Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt

Fibonacci-Zahlen und der
Goldene Schnitt
Dr. rer. nat. Frank Morherr
Technische Universität Dresden
Warum müssen Häuser immer viereckig sein?
Dreieckige Häuser sind in!
Chilehaus Hamburg
Elbphilharmonie Hamburg
Flatiron Building
New York
Museum für moderne Kunst Frankfurt
Gute Planung eines Gebäudes erhöht
den verfügbaren Platz
Ein Beispiel sehen Sie hier:
Weiße Fläche: 13*34=442 Kästchen
Weiße Fläche: 21*21=441 Kästchen
Die bunten Dreiecke sind in beiden Bildern jeweils gleich groß.
Was ist hier los? Wo kommt das zusätzliche Quadrat her?
Wieso gerade diese Zahlen?
Die Fibonacci-Zahlen
Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt (von 1180
in Pisa; bis 1241 in Pisa) war Rechenmeister in Pisa
und gilt als der bedeutendste Mathematiker des
Mittelalters.
• Die Fibonacci-Zahlen
beschreiben die
Populationsentwicklung der
Kaninchen
• Start mit einem Elternpaar.
Die nächste Generation
besteht aus der Summe der
beiden vorhergehenden.
• Bildungsgesetz:
Die Fibonacci-Zahlen
Rekursionsformel
Explizite Formel
Wie kommt man auf die explizite Formel?
Die Gestalt der expliziten Formel erstaunt, da die irrationale Zahl
√5 auftaucht, die Fibonacci-Zahlen, aber aufgrund der Rekursion
alle ganzzahlig sind. Die √5 kürzt sich immer günstig:
(Gelegenheit für Schüler, binomische Formeln zu üben)
Methode von Binet
• Allgemeines Verfahren, welches prinzipiell bei allen mehrstufigen
Rekursionen funktioniert, eng verwandt mit der Methode der
erzeugenden Funktionen.
• Ein analoges Verfahren funktioniert bei der Lösung von linearen
Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
Methode von Binet
Anders kommt man auf die explizite Formel
über Matrizendiagonalisierung
Übung: Führen Sie die Verfahren für:
Diagonalisierung von Matrizen in anderen
Anwendungen: Spannungstensoren
•
•
•
•
•
•
Tensorrechnung erlaubt, Spannungszustand zunächst unabhängig von einem bestimmten
Koordinatensystem zu beschreiben.
Komponentengleichungen werden den geometrischen Eigenschaften des Körpers angepasst,
beispielsweise in Zylinderkoordinaten.
Spannungstensor ist derjenige Tensor zweiter Stufe, der skalar multipliziert mit der äußeren
Flächennormalen einer Schnittfläche den Kraftvektor pro Flächeneinheit ergibt.
Spannungszustand durch Hauptachsentransformation umrechenbar in ein Koordinatensystem,
in dem alle Schubspannungen verschwinden. Zerlegung in zwei Komponenten.
Komponente quer zur Raumdiagonalen ist ein Maß dafür, wie groß in anderen Schnittrichtungen
die Schubspannungen je nach Schnittrichtung maximal werden können. Allein dieser Anteil
ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen relevant. Wenn er die Fließspannung der
jeweiligen Stahlsorte überschreitet, verformt sich der Stahl plastisch.
Die Komponente in Richtung der Raumdiagonalen beschreibt den Druck; dieser Anteil ist bei der
Berechnung von Stahlkonstruktionen irrelevant, da er in keinerlei Schnittrichtung zu
Schubspannungen führt, und insofern auch zu keiner plastischen Verformung.
Flächen zweiten Grades
http://www.asgnsu.hn.bw.schule.de/ray/einfuehr/m_315.htm
Übung: Berechnung der Fibonacci-Zahlen
mittels eines Programms oder mit Excel
1
Implementierung in Excel
Identitäten der Fibonacci-Zahlen
Die folgenden Identitäten lassen sich über Umwege alle aus der
Rekursionsformel herleiten. Für Schüler und Schülerinnen ist
allerdings eine Bestätigung der Formel oft mittels der expliziten
Formel einfacher:
Wichtig für unsere Fragestellung wird die Cassini-Identität sein.
Beweis der Cassini-Identität
Anschauliche Beweise von Identitäten
Fibonacci-Zahlen am Pascalschen Dreieck
Neben vielen Zahlenfolgen, die
im Pascalschen Dreieck
auftauchen, findet man durch
Summenbildung auch die
Fibonacci-Zahlen wieder:
Fibonacci-Zahlen am Pascalschen Dreieck
• Neben vielen Zahlenfolgen, die
im Pascalschen Dreieck
auftauchen, findet man durch
Summenbildung auch die
Fibonacci-Zahlen wieder:
Fibonacci-Zahlen in der Natur
Bestimmen Blütenstände und Stellung der Blätter bei Pflanzen, da Beschattung
minimal und somit die Lichtausbeute maximal ist → goldener Winkel
Fibonacci-Zahlen sind Zähler und Nenner
der Quotienten (Fibonacci-Bruchzahlen) aus
Spiralenwendungszahl und
Blätterzwischenraumzahl. Schauen wir jetzt
die Blätter 1, 4, 9 , die sich an der
ausgewählten Richtung befinden:
Die Zahl der Räume zwischen der Blätter 1
und 4 ist 3. Die Zahl der Spiralenwendung
ist 2. Die Fibonacci-Bruchzahl ist 2/3.
Die Zahl der Räume zwischen der Blätter 1
und 9 ist 8. Die Zahl der Spiralenwendung
ist 5. Die Fibonacci-Bruchzahl ist 5/8.
Die Zahl der Räume zwischen der Blätter 4
und 9 ist 5. Die Zahl der Spiralenwendung
ist 3. Die Fibonacci-Bruchzahl ist 3/5.
Deswegen ist die Anordnung der Blätter auf
den Pflanzen günstig, dass die unteren
Blätter auch genug Licht bekommen
können. So ist es z.B. die Anzahl der
Blätterspiralenwendung beim Kiefer 5/8
und bei der Kamille 21/34.
Analoges gilt für Samenstände.
Fibonacci-Zahlen in der Natur
Harold Coxeter (1907-2003) brachte die
Darstellung der Ananas-Zyklen in eine
stärker mathematische Form. Er
projizierte die dreidimensionale Gestalt
in eine rechteckige Form, wobei die
Elemente am linken und am rechten Rand
in jeder Zeile jeweils identisch sind. Die
Natur hat mit der Abfolge gemäß den
Fibonacci-Zahlen sichergestellt, dass
jedes Blatt auf einem insgesamt
beschränkten Raum beim 3dimensionalen Wachstum optimalen
Platz erhält.
Fibonacci-Zahlen in der Natur
Harold Coxeter (1907-2003) brachte die
Darstellung der Ananas-Zyklen in eine
stärker mathematische Form. Er
projizierte die dreidimensionale Gestalt
in eine rechteckige Form, wobei die
Elemente am linken und am rechten Rand
in jeder Zeile jeweils identisch sind. Die
Natur hat mit der Abfolge gemäß den
Fibonacci-Zahlen sichergestellt, dass
jedes Blatt auf einem insgesamt
beschränkten Raum beim 3dimensionalen Wachstum optimalen
Platz erhält.
Fibonacci-Zahlen in der Natur
Fibonacci-Zahlen in der Natur
Nautilus
Fibonacci-Trapeze und Sterne
Die Fibonacci-Rekursion kann
durch Einzeichnen eines
regelmäßigen Dreiecks in ein
sogenanntes Fibonacci-Trapez
sichtbar gemacht werden.
Fibonacci-Trapeze im
Dreiecksraster
Fibonacci-Stern durch
Aneinandersetzen der
Trapeze
Der goldene Schnitt
Eine gegebene Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt, wenn das
Verhältnis der Gesamtstrecke zum größeren Teil so groß ist, wie das
Verhältnis des größeren Teils zum kleineren Teil.
1
x
1-x
Setzt man die Gesamtstrecke willkürlich gleich 1 und das
größere Teilstück x, so ergibt sich formal
Umformen ergibt die Gleichung
Lösen mit p-q-Formel
→
Der goldene Schnitt
Das aus der irrationalen, aber quadratisch algebraischen Zahl
resultierende Teilverhältnis
wird in der Regel als goldener Schnitt bezeichnet.
Oft bezeichnet man Φ = 1,618… als die goldene Zahl
Φ erfüllt die Gleichung:
Eine Konstruktion des goldenen Schnitts:
Hat AB die Länge 1, BC die Länge ½ ,
dann hat CD die Länge ½ und S teilt
AB im goldenen Schnitt (Pythagoras).
Beispiel zum Lösen einer Gleichung mit Mathematica:
Bilder zum goldenen Schnitt
Goldenes Rechteck
Goldenes Rechteck:
Front des UN-Haupt- 3 goldene Rechtecke
im Ikosaeder
gebäudes
Fibonacci-Rechtecke
und goldeneSpirale
Fünfeck falten
Kettenbruchentwicklung von Φ
Der goldene Schnitt in der Kunst
Offene Aufgaben aus Schulbüchern zum
goldenen Schnitt
Der goldene Schnitt in der Kunst und im
Alltag
Aufgaben aus einem Schulbuch:
Offene Aufgaben aus Schulbüchern zum
goldenen Schnitt
Körpergröße zu
Bauchnabelhöhe
Experiment im
Mathematikum
in Giessen
Offene Aufgaben aus Schulbüchern zum
goldenen Schnitt
Glockenblume
Der goldene Schnitt in der Architektur
Rathaus in Leipzig
Petersbasilika, Rom(Vorläufer des Petersdoms)
Le Corbusier: Unité
Die Sonnenblume und der goldene Winkel
Den Vollkreis von 360° nach dem Verhältnis
des Goldenen Schnittes geteilt, ergibt den
sogenannten Goldenen Winkel Φ von
137,5°.
Goldener Winkel
Bei der Sonnenblume sieht man viele Kerne in der Mitte, die man nach
der biologischen Erklärung für die Blätter wieder im goldenen Winkel
verdreht erwartet.
Simulation mit Geogebra, indem man interaktiv den Winkel, die kleinen
Kreisradien und andere Parameter verändert
Schon bei einem knapp 6/100 Grad kleineren Winkel erscheinen radial
verlaufende Kernreihen, die es bei Sonnenblumen so nicht gibt.
Vergrößerung des goldenen Winkels um knapp 6/100 Grad liefern
Spiralen nur in eine Richtung. Der Platz ist gar nicht gut ausgefüllt.
Empfindlichkeit gegenüber kleinsten Änderungen hängt mit der
besonderen Kettenbruchentwicklung von ɸ zusammen
Sonnenblume: Die Anzahlen der links und rechts
drehenden Spiralen sind aufeinanderfolgende
Fibonacci-Zahlen.
Spielen mit der Simulation liefert auch deutlich
andere Drehwinkel, bei denen die Kerne wieder
dichter gepackt sind. Dann aber sind die Anzahlen
keine Fibonacci-Zahlen mehr.
Fraktale Gebilde und Selbstähnlichkeit
Fraktale Gebilde besitzen im Allgemeinen keine ganzzahlige Dimension
sondern eine gebrochene – daher der Name – und weisen zudem einen
hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit auf. Das ist
beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten
Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art
unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten
Figuren. Bekannte Beispiele: Apfelmännchen, Kochsche Schneeflocke
Siehe auch: Frank Morherr: Folgen und Fraktale: Mathematik in der Natur als Grundlage zum Verständnis des
Grenzwertprozesses in der E-Phase der gymnasialen Oberstufe, Oberursel 2013
Der Goldene Schnitt und Fraktale
Baumfraktale:
Alternativ: Pythagoras-Baum:
Ziel: Bestimme den Verkleinerungsfaktor f so,
dass sich die Äste berühre, d.h. keinen
Zwischenraum offenlassen, sich aber auch
nicht überlappen.
Der Goldene Schnitt und Fraktale
Aufgabe für Schüler:
Wie groß ist jeweils der Verkleinerungsfaktor?
Der Goldene Schnitt und Fraktale
Das goldene Quadratfraktal
Überlappbedingung für
Verkleinerungsfaktor ist
Zusammenhang des goldenen Schnitts
mit den Fibonacci-Zahlen
Übung: Zeigen Sie den Grenzwert oben mittels der expliziten Formel der Fibonacci-Zahlen
Auflösung des Eingangs gestellten
Problems
• scheinbare Hypotenuse hat in Wirklichkeit einen Knick
• dort versteckt sich der zusätzliche Kasten
• Der Knick fällt nicht auf, da Steigungen sich als Quotient von
Fibonacci-Zahlen sich einem Grenzwert (Kehrwert des Goldenen
Schnitts) annähern. Hier ein Beispiel in größerem Maßstab
Weiße Fläche: 2*5=10 Kästchen
Weiße Fläche: 3*3=9 Kästchen
Allgemeine Formel, die dahinter steckt:
http://www.dailymotion.com/video/xczfcr_die-fibonaccizahlen_tech
Weiteres Beispiel: Das Curry-Dreieck
Das Paradoxon von Loyd und Schlömilch

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