Mathématique
Sciences Naturelles (4e sec.)
Chapitre 1
L’analyse de fonctions
1.1 Les propriétés des fonctions
A) La notation fonctionnelle
Une fonction est une relation pour laquelle tout élément de l’ensemble de départ est associé à
au plus un élément de l’ensemble d’arrivée.
Remarques :
– Le type des variables d’une situation détermine les ensembles de départ et d’arrivée de la
fonction. Ces ensembles sont généralement des sous-ensembles des nombres réels tels
que , , +, etc.
– S’il n’y a pas de contexte, on considère généralement que les ensembles de départ et
d’arrivée sont .
La notation fonctionnelle sert à définir une fonction en précisant ses ensembles de départ et
d’arrivée ainsi que sa règle de correspondance.
Voici les éléments qu’on trouve dans la notation fonctionnelle.
f:
x
Cette notation se lit ainsi : Fonction f de
correspondre un élément appartenant à
vers qui, à un élément x appartenant à
que l’on note f(x).»
, fait
Exemple :
Une voiture roule à une vitesse constante de 80 km / h. On peut définir la relation entre la
distance parcourue d(t), en kilomètres, et le temps de parcours t, en heures, de la façon
suivante.
d:
ℝ+ ⟶ ℝ+
t  d(t) =
d(2) =
d(2) désigne la distance parcourue en ___________, soit _____________ km.
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B) Les propriétés d’une fonction
Faire l’analyse d’une fonction consiste à décrire ses propriétés. Les propriétés en question sont
définies dans les tableaux suivants. Chacune d’elles est accompagnée d’un exemple qui réfère
à la fonction f représentée ci-dessous.
f(x)
x
1) Le domaine et l’image
Propriété
Domaine
Image
Définition
Exemple
Ensemble des valeurs que prend la
variable «
».
Ensemble des valeurs que prend la
variable «
».
Dom f =
Ima f =
2) Les coordonnées à l’origine
Propriété
Définition
Abscisses à
l’origine (ou
zéros)
Valeurs de la variable indépendante pour
lesquelles la variable dépendante est
nulle. Une fonction peut n’avoir aucun
zéro, en avoir un ou en avoir plusieurs.
Exemple
Ordonnée à
Valeur de la variable dépendante lorsque
l’origine (ou
».
valeur initiale) la variable indépendante est «
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3) Le signe
Propriété
Définition
Exemple
Sous-ensemble(s) du domaine pour lequel
Positive (lesquels) les valeurs de la variable dépendante
sont positives.
Sous-ensemble(s) du domaine pour lequel
Négative (lesquels) les valeurs de la variable dépendante
sont négatives.
Remarque : Par convention, aux zéros, la fonction est considérée comme à la fois positive et négative.
Pour exclure les zéros, il faut préciser, selon le cas, que la fonction est strictement positive ou strictement
négative.
Exemple : La fonction f est strictement positive pour x ∈ _______________________________.
4) La variation
Propriété
Définition
Exemple
Croissance Intervalle(s) du domaine sur lequel
(lesquels) la fonction ne diminue jamais.
Intervalle(s) du domaine sur lequel
Décroissance (lesquels) la fonction n’augmente
jamais.
Intervalle(s) du domaine sur lequel
Constance (lesquels) la fonction ne subit aucune
variation (variation nulle).
Remarque : Par convention, sur un intervalle où la fonction est constante, celle-ci est à la fois croissante
et décroissante. Pour exclure la constance, il faut préciser selon le cas que la fonction est strictement
croissante ou strictement décroissante.
Exemple : La fonction f est strictement croissante pour _________________________________.
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5) Les extremums
Propriété
Définition
Exemple
Maximum
(absolu)
Valeur la plus élevée de la fonction
sur tout son domaine.
Minimum
(absolu)
Valeur la moins élevée de la fonction
sur tout son domaine.
Remarque : On dit qu’une fonction possède un maximum ou un minimum relatif en x1 si, pour
tout x de part et d’autre de x1, on a selon le cas f(x1) ≥ f(x) ou f(x1) ≤ f(x).
Exemple : Pour la fonction f, _________________________.
1.2 Les paramètres
A) Des modèles mathématiques : les fonctions de base
Les fonctions mathématiques permettent de modéliser plusieurs situations de la vie courante.
Voici quelques-uns des modèles mathématiques les plus courants.
Modèle linéaire
Modèle de valeur absolue
Modèle de variation
inverse
Modèle quadratique
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Modèle en escalier
Modèle périodique
Modèle racine carrée
Modèle exponentiel
Remarques :
– Les courbes et les règles présentées pour chacun des modèles sont celles des fonctions
de base du modèle, c’est-à-dire les fonctions les plus simples associées aux modèles.
– Pour les modèles exponentiel et périodique, les courbes et les règles présentées
correspondent à des cas particuliers du modèle.
– Les points noirs sont des points remarquables de la fonction. Ils facilitent le tracé de la
courbe de celle-ci.
– Les modèles exponentiel et de variation inverse possèdent des asymptotes, c’est-à-dire
une droite vers laquelle la courbe tend à l’infini.
B) Les transformations des graphiques
Le tableau suivant précise le type de transformation que provoque une opération sur les
coordonnées des points dans le plan cartésien.
Opération
Transformation
Multiplication de la coordonnée x par une
constante
Multiplication de la coordonnée y par une
constante
Addition d’une constante à la coordonnée x
Addition d’une constante à la coordonnée y
C) Le rôle des paramètres
Il existe quatre paramètres (deux multiplicatifs et deux additifs) qui transforment la règle d’une
fonction de base f. La fonction de base et ses fonctions transformées forment une famille de
fonctions ayant une même allure graphique.
La règle d’une fonction transformée peut s’écrire sous la forme :
où a, b, h et k sont les paramètres qui transforment la fonction de base.
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La transformation du plan qui associe chacun des points (x, y) de la fonction f au x points de la
fonction g est :
(x, y)  (
,
)
Les tableaux suivants décrivent l’influence de chacun des paramètres sur l’allure du graphique.
La valeur absolue du paramètre a provoque un changement d’échelle vertical.
Si le paramètre a est négatif, il provoque aussi une réflexion par rapport à l’axe des x.
|a| > 1
0 < |a| < 1
Allongement vertical
Rétrécissement vertical
Exemple
f (x) = x 2
g(x) = x 2
La valeur absolue du paramètre b provoque un changement d’échelle horizontal. Si le
paramètre b est négatif, il provoque aussi une réflexion par rapport à l’axe des y.
|b| > 1
Rétrécissement horizontal
Exemple
f (x) = sin x
g(x) = bsin x
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0 < |b| < 1
Exemple
f (x) = sin x
Allongement horizontal
g(x) = bsin x
Les paramètres h et k provoquent des translations .
h>0
h<0
Translation vers la droite
Translation vers la gauche
k>0
k<0
Translation vers le haut
Translation vers le bas
Exemple
Exemple
f (x) = x
g(x) = x − h
f (x) = x
g(x) = x + k
Remarque : Les courbes transformées g(x) = f(x − h) et g(x) = f(x) + k sont isométriques aux
courbes de base.
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1.3 Les fonctions en escalier
A) Les fonctions en escalier
Les fonctions en escalier sont des fonctions
discontinues. Elles sont constantes sur des intervalles
et varient brusquement par sauts à certaines valeurs
de la variable indépendante, appelées valeurs
critiques. Le graphique est formé de segments
horizontaux habituellement fermés à une extrémité et
ouverts à l’autre.
Dans l’exemple ci-contre, les valeurs critiques sont
0,5, 1, 2, 3 et 4.
B) Les fonctions partie entière
Les fonctions parties entière sont des cas particuliers de fonctions en escalier pour lesquelles
tous les segments horizontaux sont isométriques et la distance entre deux segments
consécutifs est constante.
1. La fonction partie entière de base
La fonction partie entière de base se définit comme suit.
f: →
x  _________
Cette fonction associe, à chaque valeur de x, le plus grand entier inférieur ou égal à x.
L’expression [x] se lit « partie entière de x » et se calcule de la façon suivante.
Si x ∈ [n, n + 1[ , où n ∈ , alors [x] = n.
Exemples : [7,57] =
; 1 =
3
; [10] =
; [–5,3] =
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2. Les propriétés de la fonction f (x) = [ x ]
Le tableau ci-dessous présente les propriétés de la fonction de base f (x) = [ x ] .
Domaine
Image
Abscisses à l’origine
Ordonnée à l’origine
Signe
Extremum
Variation
Remarque : La réciproque de cette fonction n’est pas une fonction.
B) La fonction partie entière de la forme f (x) = a [ bx ]
Le signe des paramètres a et b détermine la variation de la fonction (croissance ou
décroissance) ainsi que l’orientation des segments ( _______ou ________ ). Le tableau cidessous illustre les quatre cas possibles à l’aide d’un exemple.
a<0
a>0
«_______________
______________»
b>0
b<0
«__________
___________
__________»
La distance entre deux segments consécutifs (contremarche) est «
La longueur de chacun des segments (marche) est «
».
».
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C) La fonction partie entière de la forme g(x) = a ⎡⎣b ( x − h ) ⎤⎦ + k
Le tableau ci-dessous présente les étapes à suivre pour déterminer la règle d’une fonction
partie entière transformée à partir de sa représentation graphique.
1) Propriétés et représentation graphique :
Exemple 1:
⎡1
⎤
g(x) = 2 ⎢ (x − 1) ⎥ + 4
⎣3
⎦
Étapes
Exemple
1. Déterminer le signe de a et de b à partir de la
variation de la fonction et de l’orientation des
segments.
2. Déterminer la valeur de a (la hauteur de la
contremarche est
a.
3. Déterminer la valeur de b (la largeur de la
marche est l’inverse de
b.
4. Déterminer la valeur de h (translation
horizontale de l’origine à l’abscisse du point fermé
d’un segment).
5. Déterminer la valeur de k (translation verticale
du point (h, 0) au point fermé du segment choisi à
l'étape 4).
La règle de la fonction transformée est g(x) =
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Exemple 2:
g(x) = 3[ −2(x + 4)] − 5
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2) Résolution avec une partie entière :
Exemple 1 :
⎡1
⎣2
⎤
⎦
Soit f (x) = 5 ⎢ (x − 1) ⎥ + 3, pour quelles valeurs de x la fonction f est égale à 13?
Résolution graphique:
y
x
Résolution avec algébrique :
Résolution avec les valeurs critiques:
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Exemple 2 :
⎡ 1
⎤
(x − 2) ⎥ + 5, pour quelles valeurs de x la fonction f est égale à -4?
⎣ 4
⎦
Soit f (x) = −3 ⎢ −
Résolution graphique:
y
x
Résolution avec algébrique :
Résolution avec les valeurs critiques:
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Exemple 3 :
⎡ 1
⎤
(x − 1) ⎥ + 3, pour quelles valeurs de x la fonction f est égale à 6?
⎣ 2
⎦
Soit f (x) = 5 ⎢ −
Résolution graphique:
y
x
Résolution avec algébrique :
Résolution avec les valeurs critiques:
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