Matrices et Opérateurs de Toeplitz

´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Edgar Tchoundja
Universite´ de Yaounde´ I
Ecole de Recherche CIMPA:
´
”Analyse et Probabilites”
¨
Universite´ Felix Houphouet-Boigny,
17 - 28 Mars 2014
Plan
1
Matrices de Toeplitz
2
´
Operateurs
de Toeplitz
3
´ eralisations
´
Gen
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
2 / 16
´
Definition
de Matrices de Toeplitz
Definition
Ce sont les matrices de la forme:

a0
a−1 a−2 a−3 · · ·

..
.
 a1
a0
a−1 a−2

..

.
 a2
a1
a0
a−1

..

.
 a3
a2
a1
a0
 .
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
T = .
 .
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
 .

.
 a
 n−1 an−2 an−3 an−4 . .

.
 a
an−1 an−2 an−3 . .
n

..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
a−(n−1)
a−n
···


a−(n−2) a−(n−1) · · · 


a−(n−3) a−(n−2) · · · 


a−(n−4) a−(n−3) · · · 

..
..

.
.
··· 

..
..

.
.
··· 

a0
a−1
··· 


a1
a0
··· 

..
..
..
.
.
.
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
3 / 16
Otto Toeplitz (1881 - 1940)
´
Toeplitz etudia
ces matrices en 1911.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
4 / 16
´ ets
ˆ des matrices de Toeplitz
Inter
´
´ par la donnee
´ d’une suite
Une matrice de Toeplitz est determin
ee
´ par:
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnee
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
´ d’ordre n est:
La tronquee
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
´
´
Theorie
de la prediction
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
5 / 16
´ ets
ˆ des matrices de Toeplitz
Inter
´
´ par la donnee
´ d’une suite
Une matrice de Toeplitz est determin
ee
´ par:
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnee
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
´ d’ordre n est:
La tronquee
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
´
´
Theorie
de la prediction
´
´
´
Solutions numeriques
de certaines equations
differentielles
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
5 / 16
´ ets
ˆ des matrices de Toeplitz
Inter
´
´ par la donnee
´ d’une suite
Une matrice de Toeplitz est determin
ee
´ par:
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnee
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
´ d’ordre n est:
La tronquee
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
´
´
Theorie
de la prediction
´
´
´
Solutions numeriques
de certaines equations
differentielles
Traitement du signal et de l’image
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
5 / 16
´ ets
ˆ des matrices de Toeplitz
Inter
´
´ par la donnee
´ d’une suite
Une matrice de Toeplitz est determin
ee
´ par:
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnee
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
´ d’ordre n est:
La tronquee
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
´
´
Theorie
de la prediction
´
´
´
Solutions numeriques
de certaines equations
differentielles
Traitement du signal et de l’image
Etude des processus gaussiens stationnaires.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
5 / 16
´ ets
ˆ des matrices de Toeplitz
Inter
´
´ par la donnee
´ d’une suite
Une matrice de Toeplitz est determin
ee
´ par:
a = (an )n∈Z . Une matrice de Toeplitz T est donc donnee
T = Ti,j = ai−j i,j∈N∗ .
(1)
´ d’ordre n est:
La tronquee
Tn = ai−j
1≤i,j≤n
(2)
.
Ces matrices interviennent dans:
´
´
Theorie
de la prediction
´
´
´
Solutions numeriques
de certaines equations
differentielles
Traitement du signal et de l’image
Etude des processus gaussiens stationnaires.
···
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
5 / 16
´
Structures algebriques
matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
6 / 16
´
Structures algebriques
matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
´
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairement
de Toeplitz
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
6 / 16
´
Structures algebriques
matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
´
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairement
de Toeplitz
´
Si T est inversible, l’inverse n’est pas necessairement
de Toeplitz.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
6 / 16
´
Structures algebriques
matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
´
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairement
de Toeplitz
´
Si T est inversible, l’inverse n’est pas necessairement
de Toeplitz.
´ Tn ?
Questions sur la matrice tronquee
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
6 / 16
´
Structures algebriques
matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
´
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairement
de Toeplitz
´
Si T est inversible, l’inverse n’est pas necessairement
de Toeplitz.
´ Tn ?
Questions sur la matrice tronquee
´
Resoudre
Tn X = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peu
couteux?)
ˆ
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
6 / 16
´
Structures algebriques
matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
´
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairement
de Toeplitz
´
Si T est inversible, l’inverse n’est pas necessairement
de Toeplitz.
´ Tn ?
Questions sur la matrice tronquee
´
Resoudre
Tn X = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peu
couteux?)
ˆ
`
´
Criteres
d’inversibilite?
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
6 / 16
´
Structures algebriques
matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
´
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairement
de Toeplitz
´
Si T est inversible, l’inverse n’est pas necessairement
de Toeplitz.
´ Tn ?
Questions sur la matrice tronquee
´
Resoudre
Tn X = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peu
couteux?)
ˆ
`
´
Criteres
d’inversibilite?
´
Determiner
les valeurs propres ?
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
6 / 16
´
Structures algebriques
matrices de Toeplitz
L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel
´
Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairement
de Toeplitz
´
Si T est inversible, l’inverse n’est pas necessairement
de Toeplitz.
´ Tn ?
Questions sur la matrice tronquee
´
Resoudre
Tn X = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peu
couteux?)
ˆ
`
´
Criteres
d’inversibilite?
´
Determiner
les valeurs propres ?
Comportement asympotique?
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
6 / 16
Matrices circulantes
Ce sont les matrices de Toeplitz dans laquelle on passe d’une ligne a`
´
la suivante par permutation circulaire (decalage
vers la droite) des
coefficients.


c0 cn−1 cn−2 · · · c1
 c1
c0 cn−1
c2 


 c2
c1
c0
c3 
C = Cn = 

 ..
.. 
..
 .
. . 
cn−1 cn−2 cn−3 · · ·
c0
On note simplement par:
Cn = (c0 , c1 , c2 , · · · , cn−1 ) .
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
(3)
Abidjan, 24 Mars 2014
7 / 16
Diagonalisation de C
On pose:




U = Un = 


0 0 0 ···
1 0 0
0 1 0
..
..
.
.
0 0 0 ···
1
0
0
..
.




 = (e2 e3 · · · en−1 e1 ) ,


0
`
ou` ek = k -ieme
colonne de la matrice identite´ In .
Lemma
Soit Cn = (c0 , c1 , c2 , · · · , cn−1 ) une matrice
On a
P circulante.
k.
Cn = c0 In + c1 Un + · · · + cn−1 Unn−1 = kn−1
c
U
=0 k n
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
8 / 16
Diagonalisation de C
Theorem
Soit n ∈ N∗ . Soit C = (c0 , c1 , c2 , · · · , cn−1 ) une matrice circulante. Elle
´ par la matrice de transformation de Fourier discrete.
`
est diagonalisee
´
Precisement,
on a
C =t Fn DFn ,
√
ou` la matrice diagonale D = Diag( nFn c) avec c la matrice colonne
´ par la premiere
` colonne de C et
donnee


1
1
1
···
1

 1
wn
wn2
wnn−1



2(n−1)
1 
2
4
,
1
wn
wn
wn
Fn = √ 


n  ..
..
..

.
.
.


(n−1)
2(n−1)
(n−1)(n−1)
1 wn
wn
· · · wn
avec wn = e
−2π i
n
.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
9 / 16
Comportement Asymptotique
¨
Theorem (Szego)
Soit T une matrice de Toeplitz Hermitienne. Soit (Tn ) la suite des
´ d’ordre n de T . Soit f la fonction densite´ spectrale de T . On
tronquees
suppose que F est une fonction continue sur l’image de f . On pose
´ a` Tn . On a
(λn,k ) les valeurs propres associees
n−1
1X
1
lim
F (λn,k ) =
n→+∞ n
2π
k=0
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
Z
2π
F (f (x))dx.
0
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
10 / 16
´
Matrices de Toeplitz comme Operateurs
dans l 2 (N)
.
(
l 2 (N) =
u = (un ) ⊂ C :
∞
X
)
|un |2 < ∞ .
k=0
´ par la suite a = (an )n∈Z . Pour
Soit T une matrice de Toeplitz donnee
ˆ
´ ee
´ comme un operateur
´
les estimations, T peut etre
consider
sur l 2 (N)
´
defini
par:
T : l 2 (N) →
l 2 (N)
P
u
7→ v = Tu = vn = +∞
k=0 an−k uk n∈N .
Questions sur T?
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
11 / 16
´
Matrices de Toeplitz comme Operateurs
dans l 2 (N)
.
(
l 2 (N) =
u = (un ) ⊂ C :
∞
X
)
|un |2 < ∞ .
k=0
´ par la suite a = (an )n∈Z . Pour
Soit T une matrice de Toeplitz donnee
ˆ
´ ee
´ comme un operateur
´
les estimations, T peut etre
consider
sur l 2 (N)
´
defini
par:
T : l 2 (N) →
l 2 (N)
P
u
7→ v = Tu = vn = +∞
k=0 an−k uk n∈N .
Questions sur T?
´ es
´ spectrales (Continuite,
´ compacite,
´ trace,
Etudes des propriet
Hilbert Schmidt)
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
11 / 16
´
Matrices de Toeplitz comme Operateurs
dans l 2 (N)
.
(
l 2 (N) =
u = (un ) ⊂ C :
∞
X
)
|un |2 < ∞ .
k=0
´ par la suite a = (an )n∈Z . Pour
Soit T une matrice de Toeplitz donnee
ˆ
´ ee
´ comme un operateur
´
les estimations, T peut etre
consider
sur l 2 (N)
´
defini
par:
T : l 2 (N) →
l 2 (N)
P
u
7→ v = Tu = vn = +∞
k=0 an−k uk n∈N .
Questions sur T?
´ es
´ spectrales (Continuite,
´ compacite,
´ trace,
Etudes des propriet
Hilbert Schmidt)
´ es
´ algebriques:
´
´ produit
Propriet
rang fini, inversibilite,
´
d’operateurs,
spectre et spectre essentiel,...
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
11 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
Disque unite´ de C;
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
T = ∂D.
Abidjan, 24 Mars 2014
12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unite´ de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unite´ de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
r →1
existe p.p
<
.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unite´ de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
existe p.p
r →1
<
.
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
1
2π
R 2π
0
|f ∗ (θ)|p dθ = ||f ||pH p .
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unite´ de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
existe p.p
r →1
<
.
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a
On a H p (D) ,→ Lp (T ).
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
1
2π
R 2π
0
|f ∗ (θ)|p dθ = ||f ||pH p .
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unite´ de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
r →1
existe p.p
<
.
R 2π ∗
p
1
p
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a 2π
0 |f (θ)| dθ = ||f ||H p .
On a H p (D) ,→ Lp (T ).
R 2π
1
p=2:
Espace de Hilbert: hf , gi = 2π
0 f (θ)g(θ)dθ.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unite´ de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
r →1
existe p.p
<
.
R 2π ∗
p
1
p
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a 2π
0 |f (θ)| dθ = ||f ||H p .
On a H p (D) ,→ Lp (T ).
R 2π
1
p=2:
Espace de Hilbert: hf , gi = 2π
0 f (θ)g(θ)dθ.
2
2
¨
P : L (T ) → H (D)
Projecteur de Szego.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
12 / 16
Espaces de Hardy
D = {z ∈ C : |z| < 1} :
Disque unite´ de C;
p
Soit p ∈ (0, ∞), H (D) Espace de Hardy.
(
Z
H p (D) =
f ∈ Hol(D);
||f ||pH p
2π
:= sup
T = ∂D.
)
|f (reiθ )|p dθ < ∞ .
0≤r <1 0
Soit f ∈ H p (D), alors
f ∗ (θ) = lim f (reiθ )
r →1
existe p.p
<
.
R 2π ∗
p
1
p
La fonction f ∗ ∈ Lp (T , dθ) et on a 2π
0 |f (θ)| dθ = ||f ||H p .
On a H p (D) ,→ Lp (T ).
R 2π
1
p=2:
Espace de Hilbert: hf , gi = 2π
0 f (θ)g(θ)dθ.
2
2
¨
P : L (T ) → H (D)
Projecteur de Szego.
Ce projecteur est donne´ par
Z 2π
1
f (θ)
P(f )(z) =
dθ.
2π 0 1 − z e−iθ
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
12 / 16
´
Relation Matrice et Operateur
de Toeplitz
Proposition
´
Soit T une matrice de Toeplitz definie
par la suite (an )n∈Z . On pose
+∞
P
ϕ(θ) =
an einθ Le diagramme suivant est commutatif.
n∈Z
T
l 2 (N)
−→
x=(xn )n≥0
l 2 (N)
y=Tx=(yn )n≥0
i↓
i↓
Tϕ
H 2 (D)
−→
P
n
f (z)= +∞
n≥0 xn z
ou:
` Tϕ f (z) = P(ϕ f )(z) =
1
2π
R 2π
0
H 2 (D)
F (z)=
P+∞
n≥0 yn
,
zn
ϕ(θ)f (θ)
dθ.
1−z e−iθ
Cette proposition permet de traduire les estimations avec la matrice de
´
Toeplitz en des estimations sur les operateurs
de Toeplitz.
´
´ e´ operateur
´
L’operateur
Tϕ est appel
de Toeplitz et la fonction ϕ
´ ee
´ symbole de l’operateur
´
est appel
de Toeplitz.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
13 / 16
´
Operateurs
de Toeplitz
Questions sur Tϕ ?
´
´
Determiner
les conditions necessaires
et suffisantes sur le symbole ϕ
pour les questions suivantes:
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
14 / 16
´
Operateurs
de Toeplitz
Questions sur Tϕ ?
´
´
Determiner
les conditions necessaires
et suffisantes sur le symbole ϕ
pour les questions suivantes:
´ es
´ spectrales (Continuite,
´ compacite,
´ trace,
Etudes des propriet
Hilbert Schmidt)
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
14 / 16
´
Operateurs
de Toeplitz
Questions sur Tϕ ?
´
´
Determiner
les conditions necessaires
et suffisantes sur le symbole ϕ
pour les questions suivantes:
´ es
´ spectrales (Continuite,
´ compacite,
´ trace,
Etudes des propriet
Hilbert Schmidt)
´ es
´ algebriques:
´
´ produit
Propriet
rang fini, inversibilite,
´
d’operateurs,
spectre et spectre essentiel,...
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
14 / 16
´ es
´ spectrales
Propriet
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
15 / 16
´ es
´ spectrales
Propriet
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
´ De plus,
Tϕ est borne´ sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borne.
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
15 / 16
´ es
´ spectrales
Propriet
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
´ De plus,
Tϕ est borne´ sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borne.
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
15 / 16
´ es
´ spectrales
Propriet
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
´ De plus,
Tϕ est borne´ sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borne.
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Si f ∈ H ∞ , alors
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
15 / 16
´ es
´ spectrales
Propriet
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
´ De plus,
Tϕ est borne´ sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borne.
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Tf +λg = Tf + λTg
Si f ∈ H ∞ , alors
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
15 / 16
´ es
´ spectrales
Propriet
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
´ De plus,
Tϕ est borne´ sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borne.
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Tf +λg = Tf + λTg
(Tf )∗ = Tf .
Si f ∈ H ∞ , alors
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
15 / 16
´ es
´ spectrales
Propriet
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
´ De plus,
Tϕ est borne´ sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borne.
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Tf +λg = Tf + λTg
(Tf )∗ = Tf .
Si f ∈ H ∞ , alors
Tg Tf = Tfg
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
15 / 16
´ es
´ spectrales
Propriet
Theorem (Brown-Halmos, 64’)
Soit ϕ ∈ L2 (T ).
´ De plus,
Tϕ est borne´ sur H 2 (D) si et seulement si ϕ est borne.
||Tϕ || = ||ϕ||∞ .
Tϕ est compact sur H 2 (D) si et seulement si ϕ ≡ 0.
Proposition
Soit f , g ∈ L∞ (T ) et λ ∈ C. On a
Tf +λg = Tf + λTg
(Tf )∗ = Tf .
Si f ∈ H ∞ , alors
Tg Tf = Tfg
Tg Tf = Tf g .
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
15 / 16
´ eralisations
´
Gen
´
´
´
L’etude
des operateurs
de Toeplitz s’est etendue
dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (a` poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
16 / 16
´ eralisations
´
Gen
´
´
´
L’etude
des operateurs
de Toeplitz s’est etendue
dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (a` poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
16 / 16
´ eralisations
´
Gen
´
´
´
L’etude
des operateurs
de Toeplitz s’est etendue
dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (a` poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.
´
Dans d’autres domaines de C et en dimension superieure
(la
´ les domaines symetriques
´
boule unite,
etc.)
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
16 / 16
´ eralisations
´
Gen
´
´
´
L’etude
des operateurs
de Toeplitz s’est etendue
dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (a` poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.
´
Dans d’autres domaines de C et en dimension superieure
(la
´ les domaines symetriques
´
boule unite,
etc.)
Aux symboles qui sont des mesures.
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
16 / 16
´ eralisations
´
Gen
´
´
´
L’etude
des operateurs
de Toeplitz s’est etendue
dans plusieurs
directions:
Les espaces de Bergman (a` poids):
Z
p
p
p
2 β
|f (z)| (1 − |z| ) dν(z) < ∞ .
Aβ (D) = f ∈ H(D); ||f ||p,β :=
D
Tϕβ (f )(z) = cβ
(1−|w|2 )β
D (1−hz,wi)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).
R
Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.
´
Dans d’autres domaines de C et en dimension superieure
(la
´ les domaines symetriques
´
boule unite,
etc.)
Aux symboles qui sont des mesures.
....
Edgar Tchoundja (Univ Yde´ I)
´
Matrices et Operateurs
de Toeplitz
Abidjan, 24 Mars 2014
16 / 16

Download Report