1
¡! ¡
! ¡! ¡
!
四面体 OABC において，OA = a ，OB = b ，
¡! ¡
!
OC = c とし，頂点 O から 4ABC を含む平面
3
に下ろした垂線の足を H とする．また，四面体
OABC は
¡
!
¡
!
¡
!
a = b = c = 1;
ÎAOB = ÎBOC =
を満たすものとし，ÎAOC = µ #0 < µ <
¼
3
2
¼;
3
とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) 内積 BA ¢ BC を求めよ．
(2) 4ABC の面積を求めよ．
¡!
¡
!
¡
!
¡
!
(3) OH = s a + t b + u c を満たす s; t; u を求
¡!
¡
! ¡!
¡
!
四面体 OABC があり，OA = a ，OB = b ，
¡!
¡
!
OC = c とする．三角形 ABC の重心を G と
¡!
¡
! ¡!
¡
!
する．点 D，E，P を OD = 2 b ，OE = 3 c ，
¡!
¡!
OP = 6OG をみたす点とし ，平面 ADE と直線
OP の交点を Q とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OQ を a ; b ; c を用いて表せ．
(2) 三角形 ADE の面積を S1 ，三角形 QDE の面積
S2
を求めよ．
を S2 とするとき，
S1
(3) 四面体 OADE の体積を V1 ，四面体 PQDE の
V2
体積を V2 とするとき，
を求めよ．
V1
（ 横浜国立大学 2016 ）
めよ．
¡!
(4) OH を求めよ．
2
(5) 0 < µ <
¼ のとき，四面体 OABC の体積の
3
最大値を求めよ．
（ 埼玉大学 2016 ）
4
辺の長さが 1 の正四面体 OABC に対して，平面
OAB 上の点 P が
¡!
¡! ¡
! ¡
!
2OP ¡ 3AP + PB = 0
2
4OAB において，OA = 5，OB = 6，AB = 7
を満たしている．点 P から平面 OBC に垂線を下
とする．t を 0 < t < 1 を満たす実数とする．辺
ろし，その垂線と平面 OBC の交点を Q とする．
OA を t : (1 ¡ t) に内分する点を P，辺 OB を
直線 PQ と平面 ABC の交点を R とする．
1 : t に外分する点を Q，辺 AB と線分 PQ の交
¡
! ¡!
a = OA;
点を R とする．点 R から直線 OB へ下ろした垂
¡! ¡
! ¡! ¡
!
線を RS とする．OA = a ，OB = b とすると
¡
! ¡!
b = OB;
¡
! ¡!
c = OC
とおくとき，次の問いに答えよ．
き，次の問いに答えよ．
¡! ¡
!
(1) OP を a ;
¡! ¡
!
(2) PQ を a ;
¡! ¡
!
(3) PR を a ;
¡
! ¡
!
(1) 内積 a ¢ b を求めよ．
¡!
¡
! ¡
!
(2) OR を t; a ; b を用いて表せ．
¡
!
¡
!
(3) OS を t; b を用いて表せ．
¡
!
b を用いて表せ．
¡
! ¡
!
b ; c を用いて表せ．
¡
! ¡
!
b ; c を用いて表せ．
（ 宮城教育大学 2016 ）
(4) 線分 OS の長さが 4 となる t の値を求めよ．
（ 新潟大学 2016 ）
-1-
5
6
次の問いに答えよ．
平面上の三角形 ABC は，AB = 2，AC = 3，
ÎBAC = 60± を満たしているとする．また，平
Á Xi ; Yi (i = 1; 2; 3) は実数とする．X1 2 +
面上の動点 P に対し実数 f(P) を
X2 2 + X3 2 Ë 0，Y1 2 + Y2 2 + Y3 2 Ë 0 のとき，
¡! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡!
=1
AP ¢ BP + BP ¢ CP + CP ¢ AP
(X1 Y1 +X2 Y2 +X3 Y3 )2 5 (X1 2 +X2 2 +X3 2 )(Y1 2 +Y2 2 +Y3 2 )f(P)
ÝÝ
で定める．このとき，次の問に答えよ．
を以下の指示に従って，2 通りの方法で証明せよ．
(1) 三角形 ABC の重心を G とするとき，f(G) の
(1) すべての実数 t に対して，
(tX1 ¡Y1 )2 +(tX2 ¡Y2 )2 +(tX3 ¡Y3 )2 = 0
が成り立つことを利用して 1 を証明せよ．
値を求めよ．
8
(2) f(P) =
となる点 P の全体は円になること
3
を示せ．
(3) 点 P が平面全体を動くとき，f(P) のとりうる
また等号が成り立つときの条件を示せ．
値の範囲を求めよ．
(2) 原点を O とする 2 つのベクトル，
¡!
OA = (X1 ; X2 ; X3 );
（ 香川大学 2016 ）
¡!
OB = (Y1 ; Y2 ; Y3 )
¡! ¡!
を考える．1 を OA と OB によって表せ．そ
の上で，1 を証明せよ．また等号が成り立
つときの 2 つのベクトルの位置関係を示せ．
7
O を原点とする座標空間に 4 点 A(1; ¡2; ¡2)，
y の値の組
B(¡1; ¡4; 0)，C(2; 2; ¡4)，D(2; 4; ¡4)
(xi ; yi ) (i = 1; 2; 3) を考える．変量 x
をとる．また，線分 AB を t : (1 + t) に外分す
の平均を x とし，x の偏差を X とする．すなわ
る点を P，線分 OB を 3 : 2 に外分する点を Q と
ち，Xi = xi ¡ x (i = 1; 2; 3) であり，変量
おく．ただし，t は正の実数とする．次の問いに
y についても同様とする．また x; y の相関係数
答えよ．
 対 応 す る 2 つ の 変 量 x;
¡!
(1) ベクトル OP の成分を t を用いて表せ．
¡! ¡
!
(2) AB と CP が垂直であるとき，t の値を求めよ．
¡!
¡!
¡!
(3) 実数 r; s について DP = rDC + sDQ が成り
が定義できる場合を考え，これを r とする．こ
のとき，上記 1 を用いて，
¡1 5 r 5 1
立つとする．このとき，r; s; t の値を求めよ．
(4) t が (3) で求めた値のとき，直線 DP と直線 CQ
となることを示せ．
（ 西南学院大学 2016 ）
の交点の座標を求めよ．
(5) 4CDP の面積を S(t) とする．S(t) の最小値を
求めよ．また，そのときの t の値を求めよ．
（ 東京農工大学 2016 ）
-2-
8
1
(¡x + 1) である．
2
¡! ¡!
‘ 点 P が ` 上の点であるとき，内積 OA ¢ OP
(1) ` の方程式は y =
四角形 ABCD が円に内接しており，4 辺の長さが
AB = 2;
BC = 1;
CD = DA =
B
6
の値を求めよ．
¡!
’ ` 上の P に対し，jOPj2 のとり得る最小の値
である．
を求めよ．
(1) ÎBAD = µ とおくと，ÎBCD = ¼ ¡ µ である
(2) a を 1 以上の定数とする．xy 座標平面上の点
ことから
Q が，線分 AQ の中点 M を用いて，
C
12
D
BD =
10
11
;
cos µ =
13
¡!
¡!
¡!
ajAQj2 = 4jOMj2 + 4jBMj2
14
¡! ¡!
¡! ¡!
となる．さらに，BA と BD の内積は BA ¢ BD =
15
を満たしながら動くとき，その Q の軌跡を C と
である．
する．
(2) E を BE が直径となる円周上の点とすると，
¡! ¡!
BA ¢ BE =
16
¡! ¡!
BD ¢ BE =
;
‘ C が直線となるときの a の値を求めよ．
¡!
’ a = 1 のとき，C 上の Q に対し ，jOQj2 の
17
とり得る最小の値を求めよ．
である．したがって，
¡!
BE =
18
19
20
（ 大阪薬科大学 2016 ）
¡!
BA +
21
22
23
24
¡!
BD
である．
10 0 < k < 1，0 < l < 1 とする．鋭角三角形 OAB
（ 青山学院大学 2016 ）
の辺 OA を k : (1 ¡ k) に内分する点を P，辺
OB を l : (1 ¡ l) に内分する点を Q，AQ と BP
¡
!
¡! ¡
!
¡!
の交点を R とおく． a = OA， b = OB とお
くとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡!
¡
! ¡
!
(1) OP，OQ をそれぞれ a ， b を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) OR を a ， b を用いて表せ．
(3) P，Q が BP ? OA かつ AQ ? OB をみたすと
¡
!
¡
! ¡
!
き，k; l の値を a ， b のそれぞれの長さ a ，
¡
!
¡
! ¡
!
b および内積 a ¢ b を用いて表せ．
(4) k; l が (3) の条件をみたすとき，点 R は OR ?
AB をみたすかど うかを内積を計算することに
よって述べよ．
（ 高知大学 2016 ）
9
次の問いに答えなさい．
点 O を原点とする xy 座標平面上に点 A(2; 4)
と点 B(5; 2)，および直線 ` がある．
-3-
11 1 辺の長さ 1 の正四面体 OABC を考える．0 <
1
に対し OA を s : (1 ¡ s) に内分する点
2
を P とし，0 < t < 1 に対し OC を t : (1 ¡ t) に
¡!
¡
!
¡
!
内分する点を Q とする．OA = a ，OB = b ，
¡! ¡
!
OC = c とおくとき，以下の問いに答えよ．
s<
¡
! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) PB，PQ をそれぞれ a ; b ; c ; s; t を用い
13 三角形 OAB の辺 OA を x : (1 ¡ x) の比に内分
する点を X，辺 OB を y : (1 ¡ y) の比に内分す
る点を Y とする．ただし 0 < x < 1，0 < y < 1
とする．線分 YA と線分 XB の交点を Z とする．
(1) 点 Z が線分 XB を s : (1 ¡ s) の比に内分して
いるとする．s を x と y を用いて表せ．
(2) 辺 OA の中点を C，辺 OB の中点を D とする．
て表せ．
(2) ÎBPQ = 90± であるとき，t を s を用いて表せ．
点 Z が線分 CD 上にあるための条件を x; y の
(3) (2) の条件の下で，t の最大値とそのときの s の
式で表せ．
値を求めよ．
（ 弘前大学 2016 ）
2
(4) (3) で求めた s; t に対して，PQ を求めよ．
（ 熊本大学 2016 ）
14 四面体 OABC において，OA = 2，OB = 2，
OC = 4，
12 4ABC と，A を通り BC に平行な直線 ` を考え
¡!
る．k を正の数とし ，直線 ` 上に点 P を AP =
¡!
kBC となるようにとる．また直線 ` 上に点 Q を，
線分 PB と線分 QC が 1 点で交わるようにとる．
¡!
¡
! ¡!
¡
!
その交点を R とする．AB = b ，AC = c と
¡!
¡!
おき，また m を AQ = mAP により定める．以
下の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) AR を b ; c ; k; m を用いて表せ．
¡
!
¡
!
3
(2) b = 1， c = 2，cos ÎBAC =
，
4
¡!
¡!
m = ¡1 とする．BR と CR が直交するとき，
k の値を求めよ．
ÎAOB =
¼
;
2
ÎAOC =
¼
;
3
ÎBOC =
¼
3
とする．また，線分 OA を 2 : 1 に外分する点を
P，線分 OB を 3 : 2 に外分する点を Q とする．
線分 CQ，線分 CP の中点をそれぞれ R，S とし，
直線 PR と直線 QS の交点を T とする．さらに，
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
OA = a ，OB = b ，OC = c とする．次の
問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OT を a ; b ; c を用いて表せ．
(2) 点 T から平面 OAB に下ろした垂線を TH とす
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
る．HT を a ; b ; c を用いて表せ．
(3) 四面体 OABT の体積を求めよ．
（ 熊本大学 2016 ）
（ 県立広島大学 2016 ）
-4-
¡
!
¡! ¡
!
¡! ¡
!
¡!
15 4ABC に対し a = AB， b = BC， c = CA
として
¡
!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
p = a b + b c + c a
¡
!
によってベクトル p を定めるとき，次の問に答
えよ．
¡
! ¡
!
(1) p = 0 は 4ABC が正三角形であるための必
要十分条件であることを証明せよ．
¡
! ¡
!
¡
!
(2) p = a かつ p = 4 のとき，cos ÎABC の
値を求めよ．
（ 東京海洋大学 2016 ）
-5-

PDF版 - SUUGAKU.JP

1 三角形 OABがあり，0 <p< 1 ，0 <q< 1 ¡ p) OA = ¡!a

(2) aが - SUUGAKU.JP

生徒会だより第31号