M´ethodologie – GMP1 ´ Etude statique – Tire-bouchon ´ Etude statique du tire–bouchon On s’int´eresse ` a l’aspect statique du m´ecanisme repr´esent´e en projection orthogonale sur la figure 1. Le tire–bouchon r´eel est propos´e en photo sur la figure 2. Figure 2 – Photo du tire–bouchon brevet´e Figure 1 – Mod´elisation du tire–bouchon On admet que les liaisons en A, B, C, D, E, F, G, H et I sont des liaisons pivot d’axe ~z. La base (~x, ~y , ~z) est orthonorm´ee directe, et le probl`eme est suppos´e plan (ce qui est une hypoth`ese simplificatrice, car le tire–bouchon n’est pas compl`etement sym´etrique vis-`a-vis du plan (O, ~x, ~y ) par exemple). On suppose que le tire–bouchon est en phase d’utilisation classique ; le couvercle 9 est alors en liaison rotule de centre suppos´e J avec le goulot de la bouteille, qui constituera dans notre ´etude le ”bˆ ati” fixe. La vis 7 est en liaison encastrement en K avec le bouchon 1 suppos´e li´e compl´etement ` a la bouteille. D`es lors, l’analyse du tire–bouchon isol´e donne les actions m´ecaniques ext´erieures suivantes : – action de l’utilisateur, localis´ee en M, r´eduite `a une r´esultante des forces F~ = F · ~y , verticale, positive, de norme F = 600N (impos´ee par le cahier des charges, la s´ecurit´e ´etant incluse dans cette valeur) ; – r´ eaction du goulot sur le couvercle, caract´eris´ee par un torseur exprim´e en J, repr´esentatif d’une liaison rotule de centre J, dont les composantes non nulles sont inconnues au d´epart de l’´etude ; – r´ eaction du bouchon sur la vis, caract´eris´ee par une unique force verticale, ~ = −G · ~y , avec G > 0 et G effort inconnu. n´egative, not´ee G L’action de la pesanteur est n´eglig´ee devant les efforts mis en jeu (poids du m´ecanisme `a pr´eciser ` a la fin de l’´etude). On rep`ere la position du m´ecanisme `a l’aide du param`etre ind´ependant α qui varie de 20 `a 70 degr´es. L’objectif est de d´eterminer l’´evolution de l’effort transmis au bouchon en fonction de l’ouverture du tire–bouchon, pour un effort constant F de traction, afin de v´erifier l’utilit´e d’un tel syst`eme. Analyse g´ eom´ etrique L’´equation de fermeture g´eom´etrique sur la figure OACE permet d’´ecrire la relation −→ −→ −−→ −−→ suivante (On part de la relation OA + AC + CE + EO = ~0 que l’on projete sur l’axe ~x) : cosβ = 5 + 62 · cosα 66 (1) De mˆeme, l’´equation de fermeture g´eom´etrique sur la figure EFHJ fournit la relation : cosγ = 43 · cosβ − 21 21 (2) Analyse statique Les r´esultats principaux sont sch´ematis´es sur la figure 3. L’isolement du tire–bouchon dans son ensemble indique que celui–ci est soumis `a trois glisseurs, r´eduits `a des forces. Pour deux des glisseurs (actions en M et en K, verticales), les directions des r´esultantes sont connues et parall` eles, par cons´equent le troisi`eme glisseur admet un vecteur r´esul~ = R · ~y , avec l’´equation d’´equilibre en projection tante purement vertical en J, not´e R sur l’axe ~y : F −G+R = 0 (3) Ensuite, l’´equilibre d’une biellette indique qu’elle est soumise `a deux r´esultantes coplanaires. L’´equilibre est possible si les efforts sont ´egaux, oppos´es et port´es par le mˆeme support, soit : ~ 87→2 = C ~ 37→2 A (4) 2 Par ailleurs, en isolant l’ensemble levier, il vient : ~ 27→8 + B ~ 17→8 = ~0 F~ + A (5) ce qui indique que les normes des r´esultantes en A et B sont identiques (ce qui se d´eduit aussi par sym´etrie) ; on peut alors d´efinir l’effort normal sur la poutre constitu´ee par la biellette 2 selon : F ~ 87→2 k = N2 = kA (6) 2 · sinα L’effort normal est positif car la poutre est sollicit´ee en traction. En outre, avec le vecteur directeur de la biellette 2 selon la direction CA : −→ CA (7) ~n = −→ kCAk on obtient : ~ 87→2 = N2 · ~n A ~ 37→2 = −N2 · ~n C (8) (9) De la mˆeme fa¸con, l’´etude de l’´equilibre du couvercle 9 puis d’une chape (par exemple 5) conduit aux relations : −→ IG (10) ~n = −→ kIGk ~ 37→5 = N5 · m G ~ (11) I~97→5 = −N5 · m ~ (12) avec l’effort normal n´egatif sur la ”poutre” 5, la chape ´etant sollicit´ee en compression, d´efini par : N5 = − R 2 · sinγ (13) L’effort en E sur chaque levier n’est pas `a d´efinir (effort interne), il pourrait se d´eduire lors de l’´etude des ´el´ements de r´eduction du torseur de coh´esion sur chaque levier. Une ´etude de l’´equilibre de la vis et des deux leviers (ou mieux : d’un seul levier) conduit finalement ` a la relation suivante (si, si : il faut ´ecrire la bonne ´equation de moment :) `a tester) pour l’effort G sur la vis et la r´eaction R du goulot : 66 cosβ + cotanα · sinβ · ·F (14) G= 1+ 43 cosβ + cotanγ · sinβ 66 cosβ + cotanα · sinβ · ·F (15) R= 43 cosβ + cotanγ · sinβ Les r´esultats principaux sont sch´ematis´es sur la figure 3. 3 Pour ceux qui sont courageux : la relation (ou loi) entr´ee–sortie du m´ecanisme ainsi constitu´e peut–ˆetre d´etermin´ee ` a l’aide d’une ´etude cin´ematique. En effet, si on suppose qu’aucune perte n’existe entre l’entr´ee (action de l’utilisateur en M) et la sortie (action de la vis sur le bouchon en K), alors la puissance fournie Pe en entr´ee doit ´egaler la puissance utile en sortie Ps (vous connaissez cette relation sous la forme du travail d’une force, ici c’est la puissance qui est consid´er´ee, soit un travail divis´e par une variation de temps), soit : ~M .F~ = VM .F Pe = V ~K .G ~ = −VK .G Ps = V (16) (17) car la vitesse du point M (vitesse absolue) est purement verticale et ascendante donc VM > 0, alors que celle de K est descendante donc VK < 0. Par cons´equent, le rapport des efforts est inversement proportionnel au rapport des vitesses (ou des d´ eplacements) des points M et K, soit : VM G =− F VK (18) Autrement dit, si le point M a une amplitude de d´eplacement plus ´elev´ee que le point K, alors la d´emultiplication de l’effort est assur´ee. Ainsi, on peut quantifier cette d´emultiplication ` a l’aide d’une analyse en cin´ematique graphique : on trace le vecteur vitesse (de longueur au choix) pour le point M (donn´ee d’entr´ee), et on en d´eduit celui de K (en quelques minutes) ... Ou encore : on r´ealise un assemblage sous Solidworks des pi`eces, mˆeme dessin´ees tr`es rapidement (ce qui compte ´etant uniquement les cotes AC, CE, EG et GI) et on regarde le rapport des d´eplacements entre les points M et E (plus simple)... Bravo ` a ceux qui ont lu et travaill´ e le document jusqu’au bout. 4 N2 · ~ n biellette 2 A α C −N2 · ~ n N2 · ~ n C β −N5 · m ~ E levier 3 G β+γ G N5 · m ~ I chape 5 −N5 · m ~ Figure 3 – Analyse des efforts sur les pi`eces principales du tire–bouchon (hypoth`eses N2 > 0 et N5 < 0) 5
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