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Licence SPI
Cinématique et Mécanismes
Introduction à la théorie des mécanismes
Mobilité, hyperstatisme, singularité
Plan
•
•
•
•
Problèmes/Objectifs
Quelques exemples
Graphe mécanisme
Nombre de
cyclomatique
• Analyse cinématique
– Exemple 1
– Exemple 2
• Approche statique
– Exemple 1
– Exemple 2
• Résumé
• Mécanismes plans
– 4 barres
– Divers…
• Cinématique des robots
• Cinématique des robots à
roues
• Cinématique des robots
marcheurs
• Mécanismes compliants
Objectifs
• Calculer la mobilité dans un mécanisme
donné
• Déterminer la ou les loi(s) d’entrée-sortie
• Déterminer les conditions géométriques
dont dépend le bon fonctionnement le
système (notion d’hyperstatisme)
• Comprendre pour savoir mieux concevoir
des mécanismes adaptés à certaines
tâches ou fonctions
Exemples
Mécanisme à 4 barres
Mécanisme bielle-manivelle
Structure isostatique
Structure hyperstatique
(Statiquement déterminé)
(Statiquement indéterminé)
Mécanisme à 4 barres
Mécanisme à 4 barres
Mécanisme bielle-manivelle
Vidéo : Moteur à combustion interne
Mécanisme du Joug Ecossais
Sinusmatic
Mécanisme spatial à 4 éléments
Hypothèses
• Solides rigides
• Liaisons parfaites
• Acquis :
– Paramétrage géométrique et cinématique
– Cinématique du solide rigide
• Torseur cinématique des liaisons
• Composition des mouvements
• Equations de fermeture des chaînes cinématiques
– Statique :
• Torseur statique des efforts transmissible dans une liaison
• Equations d’équilibre
Graphe d’un mécanisme
• Décrire la topologie d’un mécanisme dans un graphe où
– les nœuds représentent les corps
– les arcs sont les liaisons
• Soient :
– NC : nombre de nœuds ou de corps (y compris le bâti)
– NL : nombre d’arc ou de liaison
– Ck : la classe de la liaison k (k est le nombre de degrés de liberté
indépendant dans une liaison)
•
•
•
•
C1 pour une pivot, une glissière, une liaison hélicoïdale…
C2 pour une pivot glissant,
C3 pour une rotule
…
Graphe d’un mécanisme
Graphe de type
arborescent
2
1
0
C1
C1
3
C1
C1
6
5
4
C1
C1
Graphe d’un mécanisme
1
C1
2
C1
C1
4
3
C1
Graphe à cycle
Graphe d’un mécanisme
5
7
4
3
8
2
9
1
0
Graphe de type mixte :
arborescent et à cycles
10
6
11
Cyclomatique
• C’est le nombre de chaînes fermés
indépendantes dans un graphe
• Théorie des graphes :
µ = N L − NC + 1
• C’est le nombre de circuits indépendants
Cyclomatique
C1
4
5
C1
5
4
C1
3
C1
C1
2
1
3
2
1
C1
• NC=6
0
C1
0
• NL=7
• µ=2
• 2 circuits indépendants ou cyclomatiques
•0-1-3-2-0
•2-3-4-5-2
• Attention : La troisième 0-1-3-4-5-2-0 est
dépendante des deux autres
Analyse cinématique
• Mise en équations cinématiques
– IC : Nombre d’inconnus cinématiques, c’est le nombre
total de paramètres de liaisons
I C = ∑ iki
i
ki = nombre de liaison de classe Ci
– EC : Nombre d’équations cinématiques reliant les
paramètres, c’est le nombre d’équations scalaires
issues de la fermeture des chaînes cinématiques
EC = dµ = d ( N L − N C + 1)
d=6 pour un problème spatial, d=3 pour un problème
plan
Analyse cinématique
• Dans chaque chaîne cinématique fermée, on peut écrire :
{V (i / i)} = {0}
ou
{V (i / j )}+ {V ( j / ...)}+ ... + {V (... / i)} = {0}
• Après projection de toutes les équations, on obtient un système
linéaire avec un second membre nul
I colonnes
64C447444
8








EC lignes  




 
 
• Indice de mobilité
im = I C − EC
 0
 ...
  
 = ...
  
 ...
  0 
• Mobilité
m = I C − rang ( EC )
Analyse cinématique – exemple 1
1
C1
2
C1
C1
4
3
C1
• NL=4
• NC=4
• µ=1
• IC=4x1=4
• EC=3x1=3
• im=4-3=1
Analyse cinématique – exemple 1
• Ces trois équations sont
indépendantes
γ
β
α
• rang(Ec) =3 (sauf configurations
singulières)
• rang(Ec) ≤ inf(Ec,Ic)
• m=4-3=1
• On peut choisir un paramètre et
exprimer les autres en fonction de
celui-ci
λ
 −1
 l sin α
 2
− l2 cos α
1
1
0 − l3 sin β
0 l3 cos β
α& 
0    0 
&  
γ

1   &  = 0 
β 
0  &  0
λ 
Analyse cinématique – exemple 1
• Configurations singulières : l2=l3=l, α=β=π/2
α& 
 − 1 1 1 0    0 
 l 0 − l 1  γ&  = 0

  β&   
 0 0 0 0  λ&  0
 
2
3
4
• La dernière équation est redondante, donc le rang du
système d’équation est égale à 2, et la mobilité devient égale à
2.
• Ces 2 mobilités correspondent à celle de la manivelle et du
piston qui sont complètement indépendants dans cette
configuration
Analyse cinématique : exemple 2
• Ces 2 mécanismes ont la même topologie (même graphe) et même
indice de mobilité : im=(6x1)-3x(6-5+1)=0
Rang(Ec)=6
La seule solution du système
d’équation est la solution nulle
4
1
3
Rang(Ec)=5
0
m=1
4
2
1
0
m=0
3
Il existe une mobilité dans cet
assemblage
Cependant il existe une contrainte
entre les 3 longueurs des barres pour
qu’il fonctionne correctement, c’est de
l’hyperstatisme
Approche cinématique : degré d’hyperstatisme
• On définit également le degré d’hyperstatisme
h = Ec − rang( Ec )
• C’est le nombre de contraintes géométriques à respecter
pour le garantir le bon fonctionnement du mécanisme
m = im + h
Analyse statique
• Is : nombre d’inconnues statiques, c’est le nombre
de composantes d’effort dans les liaisons
I s = ∑ i (d − i )ki
• Es : Nombre d’équations statiques, c’est le nombre
d’équations d’équilibre
Es = d ( N c − 1)
• On montre que : E − I = d ( N − 1) − (d − i)k
∑
s
s
c
i
=
∑ ik
i
− d (∑ ki −N c + 1)
= I c − Ec
• Donc la mobilité générale est égale à :
im = Es − I s = I c − Ec
Analyse statique : hyperstatisme
• La résolution du système d'équations doit prendre en compte son
rang, noté Rang[ES] (rang[ES] ≤ min(Is, ES) )
• Dans le cas où Rang[Es]=Is, la seule solution du système homogène
associé est la nullité de toutes les inconnues, donc de tous les
paramètres d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons.
• Un mécanisme est dit isostatique si, en l'absence d'actions
mécaniques extérieures, toutes les inconnues d'actions mécaniques
transmissibles par les liaisons sont nulles.
• Un mécanisme est dit hyperstatique si, en l'absence d'actions
mécaniques extérieures, il existe des inconnues d'actions
mécaniques transmissibles par les liaisons sont nulles, dans les
faits indéterminées.
• Le degré d’hyperstatisme est défini par
h = I s − rang( Es )
Analyse statique : mise en équation
Second membre dépend des
efforts extérieurs : pesanteur,
actionneur, inertie…
m = Es − rang( Es )
h = I s − rang( Es )
Analyse statique : exemple 1
Actions de liaison appliquées
C
1
YC
2
α
-YC
XC
α
A
B
YA
2
YB
XA
0
0
1
-XC
XB
Mise en équations statiques : Equations d’équilibre
1
0

0

0
0

0
0 0 0
1
1 0 0
0
0 0 0 − l sin α
0 1 0
−1
0 0 1
0
0 0 0
l sin α
  X A  ...
1   YA  ...
l cos α   X B  ...
 =  
0   YB  ...
− 1   X C  ...
   
l cos α   YC  ...
0
• im=6-6=0
• rang(Es)=6 (sauf
configurations singulières)
• m=6-6=0
• h=6-6=0
• Structure isostatique
Analyse statique : exemple 1
Configuration particulière : α=0
A
1
C
2
0
B
0
Equations d’équilibre :
équations
identiques
1
0

0

0
0

0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0   X A  ...
0 1   YA  ...
l   X B  ...
0
 =  
− 1 0   YB  ...
0 − 1  X C  ...
   
l   YC  ...
0
1
• im=0
• rang(Es)=5
• m=1
Il existe une mobilité !
• h=6-5=1
Résumé
Approche cinématique
Approche statique
Nbre de corps (bâti compris)
NC
Nbre de liaisons
NL
µ=NL-NC+1
Nbre de cyclomatiques
Nbre d’équations
Ec=dµ
Es=d(Nc-1)
Nbre d’inconnus
Ic=∑ i ki
Is= ∑ (d-i) ki
Indice de mobilité
im=Ic-Ec
im=Es-Is
Mobilité d’un mécanisme
m=Ic-rang(Ec)
m=Es-rang(Es)
Hyperstatisme
h=Ec-rang(Ec)
h=Is-rang(Es)
Relation entre ces indices
im=m-h
im=m-h
d=6 (pb spatial) et d=3 (pb plan)

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