TES-TL_20142015_DNS7corrige

TES/spé TL
D.N.S. n°7
à rendre le Jeudi 11 Décembre 2014
Probabilités
Partie A :
Un propriétaire d'une salle louant des terrains de squash s'interroge sur le taux d'occupation de ses terrains. Sachant
que la location d'un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et weekend) et les heures creuses (le reste de la semaine).
Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.
Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s'apercevoir que :
 lorsque l'heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés ;
 lorsque l'heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.
On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements :
C : « l'heure est creuse »
T : « le terrain est occupé »
1) Représenter cette situation par un arbre de probabilités.
0,7
0,3
0,2
T
0,8
―
T
0,9
T
0,1
―
T
C
―
C
2) Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse.
p(C  T) = p(C) × pC(T) = 0,7  0,2 = 0,14
3) Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé.
―
C et C forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales on a :
―
―
p(T) = p(C  T) + p(C  T) = 0,14 + p(C) × p―C(T) = 0,14 + 0,3 × 0,9 = 0,14 + 0,27 = 0,41
27
4) Montrer que la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à
41
―
―
― p(CT) 0,27 27
On cherche la probabilité de C sachant T : PT(C) =
=
=
p(T)
0,41 41
Partie B :
Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la
location d'un terrain, des tarifs différenciés : 10 € pour une heure pleine, 6 € pour une heure creuse.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d'un terrain de la
salle, choisi au hasard.
1) Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de X.
X {0 ; 6 ; 10}
Si le terrain est loué pendant une heure creuse, la recette sera : X = 6€/h ; p(X = 6) = p(C  T) = 0,14
―
Si le terrain est loué pendant une heure pleine, la recette sera : X = 10€/h ; p(X = 10) = p(C  T) = 0,27
―
Si le terrain n’est pas loué, la recette sera : X = 0€/h ; p(X = 0) = p(T) = 1 – p(T) = 1 – 0,41 = 0,59
xi
pi = p(X = xi)
0
0,59
6
0,14
10
0,27
2) Déterminer l'espérance de X.
i=3
E(X) =  xi pi = 0 × 0,59 + 6 × 0,14 + 10 × 0,27 = 3,54€/h
i=1
3) La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne
de la salle.
10 × 70 × E(X) = 700 × 3,54 = 2478
La recette hebdomadaire moyenne est de 2478 euros.
Un paradoxe
Livre page 33 n°91
Un tireur d'élite s'entraîne à toucher une cible située à 500 m. Les 500 m qui séparent le tireur de la cible sont
successivement découpés en deux de la façon suivante.
Étape 1 : la balle a parcouru 250 m, soit la moitié des 500 m nécessaires.
Étape 2 : la balle a parcouru 125 m depuis l'étape 1, soit la moitié des 250 m restants.
Étape 3 : la balle a parcouru 62,50 m depuis l'étape 2, soit la moitié des 125 m restants.
Et ainsi de suite.
Puisqu'il restera toujours une demi-distance à parcourir, le paradoxe affirme que la balle n'atteindra jamais la cible.
On note dn la distance parcourue par la balle lors de la n-ième étape. Ainsi dl = 250.
a) Exprimer dn+1 en fonction de dn.
Lors de la première étape, la balle a parcouru 250 m, soit la moitié de 500 m.
Lors de la deuxième étape, la balle a parcouru 125 m, soit la moitié de 250 m.
d
Lors de la n +1-ième étape, la balle a parcouru n m.
2
On a donc : dn + 1 = 0,5 dn
b) Préciser la nature de la suite (dn) ainsi que ses éléments caractéristiques.
Comme pour tout n≥ 1 , dn + 1 = 0,5 dn, (dn) est une suite géométrique de raison 0,5.
De plus, son premier terme est : d1 = 250.
c) Pour tout nombre entier naturel n non nul, on note : Dn = d1 + d2 +···+ dn
Que représente Dn dans cette situation ?
Dn représente la distance parcourue au bout de n étapes.
Exprimer Dn en fonction de n.
Dn = d1 + d2 + … + dn
= 250 + 250 × 0,5 + … + 250 × 0,5n – 1
= 250 × (1 + 0,5 + … + 0,5n – 1)
Or 1 + 0,5 + … + 0,5n – 1 = 1 + b + … + bn – 1 avec b = 0,5,
1– b(n‒1)+1 1– bn
b≠ 1 donc 1 + b + … + bn – 1 =
=
1– b
1– b
n
1– 0,5
on en déduit : Dn = 250 ×
= 500 × (1 – 0,5n)
1– 0,5
d) Étudier la limite de la suite (Dn) et interpréter ce résultat pour résoudre le paradoxe.
0 < 0,5 < 1, donc lim 0,5n = 0 et donc lim ( 1‒ 0,5n) = 1 et donc lim Dn = 500.
n  +
n  +
n  +
Le paradoxe est résolu, car après une infinité d’étapes, la balle parcourt une distance de 500 m et
touche bien sa cible.

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