute RR ⇒ PAA “Teams & Themen” Projektwoche Testat (Referate) Referate Referate Termin zur Abgabe der Hausarbeiten c Roland Rau geplante Themen (in eventuell veränderter Reihenfolge) • Was ist Survival Analyse? • Die elementaren Funktionen: S(x), h(x) [= µ(x)], H(x), f (x) • Zensierung & Trunkierung • Vorstellung: Datensatz zur Erstellung der Seminararbeiten (wird bei studip.uni-rostock.de liegen) • typische Datenstruktur für Survival-Analyse • Einfache, parametrische Survival-Modelle • Likelihood Konstruktion & deren Schätzung • “Nichtparametrische” Schätzung • Kaplan-Meier-Verfahren (incl. Konfidenzintervallen und -bändern) • Log-Rank Test • Odd-Aalen Schätzer • Vergleich von Kaplan-Meier- und Odd-Aalen-Verfahren • Was sind “Proportional Hazards” Modelle? • Unterschiede zu “AFT” Modellen • Einfache parametrische Modelle mit Kovariaten • Vergleich zur Sterbetafel • Semiparametrische Survival-Regression: Das Cox Modell • Überprüfung der Proportionalitätsannahme im Cox-Modell • stratifiziertes Cox-Modell • zeitabhängige Kovariaten im Cox-Modell • evtl.: “piecewise-constant model” • evtl.: Datensimulation bei der Survival-Analyse (die Umsetzung am Computer erfolgt mittels der Sprache R — siehe www.r-project.org) Survival Analysis 3 / 22 Formalia & Übersicht Gelegentlich gibt es kleinere Hausaufgaben. Diese sollten Ihnen zum besseren Verständnis dienen, auch wenn sie nicht benotet werden. Arbeiten Sie hierfür gerne in Teams! Zwei Prüfungsleistungen 1 Testat: Semesterbegleitende Prüfung, vermutlich 02. Juni 2015; Prüfungsdauer: 30 Minuten. Inhalt: Theorie der Survival-Analyse 2 Hausarbeit: Einzeln oder in Zweier-Gruppen basierend auf einem von mir vorbereiteten Teil des National Health Interview Surveys (NHIS) der USA. Nach Absprache mit mir können aber auch gerne eigene Daten verwendet werden! Umfang der Hausarbeit: max. 20–25 Seiten (bei 12pt Schriftgröße und 1,5-fachen Zeilenabstand) Hausarbeit sollte wie ein wissenschaftlicher Artikel sein, den man bei einer Zeitschrift einreicht. Bekanntgabe der Teammitglieder (sofern Zweier-Gruppe) und der/den selbstgewählten Forschungsfrage(n) am 19. Mai. In den letzten beiden Sitzungen des Semesters stellen die Teams erste (vorläufige) Ergebnisse ihrer Analyse vor. c Roland Rau Survival Analysis 4 / 22 Literatur Klein and Moeschberger (2003): Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data, Springer Kleinbaum and Klein (2005): Survival Analysis. A Self-Learning Text, Springer Anmerkung: Es gibt auch eine neuere Ausgabe aus dem Jahr 2012, welche R-Code enthalten soll. Cox and Oakes (1984): Analysis of Survival Data, Chapman & Hall Collett (1994): Modelling Survival Data in Medical Research, Chapman & Hall c Roland Rau Survival Analysis 5 / 22 Begriffsklärung: Ich verwende die Begriffe: Ereignis(daten)analyse Survival Analyse Event History Analysis synonym. c Roland Rau Survival Analysis 6 / 22 Was ist das besondere der Survival Analyse? Statistische Datenanalyse Zentrales Element der Analyse: Zeitdauer bis zu einem Ereignis in aller Regel auch: welchen Einfluss üben Kovariaten auf die Dauer bis zum Eintritt dieses Ereignisses aus? Beispiele für Zeitdauern und Ereignisse: . . . c Roland Rau Survival Analysis 7 / 22 Was ist das besondere der Survival Analyse? Statistische Datenanalyse Zentrales Element der Analyse: Zeitdauer bis zu einem Ereignis in aller Regel auch: welchen Einfluss üben Kovariaten auf die Dauer bis zum Eintritt dieses Ereignisses aus? Beispiele für Zeitdauern und Ereignisse: Zeitdauer Zeit seit Geburt Zeit seit Diagnose mit Krankheit x Alter bei Beginn der Erwerbstätigkeit Zeit seit Studienbeginn Zeit seit dem 15. Geburtstag ... Ereignis Tod Tod aufgrund von Krankheit x Renteneintritt Ende des Studiums Geburt des ersten Kindes ... Es ist also wichtig, dass gleich zu Beginn klar definiert wird, was die Prozesszeit ist, und um welches Ereignis es sich handelt! c Roland Rau Survival Analysis 8 / 22 Was ist das besondere der Survival Analyse? Warum brauchen wir hierfür besondere Methoden, warum nicht einfach “ne normale lineare Regression drüberjagen”? yZeitdauer = a + bxkovariate Hauptsächlich zwei Gründe: “normale lineare Regression” beruht auf der Normalverteilungsannahme mit dem Wertebereich [−∞, ∞]. Zeitdauern sind aber notwendigerweise im Wertebereich [0, ∞], Manche Ereignisse werden gar nicht beobachtet. Aber es ist bekannt, wie lange eine Person dem Risiko ausgesetzt war, das Ereignis zu erfahren. c Roland Rau Survival Analysis 9 / 22 Die elementaren Funktionen der Survival-Analyse vgl. für die formalen Aspekte: Kapitel 2 in Klein and Moeschberger (2003) X sei die Zeitdauer/Prozesszeit bis zu einem spezifizierten Ereignis (z.B. Geburt eines zweiten Kindes seit dem ersten Kind, Zeit seit Infektion bis zum Ausbruch einer Krankheit, Zeitdauer seit 1968 bis der 1. FC Nürnberg wieder einmal deutscher Meister wird, . . . .) Wichtige definitorische Frage nicht nur: “Was ist das Ereignis?” sondern auch: “Wann ist der Nullpunkt der Prozesszeit?” (z.B. bei Beispiel Geburt eines zweiten Kindes seit dem ersten Kind: Ein zweites Kind kann nicht einen Monat nach der Geburt eines anderen Kindes geboren werden.) c Roland Rau Survival Analysis 10 / 22 Die elementaren Funktionen der Survival-Analyse vgl. für die formalen Aspekte: Kapitel 2 in Klein and Moeschberger (2003) X sei die Zeitdauer/Prozesszeit bis zu einem spezifizierten Ereignis Die Survival- / Survivor- /Überlebensfunktion ist definiert als: S(x) = Pr(X > x) Sofern es sich bei X um eine kontinuierliche Zufallsvariable handelt, so ist S(x) eine kontinuierliche, monoton fallende Funktion. Ist X eine diskrete Zufallsvariable, so handelt es sich bei S(x) um eine abfallende Treppenfunktion. c Roland Rau Survival Analysis 11 / 22 0.0 0.2 0.4 S(x) 0.6 0.8 1.0 hypothetische Beispiele für Survival-Kurven 0 5 10 15 20 25 30 Prozesszeit x c Roland Rau Survival Analysis 12 / 22 interaktives Beispiel: S(x) für Frauen, Deutschland-Ost survivalanimation2015.r http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/ ⇒ http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/apps/ SurvivalAnalysis-SurvivalCurves/ c Roland Rau Survival Analysis 13 / 22 Die elementaren Funktionen der Survival-Analyse vgl. für die formalen Aspekte: Kapitel 2 in Klein and Moeschberger (2003) X sei die Zeitdauer/Prozesszeit bis zu einem spezifizierten Ereignis Die Survival- / Survivor- /Überlebensfunktion ist definiert als: S(x) = Pr(X > x) Die komplementäre Funktion ist die (kumulative) Verteilungsfunktion F(x) mit der dazugehörigen Dichtefunktion f (x): Zx F(x) = Pr(X ≤ x) = 1 − S(x) = f (t)dt 0 Daraus resultiert natürlich: Z∞ Zx S(x) = 1 − F(x) = 1 − f (t)dt = 0 f (t)dt x Und: f (x) = − c Roland Rau dS(x) dx Survival Analysis 14 / 22 Die elementaren Funktionen der Survival-Analyse X sei die Zeitdauer/Prozesszeit bis zu einem spezifizierten Ereignis Die Survival- / Survivor- /Überlebensfunktion ist definiert als: S(x) = Pr(X > x) Die komplementäre Funktion ist die (kumulative) Verteilungsfunktion F(x) mit der dazugehörigen Dichtefunktion f (x): Zx F(x) = Pr(X ≤ x) = 1 − S(x) = f (t)dt 0 Daraus resultiert natürlich: Z∞ Zx S(x) = 1 − F(x) = 1 − f (t)dt = 0 f (t)dt x Und: f (x) = − dS(x) dx Frage: Welchen Funktionen entsprechen S(x) und f (x) in der Sterbetafel? Hilft dies beim Verständnis der Gleichung: f (x) = − dS(x) dx ? c Roland Rau Survival Analysis 15 / 22 interaktives Beispiel: f(x) für Frauen, Deutschland-Ost survivalanimationdx2015.r http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/ ⇒ http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/apps/ SurvivalAnalysis-DensityCurves/ c Roland Rau Survival Analysis 16 / 22 Die elementaren Funktionen der Survival-Analyse X sei die Zeitdauer/Prozesszeit bis zu einem spezifizierten Ereignis S(x) = Pr(X > x) F(x), f (x): Statistische Modelle beziehen sich neben der Survival-Funktion S(x) hauptsächlich auf eine weitere Funktion: die hazard function, hazard rate, force of mortality, intensity, conditional failure rate, Übergangsrate, Hazardrate, . . . Sie ist definiert als: h(x) = lim ∆x→0 Pr(x ≤ X < x + ∆x | X ≥ x) ∆x (In der Demographie wird anstatt von h(x) häufig µ(x) verwendet.) für eine kontinuierliche Zufallsvariable X gilt damit: h(x) = f (x) S(x) dS(x) und da f (x) = − c Roland Rau − dx dS(x) ⇒ h(x) = dx S(x) Survival Analysis = −d ln S(x) dx 17 / 22 interaktives Beispiel: f(x) für Frauen, Deutschland-Ost survivalanimationhx2015.r http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/ ⇒ http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/apps/ SurvivalAnalysis-HazardCurves/ c Roland Rau Survival Analysis 18 / 22 Die elementaren Funktionen der Survival-Analyse X sei die Zeitdauer/Prozesszeit bis zu einem spezifizierten Ereignis S(x) = Pr(X > x) F(x), f (x): h(x) = lim∆x→0 Pr(x≤X<x+∆x | X≥x) ∆x für eine kontinuierliche Zufallsvariable X gilt damit: h(x) = f (x) S(x) = −d ln S(x) dx damit lässt sich auch die cumulative hazard function definieren: Zx H(x) = h(u)du und daher auch H(x) = − ln S(x) 0 Umgedreht: −H(x) S(x) = e − =e Rx h(u)du 0 Gerade letztere Gleichung sieht man häufiger in der mathematischen − Demographie in der Form von: l(a) = l(0)e c Roland Rau Ra µ(t)dt 0 Survival Analysis 19 / 22 Literatur Collett, D. (1994). Modelling Survival Data in Medical Research. Texts in Statistical Science. London, UK: Chapman & Hall. Cox, D. and D. Oakes (1984). Analysis of Survival Data. London, UK: Chapman & Hall. Klein, J. P. and M. L. Moeschberger (2003). Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data. Statistics for Biology and Health. New York, NY: Springer. Kleinbaum, D. G. and M. Klein (2005). Survival Analysis. A Self-Learning Text. New York: Springer. c Roland Rau Survival Analysis 20 / 22 Lizenz This open-access work is published under the terms of the Creative Commons Attribution NonCommercial License 2.0 Germany, which permits use, reproduction & distribution in any medium for non-commercial purposes, provided the original author(s) and source are given credit. Für ausführlichere Informationen: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/de/ (Deutsch) http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/de/deed.en (English) c Roland Rau Survival Analysis 21 / 22 Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr. 69 18057 Rostock Germany Tel.: +49-381-498 4044 Fax.: +49-381-498 4395 Email: [email protected] Sprechstunde im Sommersemester 2015: Mittwochs, 09:00–10:00 (und nach Vereinbarung) c Roland Rau Survival Analysis 22 / 22
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