x4 ¡ 19x2 +9

年番号
1
3
次の問いに答えなさい．
(1) すべての実数 x に対して
氏名
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 の数字が書いてある 7 個の石がある．このとき次の問いに答えなさい．
(1) これらの石から 3 個の石を選んで並べて，3 桁の整数を作るとき 5 の倍数は何個あるか答えな
さい．
x4 ¡ 19x2 + 9 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
(2) 7 個の石を円周上に並べるとき，0 の両端に 1; 2 が並ぶ並べ方は何通りあるか答えなさい．
となるような整数 a; b; c; d の値を求めなさい．ただし a = c とする．
(3) 7 個の石を 1 列に並べるとき，0; 1; 2 がどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか答えなさい．
(2) 4 次方程式 x4 ¡ 19x2 + 9 = 0 の解を求めなさい．
（尾道市立大学 2016 ）
(3) 不等式 x4 ¡ 19x2 + 9 < 0 を満たす x の範囲を求めなさい．
（尾道市立大学 2016 ）
4
p
p
p
関数 f(µ) = 2(sin µ + 3 cos µ) ¡ cos µ( 3 sin µ + cos µ) について次の問いに答えなさい．
ただし 0± 5 µ 5 90± とする．
p
(1) t = sin µ + 3 cos µ とおくとき，t の値の取りうる範囲を求めなさい．
p
(2) cos µ( 3 sin µ + cos µ) を t を用いて表しなさい．
2
a; b は定数で b > 0 とする．2 つの 2 次方程式
x2 + 2ax ¡ a2 + b = 0
5
x2 + ax + a +
=0
4
(3) 関数 f(µ) を t を用いて表したものを g(t) とするとき，g(t) の最大値と最小値，および最大値
Ý1
と最小値を与える t の値を求めなさい．
Ý2
(4) 関数 f(µ) の最大値と最小値，および最大値と最小値を与える µ の値を求めなさい．
について，以下の問いに答えなさい．
（尾道市立大学 2016 ）
(1) b = 2 とするとき，2 つの 2 次方程式 1 と 2 がともに実数解をもつような a の値の範囲を求
めなさい．
1
とするとき，2 つの 2 次方程式 1 と 2 のどちらか一方だけが実数解をもつような a
(2) b =
2
の値の範囲を求めなさい．
(3) 2 次方程式 1 が実数解をもち，2 次方程式 2 が実数解をもたないような a の値の範囲を b を
用いて表しなさい．
（尾道市立大学 2016 ）
5
次の問いに答えなさい．
(1) x; y の多項式 x3 y + x2 y2 + x2 y + x2 + xy2 + xy + x + y を因数分解しなさい．
1p
1p
; y= p
のとき (1) の多項式 x3 y+x2 y2 +x2 y+x2 +xy2 +xy+x+y
(2) x = p
7+ 6
7¡ 6
の値を求めなさい．
(3) a < 0 とし，2 次方程式 ax2 ¡ (a2 + a + 1)x ¡ 2a ¡ 4 = 0 の解を ®; ¯ (® < ¯) とする．この
とき 2 つの解 ®; ¯ が ¡2 < ® < ¡1 かつ ¡1 < ¯ < 0 を満たすような a の範囲を求めなさい．
（尾道市立大学 2015 ）
6
9
次の問いに答えなさい．
次の問いに答えなさい．
(1) 3 を引いても 12 を足しても平方数となる自然数をすべて求めなさい．
(1) 不等式 3x ¡ 1 + x ¡ 2 = 11 を解きなさい．
(2) 3n を 5 で割ると 1 余るという性質を持つ最小の自然数 n は何か答えなさい．
(2) x > 0 のとき，次の式の最小値，および最小値を与える x の値を求めなさい．
(3) 179x + 767y = 1 をみたす整数の組 (x; y) をすべて求めなさい．
3x + 1 +
4
3x + 1
（尾道市立大学 2015 ）
(3) x; y を正の実数とする．このとき次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
(x + y + 1) $
7
1
1
+
+ 1< = 9
x
y
4ABC は 1 辺の長さが 3 の正三角形とする．辺 BC の延長線上に BC = CD である点 D をとり，
（尾道市立大学 2014 ）
直線 AD と ÎB の二等分線との交点を E とする．このとき次の問いに答えなさい．
(1) 線分 AD の長さを求めなさい．
10 1 から 1000 までの整数のうちで，それぞれ次の条件を満たすものの個数を求めなさい．
(2) 線分 AE，ED の長さを求めなさい．
(3) 線分 BE の長さを求めなさい．
(1) 5 の倍数であり，かつ 7 の倍数である整数．
（尾道市立大学 2015 ）
(2) 5 の倍数であるか，または 7 の倍数である整数．
(3) 5 でも 7 でも割り切れない整数．
(4) 5 または 7 のどちらか一方のみで割り切れる整数．
(5) 5; 7; 9 のいずれか 1 つのみで割り切れる整数．
8
a > 3 とし，座標平面上に円 C : x2 + y2 = 9 と点 P(a; 0) がある．このとき次の問いに答え
（尾道市立大学 2014 ）
なさい．
(1) 円 C 上に点 Q(x0 ; y0 ) をとり，線分 PQ を 1 : 2 に内分する点を R とする．このとき点 R の
11 a を正の定数とする．関数 f(x) = (x ¡ 2)3 ¡ 3(x ¡ 2) + 2 の 0 5 x 5 a における最大値を M
座標を a; x0 ; y0 を用いて表しなさい．
とする．このとき次の問いに答えなさい．
(2) 点 Q が円 C 上を動くとき，点 R の軌跡の方程式を求めなさい．
(3) (2) で求めた点 R の軌跡と円 C の共有点が 1 つのみであるとき，共有点の座標と a の値を求め
なさい．
(1) f0 (x) = 0 となる x の値，およびそのときの f(x) の値を求めなさい．
(2) 関数 y = f(x) のグラフを描きなさい．
（尾道市立大学 2015 ）
(3) M を a を用いて表わしなさい．
（尾道市立大学 2014 ）
12 次の問いに答えなさい．
(1) 2 次不等式 2x2 ¡ 3x ¡ 2 = 0 を解きなさい．
(2) 実数 x; y が 2x2 + y2 ¡ 3x = 2 を満たすとき，x と y の取りうる値の範囲を求めなさい．
(3) 2x2 + y2 ¡ 3x = 2 のとき，2y2 + 6 x + 3 の最大値および最小値を求めなさい．
（尾道市立大学 2013 ）
13 4ABC において
p
p
p
p
2 3
2 2
2+ 6
=
=
sin B
sin A
sin C
が成り立っているとする．このとき，それぞれ次の問いに答えなさい．
(1) cos A の値を求めなさい．
p
(2) 4ABC の面積が 2 3 ¡ 2 であるとき，a の値を求めなさい．
(3) C の値を求めなさい．
（尾道市立大学 2013 ）
14 f(x) を変数 x の 2 次関数，F(x) を f(x) の原始関数とする（つまり F0 (x) = f(x) である）．
また f(x) と F(x) は次の関係を満たすとする．
3xF(x) ¡ f(x)2 = x3 ¡ 7x2 ¡ 12x ¡ 9
このとき，次の問いに答えなさい．
(1) f(x) を求めなさい．
Z a+1
(2) 定積分
f(x) dx の値が最小となる実数 a と，そのときの定積分の値を求めなさい．
a
（尾道市立大学 2013 ）

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