modulo
I
Elettromagnetismo
unità
1
Elettrostatica
2
Conduzione elettrica
3
Magnetostatica
4
Fenomeni di induzione
5
Campo elettromagnetico
unità
I1
Elettrostatica
U
n fenomeno inspiegabile secondo la
teoria gravitazionale appare quando
dell’ambra, dopo essere stata strofinata con un
panno, attira minuscoli pezzi di foglie secche o
polvere, vincendo la forza peso.
prerequisiti





forza
campo di forza e linee di forza
campo di forza conservativo
ed energia potenziale
flusso vettoriale
campo gravitazionale
1.1 Carica elettrica
Caratteristica intrinseca delle particelle atomiche.
1.2 Forza elettrica
Interazione attrattiva e repulsiva tra cariche elettriche.
1.3 Campo elettrico
Campo di forza generato da cariche elettriche.
1.4 Energia e potenziale elettrici
Conseguenze del campo elettrico conservativo.
1.5 Teorema di Gauss per il flusso del campo elettrico
Semplice strumento analitico per la determinazione del campo elettrico.
1.6 Distribuzioni continue e uniformi di carica elettrica
Solidi di varie forme caricati elettricamente.
1.7 Capacità elettrica e condensatore
Caratteristica intrinseca dei conduttori e dei sistemi di conduttori.
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
1.1
Carica elettrica
L’attrazione di frammenti di carta da parte di una bacchetta di
plastica strofinata con un panno di lana è tra i più comuni fenomeni della Fisica (fig. 1.1). Si spiega introducendo il concetto di
carica elettrica, proprietà posseduta dalle particelle protone ed
elettrone contenute nell’atomo.
 Cariche elettriche elementari nell’atomo
L’atomo - “cellula” componente la materia - ha una struttura simile a un microscopico sistema planetario (fig. 1.2). Il nucleo (il Sole) in posizione centrale
è costituito da due tipi di particelle: protoni e neutroni. Intorno al nucleo
ruotano le particelle elettroni (i pianeti orbitanti).
Figura 1.1
Stampa d’epoca del classico fenomeno dell'attrazione elettrica.
Il protone e l’elettrone posseggono
una caratteristica intrinseca, definita
carica elettrica. Esistono due tipi di
carica elettrica, quella del protone,
classificata positiva, e quella dell’elettrone, classificata negativa.
La carica elettrica è una grandezza
fisica scalare solitamente indicata con
lettere Q o q. La quantità di carica o
intensità di carica posseduta dagli
elettroni e dai protoni è dunque misurabile. Nel sistema SI l’unità di misura
della carica elettrica è il coulomb
(simbolo C).
Figura 1.2
Modello planetario dell’atomo con
evidenziati la carica elettrica positiva dei protoni e la carica elettrica
negativa degli elettroni.
neutroni
protoni
elettrone
La misura della carica elettrica è composta dal valore assoluto dell’intensità,
espresso in coulomb, preceduto dal segno di carica: simbolo + se positiva1,
simbolo – se negativa.
L’elettrone e il protone sono le cariche elettriche elementari, cioè quelle con
l’intensità di carica più piccola presente in natura. Il loro valore assoluto è pari a
1, 6 1019 C
Quindi l’elettrone ha carica elettrica
q p   1, 6 1019 C .
qe   1, 6 1019 C e il protone
 Caratteristiche generali delle cariche elettriche
In generale le cariche elettriche sono composte da agglomerati di cariche elementari, dove l’intensità in coulomb è ovviamente un multiplo di 1,6 10-19. Per
1
Solitamente il segno + della carica positiva è omesso.
874
875
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
esempio una carica elettrica di - 1 C è formata da un agglomerato di
1 C
 0, 625 1019 elettroni
19
1, 6 10 C
un numero elevatissimo di cariche elementari. Solitamente le cariche elettriche sono formate da un numero inferiore di elettroni o protoni: è quindi
preferibile utilizzare come unità di misura sotto multipli del coulomb, come
il micro-coulomb (1 C = 10-6 C), il nanocoulomb (1 nC = 10-9 C) e il picocoulomb (1 pC = 10-12 C).
Riassumendo
qualsiasi carica elettrica è formata da una o più cariche elettriche elementari
del medesimo segno di carica.
Figura 1.3
Esempi di rappresentazione grafica delle cariche elettriche.
In figura 1.3 le rappresentazioni grafiche delle cariche elettriche generalmente adottate. La singola carica
elettrica, anche se composta da un
numero elevatissimo di cariche elementari, è comunque rappresentata
da un punto (come se fosse un punto
materiale) o dal simbolo del segno di
carica (a volte anche cerchiato).
Carica positiva
Carica negativa
+q
-q
+Q
-Q
++++
---
Interazione elettrica tra cariche
La distinzione tra carica elettrica positiva e negativa appare con fenomeni di
reciproca attrazione e repulsione. In particolare
Figura 1.4
Interazione tra cariche elettriche:
(a) repulsione tra cariche con
segno uguale; (b) attrazione tra
cariche con segno opposto.


cariche di segno uguale, cioè due
cariche positive o negative, si
respingono: su ciascuna carica agisce una forza repulsiva che l’allontana dall’altra (fig. 1.4a);
a
cariche di segno opposto, cioè una
carica positiva e una negativa, si
attraggono: su ciascuna carica agisce una forza attrattiva che l’avvicina all’altra (fig. 1.4b).
b
Le caratteristiche vettoriali di queste forze attrattive e repulsive, denominate
elettriche, saranno presentate nel prossimo paragrafo.
Mobilità delle cariche nei corpi
All’interno dell'atomo, gli elettroni più lontani dal nucleo, definiti elettroni di
conduzione, sono debolmente influenzati dalla forza attrattiva dei protoni e
riescono a muoversi da un atomo all’altro più o meno facilmente. Rispetto alla
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
mobilità degli elettroni di conduzione, i materiali si classificano nelle seguenti
due classi:


isolanti: materiali con elettroni di conduzione intensamente attratti dai
protoni; esempi di isolanti sono la plastica, il legno, il vetro, la ceramica.
conduttori: materiali con elettroni di conduzione debolmente attratti dai
protoni, che perciò scorrono facilmente tra gli atomi con elevata mobilità;
esempi di conduttori sono i metalli come rame, argento, oro.
 Elettrizzazione di un corpo
In condizioni normali, gli atomi di un corpo hanno lo stesso numero di protoni
e di elettroni, e quindi la carica negativa totale degli elettroni è bilanciata da
quella totale positiva dei protoni.
Gli atomi sono in grado di acquisire o cedere elettroni da/ad altri atomi rompendo la loro neutralità rispetto alla carica e, di conseguenza, anche quella
del corpo. Se il corpo perde n elettroni, assume carica positiva, perché si
trova con le n cariche positive dei protoni non più bilanciate; se acquista n
elettroni, assume carica negativa, perché mancano le n cariche positive dei
protoni di bilanciamento.
Riassumendo,
un corpo è definito neutro quando è in equilibrio rispetto alla carica elettrica; è definito carico, o elettrizzato, quando si arricchisce o si impoverisce di
elettroni.
A questo punto andiamo a descrivere i modi per elettrizzare un corpo neutro
prendendo come modello una coppia di bacchette di materiale isolante o conduttore, riproducendo il primo esperimento condotto dallo scienziato statunitense Franklin (fig. 1.5).
Elettrizzazione di un isolante
Una bacchetta isolante neutra si elettrizza strofinandola con un panno morbido. Lo strofinio comporta un trasferimento di elettroni dall’isolante al panno
o viceversa, provocando uno squilibrio di carica nei due oggetti. Si verifica
sperimentalmente l’attrazione tra due bacchette isolanti, una di plastica strofinata con lana e l’altra di vetro strofinata con seta; si verifica invece una repulsione se si avvicinano due bacchette dello stesso materiale (fig. 1.6). Inoltre,
qualsiasi altro isolante elettrizzato, se attratto dal vetro (dalla plastica) a sua
volta respinto dalla plastica (dal vetro). Il verificarsi di questi due soli comportamenti porta a ipotizzare l’esistenza di due tipi di carica elettrica coinvolta
nello strofinio tra isolante e panno. A riguardo, si impone in modo arbitrario
che l’elettrizzazione:


vetro con seta trasferisca elettroni dal vetro alla seta e dunque l’isolante
perda elettroni e si carichi positivamente;
plastica con lana trasferisca elettroni della lana alla plastica e dunque l’isolante acquisti elettroni e si carichi negativamente.
Figura 1.5
Benjamin Franklin (Boston 1706,
Filadelfia 1790).
876
877
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
Figura 1.6
Coppia di isolanti elettrizzati con
strofinio; l’interazione si manifesta
in una torsione del filo a cui è
appesa una delle due bacchette:
(a) attrazione; (b) repulsione.
bacchetta
di vetro
bacchette
di vetro
bacchetta
di plastica
a
b
Nell’approfondimento dedicato ai dielettrici vedremo come un isolante riesce
ad attrarre minuscoli pezzi di materiali non elettrizzati (fig. 1.1).
Elettrizzazione di un conduttore
Un corpo conduttore su può elettrizzare nei seguenti due modi:

Figura 1.7
Elettrizzazione di un conduttore
per contatto: si carica arricchendo
o impoverendo di cariche negative
tutta la sua estensione.
per contatto: ipotizziamo di toccare una bacchetta di materiale conduttore
(ad esempio di rame), elettricamente neutro, con una bacchetta di materiale
isolante (ad esempio di vetro), carica positivamente, quindi in difetto di elettroni (fig. 1.7a). Gli elettroni molto mobili del conduttore si trasferiscono
nella bacchetta isolante per rimpiazzare gli elettroni mancanti. Il conduttore
a sua volta perde elettroni e si carica positivamente (fig. 1.7b). Allontanato
l’isolante elettrizzante, il conduttore rimane carico positivamente (fig. 1.7c).
Se invece la bacchetta isolante è carica negativamente, gli elettroni in eccesso, liberi di muoversi, si trasferiscono facilmente nel conduttore arricchendolo di elettroni e dunque di cariche negative. In questo caso, allontanando
l’isolante elettrizzante, il conduttore rimane carico negativamente.
bacchetta
di rame
bacchetta
di vetro
a
b

c
per induzione: ipotizziamo di avvicinare la bacchetta di isolante carico
positivamente alla bacchetta di conduttore neutro senza toccarla (fig. 1.8a).
Per attrazione, all’estremità del conduttore vicina all’isolante si addensano
cariche negative, lasciando l’estremità opposta povera di elettroni e dunque
carica positivamente (fig. 1.8b). In altri termini, si rompe la distribuzione
uniforme di carica del conduttore. Allontanato l’isolante elettrizzante, gli
elettroni nel conduttore ritornano a ridistribuirsi in modo uniforme in tutto
il conduttore riportandolo in condizione neutra. Processo analogo se l’isolante elettrizzante è negativo.
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
Figura 1.8
Elettrizzazione di un conduttore
per induzione.
bacchetta
di rame
bacchetta
di vetro
a
b
Riassumendo
l’elettrizzazione per contatto carica in modo permanente e con il medesimo
segno tutto il conduttore, quella per induzione carica in modo temporaneo
separando le cariche di segno opposte in due zone diverse.
 Elettrostatica
Questa unità è dedicata all’Elettrostatica, parte della Fisica dedicata ai fenomeni
provocati da cariche elettriche con intensità e posizione nello spazio costanti nel
tempo. Se non diversamente specificato (par. 1.6), considereremo cariche elettriche puntiformi, cioè di dimensioni trascurabili rispetto alle reciproche distanze.
La forza elettrica presenta parecchie analogie con quella gravitazionale.
1.2
Forza elettrica
Il processo di attrazione e repulsione elettrica tra cariche è descritto dal vettore
forza elettrica. Consideriamo in figura 1.9 due cariche elettriche puntiformi
collocate nel vuoto a una certa reciproca distanza.
QB
QA
u
FBsuA
r
a
QB
QA
FBsuA
b
r
FAsuB
u
FAsuB
r
r
Figura 1.9
(a) Attrazione tra due cariche
elettriche di segno opposto; se
hanno medesima intensità in coulomb, la coppia è definita dipolo
elettrico. (b) Repulsione tra due
cariche elettriche di segno uguale
(in questo caso sono entrambe
positive).
878
879
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
Figura 1.10
Charles Coulomb (Angulem 1736,
Paris 1806).
Il modulo della forza elettrica è definito dalla seguente legge di Coulomb (fig.
1.10) dedotta sperimentalmente con l'aiuto di un pendolo di torsione (fig. 1.11).
Tra due cariche elettriche si manifesta una coppia di forze di attrazione, o di
repulsione, aventi modulo F direttamente proporzionale al prodotto dei valori
assoluti delle cariche Q A e QB , e inversamente proporzionale al quadrato
della reciproca distanza r, cioè
FK
QA QB
(1.1a)
r2
La costante K ha valore e unità di misura
K
1
4  0
 8,99 109
Nm 2
C2
(1.1b)
e il parametro ε0, definito costante dielettrica del vuoto, ha valore e unità di
misura
 0  8,85 1012
B
C2
Nm 2
(1.1c)
A
Figura 1.11
Modello del pendolo di torsione
impiegato da Coulomb per enunciare la sua legge. Le piccole
sfere, a (mobile) e b (fissa), sono
caricate elettricamente; la forza
elettrica agente sulla sferetta a
tende a torcere il filo di sospensione di un certo angolo θ. Dalla
misura di θ si determina l’intensità
della forza elettrica. Lo strumento
è molto simile a quello impiegato
da Cavendish per la misura della
costante di gravitazione universale (vedere approfondimento,
unità D5).
Le direzioni delle due forze elettriche sono parallele alla retta congiungente
le cariche, e il verso della forza agente sulla singola carica è rivolto (opposto)
all’altra carica se le cariche sono di segno diverso (uguale). Infatti, l’interazione elettrica fra due cariche compare sempre come una coppia di forze
attrattive o repulsive, secondo il terzo principio della dinamica. A riguardo,
consideriamo l’asse cartesiano r con versore u di figura 1.9 e usiamo le notazioni (1.8) dell’unità D1 per distinguere i seguenti due casi.

Cariche con segno opposto (fig. 1.9a)
Su QB agisce la forza attrattiva causata da QA
FAsuB   F u
e su QA agisce la forza attrattiva causata da QB
FBsuA  F u
con il modulo F dato dalla (1.1a). Quindi le due forze attrattive agiscono su
cariche diverse e sono tra loro opposte, cioè
FBsuA  FAsuB

Cariche con segno uguale (fig. 1.9b)
Su QB agisce la forza repulsiva causata da QA
FAsuB  F u
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
e su QA agisce la forza repulsiva causata da QB
FBsuA   F u
con il modulo F dato dalla (1.1a). Quindi le due forze repulsive agiscono su
cariche diverse e sono tra loro opposte, cioè
FBsuA  FAsuB
Confrontando la (1.1a) con la (5.1) dell’unità D5 osserviamo una significativa
analogia tra la legge di Coulomb e quella di gravitazione universale: in entrambe, le forze sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza, con
la carica elettrica che svolge la medesima funzione della massa nella legge di
gravitazione. Differenze appaiono nella tipologia della forza, solo attrattiva
in quella gravitazionale, e nella maggiore intensità di quella elettrica (vedere
problema svolto 1.2).
Problema svolto 1.1
Due cariche puntiformi q1 = 4,0 C e q2 = 10 C sono poste nel vuoto a una
distanza r = 60 cm. Calcolare il modulo della forza elettrica.
La forza elettrica ha modulo dato dalla legge di Coulomb (1.1)
2
6
6
q1q2 
9 N m  (4, 0  10 C)(10  10 C)
 1, 0 N
F  K 2   8,99 10

r
C2 
(0, 60 m) 2

La forza è repulsiva, in quanto le cariche sono entrambe positive.
Problema svolto 1.2
Nell’atomo di idrogeno il protone e l’elettrone sono a una distanza
approssimativamente di r = 1,0 · 10-10 m. Calcolare l’intensità della forza
elettrica e di quella gravitazionale tra le due particelle.
Dalla legge di Coulomb (1.1), l’intensità della forza elettrica, in questo caso
attrattiva, tra le due particelle è
Fe  K
qe q p
r2

N m 2  (1, 6 1019 C) 2
  8,99 109
 2,3 108 N
2 
10
2
C  (1, 0 10 m)

(qe è in valore assoluto perché ha segno negativo).
Calcoliamo l’intensità della forza di attrazione gravitazionale con la (5.1)
dell’unità D5, ricordando la massa dell’elettrone me = 9,11 · 10-31 kg e quella del
protone mp = 1,67 · 10-27 kg
Fg  G
me m p
r2
 1, 0 1047 N

N m 2  (9,111031 kg)(1, 67 1027 kg)
  6, 67 1011


kg 2 
(1, 0 1010 m) 2

880
881
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
Il rapporto Fg/Fe è dell’ordine di 10-40, quindi la forza gravitazionale tra particelle atomiche è trascurabile rispetto a quella elettrica.
La forza gravitazionale risulta invece essere più intensa di quella elettrica su
scala astronomica, dove le masse dei corpi coinvolti sono enormi.
Sovrapposizione degli effetti
Figura 1.12
Le forze elettriche F1 e F2, esercitate rispettivamente da Q1 e Q2,
agiscono su Q. La carica si allontana a causa della forza elettrica
totale dedotta dalla somma vettoriale F = F1 + F2 svolta con il
metodo del parallelogramma.
Anche per le forze elettriche è valido
il principio di sovrapposizione degli
effetti introdotto per quelle gravitazionali (vedere fig. 5.2, unità D5).
Consideriamo un sistema di N cariche
elettriche nel vuoto: la forza elettrica
esercitata sull’i-esima carica elettrica
è la somma vettoriale delle forze elettriche che ogni singola carica elettrica
eserciterebbe in assenza delle altre
cariche. In figura 1.12 un esempio di
forza elettrica repulsiva su una carica
causata da altre due cariche.
F
F2
F1
Q
Q1
Q2
Problema svolto 1.3
In figura 1.13, due cariche q1 = q2 = q = 10 nC sono poste rispettivamente
nei punti A (0; 1,0 cm) e B (0; -1,0 cm) e una carica q3 = 2q nel punto
C (1,0 cm; 0). Calcolare il modulo, la direzione e il verso della forza F3
esercitata dalle prime due cariche sulla terza.
Figura 1.13
y
q1
y
q1
A
F23
A
d
q3
q3
O
q2
C
O
x
q2
B
a
C
B
x
F13
b
Applichiamo il teorema di Pitagora per determinare la distanza d delle cariche
q1 e q2 dalla carica q3:
d  AO 2  OC 2  (1, 0 cm) 2  (1, 0 cm) 2  2 cm .
Poiché le cariche sono tutte positive, la forza F13 che la carica q1 esercita su q3
ha modulo F13  K
q1q3
2q 2

K
e la forza F23 che la carica q2 esercita su q3
d2
d2
ha lo stesso modulo di F13; le direzioni sono mostrate in figura.
Esplicitiamo i due vettori forza secondo le componenti vettoriali:
F13   F13  x i   F13  y j
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
F23   F23  x i   F23  y j
Per il principio di sovrapposizione, la forza F3 è la somma vettoriale delle forze
F13 e F23. Poiché
 F13  x   F23  x  F13 cos 45 
2
F13 e  F13  y    F23  y ,
2
la forza risultante su q3 è
F3  F13  F23   F13  x   F23  x  i 


2 F13 i  K
2 2q 2
i
d2
Quindi, la forza F3 ha direzione e verso coincidente con quelle dell’asse x, e
modulo

N m 2  2 2(10 109 ) 2 C2
 1,3 102 N
F3   8,99 109
2 
2 2
2
C

 ( 2 10 ) m
L’esistenza di due tipi di cariche elettriche rende il campo elettrico leggermente più
complesso di quello gravitazionale.
1.3
Campo elettrico
Trattiamo l’interazione elettrica, descritta dalla legge di Coulomb, come effetto
di un campo di forze generato dalla carica elettrica (par. 3.5, unità A3).
La carica elettrica perturba lo spazio circostante con un campo di forze definito elettrico.
In figura 1.14 il modello adottato per analizzare il campo elettrico: nell’origine
del sistema di riferimento, una carica sorgente Q fissa, generatrice del campo;
a una generica distanza r, una carica esploratrice positiva q, che con il suo
moto rileva il potere attrattivo o repulsivo della carica sorgente.
Per descrivere in modo completo il campo elettrico (come del resto un qualsiasi campo di forze) definiamo la forza caratterizzante, le linee del campo e, se
il campo è conservativo, l’energia potenziale.
P
E
q
d
E
Q
Q
u
a
u
r
b
r
P
q
d
Figura 1.14
Campo rilevato dalla carica esploratrice positiva q in P. (a) vettore
campo elettrico applicato in P per
Q positiva; (b) vettore campo
elettrico applicato in P per Q
negativa.
882
883
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
 Vettore campo elettrico
In figura 1.14 la carica sorgente Q è positiva; dalla legge di Coulomb una forza
elettrica repulsiva agisce sulla carica esploratrice q, data dall’espressione vettoriale
FQsuq  K
Qq
u
r2
(1.2)
Osserviamo come la carica q influisca sull’intensità di F , ostacolando l’obiettivo di studiare esclusivamente il campo generato dalla carica Q. Per eliminare
il “disturbo” dividiamo la (1.2) per q, ottenendo l’effettiva perturbazione di Q
attraverso il campo elettrico in un punto P a distanza r. Quindi
E
FQsuq
q
K
Q
u
r2
(1.3)
dove E è definito vettore campo elettrico. L’unità della misura del modulo
del vettore campo elettrico, nel sistema SI, è coulomb su metro al quadrato (in
simboli C m-2).
Riassumendo
la perturbazione provocata dal campo elettrico generato da una carica elettrica Q a una distanza r è definita dal vettore campo elettrico
EK
Q
u
r2
(1.4a)
dove il vettore E è concorde con il versore u se la carica sorgente Q è positiva
fig. 1.14b) ed è discorde se Q è negativa (fig. 1.14c); naturalmente la direzione
di E è sempre parallela alla congiungente tra Q e il punto P, e l’intensità
EK
Q
r2
(1.4b)
è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra Q e P.
Relazione tra campo e forza elettrici
Nella (1.3), il rapporto E  FQsuq q offre le seguenti due possibilità operative.
Se si conosce la forza elettrica F applicata a una carica elettrica q è possibile
determinare il campo elettrico E in cui è immersa la carica, eseguendo il rapporto
E
F
q
(1.5a)
dove il modulo del vettore campo è E  F q .
Se, invece, si conosce il campo elettrico E in un punto dello spazio, è possibile
determinare la forza elettrica F a cui sarebbe soggetta una carica q collocata
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
nel medesimo punto, eseguendo il prodotto
Fq E
(1.5b)
dove il modulo della forza è F  q E . Nelle (1.5), il segno della carica q
impone i reciproci versi di E ed F; per questo i rispettivi moduli devono essere
definiti con q in valore assoluto.
Infine, anche per il vettore E è valido il principio di sovrapposizione degli
effetti, enunciato per le forze elettriche: dato un sistema di N cariche elettriche,
il campo elettrico in un punto dello spazio è la somma vettoriale dei campi
elettrici che ogni singola carica produrrebbe nel medesimo punto in assenza
delle altre cariche.
Problema svolto 1.4
Una carica puntiforme q1 = 2,5 C è ferma in un punto nel vuoto. Una
seconda carica q2 = 1,0 nC di massa m2 = 0,20 g è alla distanza d = 1,0 m
dalla prima e, lasciata libera, inizia a muoversi con un’accelerazione a.
Calcolare il modulo di a. La carica q2 si avvicina o si allontana da q1?
La carica q2 si muove di moto accelerato perché su di essa agisce la forza elettrica
F  q2 E
(1)
dove E è il campo elettrico generato dalla carica q1 a distanza d, con modulo
EK
q1
.
d2
Applichiamo l’equazione di Newton
con la (1)
F  m2 a (1.5c, unità D1) e sostituiamo
q2 E  m2 a
(2)
Trasformiamo in modulo i vettori della (2) e isoliamo l’accelerazione a
a
q2 E

m2
K
q1q2
d2
m2
Sostituiamo i valori del problema e otteniamo
2
6
9

9 Nm  (2,5  10 C)(1, 0  10 C)

8,99
10


C2 
(1, 0 m) 2
m

 0,11 2
a
3
2
(0, 20 10 kg)
s
La carica q2 si allontana da q1 con accelerazione a, poiché la forza elettrica tra
le due cariche positive è repulsiva.
884
885
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
Problema svolto 1.5
Figura 1.15
In figura 1.15, due cariche puntiformi q1 = 10 nC e q2 = 20 nC distano
r = 1,0 cm. Determinare in quale
punto tra le due cariche il campo
elettrico totale risulta nullo.
q1
q2
P
x
r-x
r
Per il principio di sovrapposizione, il campo elettrico generato dalle due cariche in un punto è la somma vettoriale dei singoli campi elettrici.
La carica q1 è positiva e il vettore del suo campo elettrico E1, in un punto qualsiasi P, ha verso rivolto a destra con modulo
E1  K
q1
x2
(1)
La carica q2 è positiva e il vettore del suo campo elettrico E2, in P ha verso
rivolto a sinistra con modulo
E2  k
q2
(r  x) 2
(2)
Il campo elettrico risultante è nullo quando E1 = E2: quindi uguagliando la (1)
e la (2)
q1
q2

2
x
(r  x) 2
(3)
dove x è la distanza incognita del problema. Andiamo a determinarla dalla (3)
2
q1
 x 

 
q2
rx
q
x
 1
rx
q2
(4)
Essendo il membro a destra positivo, la soluzione negativa non è accettabile.
Quindi la soluzione del problema è
x
q1
q1  q2
r
10 109 C
10 109 C  20 109 C
1, 0 cm  0,41 cm
 Linee del campo elettrico
In generale, le linee di un campo di forza visualizzano in modo immediato
le caratteristiche del campo, e la loro densità nello spazio quantifica l’intensità del campo (par. 3.5, unità A3). Analizziamo le linee del campo elettrico.
Immaginiamo di determinare, punto per punto, intorno alla carica sorgente Q
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
di figura 1.14b, il modulo, la direzione e il verso del vettore E tramite la (1.4);
le linee del campo sono quindi tracciate in modo che in ogni punto, il vettore E
sia tangente. In figura 1.16 le linee del campo per la carica sorgente positiva e
negativa. In entrambi i casi la direzione delle linee di forza è radiale come per
il campo gravitazionale; il verso delle linee è invece concorde con quello di E:
prendendo quindi come riferimento le figure 1.14 b e c abbiamo verso rivolto
all’esterno (interno) per la carica positiva (negativa).
Figura 1.16
Linee di forza del campo elettrico
generato da una singola carica
elettrica: (a) carica positiva; (b)
carica negativa.
E
E
a
b
Linee del campo elettrico per un sistema di cariche
In figura 1.17 si possono osservare le linee del campo elettrico generato da due
cariche elettriche con uguale valore assoluto di carica. Le linee del campo sono
costruite applicando in ogni punto dello spazio il vettore E1 provocato da Q1
e il vettore E2 provocato da Q2, entrambi determinati con la (1.4). Quindi, per
il principio di sovrapposizione degli effetti, si esegue la somma vettoriale tra i
due vettori per determinare in ogni punto il vettore totale E. Infine, si tracciano le linee del campo imponendo i vettori E sempre tangenti in ogni punto. È
prevedibile aspettarsi linee di forza con forma e versi differenti per coppie di
cariche elettriche di segno opposto (fig. 1.17a) e uguale (fig. 1.17b). La simmetria delle linee è dovuta all’uguaglianza dell’intensità delle cariche Q1 e Q2.
Figura 1.17
Linee del campo elettrico generato da una coppia di cariche di
uguale intensità: (a) cariche di
segno opposto (dipolo elettrico);
(b) cariche di segno uguale.
E
E
a
b
886
887
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
In generale, in presenza di due o più cariche, le linee di forza partono sempre
dalle cariche positive e terminano in quelle negative, e la loro forma è influenzata dall’intensità delle cariche (fig. 1.18).
Figura 1.18
Linee del campo elettrico generato da un sistema composto da tre
cariche di intensità diversa.
3Q
-3
3Q
+3
+1 Q
Q
+1
 Campo elettrico conservativo
Dal paragrafo 2.2 dell’unità D2, un campo è conservativo se la relativa forza è
conservativa, cioè se il lavoro compiuto non dipende dal percorso ma solo dalla
sua posizione iniziale e finale o, in modo equivalente, il lavoro compiuto su un
percorso chiuso è nullo.
Dimostriamo la conservatività della forza elettrica. In figura 1.19 ipotizziamo
un campo elettrico generato da una carica sorgente Q positiva e una carica
negativa q a una distanza r. Il lavoro compiuto dalla forza elettrica FQsuq tra la
generica posizione iniziale I, distante rI da Q, alla generica posizione finale F,
distante rF, è
LI  F  FQsuq  s  K
Figura 1.19
La forza elettrica è conservativa: il
lavoro compiuto non dipende dal
percorso scelto, sia esso quello
radiale a o uno generico b.
Qq
Qq
K
rI
rF
I
a
F
s
(1.6)
r
-q
FQsuq
Q
u
b
La (1.6) si dimostra con il calcolo integrale che non svolgiamo. Importante è
invece osservare come il percorso della carica non influisca sul lavoro compiuto
dalla forza elettrica. Nel prossimo paragrafo vedremo il significato dei termini
a secondo membro della (1.6). Per il momento ci limitiamo ad affermare che
la forza elettrica è conservativa e, quindi, anche il campo elettrico è conservativo.
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
Circuitazione del campo elettrico
Per un qualsiasi campo di forze è possibile verificare la sua conservatività eseguendo il calcolo della grandezza fisica scalare circuitazione del campo. Spieghiamo il concetto di circuitazione
applicando i seguenti passaggi a un generico campo elettrico E, a
ulteriore conferma della sua conservatività (fig. 1.20).
E
C
1) Si traccia una linea chiusa C definendo un arbitrario senso di percorrenza su di essa (in fig.1.20 è indicato con una freccia viola).
2) Si suddivide C in n tratti infinitesimi tali da considerarli rettilinei.
3) All’i-esimo tratto si associa un vettore li, con modulo dato dalla
lunghezza del tratto, direzione tangente alla curva e verso dato
dal senso di percorrenza di C.
Ei
li
4) All’i-esimo tratto si considera il vettore Ei applicato nel punto
di applicazione del vettore li.
5) Si esegue il prodotto scalare tra i due vettori, cioè
(1)
Ei  l i
6) Si ripete la (1) per gli n tratti infinitesimi di C e si sommano gli n prodotti
scalari
n
E1  l1  E2  l 2    En  l n   Ei  l i
(2)
i=1
La sommatoria (2) esprime la grandezza scalare circuitazione del campo
elettrico E lungo la linea chiusa C, indicata con C(E), cioè
n
C ( E) =  E i  l i
(1.7)
i=1
con unità di misura newton per metro su coulomb (simbolo N m/C).
In generale, se un campo di forza è conservativo, la sua circuitazione è nulla.
Essendo il campo elettrico conservativo, dobbiamo quindi aspettarci l’annullamento della (1.7): riscriviamola sostituendo Ei con la (1.5a)
n
C ( E) =
E l
i
i
=
i=1
1 n
 Fi  li
q i=1
(3)
La sommatoria a destra è il lavoro compiuto dalla forza elettrica lungo un percorso chiuso e, siccome la forza è conservativa, abbiamo
1 n
 Fi  li  0
q i=1
e come previsto
C ( E) = 0
Figura 1.20
Circuitazione del campo elettrico;
sono evidenziati i vettori li ed Ei
dell’i-esimo tratto sulla curva C.
888
889
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
Riassumendo
la circuitazione del campo elettrico è nulla, cioè
(1.8)
C ( E) = 0
e dunque il campo è conservativo.
Il calcolo della circuitazione per il campo elettrico è poco significativo, essendo
sempre nullo. Apprezzeremo la potenzialità del calcolo con il campo magnetico (unità I3), la cui circuitazione può essere anche diversa da zero, offrendo
informazioni sulle sorgenti del campo.
La conservatività del campo elettrico comporta una forma di energia potenziale.
1.4
Energia e potenziale elettrici
Dal paragrafo 2.3, unità D2, per qualsiasi campo di forze conservativo come
quello elettrico, è possibile definire la grandezza fisica scalare energia potenziale. Nota questa energia, il lavoro compiuto dalla forza dalla posizione iniziale I a quella finale F, è espresso dalla (2.5), cioè
LI  F  EP (I)  EP (F)
(1)
dove EP(I) ed EP(F) sono i valori di energia potenziale nelle due posizioni.
L’energia potenziale per il campo elettrico ha la denominazione “elettrica” e
simbolo U (è chiamata anche energia elettrostatica). La (1) diventa quindi
LI  F  U (I)  U (F)
(1.9)
Andiamo quindi a introdurre le caratteristiche energetiche del campo elettrico.
 Energia potenziale elettrica (o energia elettrostatica)
Riconsideriamo la figura 1.19 e per comodità riproponiamo la (1.6)
LI  F  FQsuq  s  K
Qq
Qq
K
rI
rF
(1.10)
Siccome il campo elettrico è conservativo, i termini della sottrazione (1.10)
sono rispettivamente l’energia potenziale U(I) in rI, ed U(F) in rF come espresso
dalla (1.9).
A questo punto imponiamo il punto a energia potenziale elettrica zero in modo
analogo a quanto eseguito per il campo gravitazionale. Se portiamo la posizione iniziale a distanza infinita dalla carica sorgente Q (cioè rI = ), l’energia
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
potenziale iniziale si annulla
U (rI  )  K
Qq
0

e la (1.10) diventa
L F  0  K
Qq
rF
(2)
dove la notazione  F indica il lavoro della forza elettrica compiuto da una
posizione iniziale a distanza infinita a una posizione finale più vicina a Q, cioè
rF (il segno algebrico del lavoro dipende dai segni delle cariche Q e q). Quindi
nella (2), il termine
K
Qq
rF
esprime l’energia potenziale posseduta dalla carica q a distanza rF dalla carica
sorgente Q. In generale, per una distanza r qualsiasi
l’energia potenziale elettrica, o energia elettrostatica, posseduta da una carica q a distanza r dalla carica sorgente Q di un campo elettrico è
U (r )  K
Qq
r
(1.11a)
con punto a energia potenziale zero scelto a distanza infinita, cioè
U (r  )  0
(1.11b)
Differenza di energia potenziale elettrica
Data una carica q immersa in un campo elettrico, la differenza di energia
potenziale U che subisce nel passare dalla posizione iniziale I a quella
finale F è
1 1
U  U (rF )  U (rI )  K Q q   
 rF rI 
(1.12)
dove abbiamo applicato la (1.11a) e raccolto i termini comuni.
Considerando la (1.9) e la (1.12) otteniamo
LI  F  U
(1.13)
e dunque la forza elettrica compie sulla carica q un lavoro positivo (negativo)
se l’allontanamento o l’avvicinamento di q a Q comporta una diminuzione (un
aumento) della sua energia potenziale. In generale, il comportamento energetico della carica q dipende dal suo segno rispetto a quello della carica sorgente,
come andiamo a dimostrare.
890
891
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO


Figura 1.21
Diagramma dell’energia potenziale elettrica di q in funzione della
distanza r dalla carica sorgente Q:
(a) cariche di segno opposto; (b)
cariche di segno uguale.
Q e q con segno contrario: la forza elettrica su q è attrattiva. In figura
1.21a l’andamento di U in funzione di r: dalla (1.11a) U è sempre negativa e
aumenta in valore assoluto con l’avvicinarsi di q a Q. L’avvicinamento comporta U < 0 e dalla (1.13) la forza di attrazione su q compie lavoro positivo
(infatti forza e spostamento hanno versi concordi). Invitiamo ad analizzare
il caso di allontanamento. Per comprendere meglio, immaginiamo una
molla con Q a un suo estremo fisso e q all’altro estremo, mobile. L’aumento
di U nell’avvicinarsi di q a Q lo simuliamo allungando la molla. Più tiriamo
la molla, più q acquista energia potenziale “elastica”, trasformata in energia
cinetica nell’attrazione verso Q una volta lasciato libero l’estremo con q.
Q e q con segno uguale: la forza elettrica su q è repulsiva. In figura 1.21b
l’andamento di U in funzione di r: dalla (1.11a) U è sempre positiva, e
aumenta con l’avvicinarsi di q a Q. L’avvicinamento comporta U > 0 e dalla
(1.13) la forza di attrazione su q compie lavoro negativo (infatti forza e spostamento hanno versi discordi). Invitiamo ad analizzare il caso di allontanamento. Riprendiamo il modello con molla: l’aumento di U nell’avvicinarsi di
q a Q lo simuliamo comprimendo la molla. Più comprimiamo la molla, più q
acquista energia potenziale “elastica”, trasformata in energia cinetica nella
repulsione da Q una volta lasciato libero l’estremo con q.
U
r
U
r
a
b
Energia potenziale elettrica di un sistema di cariche elettriche
L’acquisizione di energia potenziale non è prerogativa solo di una singola carica rispetto a una carica sorgente. In generale, un qualsiasi sistema composto
da due o più cariche elettriche in reciproca interazione elettrica acquista energia elettrostatica. Tale energia si determina sommando le energie potenziali
dovute a ogni possibile coppia di cariche del sistema. La generica coppia di
cariche qi e qj, a distanza reciproca rij in un sistema di cariche, offre all’energia
potenziale elettrica complessiva del sistema un contributo di energia Uij, dato
dalla (1.11a) nel seguente modo
U ij  K
qi q j
rij
(1.11c)
Il problema svolto 1.6 mostra una applicazione pratica del calcolo dell’energia
elettrostatica di un sistema di cariche.
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
 Potenziale elettrico (o tensione)
Dalla (1.11a), l’energia potenziale elettrica è funzione della carica esploratrice q. Per risolvere problemi di
elettrostatica si preferisce caratterizzare l’energia di un campo elettrico in
funzione solo della carica sorgente e
della distanza da essa (medesima considerazione è stata svolta per il campo
elettrico).
Per eliminare il “disturbo” della carica
esploratrice, dividiamo la (1.11a) per
q, ottenendo la seguente nuova grandezza scalare (fig. 1.22).
Figura 1.22
Potenziale in vari punti del campo
elettrico prodotto da una carica.
V(r1)
r1
Q
V(r2)
r2
ri
V(ri)
Dato un campo elettrico generato da una carica sorgente Q, il potenziale
elettrico V, o tensione, a una distanza r, è
V (r ) 
U (r )
Q
K
q
r
(1.14)
L’unità di misura del potenziale elettrico nel sistema SI è il volt (simbolo V).
Il potenziale può assumere valori positivi o negativi a seconda del segno della
carica sorgente Q del campo; inoltre, il potenziale di un sistema di due o più
cariche in un punto è la somma algebrica dei potenziali prodotti dalle singole
cariche nel medesimo punto in assenza delle altre cariche.
Noto il potenziale in un punto P, la (1.14) consente di determinare l’energia
potenziale che acquisterebbe una carica q nel medesimo punto, cioè
U (r )  q V (r )
(1.15)
Attenzione: il potenziale non è prerogativa solo del campo elettrico ma di qualsiasi campo di forze purché sia conservativo.
Differenza di potenziale elettrico o di tensione
La (1.14) esprime il potenziale di un campo elettrico in un generico punto P
a distanza r dalla carica sorgente Q. Nell’elettrostatica e nei circuiti elettrici
(unità I2) è particolarmente utile conoscere la differenza di potenziale tra due
generici punti di un campo elettrico.
A riguardo consideriamo due punti A e B di un campo elettrico. Si definisce
differenza di potenziale elettrico V, la relazione
1 1
V  V (rA )  V (rB )  KQ   
 rA rB 
dove abbiamo applicato la (1.14) a V(rA) e a V(rB). A volte la differenza di potenziale è indicata con l’acronimo d.d.p.
892
893
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
Lavoro sulla carica unitaria ed elettronvolt
La (1.15) consente di relazionare la differenza di energia potenziale con la differenza di potenziale secondo l’immediata relazione
U  q V
da cui
V 
U
q
(3)
Dalla (1.13) abbiamo U = –LA B; sostituendo nella (3) otteniamo
V  
LA  B
q
Se poniamo entrambi i termini in valore assoluto
V 
LA  B
q
(1.16)
otteniamo l’uguaglianza tra i valori assoluti della differenza di potenziale e
del lavoro compiuto dalla forza elettrica nello spostare una carica di intensità
unitaria dal punto A al punto B.
Concludiamo, isolando nella (1.16) il lavoro
LA B  q V
(4)
La (4) consente di definire l’unità di misura elettronvolt (simbolo eV), una
nuova unità particolarmente adatta per misurare il lavoro compiuto dalle forze
elettriche. Dalla (4), 1 eV equivale al lavoro in valore assoluto compiuto dalla
forza elettrica per spostare una carica di un elettrone tra due punti con differenza di potenziale di 1 V.
 Superfici equipotenziali
In generale, dato un campo di forze, le superfici equipotenziali sono l’insieme
dei punti dello spazio in cui il potenziale ha lo stesso valore. Si dimostra che
la superficie in ogni suo punto è perpendicolare alla linea di campo che passa
nel medesimo punto.
Per il campo elettrico, le superfici equipotenziali sono i punti dello spazio in
cui il potenziale espresso dalla (1.16) assume lo stesso valore. Come esempi,
in figura 1.23 sono tracciate le superfici equipotenziali per i campi elettrici
generati da una carica elettrica e da un dipolo elettrico.
Dalla definizione di superficie equipotenziale, tra qualsiasi coppia di suoi punti
non esiste differenza di potenziale, cioè V  0 e dalla (1.16), pure LA  B  0 .
Quindi
il lavoro compiuto dalla forza elettrica su una carica che si sposta su una
superficie equipotenziale è nullo.
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
superfici
equipotenziali
superfici
equipotenziali
Problema svolto 1.6
Dato il sistema di cariche elettriche del problema svolto 1.3, determinare:
1) l’energia elettrostatica complessiva del sistema;
2) la velocità massima vmax raggiunta dalla carica q3 (massa m = 2,0 · 10-11 kg)
a causa della forza repulsiva esercitata dalle altre due cariche.
1) L’energia potenziale delle tre cariche è la somma delle energie potenziali di
tutte le possibili coppie di cariche, ciascuna calcolata con la (1.11c). Quindi,
l’energia potenziale UI del sistema è data dalla somma di tre contributi
U I  U12  U13  U 23  K
qq
qq
q1q2
q2
2q 2
2q 2
K 1 3 K 2 3 K
K
K

d
d
d
d
AB
AB
4
 1
 Kq 2 
 
 AB d 
Sostituiamo i dati del problema e otteniamo

N m2 
1
4



 3, 0 104 J
U I   8,99 109
(10 109 ) 2 C2 

2
2 
2
C 
2 10 m 
 2, 0 10 m

2) La carica q3 si allontana lungo l’asse x per effetto della forza repulsiva F3 calcolata nel problema 1.3, portandosi a distanza infinita dalle cariche q1 e q2.
L’energia potenziale iniziale del sistema delle tre cariche è quella calcolata
nel punto 1). L’energia potenziale finale, con q3 a distanza infinita dalle
cariche q1 e q2, è
U F  U12  K
q1q2
N m 2  (10 109 ) 2 C2
q2 
K
  8,99 109
 4,5 105 J
2 
2
AB
AB 
C  2, 0 10 m
Dalla (1.13) e dal teorema dell’energia cinetica (formula (2.18) unità D2),
abbiamo
ECF  ECI  U I  U F
(1)
Figura 1.23
Esempi di superfici equipotenziali
del campo elettrico: le linee arancione indicano le sezioni delle
superifici originate dall’intersezitne con il piano del foglio.
894
895
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
dove l’energia cinetica iniziale ECI è nulla perché la carica è inizialmente ferma
1 2
e quella finale è ECF  mvmax . Quindi la (1) diventa
2
1 2
4q 2
mvmax  U I  U F  K
2
d
da cui ricaviamo la velocità massima raggiunta dalla carica
vmax  q K
8

md
2


8
9 Nm  
3 m
 (10 10 C)  8,99 10
  5, 0 10
2 
11
2
C   (2, 0 10 kg)( 2 10 m) 
s

9
Dal flusso del campo elettrico è possibile risalire all’intensità delle cariche elettriche
generatrici.
1.5
Teorema di Gauss per il flusso del
campo elettrico
Il teorema di Gauss calcola il modo semplice e immediato il modulo del vettore
campo elettrico, anche per campi generati da sistemi di cariche complessi. Per
spiegare il teorema con maggiore chiarezza, riproponiamo il concetto di flusso
di campo di forze (par. 3.5, unità A3), adattato al campo elettrico.
 Flusso del campo elettrico
In figura 1.24 è schematizzata una superficie piana di area S con il relativo vettore superficie S; ricordiamo che i vettori superficie hanno direzione perpendicolare al piano, modulo uguale all’area, e verso fissato arbitrariamente. La superficie
è attraversata da linee di campo elettrico E. Si definisce flusso del campo elettrico  (E) , il prodotto scalare tra il vettore E e il vettore superficie S, cioè
 (E)  E  S  E S cos
(1.17)
dove  è l’angolo formato tra le direzioni delle linee del campo e di S. L’unità di
misura del flusso del campo elettrico è newton per metro quadro su coulomb
(in simbolo (N m2)/C). Il flusso offre un’informazione importante sul campo
elettrico: infatti quantifica la densità in una certa zona dello spazio delle sue
linee di campo e dunque della sua intensità. Dalla (1.17) osserviamo la dipendenza del flusso dall’area S, dal modulo E e dall’angolo , cioè dall’inclinazione
delle linee del campo rispetto la superficie.
A seconda del valore di , la grandezza scalare flusso assume valori positivi o
negativi. In generale se le linee di campo sono:
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
- uscenti dalla superficie, cioè se  è compreso tra 0 e 90°, cos  è positivo, e
dunque il flusso  (E) è positivo (fig. 1.24a)
- entranti nella superficie, cioè se  è compreso tra 90° e 180°, cos  è negativo,
e dunque il flusso  (E) è negativo (fig. 1.24b)
Figura 1.24
Linee del campo elettrico E attraversano una porzione di superficie
con vettore superficie S.
S
S
a
a
E
a
E
b
Inoltre, se le linee di campo sono perpendicolari alla superficie ( = 0°,
cos 0° = 1) il flusso è massimo (  (E)  ES ); se invece sono parallele ( = 90°,
cos 90°= 0) il flusso è nullo (  (E)  0 ).
Superfici gaussiane
Per applicare il teorema di Gauss, il flusso deve essere calcolato rispetto a
superfici gaussiane, cioè superfici chiuse, come per esempio la superficie
esterna di una sfera o di un cilindro. Nelle superfici gaussiane il vettore S ha
sempre verso rivolto all’esterno e, dunque, il flusso uscente da una superficie
chiusa è positivo, e il flusso entrante è negativo. Vedremo come la scelta di
un’opportuna superficie gaussiana semplifichi i calcoli della (1.17).
 Teorema di Gauss
Definito il flusso del campo elettrico attraverso una superficie aperta e chiusa,
enunciamo il teorema di Gauss (fig. 1.25).
Il flusso del campo elettrico S (E) attraverso una superficie gaussiana è dato
dal rapporto
 S ( E) 
Qint
0
(1.18)
dove Qint è la carica elettrica complessiva racchiusa nella superficie gaussiana ed ε0, è la costante dielettrica nel vuoto.
Il pedice S indica un flusso considerato attraverso una superficie gaussiana.
Attenzione: la carica elettrica complessiva racchiusa è data dalla somma algebrica delle intensità delle cariche elettriche, positive e negative, contenute nella
superficie gaussiana.
Figura 1.25
Carl Friedrich Gauss (Braunschweig,
1777; Gottinga, 1855).
896
897
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
In figura 1.26 alcuni esempi di superfici gaussiane coinvolte dalle linee del
campo elettrico generato da un dipolo elettrico. Si estrapolano i seguenti tre
possibili casi. Se la carica complessiva racchiusa Qint è
Figura 1.26
Esempi di linee del campo elettrico interagenti con superfici gaussiane.



positiva, le linee del campo sono
uscenti (superficie gaussiana
S1) e dunque il flusso è positivo
( S (E)  0);
negativa, le linee del campo sono
entranti (superficie gaussiana
S2) e dunque il flusso è negativo
( S (E)  0 );
S1
S3
assente, le linee del campo uscenti
sono in numero uguale a quelle
entranti (superfici gaussiane S3 ed
S4) e il flusso è nullo ( S (E)  0).
S4
S2
Il problema svolto dedicato, e le analisi del paragrafo successivo mostrano le
potenzialità del teorema.
Problema svolto 1.7
Una stanza contiene le seguenti cariche: q1 = 6,00 C, q2 = -10,0 C,
q3 = -30,0 C e q4 = 9,00 C.
1) Calcolare il flusso del campo elettrico attraverso la stanza.
2) Confrontare il numero di linee di forza uscenti dalla stanza con quelle
entranti.
1) Determiniamo il flusso del campo elettrico utilizzando il teorema di Gauss.
In questo caso la carica Qint nella (1.18) è data dalla somma delle cariche
contenute nella stanza cioè
Qint  q1  q2  q3  q4  (6, 00  10, 0  30, 0  9, 00) 106 C  25, 0 106 C
Quindi applicando la (1.18)
 ( E) 
Qint
0

2
25, 0 106 C
6 N m


2,82

10
C2
C
8,85 10-12
2
Nm
2) Siccome la carica complessiva all’interno della stanza è negativa, il campo
elettrico prodotto risulta con verso entrante. Essendo il vettore superficie
per definizione uscente e il flusso calcolato al punto 1) negativo, le linee di
forza entranti risultano maggiori di quelle uscenti.
Superficie gaussiana opportuna
Il teorema di Gauss è valido per qualsiasi superficie gaussiana arbitrariamente
scelta. Per facilitare i calcoli, e dunque per sfruttare al massimo la potenzialità
del teorema, è opportuno scegliere una superficie chiusa che rispetti l’eventuale simmetria delle linee del campo. In questo modo le linee del campo e,
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
quindi, le direzioni di E risultano perpendicolari o parallele ai vettori S, comportando, rispettivamente, prodotto scalare (1.17) nullo, o ridotto al semplice
prodotto tra i moduli E ed S.
Come esempio, determiniamo il
modulo di E per la carica puntiforme
E
positiva Q di figura 1.27. Se scegliamo
la superficie gaussiana S1, l’orientazione dei vettori E ed S è variabile e
R
per applicare la (1.17) occorre il difficile calcolo integrale. Se invece utiliz+Q
ziamo la superficie sferica S di raggio
S1
costante R, per simmetria, il vettore
E risulta sempre parallelo al vettore S
(cos  = 1) e dunque la (1.17) diventa
 ( E)  E S
A questo punto l’applicazione del teorema (1.18) comporta la semplice relazione
 ( E)  E S 
Qint
0
(1)
Siccome l’area della superficie sferica è S  4 R 2 , e la carica complessiva interna è Qint = Q, la (1) diventa
E (4 R 2 ) 
Q
0
da cui il modulo cercato del campo elettrico generato da Q è
E
Q
4  0 R
2
K
Q
R2
(1.19)
dove abbiamo applicato la (1.1.b).
Applicazione del teorema di Gauss
Riepiloghiamo i passaggi per determinare correttamente il modulo del campo
elettrico E con il teorema di Gauss.
1) Scegliere un'opportuna superficie gaussiana che sfrutti l’eventuale simmetria delle linee del campo elettrico, tale da avere nella (1.17) cos  = 1.
2) Determinare il flusso del campo in funzione dell’incognita E applicando la
(1.17).
3) Inserire il flusso trovato nel punto 2 nella (1.18) e determinare l’incognita E.
 Prima equazione dell’elettromagnetismo
L’elettromagnetismo studia i fenomeni in cui compaiono il campo elettrico,
argomento di questa unità e il campo magnetico (unità I3 e I4). Come vedremo nell’unità I5, l’elettromagnetismo è completamente descritto da quattro
Figura 1.27
Applicazione del teorema di
Gauss a una carica elettrica puntiforme positiva. Una superficie
gaussiana sferica è la più opportuna perché rispetta la simmetria
del campo elettrico e quindi semplifica il calcolo del flusso.
898
899
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
equazioni, definite equazioni di Maxwell. Per il momento ci limitiamo ad
affermare che il modello matematico (1.18) del teorema di Gauss
 ( E) 
Qint
(1.20)
0
è la prima delle quattro equazioni di Maxwell.
Analizziamo i campi elettrici generati da corpi solidi carichi.
1.6
Distribuzioni continue e uniformi
di carica elettrica
Fino a questo punto abbiamo considerato sistemi di cariche elettriche puntiformi tra loro distanziate. Passiamo all’elettrostatica di corpi con distribuzione
di carica continua e uniforme, ipotizzata positiva (la scelta del segno non è
influente). L’intensità di carica nelle distribuzioni è quantificata dalla densità
di carica, definita come la carica espressa in coulomb presente in una porzione infinitesima del corpo. A riguardo, se Q è la carica elettrica totale distribuita
uniformemente su un filo di lunghezza L, o su una superficie di area S, o in un
corpo di volume V, si definisce

densità di carica lineare
il rapporto

Q
L
(1.21a)
con unità di misura nel sistema SI, coulomb su metro (C/m).

densità di carica superficiale
il rapporto

Q
S
(1.21b)
con unità di misura nel sistema SI, coulomb su metro quadro (C/m2).

densità di carica superficiale
il rapporto

Q
V
(1.21c)
con unità di misura nel sistema SI, coulomb su metro cubo (C/m3).
Descriviamo alcuni significativi esempi di distribuzioni continue di carica che
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
generano campi elettrici con linee di campo di forma simmetrica. Vedremo
che le simmetrie, che non dimostriamo, consentono di applicare il teorema
di Gauss con facilità per determinare il modulo E del vettore campo elettrico.
 Campo generato da distribuzione lineare di carica
Nel caso di un filo con densità di carica positiva , come in figura
1.28, le linee del campo elettrico hanno simmetria radiale rispetto
ai piani perpendicolari al filo. La superficie gaussiana S opportuna è quella di un cilindro di raggio r e altezza h con asse coincidente con il filo. Infatti, le linee del campo attraversano solo la
superficie laterale del cilindro con i vettori E ed S concordi. L’area
della superficie laterale è S  2 r h e la (1.17) diventa
r
S
E
 (E)  E S  E  2 r h 
La carica elettrica contenuta in S è
Q   h , e dalla (1.18)
E  2 r h  
h
0
Figura 1.28
Filo con distribuzione continua e
uniforme di carica positiva.
Il campo elettrico ha dunque modulo2
E

2  0 r
(1.22)
dove osserviamo la proporzionalità inversa rispetto alla distanza r dal filo. La
direzione del campo è perpendicolare al filo e il verso è uscente (entrante) se
la distribuzione di carica è positiva (negativa).
 Campo generato da una distribuzione superficiale
di carica
Analizziamo due esempi.
Superficie piana
In un piano con densità di carica positiva  (figura 1.29), le linee
del campo elettrico hanno simmetria perpendicolare per entrambe le facce. La superficie gaussiana S opportuna è quella di un
cilindro con asse verticale perpendicolare al piano. Infatti le linee
del campo attraversano solo le basi del cilindro con i vettori E ed
S concordi. La (1.17) diventa
E
S
E
r
 (E)  E (S  S )  2 ES
2
In questo paragrafo esplicitiamo in frazione la costante K 
1
4  0
Figura 1.29
Piano con distribuzione continua e
uniforme di carica positiva.
900
901
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
La carica elettrica contenuta in S è Q   S , e dalla (1.18)
2ES
S
0
Il campo elettrico ha dunque modulo

2 0
E
(1.23)
Il campo è quindi indipendente dalla distanza dal piano. La direzione del
campo è perpendicolare al piano e il verso è uscente (entrante) se la distribuzione di carica è positiva (negativa).
Doppia superficie piana
Figura 1.30
Doppio piano con distribuzione
continua e uniforme di carica con
segno opposto.
In figura 1.30 due piani paralleli a
distanza ravvicinata con densità di
carica positiva uguale ma di segno
opposto (S1 con  ed S2 con –). Tra i
due piani il campo elettrico E1 è generato dalla densità  e il campo elettrico E2 dalla densità –. Rispettando
il verso delle linee di forza (quindi
uscenti da S1 ed entranti in S2), i due
vettori sono concordi e hanno modulo
uguale dato dalla (1.23). Per il principio di sovrapposizione, ed essendo i
due vettori concordi, il campo totale
E ha modulo
S2
S1
E1
E
E2
     
E 



2
0

  2 0 
cioè
E

0
(1.24)
La direzione è perpendicolare al piano e il verso è rivolto al piano con carica
negativa.
 Campo generato da distribuzione volumica di carica (sfera)
In una sfera (piena) di raggio R e di carica elettrica complessiva Q (figura
1.31), per la (1.21c) la densità di carica volumica è
 
3Q
4 R 3
(1)
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
Le linee del campo elettrico hanno simmetria radiale rispetto al
centro della sfera. La superficie gaussiana S opportuna è quella
di una sfera concentrica alla sfera carica, in modo da mantenere
i vettori E ed S concordi.
Consideriamo la superficie gaussiana S1 con raggio r < R e di area
2
S1  4 r (fig. 1.31a). Per la (1.17) il flusso è
E
S1
r
R
 (E)  E S  E (4 r )
2
Siccome la carica elettrica contenuta in S1 è
Q
4 r 3
3
a
dalla (1.18) abbiamo
E (4 r 2 )  
4 r 3
3 0
S2
E
da cui il modulo del campo elettrico vale
r
E 
r
(2)
3 0
R
Se sostituiamo la (1) nella (2) otteniamo l’equivalente relazione
più utile
E 
Q
4 0 R 3
r
(1.25a)
b
Rileviamo l’aumento di E con l’aumentare del raggio r della superficie gaussiana scelta, raggiungendo il massimo valore con una superficie gaussiana coincidente a quella della sfera, quindi per r = R: in questo caso la (1.25a) diventa
Emax 
1
Q
4 0 R 2
(1.25b)
Infine(fig. 1.31b), consideriamo la superficie gaussiana S2 con raggio r > R di
area S 2  4 r 2 . In questo caso S2 contiene tutta la sfera carica come pure la
carica complessiva Q. Dalla (1.18) abbiamo quindi
E (4 r 2 ) 
Q
0
da cui il modulo del campo elettrico
E
1
Q
4 0 r 2
(1.25c)
È importante notare che la (1.25c) è uguale alla (1.19). Quindi il campo elettrico
all’esterno della sfera è uguale a quello prodotto se tutta la distribuzione di carica
Q fosse concentrata in una singola carica puntiforme posizionata nel centro O
della sfera.
Figura 1.31
Sfera piena con distribuzione continua e uniforme di carica positiva.
902
903
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
Problema svolto 1.8
In figura 1.32, un guscio sferico di raggio interno r1 = 1,0 mm e raggio esterno r2 = 2,5 mm, è uniformemente carico con densità di carica
 = 1,0 C/m3. Determinare il modulo del campo elettrico prodotto dal
guscio in un punto P distante d = 5,0 mm dal centro.
Figura 1.32
Sappiamo che corpi carichi a simmetria sferica si possono approssimare a
una carica puntiforme con medesima
intensità collocata al centro del corpo.
Quindi, se consideriamo come superficie gaussiana quella sferica di raggio
d concentrica al guscio sferico, abbiamo per il teorema di Gauss
E 4 d 2 
q
r2
r1
d
(1)
0
P
dove E è il modulo del campo elettrico in P e q è la carica presente all’interno
della superficie gaussiana.
Il valore di q è dato dal prodotto tra la densità di carica  e il volume V
4
del guscio sferico V   r23  r13 : quindi
3


4
q     r23  r13 
3
(2)
Sostituendo la (2) nella (1), e isolando il modulo di E, otteniamo la relazione
EK
q
K
d2
   r23  r13 
4
3
d2
(3)
dove abbiamo sfruttato la definizione della costante K. Quindi, inserendo nella
(3) i dati del problema, otteniamo
3
3
C 4

1, 0 106 3    2,5 103  m3  1, 0 103  m3 



N m 
m 3 
E   8,99 109
3 2
2 
2
C 
(5, 0 10 ) m

2
 22
N
C
 Campo elettrico e potenziale per un corpo conduttore
Come sappiamo, in un corpo conduttore le cariche elettriche hanno un’elevata
mobilità e dunque si muovono con estrema facilità se sottoposte a un campo
elettrico esterno al corpo. Viceversa, in assenza di campo elettrico esterno,
tutte le cariche elettriche nel conduttore rimangono ferme. A riguardo
un conduttore è definito in equilibrio elettrostatico quando è isolato, cioè
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
quando non è investito da un campo elettrico.
Descriviamo le caratteristiche di un conduttore carico all’equilibrio elettrostatico. Non ci interessa il modo con cui il conduttore è caricato, se per contatto o
per induzione. Per entrambi i modi chiamiamo cariche elettriche in eccesso
quelle che hanno partecipano al processo di carica.
Cariche superficiali
All’equilibrio elettrostatico le cariche elettriche in eccesso in un conduttore
carico si distribuiscono solo sulla superficie.
Il conduttore è all’equilibrio elettrostatico, quindi non è sottoposto a
campo elettrico esterno. Non essendo
investito da alcuna linea di campo, il
flusso è nullo. Applichiamo ora il teorema Gauss a una superficie gaussiana interna al conduttore il più possibile vicina a quella esterna: per la (1.18),
il flusso nullo comporta obbligatoriamente carica interna nulla. Quindi
tutte le cariche in eccesso devono
trovarsi obbligatoriamente distribuite
sulla superficie esterna: per questo
sono definite cariche superficiali
(fig. 1.33).
superficie
del conduttore
Figura 1.33
Teorema di Gauss applicato alla
parte interna di un conduttore
all’equilibrio elettrostatico.
superficie
gaussiana
Campo elettrico esterno
All’equilibrio elettrostatico, le linee del campo elettrico generato dalla cariche superficiali in eccesso sono all’esterno del conduttore perpendicolari
alla superficie.
E=0
q= S
E
A
Se le linee del campo non fossero
perpendicolari esisterebbe una componente tangenziale di E che provocherebbe un moto delle cariche
elettriche superficiali lungo appunto
la superficie.
Determiniamo il modulo del campo
elettrico applicando il teorema
di Gauss alla superficie gaussiana
a forma di cilindro (fig. 1.34). Le
linee di campo sono perpendicolari e
all’esterno, e dunque non attraversano
la superficie laterale e la base interna
del cilindro. L’unica superficie attraversata è quella della base esterna
dove i vettori E ed S sono concordi.
Quindi dalla (1.17)
 ( E)  E S
Figura 1.34
Teorema di Gauss applicato a un
conduttore all’equilibrio elettrostatico con cariche in eccesso.
904
905
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
La carica elettrica contenuta in S è Q   S , e dalla (1.18)
S
0
ES
e dunque il modulo del campo elettrico è
E

0
(1.26)
Potenziale elettrico
All’equilibrio elettrostatico, tutti i punti di un conduttore carico sono al medesimo potenziale.
All’equilibrio elettrostatico il campo elettrico è nullo e dunque non agiscono
forze elettriche. Di conseguenza, non esiste lavoro compiuto da alcuna forza
per trasportare una qualsiasi carica tra due generici punti A e B, cioè LA B  0 .
Perciò, tenendo conto della (1.16), la differenza di potenziale tra i due generici
punti è nulla, cioè V  0 . Questo significa che tutti i punti del conduttore
sono al medesimo valore di potenziale e, dunque, la superficie esterna è equipotenziale.
Determiniamo il valore del potenziale: per semplificare l’analisi, e senza perdere in generalità, ragioniamo su un conduttore a forma sferica di raggio R.
Dalla (1.25c), una sfera con distribuzione di carica Q è equivalente a una carica
puntiforme Q collocata nel suo centro. Per la (1.14), il potenziale in un generico punto a distanza r > R è quindi
V
1
Q
4  0 r
(1)
Siccome tutti i punti della sfera conduttrice sono equipotenziali, per determinare il suo potenziale possiamo considerare un punto qualsiasi della superficie
a distanza R, cioè porre r = R nella (1): quindi il valore del potenziale risulta
V
1
Q
4  0 R
(1.28)
La proporzionalità diretta tra potenziale V e carica Q nella (1.28) sarà oggetto
di analisi nel prossimo paragrafo.
Introduciamo particolari sistemi di conduttori che immagazzinano energia potenziale
elettrica.
1.7
Capacità elettrica e condensatore
Il condensatore è un particolare dispositivo in grado di creare al suo interno un
campo elettrico, a sua volta origine di energia elettrostatica. Prima di descriverlo, definiamo un parametro comune a tutti i conduttori.
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
 Capacità elettrica di un conduttore
Riconsideriamo la (1.28): se poniamo a rapporto la carica Q e il potenziale V
del conduttore sferico carico, otteniamo
Q
 4  0 R
V
(1)
cioè il rapporto è uguale a un valore che si mantiene sempre costante, in
funzione solo dal raggio della sfera. Questo risultato si generalizza a un qualsiasi conduttore, indipendentemente dalla sua forma. Introduciamo allora la
seguente grandezza fisica scalare:
dato un qualsiasi conduttore carico, si definisce capacità elettrica C del
conduttore il rapporto costante tra l’intensità della carica Q e il potenziale
V, cioè
C
Q
V
(1.29)
L’unità di misura nel sistema SI è il farad (simbolo F). Quindi 1 F è la capacità
di un conduttore caricato con intensità di carica di 1 C e con potenziale di 1 V.
Inoltre, come precedentemente accennato,
la capacità di un conduttore dipende solo dai suoi parametri geometrici.
Per esempio, la capacità di un qualsiasi conduttore carico sferico di raggio R
è data dalla (1), cioè
C  4  0 R
dove osserviamo la dipendenza dal parametro geometrico evidenziata, in questo caso, dalla presenza del raggio R.
 Condensatore
La figura 1.35 mostra lo schema generale di un condensatore: è composto da due conduttori carichi di forma qualsiasi,
chiamati armature, non in contatto. Un condensatore si
realizza avvicinando un’armatura carica con una certa
intensità di carica Q all’altra armatura scarica; per induzione, l’armatura inizialmente scarica si carica di segno
opposto, cioè con –Q. Un condensatore è quindi definito
carico quando le due armature posseggono cariche di segno
opposto, +Q e –Q ma di uguale intensità di carica, cioè
Q  Q  Q
+Q
-Q
(1)
Dalla teoria dell’elettrostatica e dei conduttori, deduciamo le seguenti caratteristiche e proprietà di un condensatore. Tra le due armature di un condensatore carico si crea un campo elettrico con le linee di campo che partono dalle
cariche superficiali positive e giungono a quelle negative, con direzioni perpendicolari in prossimità delle superfici.
Figura 1.35
Schema generale di un condensatore.
906
907
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
La singola armatura, essendo un conduttore carico, assume un valore di potenziale comune in ogni suo punto, positivo o negativo a seconda del segno della
carica alla superficie. Se indichiamo il potenziale positivo (negativo) dell’armatura positiva (negativa) con V+ (con V-) abbiamo tra le due armature una
differenza di potenziale V data dalla relazione
V   V   V
(2)
dove V è sempre positiva.
La (1) e la (2) comportano la seguente definizione di capacità di un condensatore.
Si definisce capacità elettrica C di un condensatore, il rapporto tra l’intensità
della carica Q con cui è caricato e la differenza di potenziale V tra le armature, cioè
Q
V
C
(1.30)
Nelle applicazioni pratiche i condensatori hanno capacità di molto inferiori al
farad. Di conseguenza si impiegano sottomultipli del farad, come il microfarad
(1 F = 10-6 F), il nanofarad (1 nF = 10-9 F) e il picofarad (1 pF = 10-12 F).
Condensatore piano
Figura 1.36
Schema della struttura di un condensatore.
La forma delle armature classifica la
tipologia dei condensatori e determina la loro capacità. Deduciamo
la capacità di un condensatore con
armature di forma piana e fra loro
parallele (fig. 1.36).
La struttura è come quella della doppia superficie carica descritta nel precedente paragrafo: il campo elettrico
è dunque dato dalla (1.24) che riproponiamo
DV
-Q
+Q
d
E

0
(3)
Nel caso in analisi la densità di carica superficiale è il rapporto tra la carica Q
del condensatore e l’area S della singola armatura piana, cioè   Q/S : quindi,
sostituendo nella (3)
E
Q
0S
(4)
A questo punto deduciamo il campo elettrico in funzione della differenza di
potenziale, riproponendo la (1.16)
V 
L
q
(5)
dove L è il lavoro compiuto da una forza elettrica su una carica q, nel percorrere
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
la distanza d tra le due armature. Essendo la direzione della forza parallela al
percorso della carica, per la proprietà del prodotto scalare, abbiamo L  F d .
Ma per la (1.5b), F = q E, e quindi
L qEd
(6)
Sostituendo la (6) nella (5), otteniamo l’importante relazione per il condensatore piano
V  E d
da cui
E
V
d
(1.31)
(7)
Uguagliamo la (4) e la (7)
V
Q

d
0S
da cui il rapporto
Q
S
 0
d
V
Di conseguenza per la (1.30), la capacità C di un condensatore piano è
C  0
S
d
(1.32)
dove S è l’area delle armature e d la loro reciproca distanza. La costante 0 indica che si tratta di un condensatore con le armature poste nel vuoto.
 Configurazioni di condensatori
Quando due o più condensatori sono collegati da conduttori filiformi, la loro
capacità complessiva varia. Presentiamo, senza dimostrarla, la capacità complessiva nei seguenti due tipi di collegamento tra N condensatori.

La configurazione in serie di N condensatori ha la struttura di figura 1.37a
ed è caratterizzata dall’avere i condensatori con la medesima carica Q. La
configurazione è equivalente a un unico condensatore con una capacità CT
ricavabile dalla relazione:
1
1
1
1
 
  
CT C1 C2
CN
(1.33a)
La d.d.p ai capi dei condensatori in serie è uguale alla somma delle d.d.p ai
capi di ciascuno degli N condensatori
VT  V1  V2      VN .

La configurazione in parallelo di N condensatori ha la struttura di figura
1.37b ed è caratterizzata dall’avere tutti i condensatori sottoposti alla mede-
908
909
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
sima d.d.p. La configurazione è equivalente a un unico condensatore con
capacità CT determinata dalla somma
CT  C1  C2    CN
(1.33b)
La carica Q del condensatore CT è uguale alla somma delle cariche di ciascuno
degli N condensatori, cioè
QT  Q1  Q2      QN .
Figura 1.37
Configurazione di condensatori:
(a) in serie; (b) in parallelo.
DV
Q
Q
Q
C1
C2
CN
DV
C1
a
Figura 1.38
Caricamento condensatore con
pila: l’armatura collegata al polo
positivo (negativo) acquisisce
carica elettrica positiva (negativa).
C2
CN
b
 Energia elettrostatica in un condensatore
Generalmente per caricare un condensatore si collegano le armature ai
poli positivo e negativo di una comune batteria elettrica (fig. 1.38).
Dal paragrafo 1.4, ponendo cariche
elettriche in interazione elettrica, il
sistema che si forma acquisisce energia elettrostatica. In modo analogo
succede alle cariche del condensatore:
grazie alla batteria sono portate sulle
armature, in reciproca interazione
elettrica, e dunque creano energia
elettrostatica. Quindi
V+
armatura
positivo
V-
armatura
negativo
un condensatore carico ha immagazzinato energia elettrostatica.
Determiniamo l’energia elettrostatica U immagazzinata da un condensatore
carico in funzione della sua capacità.
Durante la carica di un condensatore di capacità C si instaura una graduale
differenza di potenziale v ( q ) tra le armature in funzione di una altrettanta
graduale carica q che li raggiunge. Questo processo avviene secondo la funzione dedotta dalla (1.16)
v(q )  C  q
(1)
La (1) è rappresentata dalla retta del grafico di figura 1.39, dove la capacità
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
C è il coefficiente angolare costante.
I simboli della carica e del potenziale
nella (1) sono stati messi in minuscolo per evidenziarne la variabilità nel
tempo.
Al termine del processo di carica il
condensatore raggiunge una differenza di potenziale V accumulando una
certa quantità di carica Q (figura 1.39).
Il condensatore quindi immagazzina
energia elettrostatica, come dimostra
il prodotto (1.15), che riproponiamo
Figura 1.39
Differenza di potenziale in funzione della carica durante il processo di carica di un condensatore;
l’area compresa tra la retta e l’asse cartesiano orizzontale esprime
l’energia elettrostatica immagazzinata dal condensatore.
Dv (q)
DV
0
U  V Q
Q
q
(2)
Dalla (1), la differenza di potenziale è variabile rispetto alla carica e quindi
non possiamo applicare direttamente la (2). Tramite il calcolo integrale, che
non svolgiamo, l’energia elettrostatica U immagazzinata dal condensatore è
uguale all’area compresa tra la retta del grafico e l’asse cartesiano orizzontale.
Siccome l’area è quella di un triangolo abbiamo
U
1
V Q
2
Esprimiamo U in funzione della capacità C tramite la (1.30), ottenendo la relazione cercata
1
1 Q2
U  C V 2 
2
2 C
(1.34)
Densità di energia elettrostatica in un condensatore piano
Se nella (1.34) sostituiamo la capacità C con quella del condensatore piano
(1.32) otteniamo
1 S
1
2
U   0  E d    0 S E 2d
2 d
2
Se portiamo poi a denominatore il prodotto (d S) abbiamo
U
1
 0E2
Sd 2
(3)
Siccome (S d) è il volume compreso dalle armature, la (3) esprime la densità
di energia elettrostatica u
1
u  0E2
2
(1.35)
cioè l’energia elettrostatica per unità di volume dell’immaginario parallelepipedo vuoto compreso tra le armature.
910
911
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
 Campo elettrico ed energia elettrostatica
Attenzione: la (1.35) esprime una relazione che va oltre il condensatore piano,
dato che non appaiono grandezze fisiche e parametri del condensatore. Infatti,
la relazione afferma che in tutti i punti dello spazio vuoto coinvolti nella propagazione di un qualsiasi campo elettrico, risiede un energia elettrostatica il
cui valore è appunto
1
u  0E2
2
dove E è il modulo del campo elettrico nel punto dello spazio scelto.
Problema svolto 1.9
La distanza tra le due armature di un condensatore piano è d = 1,0 cm con
una d.d.p. V = 50 V. Un elettrone (m = 9,1 · 10-31 kg) penetra nel condensatore con velocità iniziale è v0 = 3,0 · 106 m/s in un punto equidistante
dalle due armature (fig. 1.40). Determinare:
1) l’istante ta in cui l’elettrone cade sull’armatura positiva;
2) la distanza l percorsa dall’elettrone con direzione e verso dell’asse x.
Figura 1.40
Sull’elettrone agiscono due forze, entrambe dirette lungo y: la forza peso mg e
la forza elettrica qeE.
y
La prima ha verso discorde rispetto
a quello di y, mentre la seconda ha
verso concorde. Il vettore campo elettrico è infatti orientato dall’armatura
positiva a quella negativa, ma la forza
elettrica agente sull’elettrone (carica
V0
E
negativa) ha verso opposto. Poiché la
d
x
forza peso ha un modulo dell’ordine
di 10-29 N, mentre la forza elettrica
ha un modulo dell’ordine di 10-15 N,
possiamo trascurare la prima e considerare solo la seconda.
Il moto dell’elettrone risulta quindi un moto parabolico, risultante dalla composizione di un moto rettilineo uniforme lungo x e di un moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione
a
qe E
m
lungo y. L’equazione del moto lungo y è
y
1 qe E
2
t
2
m
1) Calcoliamo l’istante ta in cui l’elettrone cade sull’armatura positiva imponendo
d 1 qe E 2

ta
2 2 m
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
da cui ricaviamo
ta 
md
qe E
Sostituendo E con la relazione nota E = V/d otteniamo quindi
ta  d
m
9,1 1031 kg
 (1, 0 102 m)
 3, 4 ns
qe V
(1, 6 1019 C)(50V)
2) Calcoliamo la distanza l percorsa partendo dall’equazione del moto x = v0t e
sostituendo t con ta, cioè
l  v0 ta  v0 d
m
qe V
Quindi immettendo i dati
m
9,1 1031 kg

l   6, 0 106  (1, 0 102 m)
 0, 020 m  2, 0 cm
s 
(1, 6 1019 C)(50V)

Problema svolto 1.10
Due condensatori, di capacità C1 = C e C2 = 3C, sono collegati in serie; agli
estremi del sistema è applicata una d.d.p. V = 800 V. Calcola le d.d.p. V1
e V2 tra le armature di ciascun condensatore.
La capacità equivalente del sistema è
C1C2
3C 2 3

 C
Ceq 
C1  C2 4C 4
La carica presente su ciascun condensatore è perciò
3
q  Ceq V  C V
4
La d.d.p. tra le armature del primo condensatore
3
C V
3
3
q 4
V1 

 V  800V  600V
4
4
C1
C
e quella tra le armature del secondo condensatore
V2  V  V1  800V  600V  200V
912
913
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
APPROFONDIMENTO
Effetti dei campi elettrici sui dielettrici
Nel corso dell’unità abbiamo considerato cariche elettriche nel vuoto. Passiamo ad analizzare
il comportamento del campo elettrico quando le
sue linee investono materiali isolanti chiamati,
generalmente, dielettrici. Esempi di dielettrici
sono l’acqua, la carta, il polistirolo, il vetro, la
porcellana.
E
 Polarizzazione dei dielettrici
Figura 1.43
Allineamento dei dipoli elettrici in un campo elettrico.
In un atomo allo stato neutro la carica positiva del
nucleo è circondata da quella negativa degli elettroni
(fig. 1.41). Negli atomi dei
dielettrici la dislocazione
della carica è invece separata a creare un dipolo elettrico (fig. 1.42). A differenza
dei conduttori, in presenza
di campo elettrico, le cariche elettriche nei dielettrici
non sono libere di muoversi.
F
d
Figura 1.41
Sovrapposizione tra cariche di segno opposto
nell’atomo allo stato
neutro.
F
q
q
E0
Figura 1.44
Coppia di forze elettriche agente sul dipolo elettrico.
q
q
d
Figura 1.42
L’atomo di un dielettrico modellato come dipolo elettrico.
L’unico effetto prodotto dal campo è la polarizzazione del dielettrico, cioè l’allineamento
dei microscopici dipoli elettrici componenti il
materiale (fig. 1.43). Infatti, a causa del campo
elettrico, ogni dipolo è sottoposto a una coppia
di forze elettriche che ne provocano la rotazione
rispetto al suo centro di massa (fig. 1.44) fino ad
allinearsi alla direzione del campo.
Attrazione di corpi neutri
La polarizzazione del dielettrico spiega perché
un isolante carico riesca ad attrarre corpi allo
stato neutro, come nel classico esempio della
plastica strofinata che attira pezzi di carta (fig.
1.1). Consideriamo la figura 1.45: quando la
bacchetta isolante è in prossimità del corpo
neutro, per induzione provoca l’allineamento dei
dipoli. Se ipotizziamo la bacchetta con carica
positiva, in prossimità della superficie del corpo
neutro (cioè della carta) i dipoli si dispongono
formando uno strato superficiale di carica negativa che consente l’attrazione tra bacchetta e
corpo neutro (i pezzetti di carta).
Figura 1.45
Attrazione per polarizzazione tra isolante carico positivamente e
corpo neutro caricato per induzione. Nel caso di bacchetta carica
negativamente l’allineamento dei dipoli elettrici comporta una carica
positiva superficiale.
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
 Variazione del campo elettrico
diretta tra Ep ed E0, proporzionalità, per la (2),
pure mantenuta tra E ed E0. A riguardo, si dimostra che
nel dielettrico
Analizziamo l’influenza del dielettrico sul campo
elettrico. In figura 1.46 una sottile lastra di dielettrico è immersa in un campo elettrico polarizzante E0. A causa dell’allineamento dei dipoli
elettrici, la superficie superiore (inferiore) del
dielettrico si carica negativamente (positivamente). Queste distribuzioni di cariche superficiali
indotte generano a loro volta un nuovo campo
elettrico interno al dielettrico, chiamato campo
elettrico di polarizzazione EP, di verso opposto
al campo elettrico polarizzante, E0. La combinazione di questi due campi crea un campo elettrico risultante E all’interno del dielettrico con
vettore dato dalla somma vettoriale
E  E0  E p
(1)
Siccome i vettori dei tre campi hanno medesima
direzione, possiamo trasformare la (1) nella più
comoda versione fra moduli
E  E0  Ep
(2)
il campo elettrico all’interno del dielettrico è
proporzionale a quello polarizzante secondo la
relazione
il vettore campo elettrico risultante all’interno
di un dielettrico ha intensità inferiore rispetto a
quello esterno, polarizzante.
Naturalmente più (meno) è intenso il campo
polarizzante E0 più (meno) uniforme è l’allineamento dei dipoli e, dunque, più è (meno) intenso
è il campo di polarizzazione. Quindi possiamo
ipotizzare l’esistenza di una proporzionalità
E0
r
dielettrico
εr
Vuoto
1
1,00059
Polistirolo
2,6
Carta
3,5
Vetro
4,7
Porcellana
6,5
Acqua (25 °C)
78,5
Ceramica al titanio
130
Tabella 1.1
Costante dielettrica di alcuni materiali isolanti.
E0
Ep
Figura 1.46
Influenza del dielettrico sul campo elettrico.
(1.36)
dove il parametro adimensionale  r è definito
costante dielettrica.
La costante dielettrica è intrinseca al dielettrico ed è naturalmente indipendentemente dalla
sua forma. In tabella 1.1 sono elencati i valori
di costante dielettrica per alcuni materiali dielettrici misurati a temperatura ambiente. La
costante dielettrica è sempre maggiore di 1 a
conferma che nel dielettrico il campo si riduce
per la (1.36).
Aria
dove osserviamo che
E0
E
914
915
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
APPROFONDIMENTO
Condensatore con dielettrico
Applichiamo quanto scritto nel precedente
approfondimento al caso di un condensatore
riempito completamente con dielettrico avente
costante dielettrica  r .
Il campo elettrico del condensatore polarizza i
dipoli del dielettrico orientandoli come mostra
la figura 1.47 per il caso di un condensatore
piano. Una distribuzione di carica negativa
(positiva) si crea sulla superficie del dielettrico
a contatto con l’armatura carica positivamente
(negativamente). Come già descritto dalla figura
1.46, questa supplementare doppia distribuzione di carica del dielettrico contrasta il campo
elettrico del condensatore diminuendo la sua
intensità (vedere (1.36)).
Un altro importante e generale effetto del dielettrico sul condensatore è l’aumento della sua
capacità. Infatti
un condensatore di forma qualsiasi riempito
completamente da dielettrico aumenta la propria capacità C rispetto a quella senza dielettrico C0 secondo la relazione
C   r C0
(1.37)
Andiamo a dimostrare la (1.37) prendendo come
modello il condensatore piano. Avremo inoltre
modo di constatare come la costante dielettrica
incida sulla variazione delle grandezze fisiche
relative al condensatore.
 Condensatore piano
con dielettrico
Consideriamo un condensatore piano con area
dell’armatura e distanza tra le armature d. Per
semplificare l’analisi, ricordiamo che nel vuoto
sono valide le seguenti relazioni
C0 
Q0
S
 0
V0
d
(1)
V0  E0 d
(2)
1
1 Q02
U  C0 V02 
2
2 C0
(3)
Il pedice 0 indica le grandezze fisiche valutate in
condizione di vuoto tra le armature (in presenza
di dielettrico le grandezze non hanno pedice).
Ipotizziamo che il condensatore sia caricato con
una batteria; analizziamo la sua elettrostatica
nei seguenti due casi:
1) inserimento del dielettrico dopo avere scollegato la batteria;
2) inserimento del dielettrico senza scollegare la
batteria.
Inserimento dielettrico senza batteria
A causa dello stacco della batteria, l’intensità
di carica sulle armature rimane uguale a prima
dell’inserimento del dielettrico, quindi
Q  Q0
(4)
Per la (1.36), il campo elettrico interno al dielettrico è
E
E0
r
La differenza di potenziale è
Figura 1.47
Condensatore piano carico in cui lo spazio tra le armature è completamente riempito di dielettrico.
V  E d
(5)
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
Se sostituiamo E con la (5),
la (2)
V 
V 
E0 d
V0
r
r
Inserimento dielettrico con batteria
, e per
A causa del collegamento continuo con la batteria, la differenza di potenziale rimane uguale,
senza risentire dell’inserimento del dielettrico:
(6)
Quindi il dielettrico riduce la differenza di
potenziale di un fattore  r .
Sostituendo la (4) nella definizione di capacità
del condensatore, abbiamo
C
Q
Q

 r   r C0
V V0
S
d
(8)
2
Q
2 r C0
cioè
U
E  E0
(10)
Per la (1.37), la capacità aumenta
Il confronto della (8) con la versione a vuoto (1)
conferma l’aumento di capacità in presenza di
dielettrico del fattore  r , come preannunciato
dalla (1.37).
Infine, se sostituiamo nella (3) la (1) e la (7),
otteniamo
U
(9)
Sostituendo la (9) nella (2), pure il campo elettrico rimane invariato
(7)
e per la (1)
C   0 r
V  V0
C   r C0
e dunque pure la carica del condensatore aumenta di un fattore r: infatti
Q  C V   r C0 V0
dove abbiamo applicato la (1.37) e la (9). Quindi
per la (1)
Q   r Q0
L’energia elettrostatica aumenta di un fattore r:
infatti, sempre applicando la (1.37) e la (9)
1
1
U  C V 2   r C0 V02
2
2
U0
r
Anche per l’energia elettrostatica il dielettrico ne
riduce il valore di un fattore  r .
e quindi
U   rU 0
916
unità
I1
Riepilogo
1.1 Carica elettrica
costante dielettrica del vuoto:
carica elettrica: grandezza fisica scalare che
quantifica una caratteristica intrinseca delle particelle subatomiche, elettrone (carica di segno
negativo) e protone (carica di segno negativo).
carica elettrica più piccola: carica elettrica
dell’elettrone e del protone di intensità
1, 6 1019 C
interazione elettrica tra cariche: cariche di segno
uguale (opposto) si respingono (attraggono).
isolante: materiale in cui gli elettroni di conduzione hanno bassissima mobilità.
conduttore: materiale in cui gli elettroni di conduzione hanno elevata mobilità.
elettrizzazione: processo con cui si carica un
corpo, cioè lo si porta fuori dalla condizione di
neutralità di carica.
elettrostatica: parte della fisica che studia le
situazioni in cui le cariche elettriche mantengono intensità e posizione costanti nel tempo.
 0  8,85 1012
sovrapposizione degli effetti: dato un sistema
di N cariche, la forza elettrica esercitata su una
carica elettrica è la somma vettoriale delle forze
elettriche che ogni singola carica elettrica eserciterebbe in assenza delle altre cariche.
1.3 Campo elettrico
vettore campo elettrico:
EK
forza elettrica: vettore forza che si instaura tra
cariche elettriche rispettando il terzo principio
della dinamica.
legge di Coulomb: esprime il modulo della
forza elettrica che si crea tra due cariche elettriche nel vuoto
FK
forza e campo elettrico: il campo elettrico che
comporta l’applicazione di una forza elettrica F
sulla carica elettrica q nel vuoto è
1
4  0
F
q
campo e forza elettrica: la forza elettrica che
agisce sulla carica elettrica q immersa in un
campo elettrico E è
Fq E
QA QB
1.4 Energia e potenziale elettrici
r2
dove QA e QB sono le cariche che interagiscono,
e r la distanza tra le due cariche; inoltre
K
Q
u
r2
dove Q è la carica sorgente ed r è la distanza tra
Q e il punto di applicazione del vettore E.
E
1.2 Forza elettrica
C2
Nm 2
 8,99 109
Nm 2
C2
circuitazione del campo elettrico: la conservatività del campo elettrico comporta circuitazione nulla, cioè
C ( E) = 0
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
energia potenziale elettrica (o elettrostatica):
U (r )  K
Qq
r
con punto a energia potenziale elettrica zero
scelto a r infinito.
potenziale elettrico (o tensione): grandezza
fisica scalare definita come
V (r ) 
U (r )
Q
K
q
r
densità di carica superficiale:

Q
S
con unità di misura nel sistema SI, coulomb su
metro quadro (C/m2).
densità di carica volumica:

Q
V
L’unità di misura nel sistema SI è il volt (simbolo V).
con unità di misura nel sistema SI, coulomb su
metro cubo (C/m3).
superfici equipotenziali: insieme di punti che
si trovano al medesimo valore di potenziale.
E prodotto da un filo con densità di carica :
E
1.5 Teorema di Gauss per il flusso
del campo elettrico
flusso del campo elettrico: indica l’intensità
delle linee del campo elettrico che attraversano
una porzione di superficie; è dato dal prodotto
scalare tra il vettore del campo elettrico e il vettore superficie.
918

2  0 r
dove r è la distanza perpendicolare al filo del
punto in cui è rilevato E.
E prodotto da un piano con densità di carica
:
E
superficie gaussiana: una qualsiasi superficie
chiusa.

2 0
E prodotto da un doppio piano:
Qint
dove Qint è la somma algebrica delle cariche
interne alla superficie gaussiana.
1.6 Distribuzioni continue e uniformi
di carica elettrica
densità di carica lineare:

Q
L
con unità di misura nel sistema SI, coulomb su
metro (C/m).
dove  è la densità superficiale di un singolo
piano.
E prodotto da una sfera piena di raggio R:
E 
Q
4 0 R 3
r
dove E è determinato per r < R.
Emax 
1
Q
4 0 R 2
dove E è determinato per r = R.
Riepilogo
0

0
I1
 S ( E) 
E
unità
teorema di Gauss: il flusso del campo elettrico
che attraversa una superficie gaussiana è dato
dal rapporto
919
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
E
1
Q
4 0 r 2
re e V è la differenza di potenziale tra le armature.
capacità di un condensatore piano:
dove E è determinato per r > R.
conduttore carico all’equilibrio elettrostatico: assenza di campo elettrico, cariche solo
superficiali, campo elettrico esterno con linee di
forza perpendicolari alla superficie, potenziale
uniforme.
C  0
S
d
dove S è l’area della superficie piana della singola armatura e d è la distanza tra le armature.
capacità di condensatori in serie:
1.7 Capacità elettrica e condensatore
1
1
1
1
 
  
CT C1 C2
CN
capacità elettrica:
C
Q
V
dove Q e V sono rispettivamente la carica e il
potenziale di un conduttore. L’unità di misura
nel sistema SI è il farad (simbolo F).
condensatore: sistema composto da due conduttori (armature) ravvicinati di uguale intensità di carica ma di segno opposto.
capacità elettrica di un condensatore:
Q
C
V
unità
I1
Riepilogo
dove Q è la carica presente su una delle armatu-
capacità di condensatori in parallelo:
CT  C1  C2    CN
energia elettrostatica in un condensatore:
1
1 Q2
U  C V 2 
2
2 C
densità di energia elettrostatica:
1
u  0E2
2
I1
unità
TEST
1
2
3
4
Se si avvicina una bacchetta isolante carica
negativamente a un conduttore neutro, senza
che ci sia contatto
a) il conduttore si carica positivamente
b) il conduttore si carica negativamente
c) l’estremità del conduttore vicina all’isolante
assume carica positiva e l’estremità opposta
assume carica negativa
d) l’estremità del conduttore vicina all’isolante
assume carica negativa e l’estremità opposta
assume carica positiva
7
8
The force between two charges q1 and q2 at a
distance r is proportional to
a)
q12 q22
r2
b)
q1q2
r
c)
q1  q2
r2
d)
q1q2
r2
La carica q1 è positiva e q2 è negativa. Le linee
di forza del campo elettrico sono
a) da q1 verso q2
b) da q2 verso q1
c) dal punto medio tra q1 e q2 verso q1
d) dal punto medio tra q1 e q2 verso q2
The magnitude of the electric field at a distance r from a charge Q is proportional to
a)
Q2
r2
b)
Q2
r
c)
Q
r2
d)
Q
r
5
Una carica q è soggetta all’azione di un campo
elettrico E. La forza agente sulla carica è
a) E/q
b) q/E
c) qE
d) q+E
6
L’energia potenziale di due cariche opposte è
a) positiva
b) negativa
c) nulla
d) inversamente proporzionale al quadrato
della distanza tra le cariche
9
Verifiche
Il lavoro compiuto per posizionare due cariche
uguali q a distanza r è
a)
K
q2
r2
b)
K
q2
r
c)
K
q
r2
d)
K
q
r
The electric potential at a distance r from a
point charge q is proportional to
a)
q2
r2
b)
q2
r
c)
q
r2
d)
q
r
Il flusso del campo elettrico attraverso una
superficie chiusa è il valore scalare . Se la
carica all’interno della superficie viene raddoppiata, il flusso diventa
a) /2
b) 
c) 2 
d) 4 
10 Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è il valore scalare . Se l’area della
superficie viene raddoppiata, il flusso diventa
a) /2
b) 
c) 2 
d) 4 
11 Il flusso del campo elettrico attraverso una
superficie di area fissata è nullo quando la
superficie
a) è parallela alla direzione del campo elettrico
b) è antiparallela alla direzione del campo elettrico
c) è ortogonale alla direzione del campo elettrico
d) forma un angolo di 45° con la direzione del
campo elettrico
12 Un conduttore sferico di raggio r è caricato
con una carica q. All’equilibrio, il modulo del
campo elettrico, E, all’interno del conduttore è
a)
E
1
q
4 0 r 2
921
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
b)
c)
d)
E
E
1 q
4 0 r
q
4 0
E0
13 La carica in eccesso in un conduttore è
a) uniformemente distribuita all’interno del
conduttore
b) nel centro del conduttore
c) distribuita sulla superficie del conduttore
d) nulla
14 In ogni punto di una superficie equipotenziale
il vettore campo elettrico
a) è nullo
b) è tangente alla superficie
c) è ortogonale alla superficie
d) forma con la normale alla superficie un
angolo acuto
15 Due conduttori sferici di raggio R1 e R2 = 2 R1
hanno lo stesso potenziale. Se Q1 e Q2 sono le
rispettive cariche, si ha
a) Q1 = Q2
b) Q1 = 2 Q2
c) Q1 = 4 Q2
d) Q2 = 2 Q1
16 Se si raddoppia la d.d.p. tra le armature di un
condensatore, la carica sulle armature
a) raddoppia
b) quadruplica
c) dimezza
d) non cambia
unità
I1
Verifiche
17 Tra le armature di un condensatore piano di
superficie A e distanza d esiste un campo elettrico di intensità E. La d.d.p. tra le armature è
a) E A
b) E d
c) E/d
d) E/s
18 Un condensatore piano è caricato con una
carica Q. Se la distanza tra le armature raddoppia, raddoppia anche
a) la densità superficiale di carica sulle armature
b) la d.d.p. tra le armature
c) la capacità del condensatore
d) il campo elettrico tra le armature
19 L’energia elettrostatica immagazzinata in un
condensatore di capacità C e d.d.p. V è
a)
1 2
C V
2
1
2
c) C V
2
b)
C V
1 C2
d)
2 V
20 Due condensatori di capacità C1 = C e C2 = 2 C
sono collegati in parallelo. La capacità equivalente è
a)
3C
b)
3
C
2
c)
2
C
3
d)
1
C
3
21 Due condensatori di capacità C1 = C e C2 = 2 C
sono collegati in serie. La capacità equivalente è
a)
3C
b)
3
C
2
c)
2
C
3
d)
1
C
3
QUESITI
22 Qual è l’unità di misura della carica nel sistema SI?
23 In che cosa differiscono i corpi isolanti dai
conduttori?
24 Come si può elettrizzare un conduttore?
25 Che valore ha la costante dielettrica del vuoto
0?
26 What is the SI unit of r?
27 Come è definito il vettore campo elettrico?
28 Il campo elettrico è conservativo: che cosa
significa?
29 Come si definisce la circuitazione del campo
elettrico? Quanto vale?
30 Come sono definite le grandezze fisiche energia potenziale elettrica e potenziale elettrico?
Quali sono le loro unità di misura nel SI?
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
34 When is the electric flux through a surface of
fixed area maximum?
35 Usando il teorema di Gauss, dimostrare che il
campo elettrico prodotto da un filo rettilineo
indefinito carico con densità di carica lineare 
 
1 
  è, a distanza r dal filo,
.
2 0 r
36 Usando il teorema di Gauss, dimostrare che il
campo elettrico prodotto da un piano infinito
carico con densità di carica superficiale 
è

2 0
.
37 Usando il teorema di Gauss, dimostrare che il
campo elettrico prodotto da una sfera di raggio
R uniformemente carica con carica totale Q è
K
Qr
Q
all’interno della sfera e K 2 all’esterno.
3
R
r
38 Perché in un conduttore in equilibrio elettrostatico le cariche elettriche in eccesso si distribuiscono sulla superficie?
39 Perché il potenziale assume lo stesso valore in
ogni punto di un conduttore carico?
40 Che direzione ha il campo elettrico nei punti
sulla superficie di un conduttore?
41 Aumentando la carica distribuita sulla superficie di un conduttore, aumenta anche la
capacità?
45 In che modo un dielettrico influenza il campo
in un condensatore?
46 The space between the plates of a parallel
plate capacitor is filled with air. How does the
capacitance change if we fill the space with a
dielectric?
PROBLEMI
Carica elettrica (1.1)
Forza elettrica (1.2)
47 Due cariche elettriche q1 = 3,0 C e q2 = -2,0 C
sono poste a una distanza di 20 cm. Determinare
l’intensità della forza tra le due cariche e specificare se è attrattiva o repulsiva.
48 Due cariche elettriche uguali si respingono con
una forza di 10-2 N a una distanza di 20 cm.
Determinare le intensità delle cariche.
49 Un elettrone e un protone si attraggono con
una forza di 8,2 · 10-8 N. Calcolare la distanza
tra le due cariche.
50 Due cariche q1 = 4,0 C e q2 = 12 C sono poste
a 6,0 cm di distanza. Determinare la posizione
di equilibrio (tra le due cariche) di una terza
carica q3.
51 A charge of 10 C is placed on the x-axis at
x = 0. A second charge of 70 C is placed on
the x-axis at x = 90 cm. Calculate the magnitude of electrostatic force on a charge of 5,0 C
placed on the x-axis at x = 30 cm.
52 In figura sono rappresentate le tre cariche
q1 = -1,0 C, q2 = 2,0 C, q3 = 3,0 C. Sapendo
che r = 15 cm, determinare la forza (modulo,
direzione e verso) della forza agente su q2.
42 La capacità di un condensatore dipende dalla
d.d.p. fra le sue armature?
43 Dov’è immagazzinata l’energia elettrica spesa
per caricare un condensatore?
44 Dati due condensatori di uguale capacità, per
q1
q2
r
q3
r
Verifiche
33 Qual è la definizione di flusso del campo elettrico attraverso una superficie? Quali sono le
sue dimensioni e la sua unità di misura nel
sistema SI?
I1
32 Come sono definite e che caratteristiche hanno
le superfici equipotenziali?
ottenere una maggiore quantità di carica sulle
armature bisogna disporli in serie o in parallelo?
unità
31 Cosa si intende per elettronvolt?
922
923
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
53 Le cariche e le coordinate di due particelle nel
piano x-y sono rispettivamente
q1 = 3,0 C, x1 = 3,5 cm, y1 = 0,50 cm
q2 = -4,0 C, x1 = -2,0 cm, y1 = 1,5 cm
60 Tre cariche sono disposte come in figura.
Sapendo che q1 = q2 = 2,0 nC, q3 = 2 q e d = 2,0
cm, determinare modulo, direzione e verso del
vettore campo elettrico in P.
Determinare l’intensità della forza F2 su q2.
Dove dovrebbe essere posta una terza carica
q3 = 4,0 C affinché la forza F2 risulti nulla?
q1
d/2
54 In figura quattro cariche sono disposte ai
vertici di un quadrato di lato 5,0 cm. Sapendo
che q = 0,20 C, calcolare il modulo della forza
risultante sulla carica in basso a destra.
+q
-q
+2q
-2q
P
d
d/2
q3
d
q2
61 An electron (mass me = 9,11 · 10-31 kg) is located 1,00 · 10-10 m from a proton. Calculate the
acceleration of the electron due to the electric
field.
Energia e potenziale elettrici (1.4)
55 Due cariche puntiformi q1 = 1,0 C e q2 = 1,2 C
sono immerse nell’alcol a una distanza di 1,0 cm.
Calcola il modulo della forza con cui le due cariche si respingono. La costante dielettrica relativa
dell’alcol è 25.
62 In figura, tre cariche elettriche uguali q = 3 nC
sono ferme nel vuoto a una distanza r = 2 cm.
Determinare l’energia elettrostatica del sistema delle tre cariche.
q
Campo elettrico (1.3)
56 Due cariche elettriche q1 = 1,0 nC e q2 = -1,0 nC
sono a 10 cm di distanza. Calcolare il modulo,
la direzione e il verso del campo elettrico nel
punto medio del segmento congiungente le
due cariche. A quale forza (modulo, direzione
e verso) sarebbe sottoposto un elettrone posto
in quel punto?
unità
I1
Verifiche
57 Il campo elettrico prodotto da una carica elettrica puntiforme a una distanza di 4,0 cm è di
15 N/C. Determinare l’intensità del campo a
una distanza di 2,0 cm.
58 Due cariche puntiformi da 5,0 C e 7,0 C
distano 1,0 cm. Calcolare a quale distanza
dalla carica più piccola il campo elettrico totale è nullo.
59 Tre elettroni sono posti ai vertici di un triangolo
equilatero di lato 0,2 nm. Determinare il modulo del campo elettrico nel centro del triangolo.
q
r
q
r
63 In figura, due cariche elettriche qe e una –qe,
sono poste su tre vertici di un quadrato di lato
2,0 · 10-10 m. Determinare il potenziale elettrico nel quarto vertice A.
qe
A
-qe
qe
64 In figura, due cariche q1 = q2 = q = 3,0 C sono
ferme nel vuoto a una distanza d = 2,0 cm.
Calcolare il potenziale elettrico nel punto C.
Quale lavoro bisogna compiere per portare
UNITÀ I1 - ELETTROSTATICA
una terza carica q dall’infinito in C? Qual è
l’energia potenziale elettrica della configurazione ottenuta con la terza carica?
924
calcolare il flusso del campo elettrico generato
dalle due cariche attraverso la superficie di una
sfera centrata nell’origine e di raggio 2,0 cm.
72 The electric flux through a cube is equal to
10 N m2/C. Determine the net charge within
the cube.
C
d/2
q2
65 Una particella carica q = 2,0 mC si muove
sotto l’azione di un campo elettrico. Parte da
ferma nel punto A e arriva in B con un’energia
cinetica di 4,8 J. Determinare la differenza di
potenziale tra i due punti, VB - VA.
66 Calcolare il lavoro necessario per portare
un protone da una distanza di 1,0 nm a una
distanza di 2,0 nm da un elettrone.
67 Una particella di massa m = 8,0 g e carica
q = 6,0 nC ha una velocità vA = 60 m/s nel punto
A e si muove sotto l’azione di un campo elettrico. Calcola la sua energia cinetica quando raggiunge il punto B, dove il potenziale elettrico è
più grande di 2000 V rispetto al punto A.
68 Per spostare la carica di 20 nC da un punto A
a un punto B di un campo elettrico, le forze
del campo compiono un lavoro di 0,15 J.
Calcolare la d.d.p. VA - VB.
69 A charge q = -2,0 mC, moving in a region
where only electric forces act, is released from
rest at a point A. At point B the kinetic energy
of the charge is 3,0 J. Calculate the electric
potential difference VB - VA.
Teorema di Gauss per il flusso
del campo elettrico (1.5)
70 Due cariche elettriche di 10 pC e -25 pC sono
disposte all’interno di un cubo di lato 20 cm.
Determinare il flusso del campo elettrico generato dalle due cariche attraverso la superficie
cubica.
71 Due cariche elettriche q1 e q2 sono disposte
sull’asse delle x, rispettivamente in x = 0 e in x
= 8,0 cm. Sapendo che q1 = -10 pC e q2 = 30 pC,
Distribuzioni continue e uniformi
di carica elettrica (1.6)
73 Il campo elettrico generato da una distribuzione rettilinea di carica, a una distanza di 1,0 m,
ha intensità 3,2 · 104 N/C. Calcolare la densità
di carica lineare.
74 Sull’asse x è distribuita una carica con densità
lineare 5,0 nC/m. Calcolare il flusso del campo
elettrico attraverso una superficie sferica di
raggio 3,0 cm centrata nell’origine.
75 In figura, due fili infiniti carichi sono disposti a una distanza d = 2,0 m. Sapendo che
1 = 9,0 · 10-3 C/m e che 2 = -3,0 · 10-3 C/m,
determinare il modulo del campo elettrico
nel punto P equidistante dai due fili.
1
2
P
76 Una distribuzione superficiale di carica
 = 7,00 nC/m2 è presente sul piano y - z. Una
carica puntiforme q = 1,00 · 10-7 C è sull’asse x in x = 2,00 m. Determinare il modulo
del campo elettrico nel punto sull’asse x in
x1 = 4,00 m e sull’asse x in x2 = 1,00 m.
77 Una sfera di raggio R = 1,0 cm è uniformemente carica. Determinare a quale distanza
dal centro della sfera il campo elettrico ha lo
stesso valore che in r = 3,0 cm.
Verifiche
d/2
I1
d/2
unità
q1
925
MODULO I - ELETTROMAGNETISMO
78 Una carica di 2,0 · 10-7 C è distribuita su un
guscio sferico di raggio 30 cm. Determinare
l’intensità del campo elettrico in un punto
interno alla sfera, in un punto all’esterno in
prossimità della superficie e a 3,0 m dal centro
della sfera.
79 Una carica Q = 1,0 nC è distribuita uniformemente su un guscio sferico di raggio 2,0 cm.
Una carica –Q/2 è distribuita uniformemente
su un guscio sferico di raggio 4,0 cm concentrico alla sfera. Calcolare le intensità dei
campi elettrici alle distanze di 1,0 cm, 3,0 cm
e 5,0 cm dal centro dei gusci.
80 Una sfera isolante di raggio 1,0 cm è caricata uniformemente con densità di carica
volumica . Il flusso del campo elettrico
attraverso la superficie di una sfera di raggio 0,50 cm, concentrica con la sfera carica,
vale 1,2 · 106 N m2/C. Calcolare .
81 Una sfera metallica di raggio 15 cm è caricata
con una carica di 30 nC. Determinare il modulo del campo elettrico e il potenziale sulla
superficie della sfera e nel centro della sfera.
A quale distanza dalla superficie della sfera il
potenziale è diminuito di 500 V?
Capacità e condensatore (1.7)
82 Una sfera conduttrice isolata nel vuoto ha una
capacità di 0,10 nF. Calcola il raggio della
sfera.
unità
I1
Verifiche
83 Su una sferetta conduttrice di raggio r1 = 5,0 cm
è posta una carica q = 1,0 · 10-8 C. La sferetta è
posta in contatto con un’altra sferetta conduttrice scarica di raggio r2 = 2,0 cm. Successivamente
le due sferette vengono separate e allontanate.
Calcolare la densità superficiale di carica iniziale della prima sferetta, la carica presente
sulle due sferette dopo che sono allontanate e il
valore iniziale e finale del potenziale della prima
sferetta.
84 Un condensatore piano ha un’area di
3,00 · 10-2 m2 e una separazione tra le armature di 0,100 · 10-4 m. Calcolare la capacità del
condensatore.
85 Un condensatore piano ha un’area di 30 cm
e una separazione tra le armature di 1,1 mm.
2
Tra le armature è applicata una d.d.p. di 400 V.
Calcola la capacità del condensatore, la carica
su ciascuna armatura, l’energia immagazzinata, il campo elettrico e la densità di energia tra
le armature.
86 Due condensatori di capacità 2,0 F sono collegati in serie. Sapendo che la d.d.p. ai loro
capi è di 10 V, determinare la carica sulle
armature dei condensatori.
87 In the figure is shown a network with four
capacitors C1 = 50 pF, C2 = 75 pF, C3 = 25 pF
and C4 = 25 pF. Determine the equivalent capacitance.
C1
C2
C3
C4
88 Due condensatori, di capacità C e 2 C, sono
collegati in serie e agli estremi del sistema è
applicata una d.d.p. di 300 V. Calcola la d.d.p.
tra le armature di ciascun condensatore.
89 Le capacità dei tre condensatori in figura
valgono C1 = 8,0 F, C2 = 6,0 F e C3 = 4,0 F.
Sapendo che la d.d.p. tra A e B è 10 V, calcolare la carica, la d.d.p. e l’energia elettrostatica
accumulata su C1.
B
C1
C3
C2
A

2_Appello 31 Gennaio 2014

Esercizi 27/11/2014 1) Disponendo di due stufe da 80 e 13 k e di un

Immagine - Il Sole Bacia Tutti

informativa ascolto e registrazione ESE def _2

Relazione di laboratorio di A.Dario e N.Luoni 5 G 8/4/2015

Linea Igiene Vortice

c5_4cs_f - fabiobonoli .it

3.07 Equilibrio Elettrostatico Tra Due Conduttori

Schema impianto elettrico - Consorzio Smaltimento RSU

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