Sortie curling a Leysin le samedi 21 mars 2015

Rochambeau 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (4 points) (commun à tous les candidats)
On considère un cube ABCDEFGH donné en annexe 2 (à rendre avec la copie).
−→ 1 −−→
On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que HP = HG.
4
Partie A : section du cube par le plan (MNP)
1) Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.
Construire le point L.
2) On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d’intersection.
On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d’intersection.
a) Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction.
b) Construire l’intersection des plans (MNP) et (ABF).
3) En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).
Partie B
! −→ −−→ −→"
L’espace est rapporté au repère A; AB, AD, AE .
1) Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère.
2) Déterminer les coordonnées du point L.
#
$
5
3) On admet que le point T a pour coordonnées 1; 1;
.
8
Le triangle TPN est-il rectangle en T ?
http ://www.maths-france.fr
1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
ANNEXE 2
A rendre avec la copie
P
G
+
H
+
M
F
+
E
D
C
A
http ://www.maths-france.fr
N
B
2
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
Rochambeau 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
Partie A : section du cube par le plan (MNP)
1) Les quatre points M, P, F et G appartiennent au plan (EFG). Donc les droites (MP) et (FG) sont coplanaires.
Supposons par l’absurde (MP) parallèle à (FG). Puisque EFGH est un carré, la parallèle à (FG) passant par M est la
droite (EH) et donc (MP) est la droite (EH). Par suite, (MP) coupe la droite (GH) en H mais aussi en P. Ceci impose
H = P ce qui est absurde. Donc, les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.
+
Construction.
P
G
+
H
L
+
M
F
+
E
D
A
N
C
B
2) a) Construction.
http ://www.maths-france.fr
1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
+
P
G
+
H
L
+
+
M
F
+
E
N
D
C
+
A
T
Q
B
b) Construisons d’abord l’intersection des plans (MNP) et (CDG).
• Le point P est commun aux plans (MNP) et (CDG). Donc les plans (MNP) et (CDG) ne sont pas strictement
parallèles. D’autre part, le point M n’est pas dans le plan (CDG) et donc les plans (MNP) et (CDG) ne sont pas
confondus. Finalement, les plans (MNP) et (CDG) sont sécants en une droite (∆).
• Le point P est un point commun aux plans (MNP) et (CDG). Donc le point P est un premier point de (∆).
• Le point L appartient à la droite (MN) et donc au plan (MNP). Les points L et N sont dans le plan (MNP) et donc
la droite (LN) est contenue dans le plan (MNP). Mais alors, le point T est dans le plan (MNP). D’autre part, le point
T est dans le plan (CDG) et finalement le point T est un deuxième point de (∆).
• Ainsi, les plans (MNP) et (CDG) sont sécants en la droite (PT ).
Construisons maintenant l’intersection des plans (MNP) et (ABF).
Les plans (CDG) et (ABF) sont parallèles. Le plan (MNP) est donc sécant au plan (ABF) en une droite parallèle à
(PT ). D’autre part, le point Q appartient à la droite (LN) et donc au plan (MNP). Le point Q est ainsi un point
commun aux plans (MNP) et (ABF). Finalement, le plan (MNP) coupe le plan (ABF) en la parallèle à (PT ) passant
par Q. On en déduit la construction :
http ://www.maths-france.fr
2
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
P
G
+
H
+
M
T
F
E
+
+
R
N
D
C
Q
A
B
3) Le plan (MNP) coupe la face EFH selon le segment [MP], la face CDG selon le segment [PT ], la face BCG selon le
segment [TQ], la face ABF selon le segment [QR] et donc la face ADH selon le segment [RM].
P
G
+
H
+
+
M
F
E
T
+
+
R
D
N
+
C
A
Q
B
et si on enlève le haut :
http ://www.maths-france.fr
3
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
H
P
M
T
R
N
D
C
Q
A
B
Partie B
"
!
"
!
1
1 1
. Le point P a pour coordonnées
1) Le point M a pour coordonnées 0, , 1 . Le point N a pour coordonnées 1, ,
2
2 2
!
"
1
, 1, 1 .
4
2) Le point L est dans le plan (EFG) d’équation z = 1 et dans le plan (BCF) d’équation x = 1. Les coordonnées de L
sont de la forme (1, y, 1).
!
"
!
"
−−→
−−→
1 1
1
Le vecteur MP a pour coordonnées
, , 0 et le vecteur ML a pour coordonnées 1, y − , 0 .
4 2
2
1
y−
−−→ −−→
2 = 1 et donc y − 1 = 2 puis y = 5 .
Les vecteurs MP et ML sont colinéaires. Ceci impose
1
1/4
2
2
2
!
"
5
Le point L a pour coordonnées 1, , 1 .
2
"
!
"
!
−
→
3
3
1 1
et le vecteur PT a pour coordonnées
, 0, − .
0, ,
2 8
4
8
"
!
−→ −
→
3 1
1
3
3
NT .PT = 0 × + × 0 + × −
=− .
4 2
8
8
64
−→ −
→
−→ −
→
Puisque TN.TP ̸= 0, les vecteurs TN et TP ne sont pas orthogonaux ou encore
−→
3) Le vecteur NT a pour coordonnées
le triangle TPN n’est pas rectangle en T .
http ://www.maths-france.fr
4
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝

Download Report