TD - corrigé du dernier exercice

Mesure de densité : méthode du flacon
On étudie la mesure de la densité par rapport à l'eau d'un échantillon métallique par la méthode dite
« du flacon ». On emploie pour cela un flacon spécial appelé pycnomètre qui permet, grâce à un
bouchon à col muni d'un repère, de reproduire le remplissage avec une bonne exactitude.
m2 − m1
1) Montrer qu’en première approximation, la densité est donnée par : dap =
m2 − m3
Les 3 pesées donnent :
Opération
Schéma
Résultat
m1
1)
M1
m2 = m1 + m
2)
M2
m3 = m2 - meau
3)
M3
Alors, d’après 1) et 2) : d =
m − m1
m
= 2
meau m 2 − m3
2) Le problème est que, les pesées étant effectuées dans l’air, il est nécessaire de tenir compte
d’une grandeur d’influence, la poussée d’Archimède de l’air, qui introduit une erreur systématique à
chaque pesée. On note ρair la masse volumique de l’air. Le fait de garder constamment le flacon sur
le plateau de la balance permet de ne tenir compte que de la poussée d’Archimède sur l’échantillon
lors de la deuxième pesée. Soit C2 la correction effectuée sur la masse m2.
Donner l’expression de C2 en fonction de ρair et de v, puis donner l’expression de la masse corrigée
m2c
Le volume d’air déplacé est égal à celui de l’objet, donc mair = ρ air .v et donc C2=mair et donc
m2c=m2+ ρ air .v
3) On note a le rapport de la densité de l’air par rapport à la densité de l’eau : a =
que l’expression corrigée de la densité s’écrit alors : d =
m2 − m1
(1− a) + a
m2 − m3
ρ air
. Démontrer
ρ eau
Les 3 pesées donnent :
Opération
Schéma
Résultat
m1
1)
M1
m2 = m1 + m - mair
2)
m -mair
M2
m3 = m2 + mair - meau
3)
M3
E2) donne m2 − m1 = v(ρ − ρ air )
E3) donne m3 − m2 = v(ρ air − ρ eau )
d’où
m2 − m1
ρ − ρ air
=
m2 − m3 ρ eau − ρ air
En divisant le numérateur et le dénominateur du membre de droite par ρeau, on obtient :
ρ
ρ
− air
ρ eau ρ eau m2 − m1
=
ρ air
m2 − m3
1−
ρ eau
Ecrit avec les notations de l’énoncé :
m2 − m1
d − a m2 − m1
=
, soit d =
(1− a) + a
m2 − m3
1 − a m2 − m3
4) et 5) Ecrire littéralement la formule de propagation des incertitudes dans le cas de grandeurs
indépendantes appliquée à l’expression de la densité obtenue en (3).
2
2
2
 ∂d  2
 ∂d  2
 ∂d  2
∂d
a −1
 ∂d 
 u (m3 ) +   u 2 (a ) , avec
 u (m1 ) + 
 u (m2 ) + 
Propagation: u (d ) = 
=
;
∂m1 m 2 − m3
 ∂a 
 ∂m1 
 ∂m2 
 ∂m3 
∂d
(1 − a )(m1 − m3 ) ; ∂d = (a − 1)(m1 − m2 ) ; ∂d = m1 − m3
=
∂m2
∂m3
∂a m2 − m3
(m2 − m3 )2
(m2 − m3 )2
2
2
6) Evaluer chaque terme, puis calculer l’incertitude composée sur la densité uc(d), en absolu puis en
relatif. Quelle est l’importance de l’incertitude sur a ?
Pour chaque masse mi, les sources d’incertitudes sont les suivantes :
•
Répétabilité :
s (mi )
ni
(attention
aux
unités)
•
0,1mg
Lecture :
(attention aux unités)
3
•
Etalonnage
balance :
0,1%mi
3
(attention aux unités)
•
Tolérance pycnomètre (on prend celui
0,1% * 50
(en g)
de 50 mL) :
3
0,01.10−3
Pour a, on prend
. On remarque qu’elle est complètement négligeable. En fait,
3
seule la tolérance du pycnomètre est importante… L’année prochaine, je modifierai le
texte ☺
Voir les calculs sur la feuille Calc page suivante.
7) Quel est l’écart entre la densité estimée en tenant compte de la poussée
d’Archimède et celle calculée sans en tenir compte ?
Ecart relatif : 0,035% (feuille Calc)
8) En conclusion, écrire le résultat du mesurage sous forme normalisée.
u(d) = 0,015 (feuille Calc)
a
m3
m2
m1
0,0289
0,0289
pycnomètre
0,0293
0,0290
composée
d exact
d approché
4,9758 0,0022
0,00058
0,0029
0,0289
0,0291
1,20E-03
0,0000058
0,0000058
u(d)/d
4,980
1,20E-03
u(d)
(u*sa)^2
4,975
4,978
s/a -0,415316315
(u*sm3)^2
s/m3 0,418384887
4,970
(u*sm2)^2
s/m2 -0,122772604
8,356
(u*sm1)^2
s/m1 -0,295612283
0,035%
0,00050
1,4148
1,4153
8,351
8,357
8,354
soit
0,0048
0,0021
étal.
Balance
3,577
0,00058
0,00058
lecture
delta d
8,3545 0,0013
3,5725 0,0019
répet
3,568
3,574
3,571
moyenne
incertitudes
1,08%
0,0153
5,75E-12
1,48E-04
1,29E-05
7,36E-05

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