BONFAIT Julie ORCEL Johnny PERIER Axel TAIEB Benjamin Gestion Quantitative La Loi Fondamentale de la Gestion Active: Dynamiques des Séries Temporelles et Propriétés des Coupes Transversales – Ding (2010) Université Paris Dauphine - 2012/2013 Plan La gestion active et la FLAM L’enjeu de la gestion active Interprétation de l’IR Une approximation de l’IR : la FLAM Zoom sur l’IC Objet de l’article Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences Cas des séries temporelles Cas des séries en coupe Histogramme des IC La FLAM généralisée La FLAM de Ding Les cas particuliers Comparaison des 4 FLAM La variation de phi Résultats Université Paris Dauphine - 2012/2013 Plan La gestion active et la FLAM L’enjeu de la gestion active Interprétation de l’IR Une approximation de l’IR : la FLAM Zoom sur l’IC Objet de l’article Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences Cas des séries temporelles Cas des séries en coupe Histogramme des IC La FLAM généralisée La FLAM de Ding Les cas particuliers Comparaison des 4 FLAM La variation de phi Résultats Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats L’enjeu de la gestion active Un investisseur qui souscrit à un fond géré de manière active par rapport à un benchmark attend, en plus du rendement généré par ce benchmark, un rendement supplémentaire: le rendement actif Ce rendement n’est obtenu que si le gérant dévie judicieusement du benchmark Ceci ajoute un risque supplémentaire au risque du benchmark: le risque actif L’investisseur accepte de porter le risque du benchmark, et préférera un gérant présentant un risque actif le plus faible possible Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats L’enjeu de la gestion active On va donc juger un gérant sur sa capacité à apporter en moyenne un rendement actif positif sans trop de risque On appelle le rendement ajusté du risque la valeur ajoutée du gérant Elle est mesurée par le ratio d’information 𝔼(𝑅𝑃, 𝐼𝑅 = 𝜎(𝑅𝑃, Université Paris Dauphine - 2012/2013 ) 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑓 ) 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑓 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats L’enjeu de la gestion active Deux sources de rendement actif, deux sources de risque actif Le gérant peut puiser un rendement actif dans deux stratégies : Le benchmark timing Le stock picking On a alors deux sources de risque actif : Le risque lié au benchmark timing Le risque lié au stock picking : le risque résiduel Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats L’enjeu de la gestion active La gestion « market neutral » En pratique, peu de gérants font appel au benchmark timing et se focalisent sur le stock picking uniquement : Gestion « market neutral » : beta=1. Le risque actif se résume au risque résiduel Objectif du gérant: générer une surperformance alpha optimale compte tenu de ses prévisions sur les alphas des titres et de son aversion au risque résiduel Il maximise sa valeur ajoutée 𝔼(𝑟𝑃 ) 𝛼𝑃 L’IR devient à 𝐼𝑅 = = 𝜎(𝑟𝑃 ) 𝜎(𝑟𝑃 ) Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Interprétation de l’IR ex post, le ratio d'information mesure les performances (rendement corrigé du risque) du gérant ex ante, il indique quelles sont les opportunités atteignables par le gérant : compte tenu d'un certain budget en risque résiduel que se fixe le gérant, quel rendement alpha peut on espérer de ce gérant ? 𝛼𝑃 = 𝐼𝑅 × 𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 𝜎(𝛼𝑃 ) Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Une approximation de l’IR : la FLAM Grinold & Kahn présentent une formule appelée la Loi Fondamentale de la Gestion Active qui donne une approximation du ratio d'information 𝐼𝑅 = 𝐼𝐶 × 𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡ℎ Breadth: nombre de paris indépendants sur les rendements résiduels que fait le gérant sur l'année L'IC mesure la qualité des paris/décisions d'investissement sur l'année. Formellement, c'est la corrélation des prévisions avec les rendements effectifs réalisés Pour atteindre un fort ratio d'information, qui est l'objectif de tout gérant, il faut jouer souvent et jouer bien Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Zoom sur l’IC IC : corrélation des prévisions avec les rendements effectifs réalisés. Cette corrélation peut être mesurée de deux manières : L’IC en série temporelle : corrélation dans le temps, pour un titre Les prévisions du gérant sur le titre ont-elles été pertinentes dans le passé ? L’IC retenu dans la FLAM sera l’IC moyen entre les titres L’IC en coupe : corrélation dans le portefeuille, à une période donnée Sur une période donnée, le gérant a-t-il fait les bonnes prévisions sur les bons titres ? L’IC retenu dans la FLAM sera l’IC moyen observé dans le temps Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Zoom sur l’IC Hypothèse G&K : les IC en coupe et IC en série temporelle sont identiques Ils peuvent être utilisés de manière interchangeable dans la formule Problème : la formule conduit à des IR systématiquement surestimés (parfois de l’ordre de 3) Selon l’auteur, l’hypothèse de G&K est trop forte. C’est ce qui conduit aux IR trop élevés Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Objet de l’article L’auteur proposera deux modélisations des rendements résiduels. C'est à travers ces modélisations qu’il va: 1) Montrer que c'est bien l’hypothèse de G&K qui conduit à la formule incorrecte de la FLAM 2) Proposer une formule plus générale de la FLAM, basée sur des hypothèses faibles. Il montrera par ailleurs que les différentes formes de la FLAM publiées jusqu'alors ne sont que des cas particuliers de sa version Université Paris Dauphine - 2012/2013 Plan La gestion active et la FLAM L’enjeu de la gestion active Interprétation de l’IR Une approximation de l’IR : la FLAM Zoom sur l’IC Objet de l’article Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences Cas des séries temporelles Cas des séries en coupe Histogramme des IC La FLAM généralisée La FLAM de Ding Les cas particuliers Comparaison des 4 FLAM La variation de phi Résultats Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Cadre et notations Pour un benchmark donné, le rendement en excès total d’un actif i peut être décomposé de la manière suivante 𝑟𝑖𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛽𝑖𝑡 𝑅𝐵,𝑡 + 𝑟𝑖𝑡 Le rendement actif d’un portefeuille est 𝑁 𝑅𝐴,𝑡 = 𝑅𝑃,𝑡 − 𝛽𝑃,𝑡 𝑅𝐵𝑡 = 𝛥𝑤𝑖𝑡 𝑟𝑖𝑡 𝑖=1 L’alpha et la covariance des erreurs de prévision sont 𝛼𝑡 = 𝐸(𝑟𝑡 | 𝐼𝑡−1 ) Université Paris Dauphine - 2012/2013 Ω𝑡 = 𝐸( 𝑟𝑡 − 𝛼𝑡 𝑟𝑡 − 𝛼𝑡 ′ | 𝐼𝑡−1 ) La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Cadre et notations Le problème d’optimisation de la valeur ajoutée est max 𝑈𝑡 = 𝛼𝑃𝑡 Δ𝑤 𝑡 1 2 1 ′ − 𝜆𝜎𝑃𝑡 = Δ𝑤𝑡 𝛼𝑡 − 𝜆Δ𝑤𝑡′ Ωt Δ𝑤𝑡 2 2 s.c. Δ𝑤𝑡′ 1 = 0 Les solutions sont 𝛼𝑃𝑡 = 𝜎𝑃𝑡 𝛼𝑡 ′Ωt −1 (𝛼𝑡 − 𝜅1) 𝛼𝑃𝑡 𝐼𝑅 = = 𝐸( 𝛼𝑡 ′Ωt −1 𝛼𝑡 − 𝜅1 ) 𝜎𝑃 Université Paris Dauphine - 2012/2013 Plan La gestion active et la FLAM L’enjeu de la gestion active Interprétation de l’IR Une approximation de l’IR : la FLAM Zoom sur l’IC Objet de l’article Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences Cas des séries temporelles Cas des séries en coupe Histogramme des IC La FLAM généralisée La FLAM de Ding Les cas particuliers Comparaison des 4 FLAM La variation de phi Résultats Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Cas des séries temporelles Ding modélise la relation entre le rendement résiduel et le signal de prédiction avec un modèle linéaire en série temporelle Le modèle s’écrit 𝑟𝑖𝑡 = 𝑔𝑖 𝑧𝑖𝑡−1 + 𝜉𝑖𝑡 L’alpha s’écrit 𝛼𝑖𝑡 = 𝐸(𝑟𝑖𝑡 | 𝐼𝑡−1 ) = 𝐼𝐶𝑡𝑠,𝑖 𝜎𝑟 𝑖 𝑧𝑖𝑡−1 𝛼𝑃𝑡 =𝐸 L’IR ex-ante est 𝐼𝑅 = 𝜎𝑃 𝑁 𝛼𝑡 ′Ωt −1 𝛼𝑡 − 𝜅1 = 𝑖=1 2 𝐼𝐶𝑡𝑠 2 1 − 𝐼𝐶𝑡𝑠 On retrouve la loi fondamentale de Grinold seulement lorsque 𝐼𝐶𝑡𝑠,𝑖 = 𝐼𝐶𝑡𝑠 ∀ 𝑖 𝜖 𝑁 et 𝐼𝐶𝑡𝑠 est petit 𝐼𝐶𝑡𝑠 𝐼𝑅 = 𝑁 ≈ 𝐼𝐶𝑡𝑠 𝑁 2 1 − 𝐼𝐶𝑡𝑠 Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Cas des séries en coupe Ding modélise la relation entre le rendement résiduel et le signal de prédiction avec un modèle linéaire en coupe transversale entre les titres Le modèle s’écrit 𝑟𝑖𝑡 = 𝑓𝑡 𝑧𝑖𝑡−1 + 𝜉𝑖𝑡 L’alpha s’écrit 𝛼𝑖𝑡 = 𝐸(𝑟𝑖𝑡 | 𝐼𝑡−1 ) = 𝐼𝐶𝑐𝑠 𝛿𝑧𝑖𝑡 1 En coupe transversale, l’IC s’écrit 𝐼𝐶𝑐𝑠 = 𝑁 Université Paris Dauphine - 2012/2013 𝑁 𝑖=1 𝜎𝑟 𝑖 𝐼𝐶𝑡𝑠,𝑖 𝛿 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Cas des séries en coupe Si 𝐼𝐶𝑡𝑠,𝑖 1 = 𝐼𝐶𝑡𝑠 on a 𝐼𝐶𝑐𝑠 = 𝐼𝐶𝑡𝑠 𝑁 𝑁 𝑖=1 𝜎𝑟 𝑖 𝜎𝑟 = 𝐼𝐶𝑡𝑠 𝛿 𝛿 Tant que 𝜎𝑟 ≠ 𝛿 , les 𝐼𝐶𝑐𝑠 sont différents des les 𝐼𝐶𝑡𝑠 sont identiques pour chaque titre 𝐼𝐶𝑡𝑠 même si En coupe transversale, l’IR est donné par 𝑁 𝐼𝑅 = 𝐼𝐶𝑡𝑠 𝑖=1 1 2 2 𝐼𝐶𝑡𝑠 (𝜎𝑟 𝑖 /𝜎𝑟 − 1)2 + (1 − 𝐼𝐶𝑡𝑠 )(𝜎𝑟 𝑖 /𝜎𝑟 )2 On retrouve la loi de Grinold seulement lorsque 𝜎𝑟 𝑖 = 𝜎𝑟 ∀𝑖 d’où 𝜎𝑟 = 𝜎𝑟 = 𝛿 et 𝐼𝐶𝑐𝑠 = 𝐼𝐶𝑡𝑠 Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Histogrammes des IC Histogramme des IC en coupe avec z le « sales to price » Histogramme des IC en série temporelle avec z le « sales to price » Université Paris Dauphine - 2012/2013 Histogramme des IC en coupe avec z le « book to price » Histogramme des IC en série temporelle avec z le « book to price » Plan La gestion active et la FLAM L’enjeu de la gestion active Interprétation de l’IR Une approximation de l’IR : la FLAM Zoom sur l’IC Objet de l’article Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences Cas des séries temporelles Cas des séries en coupe Histogramme des IC La FLAM généralisée La FLAM de Ding Les cas particuliers Comparaison des 4 FLAM La variation de phi Résultats Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats La FLAM de Ding Ding utilise les IC en coupe pour 2 raisons: Meilleurs estimations avec la régression de Fama-McBeth par rapport aux MCO (Peterson [2009]) Avoir des hypothèses les plus faibles possibles (IC non constant dans le temps) Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats La FLAM de Ding On reprend le modèle suivant 𝑟𝑖𝑡 = 𝑓𝑡 𝑧𝑖𝑡−1 + 𝜉𝑖𝑡 L’ « excess return » espéré est donné ex ante par 𝛼𝑃𝑡 = 𝜎𝑃𝑡 1 ) 𝜎𝜀2 Avec 𝜙 ≥ 1 𝜙 = 𝛿 2 𝔼𝐶𝑆 ( 𝐼𝐶𝑡 2 1/ (𝜙𝑁) + 𝜎𝐼𝐶 𝑖 Finalement la FLAM sous sa formule générale est 𝐼𝑅 = Université Paris Dauphine - 2012/2013 𝛼𝑃𝑡 = 𝜎𝑃𝑡 𝐼𝐶 2 1/ (𝜙𝑁) + 𝜎𝐼𝐶 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Les cas particuliers FLAM générale 𝐼𝐶 𝐼𝑅 = 2 1/ (𝜙𝑁) + 𝜎𝐼𝐶 Grinold [1989] Si 𝐼𝐶𝑡 sont constants dans le temps, (i.e 𝜎𝐼𝐶 = 0 ) et si 𝜎𝑟 𝑖 sont les mm pour tous les actifs, (𝜙 = 1/(1 − 𝐼𝐶 2 ) ) on a donc 𝐼𝐶 = 𝐼𝐶𝑡𝑠 : Qian and Hua [2004] 𝐼𝑅 = Pour 𝑁 → +∞ 𝐼𝐶𝑡𝑠 2 1 − 𝐼𝐶𝑡𝑠 𝐼𝑅 = 𝑁 ≈ 𝐼𝐶𝑡𝑠 𝑁 𝐼𝐶 𝜎𝐼𝐶 Ye [2008] 2 Si les 𝜎𝑟 𝑖 sont les mêmes à la date t mais les 𝐼𝐶𝑡 ne sont pas constants (𝜙 = 1/(1 − 𝐼𝐶 2 − 𝜎𝐼𝐶 ) 𝐼𝐶 𝐼𝑅 = 2 (1 − 𝐼𝐶 2 − 𝜎 2 𝐼𝐶 )/𝑁 + 𝜎𝐼𝐶 Université Paris Dauphine - 2012/2013 ≈ 𝐼𝐶 2 1/𝑁 + 𝜎𝐼𝐶 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Comparaison des 4 FLAM 𝜎𝐼𝐶 = 0.1 IC = 0.03 𝜙= 2 « The Chinese Wall » Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Comparaison des 4 FLAM Il ne faut plus seulement « jouer souvent et jouer bien » Il faut jouer souvent ( N) lorsque N est petit, et lorsque N est grand jouer bien (fort IC) et précisément (petit 𝜎𝐼𝐶) A partir d’un certain seuil, la « breadth » n’a plus d’effet sur l’IR, seuls l’IC et le 𝜎𝐼𝐶 entrent en jeu Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats La variation de Phi 𝜙 pour differents univers sur le temps Université Paris Dauphine - 2012/2013 Plan La gestion active et la FLAM L’enjeu de la gestion active Interprétation de l’IR Une approximation de l’IR : la FLAM Zoom sur l’IC Objet de l’article Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences Cas des séries temporelles Cas des séries en coupe Histogramme des IC La FLAM généralisée La FLAM de Ding Les cas particuliers Comparaison des 4 FLAM La variation de phi Résultats Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Résultats Université Paris Dauphine - 2012/2013 La gestion active et la FLAM Cadre et notations Comportement empirique des IC et conséquences La FLAM généralisée Résultats Résultats Université Paris Dauphine - 2012/2013 Sources « The Fundamental Law of Active Management: Time Series Dynamics and Cross-Sectional Properties », Zhuanxin Ding « Gestion Active et Prévisions de marché », Chafic Mehry « Active Portfolio Management », Grinold & Kahn Université Paris Dauphine - 2012/2013 BONFAIT Julie ORCEL Johnny PERIER Axel TAIEB Benjamin
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