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Lineare Algebra für Informatiker
Sebastian Thomas
RWTH Aachen
http://www2.math.rwth-aachen.de:8082
8. April 2015
Körper
Website
Adresse
http://www2.math.rwth-aachen.de:8082
Verwaltung
I
Anmeldung bis Freitag, 10.04.2015, 23:59 Uhr
I
generelle und aktuelle Informationen
I
OKUSON-Server, kein L2P in dieser Vorlesung
Materialien
I
Vorlesungsnotizen und Folien
I
Manuskript des Vorjahres (Ergänzung, nicht relevant)
I
Übungen
Ziele und Methodik
Ziele
I
Einführung des Begriffs „Körper“
I
Verständnis für Axiomatisierung
I
Kennenlernen von Beispielen
I
nicht: Vorstellung entwickeln – nur Formalismus erlernen
Methodik
I
Vorstellen von Ergebnissen
I
kaum bis keine Beweise sowie Konstruktionen der Beispiele
I
eigenes Einüben an Hand von Übungsblatt 0
(Frist: Freitag, 10.4.)
I
eigenes Nachlesen
Mengen
Vorstellung
1. Menge: „Zusammenfassung von bestimmten,
wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder
unseres Denkens zu einem Ganzen“.
2. Elemente einer Menge X : Objekte, welche durch X
zusammengefasst werden. Notation: x ∈ X
Mengen (Forts.)
Beispiele
I
N = {1, 2, 3, . . . }, N0 = {x | x ∈ N oder x = 0}
I
Z = {x | x ∈ N oder x = 0 oder −x ∈ N}
I
Q = {x | x =
I
R = {x | x ist eine reelle Zahl}
I
P = {p ∈ N | p ist eine Primzahl}
I
{1, 3, 17}, {1}, {{1}}, {1, {1}}
I
∅: leere Menge
I
für a, b ∈ Z mit a ≤ b + 1: [a, b] = {x ∈ Z | a ≤ x ≤ b}
p
q
für p, q ∈ Z mit q 6= 0}
Verknüpfungen
Vorstellung
Verknüpfung auf einer Menge X : „Vorschrift“ m, die je zwei (nicht
notwendigerweise verschiedenen) Elementen x, y ∈ X stets genau
ein (n. ntww. versch.) Element x m y ∈ X zuordnet
(x, y ) 7→ x m y
Beispiele
auf Z:
I
Addition:
(x, y ) 7→ x + y
bspw. (2, 3) 7→ 5
bspw. (2, 1) 7→ 3
I
Subtraktion:
(x, y ) 7→ x − y
bspw. (2, 3) 7→ −1
I
Multiplikation: (x, y ) 7→ x · y
bspw. (2, 3) 7→ 6
Verknüpfungen (Forts.)
auf N:
(x, y ) 7→ x + y
I
Addition:
I
Multiplikation: (x, y ) 7→ x · y
auf {x ∈ Z | x ist gerade}:
I
Addition:
(x, y ) 7→ x + y
I
Subtraktion:
(x, y ) 7→ x − y
I
Multiplikation: (x, y ) 7→ x · y
auf Q:
I
Addition:
(x, y ) 7→ x + y
I
Subtraktion:
(x, y ) 7→ x − y
I
Multiplikation: (x, y ) 7→ x · y
Verknüpfungen (Forts.)
auf {x ∈ Q | x 6= 0}:
I
Multiplikation: (x, y ) 7→ x · y
I
Division:
(x, y ) 7→ x : y
„Vorschrift“? bspw. bei + auf Q: x, y ∈ Q
wähle p, q, r , s ∈ Z, q 6= 0, s 6= 0 mit x = qp , y =
x + y :=
ps + qr
qs
r
s
Eigenschaften von Verknüpfungen
Beispiele
In Q gelten folgende „Rechenregeln“:
(1) für (alle) a, b, c ∈ Q ist a + (b + c) = (a + b) + c
(bspw. 21 + (3 + 32 ) = 12 + 92 = 5 = 72 + 32 = ( 21 + 3) + 32 )
(2) für a, b, c ∈ Q ist a · (b · c) = (a · b) · ca(bc) = (ab)c
(3) für a, b ∈ Q ist a + b = b + a
(4) für a, b ∈ Q ist ab = ba
(5) für a ∈ Q ist 0 + a = a + 0 = a
(6) für a ∈ Q ist 1 · a = a · 1 = a
(7) für a ∈ Q ist (−a) + a = a + (−a) = 0
(8) für a ∈ Q mit a 6= 0 ist a−1 a = aa−1 = 1
(9) für a, b, c ∈ Q ist a(b + c) = (ab) + (ac)
(10) für a, b, c ∈ Q ist (a + b)c = ac + bc
(11) 0 6= 1
Eigenschaften von Verknüpfungen (Forts.)
(12) für a, b ∈ Q ist −(a + b) = (−a) + (−b)
(13) für a, b ∈ Q mit a 6= 0, b 6= 0 ist ab 6= 0, (ab)−1 = a−1 b −1
(14) −0 = 0
(15) 1−1 = 1
(16) für a ∈ Q ist −(−a) = a
(17) für a ∈ Q mit a 6= 0 ist a−1 6= 0 und (a−1 )−1 = a
(18) für a, b, x ∈ Q gilt: a + x = b ⇔ x = (−a) + b
(19) für a, b, x ∈ Q mit a 6= 0 gilt: ax = b ⇔ x = a−1 b
(20) für a, x, y ∈ Q gilt: a + x = a + y ⇔ x = y
(21) für a, x, y ∈ Q mit a 6= 0 gilt: ax = ay ⇔ x = y
(22) für a, x ∈ Q gilt: a + x = a ⇔ x = 0
Eigenschaften von Verknüpfungen (Forts.)
(23) für a, x ∈ Q mit a 6= 0 gilt: ax = a ⇔ x = 1
(24) für a ∈ Q ist 0a = 0
(25) für a, b ∈ Q ist a(−b) = (−a)b = −ab
(26) für a, b ∈ Q ist (−a)(−b) = ab
(27) für a, b ∈ Q gilt: ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
..
.
In R gelten folgende „Rechenregeln“:
(1) für a, b, c ∈ R ist a + (b + c) = (a + b) + c
(2) für a, b, c ∈ R ist a(bc) = (ab)c
..
.
(27) für a, b ∈ R gilt: ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
Eigenschaften von Verknüpfungen
Fazit
Viele Rechenregeln in Q und R sind „gleich“.
Q
R
(1)
(2)
(3)
...
(26)
(27)
Frage
Gilt das für alle Rechenregeln?
Antwort
Nein:
I
es gibt kein x ∈ Q mit x 2 = 2
I
es gibt (mindestens) ein x ∈ R mit x 2 = 2
Konzept eines Körpers
Es gibt viele Beispiele von „Strukturen“ neben Q und R, in denen
die Rechenregeln (1) bis (27) gelten.
Frage
Muss man für jedes dieser Beispiele alle Rechenregeln beweisen?
Q, +, ·
R, +, ·
C, +, ·
F2 , +, ·
F256 , +, ·
Körper K , +, ·
(1), (2), . . . , (11)
(1)
(2)
...
(11)
(12)
...
(26)
(27)
Konzept eines Körpers (Forts.)
Definition
Ein Körper besteht aus
I
Menge K ,
I
Verknüpfung +, genannt Addition,
I
Verknüpfung ·, genannt Multiplikation,
so, dass folgende Axiome (= geforderte Eigenschaften) gelten.
I
Assoziativität der Addition.
I
Existenz der Null.
..
.
I
Distributivität.
Missbrauch der Notation
Wir bezeichnen sowohl die unterliegende Menge als auch den
Körper mit K .
Konzept eines Körpers (Forts.)
Körperaxiome
I
Assoziativität der Addition.
Für a, b, c ∈ K ist a + (b + c) = (a + b) + c.
I
Existenz der Null.
Es gibt ein n ∈ K so, dass für a ∈ K stets n + a = a + n = a.
I
Existenz der Negativen.
Für a ∈ K gibt es ein b ∈ K mit b + a = a + b = 0.
I
Kommutativität der Addition.
Für a, b ∈ K ist a + b = b + a.
Konzept eines Körpers (Forts.)
I
Assoziativität der Multiplikation.
Für a, b, c ∈ K ist a(bc) = (ab)c.
I
Existenz der Eins.
Es gibt ein e ∈ K so, dass für a ∈ K stets e · a = a · e = a.
I
Existenz der Inversen.
Für a ∈ K mit a 6= 0 gibt es ein b ∈ K mit ba = ab = 1.
Es gilt 1 6= 0.
I
Kommutativität der Multiplikation.
Für a, b ∈ K ist ab = ba.
I
Distributivität.
Für a, b, c ∈ K ist a(b + c) = ab + ac.
Konzept eines Körpers (Forts.)
Eindeutigkeit der Null
n, n0 ∈ K , für a ∈ K gelte n + a = a + n = a, n0 + a = a + n0 = a
a + n = a für alle a ∈ K ⇒ insbesondere n0 + n = n0
n0 + a = a für alle a ∈ K ⇒ insbesondere n0 + n = n
⇒
n = n0 + n = n0
Notation
0 := n
Warnung
I
0 ist nur eine Bezeichnung für ein besonderes Element von K
I
die 0 in K hat nichts mit der Zahl 0 in Q oder R zu tun
Konzept eines Körpers (Forts.)
Analog: Eindeutigkeit der Eins
e, e 0 ∈ K , für a ∈ K gelte ea = ae = a, e 0 a = ae 0 = a
e = e0
⇒
Notation
1 := e
Eindeutigkeit der Negativen
a, b, b 0 ∈ K , es gelte b + a = a + b = 0, b 0 + a = a + b 0 = 0
⇒
b = b0
Notation
(−a) := b
Konzept eines Körpers (Forts.)
Eindeutigkeit der Inversen
a, b, b 0 ∈ K , a 6= 0, es gelte ba = ab = 1, b 0 a = ab 0 = 1
⇒
b = b0
Notation
a−1 := b
Beispiele
I
Q mit gewöhnlicher Addition und gewöhnlicher Multiplikation
I
R mit gewöhnlicher Addition und gewöhnlicher Multiplikation
Gegenbeispiele
I
N mit gewöhnlicher Addition und gewöhnlicher Multiplikation
I
Z mit gewöhnlicher Addition und gewöhnlicher Multiplikation
Konzept eines Körpers (Forts.)
Notation
I
+K , ·K , 0K , 1K , (−a)K , (a−1 )K
Notation
I
K × := K \ {0} = {x ∈ K | x 6= 0}
Notation
I
Subtraktion: a − b := a + (−b) für a, b ∈ K
I
Division: a : b := a · b −1 für a ∈ K , b ∈ K ×
Folgerungen aus den Axiomen
Rechenregeln in Körpern
K Körper
I
für a, b ∈ K ist −(a + b) = (−a) + (−b)
I
−0 = 0
I
für a ∈ K ist −(−a) = a
I
für a, b ∈ K × ist auch ab ∈ K × mit (ab)−1 = a−1 b −1
I
1 ∈ K × mit 1−1 = 1
I
für a ∈ K × ist auch a−1 ∈ K × mit (a−1 )−1 = a.
Folgerungen aus den Axiomen (Forts.)
I
für a, b, x ∈ K gilt: a + x = b ⇔ x = (−a) + b
I
für a, x, y ∈ K gilt: a + x = a + y ⇔ x = y
I
für a, x ∈ K gilt: a + x = a ⇔ x = 0
I
für a ∈ K × , b, x ∈ K gilt: ax = b ⇔ x = a−1 b
I
für a ∈ K × , x, y ∈ K gilt: ax = ay ⇔ x = y
I
für a ∈ K × , x ∈ K gilt: ax = a ⇔ x = 1
I
für a ∈ K ist 0a = 0
I
für a, b ∈ K ist a(−b) = (−a)b = −ab
I
für a, b ∈ K ist (−a)(−b) = ab
I
für a, b ∈ K gilt: ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
Der Körper der komplexen Zahlen
Arbeitsbasis
1. komplexe Zahl: „Ausdruck“ der Form
a + bi
für gewisse a, b ∈ R, bspw. 4 + 2i, 2 − 3i = 2 + (−3)i
2. i = 0 + 1i heißt imaginäre Einheit
3. z = a + bi, a, b ∈ R
I
I
Realteil von z:
Re z := a
Imaginärteil von z: Im z := b
bspw. Re(4 + 2i) = 4, Im(2 − 3i) = −3
4. komplexe Zahlen z und w sind gleich, geschrieben z = w ,
falls Re z = Re w und Im z = Im w
5. identifiziere R mit der Menge {a + 0i | a ∈ R}
Der Körper der komplexen Zahlen (Forts.)
6. Körper der komplexen Zahlen:
I
I
I
I
I
C = {a + bi | a, b ∈ R}
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
für a, b, c, d ∈ R
bspw. (4 + 2i) + (2 − 3i) = 6 − i
Multiplikation:(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
für a, b, c, d ∈ R
bspw. (4 + 2i)(2 − 3i) = 8 − 12i + 4i − 6(−1) = 14 − 8i
i2 = −1
a
b
Inverse:
(a + bi)−1 = a2 +b
2 − a2 +b 2 i
für a, b ∈ R mit a + bi 6= 0
Menge:
Addition:
Der Körper der komplexen Zahlen (Forts.)
Proposition
p, q ∈ R, x ∈ C mit x 2 + px + q = 0
q
1. ( p2 )2 − q ≥ 0 ⇒ x = − p2 + ( p2 )2 − q oder
q
p
x = − 2 − ( p2 )2 − q
q
2. ( p2 )2 − q ≤ 0 ⇒ x = − p2 + −(( p2 )2 − q) · i oder
q
x = − p2 − −(( p2 )2 − q) · i
Der Körper mit zwei Elementen
Körper F2 = {0, 1}
+
0
1
0
0
1
1
1
0
·
0
1
0
0
0
1
0
1
Summen- und Produktnotation
Notation
K Körper, k ∈ N0 , a1 , . . . , ak ∈ K
X
ai := a1 + . . . + ak
i∈[1,k]
Y
ai := a1 · . . . · ak
i∈[1,k]
falls k = 0:
X
ai = 0
i∈[1,k]
Y
i∈[1,k]
ai = 1
Summen- und Produktnotation (Forts.)
Notation
K Körper, k ∈ N0 , a ∈ K
ka = k · a :=
X
a
i∈[1,k]
(−k)a = (−k) · a := k(−a)
Y
ak :=
a
i∈[1,k]
a
−k
:= (a−1 )k , falls a 6= 0
Warnung
(k, a) 7→ ka = k · a ist keine Verknüpfung, da k ∈ Z, a ∈ K
Summen- und Produktnotation (Forts.)
Proposition (Potenzgesetze)
K Körper
I
für k, l ∈ Z, a ∈ K gilt ka + la = (k + l)a
I
für k, l ∈ Z, a ∈ K gilt l(ka) = (lk)a
I
für k ∈ Z, a, b ∈ K gilt ka + kb = k(a + b)
I
für k, l ∈ N0 , a ∈ K gilt ak al = ak+l
I
für k, l ∈ N0 , a ∈ K gilt (ak )l = akl
I
für k ∈ N0 , a, b ∈ K gilt ak b k = (ab)k
I
für k, l ∈ Z, a ∈ K × gilt ak al = ak+l
I
für k, l ∈ Z, a ∈ K × gilt (ak )l = akl
I
für k ∈ Z, a, b ∈ K × gilt ak b k = (ab)k
Summen- und Produktnotation (Forts.)
Notation
K Körper, k ∈ Z
k = k K := k · 1K
Also:
kK =
(P
Pi∈[1,k]
i∈[1,k]
1K ,
falls k ≥ 0,
(−1K ),
falls k < 0
Beispiel
In F2 :
2=1+1=0
3=2+1=0+1=1
4=3+1=1+1=0
Primkörper
Arbeitsbasis
p Primzahl
I
Fp ist ein Körper mit p Elementen
I
Fp = {0, 1, . . . , p − 1} = {0Fp , 1Fp , . . . , (p − 1)Fp }
I
p = 0 in Fp
I
Fp heißt Primkörper zur Primzahl p
I
p − 1 = −1, p − 2 = −2, . . . in Fp
I
allgemein: für k ∈ Z ist k = k + p = k − p in Fp
I
Fp = {k Fp | k ∈ [0, p − 1]}
I
p−1
falls p ≥ 3: Fp = {k Fp | k ∈ [− p−1
2 , 2 ]}
I
p−1
[0, p − 1], [− p−1
2 , 2 ] sind Transversalen von Fp
I
[0, p − 1] heißt Standardtransversale von Fp
Primkörper
Beispiele
I
F2 = {0, 1}
I
F3 = {0, 1, 2}
I
F5 = {0, 1, 2, 3, 4}
I
F7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
In F3 :
11 = 8 + 3 = 8 + 0 = 8 = 5 = 2
412 = 1 + 137 · 3 = 1 + 137 · 0 = 1
− 25 = 2 + (−9) · 3 = 2
In F17 :
9 + 12 = 21 = 4
14 · 16 =
(−3) · (−1)
=3
Die Körper F4 , F8 und F9
Arbeitsbasis
p Primzahl, k ∈ N
I
Fpk ist ein Körper mit p k Elementen
I
Fpk 6= {0, 1, . . . , p 2 − 1}
I
Fpk = {a0 ξ 0 + a1 ξ 1 + . . . + ak−1 ξ k−1 | a0 , a1 , . . . , ak−1 ∈ Fp }
für ein ξ ∈ Fpk
I
identifiziere Fp mit {a0 ξ 0 + 0ξ 1 + . . . + 0ξ k−1 | a ∈ Fp } ⊆ Fpk
I
Formalismus analog zu C
I
F4 = {a + bα | a, b ∈ F2 }, α2 = 1 + α
I
F8 = {a + bβ + cβ2 | a, b, c ∈ F2 }, β3 = 1 + β
I
F9 = {a + bι | a, b ∈ F3 }, ι2 = −1
Die Körper F4 , F8 und F9 (Forts.)
Beispiele
In F9 :
(1 + ι) + (1 + 2ι) + 2ι = 1 + ι + 1 + 2ι + 2ι
= 1 + 1 + ι + 2ι + 2ι
= (1 + 1) + (1 + 2 + 2)ι
= 2 + 5ι = 2 + 2ι
In F4 :
12 − 3α = 0 + 1α = α
−13 + 5α = 1 + 1α = 1 + α
Die Körper F4 , F8 und F9 (Forts.)
In F8 :
(1 + β) · β2 · (1 + β + β2 ) = (β2 + β3 ) · (1 + β + β2 )
= (β2 + 1 + β) · (1 + β + β2 ) = (1 + β + β2 ) · (1 + β + β2 )
= 1 + β + β2 + β + β2 + β3 + β2 + β3 + β4 = 1 + β2 + β4
= 1 + β2 + β + β2 = 1 + β
Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung
I
Körper: Axiomatik und einfache Eigenschaften
I
Q⊆R⊆C
I
Fp ⊆ Fpk (allgemein/beispielhaft)
Ausblick
I
Verallgemeinerungen des Begriff des Körpers: kommutativer
Ring, (allgemeiner) Ring
I
Strukturen mit nur einer Verknüpfung: kommutative Gruppe,
(allgemeine) Gruppe, Monoid, Halbgruppe
I
Matrizen über Körpern
I
lineare Gleichungssysteme über Körpern
I
Vektorräume über Körpern

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