Scarica - Acqua & Sapone

05/02/2014
Y
Q.4
Q.1
T (- ; +)
XP
P (+ ; +)
YP
X
0
Coordinate
cartesiane piane
R (+ ; -)
S (- ; -)
Q.3
Q.2
asse polare
N (0c)
A
(OA)
Coordinate polari
piane
O (polo)
Si consideri un punto del piano detto polo o origine,
origine, ed una retta
comunque orientata passante per tale punto, asse polare..
Rispetto a tale sistema di riferimento, si definiscono coordinate
polari del punto A, la distanza orizzontale OA e l’Azimut o
angolo di direzione orizzontale (OA)
N (0c)
asse polare
Y
XA
A’
Passaggio da
coordinate polari a
cartesiane
YA
A
(OA)
O (polo)
X
Il passaggio diretto da polari a cartesiane è possibile solo se:
le origini dei due sistemi coincidono
il semiasse positivo delle Y coincide con l’asse polare
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05/02/2014
Y
XA
A’
(OA)
YA
A
A
O
O (polo)
Passaggio da
coordinate polari a
cartesiane
X
D
i
l rettangolo
l OAA’ risulta:
i l
Dall triangolo
XA
OA
Y
cos ( OA) = A
OA
sen ( OA) =
da
cui :
XA = OA × sen ( OA)
da
cui :
YA = OA × cos ( OA)
Al variare dell’azimut tra 0c e 400c, le coordinate calcolate
assumono il segno relativo ai quattro quadranti.
Y
N (0c)
XA
A’
A
(OA)
YA
Passaggio da
coordinate
cartesiane a polari
O (polo)
X
Anche il passaggio da coordinate cartesiane a polari è
possibile.. Per la distanza basta applicare il T. di Pitagora
possibile
mentre per l’azimut, la funzione inversa della tangente
tangente..
OA =
2
2
( XA + YA )
( OA) = tan
-1
(
XA
)
YA
L’inverso della tangente fornisce direttamente il valore dell’azimut
II°°, III
III°° e IV°
IV°
solo se l’angolo calcolato è inferiore a 100c. Nel II
quadrante per ottenere il valore dell’azimut (OA) si opera nella
seguente maniera
Y
Come si ottiene il
valore dell’azimut
((OA)) nell II°°
quadrante ?
(OA)
O
YA
X
- α
Nel II
II°° quadrante risulta
A’
XA
200c
A
( OA) = tan-1 (
XA
) = - α + 200 c
YA
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05/02/2014
Y
(OA)
O
Come si ottiene il
valore dell’azimut
((OA)) nell III°°
quadrante ?
X
+ α
YA
A
XA
A’
Nel III
III°° quadrante risulta
200c
( OA) = tan- 1 (
Y
400c
A’
XA
A
XA
) = + α + 200 c
YA
YA
- α
Come si ottiene il
valore dell’azimut
(OA) nel IV°
quadrante ?
X
O
(OA)
Nel IV°
IV° quadrante risulta
( OA) = tan- 1 (
XA
) = - α + 400 c
YA
A e B sono due punti di coordinate cartesiane note.
Si definisce azimut (AB), l’angolo orizzontale destrorso che
il segmento orizzontale AB forma con il sistema di
riferimento posto nel vertice A
Y’
Y
Azimut (AB) e
distanza AB tra due
punti di coordinate
cartesiane note
XB
B
(AB)
YB
XA
A
YA
O
X
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05/02/2014
L’azimut (BA) si ottiene nel momento in cui il sistema di
riferimento, origine e asse delle Y, invece di trovarsi nel
vertice A viene posto nell’altro estremo B. Il suo calcolo è
semplice nel caso in cui sia già noto l’azimut (AB). Infatti:
(BA) = (AB) ± 200c
Y’
E l’Azimut
l Azimut (BA) ?
((AB)
B)
B
200c
(AB)
(BA)
A
Y’
Y
XB
A’
( XB – XA )
B
( YB – YA )
YB
XA
Calcolo della
distanza orizzontale
tra due punti di
coordinate
cartesiane note
A
YA
X
O
La distanza orizzontale AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo
rettangolo AA’B di cui si conoscono i due cateti A’B e AA’
A’B = XB – XA
AA’ = YB – YA
Applicando il T. di Pitagora si ottiene la “distanza
“distanza tra due punti
punti””
AB = √ [ ( XB – XA )2 + ( YB – YA )2 ]
Y’
Y
XB
A’
( YB – YA )
YB
( XB – XA )
B
(AB)
XA
A
YA
X
O
Applicando l’inverso della tangente all’interno del triangolo
rettangolo AA’B si ottiene per ““l’azimut
l’azimut (AB)”
(AB)”
[
[
Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti
di coordinate
cartesiane note
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05/02/2014
Anche in questo caso la formula precedente fornisce
direttamente il valore dell’azimut (AB) solo se il punto B si trova
nel primo quadrante rispetto al sistema posto con origine nel
vertice A. Per gli altri tre quadranti risulta
Y
Y’
Con B nel II°
II° quadrante
rispetto al sistema posto in A
Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti di
coordinate
cartesiane note
risulta
(AB)
A
X’
(YB – YA)
- α
B’
X
(XB – XA)
B
[
200c
Y
[
O
Y’
(AB)
A
X’
+α
X
O
Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti di
coordinate
cartesiane note
(YB – YA)
B
B’
(XB – XA)
200c
Con B nel III
III°° quadrante rispetto al
sistema posto in A risulta
[
Y’
(XB – XA)
B
[
Y
B’
(YB – YA)
-α
Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti di
coordinate
cartesiane note
X’
A
X
O
200c
Con B nel IV°
IV° quadrante rispetto al sistema posto
in A risulta
[
[
(AB)
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