2017年2月10日

書泉グランデ
高校生もわかる新しい数論研究
第 2 期予稿 1; 桐山の完全数
飯高茂
2017 年 2 月 10 日
目次
1
2
桐山の完全数
1.1 桐山の完全数, 準備 . . . .
1.2 究極の完全数 . . . . . . .
1.3 桐山の完全数, 計算 . . . .
1.4 種無し完全数 . . . . . . .
1.5 広義の完全数 . . . . . . .
1.6 桐山の完全数, 正規形の解
1.7 桐山の完全数の例 . . . . .
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M だけ平行移動した桐山の完全数
2.1 正規形の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
桐山の完全数
与えられた P, n に対し
(P − 1)σ(a) − P a = (P − 2)σ(P n )
の解を Kiriyama perfect numbers (津山工業高等専門学校生電気電子工学科
2 年桐山翔伍) という.
桐山氏の論文 (メルセンヌ素数とその派生数の一般化に関する研究,2016/12 )
をもとに, 記号を変更しながら説明する.
1.1
桐山の完全数, 準備
σ(P n ) が素数になるとき q とおく. q = σ(P n ) : 素数となる．
P q = P n+1 − 1. q = σ(P n ) により,
a = P n q(正規形の完全数) とおくとき
P σ(a) = (P n+1 − 1)(q + 1) = P a + P n+1 − q − 1
P σ(a) − P a = P n+1 − q − 1 = P q − q = (P − 2)q.
q = σ(P n ) なので
P σ(a) − P a = (P − 2)σ(P n ).
これを a についての方程式とみなす. a = P n q をシード (seed) にして得られ
た方程式である. この解として出てくる数が, 興味深いと桐山さんは思う.
1.2
究極の完全数
P σ(a) − P a = (P − 2)Maxp(a)
を満たす a を (平行移動の無い) 究極の完全数 (Iitaka 2013) という.
(P − 2)σ(P n ) が (P − 2)Maxp(a) になっているだけで類似した構造である.
P = 2 ならどちらも完全数の方程式になる.
Maxp(a) は a の最大素因子を指し, a = P n q のとき q.
2
1.3
桐山の完全数, 計算
与えられた P, n に対し
P σ(a) − P a = (P − 2)σ(P n ).
この解 a を桐山の完全数と言う.
P = 3 のとき究極の完全数で正規形の解 32 ∗ 13 をもとにする (32 ∗ 13 をシー
ドにする) と方程式
2σ(a) − 3a = 13
ができる. その解は (桐山さんも同じ数を得ている)
表 1: [P = 3, n = 2] 桐山完全数
e
2
3
4
a
117
1809
18549
素因数分解
32 ∗ 13
33 ∗ 67
34 ∗ 229
これで得られる a = 1809 = 33 ∗ 67 と a = 18549 は桐山の完全数だが, 究極の
完全数ではない.
34 − 1
3
実際, σ(3 ) =
= 40 となるから.
2
1.4
種無し完全数
n = 4, P = 3 のとき σ(P n ) = 121.
2σ(a) − 3a = 121
を満たす解は何かをシードにしているわけではない. 種無し完全数と言ってもいい
だろう.
表 2: [P = 3, n = 4] 桐山完全数
素因数分解
35 ∗ 607
e
a
5 147501
解が少ないのが気になる.
3
1.5
広義の完全数
m だけ平行した究極の (狭義の) 完全数とは q = σ(P e ) + m :) 素数のとき
a = P e q であり,
P σ(a) − P a = (P − 2)Maxp(a) − mP
を満たす. これを満たす a を広義の完全数という.
とくにこの解が正規形になっているとは,a = P f Q, Q:素数となることである.
これを代入すると,
P σ(a) − P a = (P f +1 − 1)(Q + 1) − P f +1 Q なので, これより
(P f +1 −1)(Q+1)−P f +1 Q = P f −Q−1 によれば, P f +1 −1 = (P f +1 −1)(Q−m).
これより, σ(P f ) + m = Q. これは a = P f Q が究極の (狭義の) 完全数になる
ことを意味する.
究極の完全数のときは正規形の解が求めやすい.
そこで桐山の完全数でも正規形の解を求めよう.
1.6
桐山の完全数, 正規形の解
a = P e Q(Q : 素数) と書けるとき正規形の解 (normal solution) という
a = P e Q を桐山の完全数の方程式に代入すると,
(P − 1)σ(a) − P a = (P e+1 − 1)(Q + 1) − P e+1 Q = P e+1 − 1 − Q.
正規形の解の方程式は
P e+1 − 1 − Q = (P − 2)σ(P n )
になるので整理して
Q = P e+1 − 1 − (P − 2)σ(P n ).
正規形の解は与えられた P, m に対し e < 50 程度で e を動かして
P e+1 − 1 − (P − 2)σ(P n ) が素数なるものを探しこれを Q として a = P e Q を
求めれば良い.
4
1.7
桐山の完全数の例
正規形の解の例を挙げる:
与えられた P, m に対し e と a およびその素因数分解を表示して正規形の解
を見せている.
表 3: [P = 3, n = 2] 桐山完全数, 正規形
e
a
2
117
3
1809
4
18549
7
14318289
16 5559059963901429
18 450283900467110517
28
A
素因数分解
32 ∗ 13
33 ∗ 67
34 ∗ 229
37 ∗ 6547
316 ∗ 129140149
318 ∗ 1162261453
B
A = 1570042899081761336546165109
B = 328 ∗ 68630377364869
a, Q について末尾１桁を求める.
e ≡ 2 mod 4; a ≡ 7 mod 10; Q ≡ 3 mod 10
e ≡ 3 mod 4; a ≡ 9 mod 10; Q ≡ 7 mod 10
e ≡ 0 mod 4; a ≡ 9 mod 10; Q ≡ 9 mod 10
ユークリッドの完全数では末尾１桁は 6,8 であった. これとと類似し 1 だけ
増えた 7,9 になっている. これはかわいい結果である.
次にこの結果を証明する.
e = 4K + j, j = 1, 2, 3, 0 のとき 3e+1 − 14 の素因数分解を行う.
2 ?- q139p(3,14,1,2=<7).
e=9 q= 59035=[5,11807]
e=13 q= 4782955=[5,47,20353]
e=17 q= 387420475=[5^2,13,311,3833]
e=21 q= 31381059595=[5,31,491,412339]
e=25 q= 2541865828315=[5,11,67,181,3810979]
e=29 q= 205891132094635=[5,13,103,30752969693]
5
これから e = 4K + 1 のとき Q = 3e+1 − 14 は 5 の倍数になることがわかる.
Proof.
法 5 で考える.
Q = 34K+2 − 14 ≡ 9 − 14 = −5 ≡ 0 mod 5
e = 4K + 2 のとき:
3 ?- q139p(3,14,2,2=<7).
e=10 Q= 177133=[11,16103]
e=14 Q= 14348893=[13,41,26921]
e=18 Q= 1162261453=[1162261453]
e=22 Q= 94143178813=[41,27437,83689]
e=26 Q= 7625597484973=[13,1987,295211083]
e=30 Q= 617673396283933=[11,19,41,72082319557]
素数となる Q がある.
Q = 34K+3 − 14 ≡ 27 − 14 = 13 ≡ 3 mod 5
Q は奇数なので Q ≡ 3 mod 10.
a = 3e Q ≡ 2 mod 5
a は奇数なので a ≡ 7 mod 10.
4 ?- q139p(3,14,3,2=<7).
e=11 Q= 531427=[13,40879]
e=15 Q= 43046707=[11,349,11213]
e=19 Q= 3486784387=[43,113,717593]
e=23 Q= 282429536467=[13,62057,350087]
e=27 Q= 22876792454947=[163,140348419969]
e=31 Q= 1853020188851827=[7591,244107520597]
素数となる Q はたぶんある.
5 ?- q139p(3,14,0,2=<7).
e=8 Q= 19669=[13,17,89]
e=12 Q= 1594309=[19,83911]
e=16 Q= 129140149=[129140149]
e=20 Q= 10460353189=[11,13^2,5626871]
e=24 Q= 847288609429=[17,29,1718638153]
e=28 Q= 68630377364869=[68630377364869]
素数となる Q がある.
6
表 4: [P = 3, n = 4] 桐山完全数, 正規形
e
5
15
31
40
41
47
a
147501
617671645717293
1144561273430762138731603054893
443426488243037768465014444614204579081
3990838394187339925084541117557513094061
A
素因数分解
35 ∗ 607
315 ∗ 43046599
331 ∗ 1853020188851719
340 ∗ 36472996377170786281
341 ∗ 109418989131512359087
B
A = 2120895147045314119488365752161051928228962093
B = 347 ∗ 79766443076872509863239
a, Q について末尾１桁を求める.
e ≡ 0 mod 4; a ≡ 1 mod 10; Q ≡ 1 mod 10
e ≡ 1 mod 4; a ≡ 1 mod 10; Q ≡ 7 mod 10
e ≡ 3 mod 4; a ≡ 3 mod 10; Q ≡ 9 mod 10
a の末尾１桁は 1,3. Q の末尾１桁は 1,9,7.
この結果を次に証明する.
2σ(a) − 3a = σ(34 ) = 121,
a = 3e Q と素数 Q を入れると Q = 3e+1 − 122.
1 ?- q139p(3,122,0,2=<6).
e=8 Q= 19561=[31,631]
e=12 Q= 1594201=[7,227743]
e=16 Q= 129140041=[17,7596473]
e=20 Q= 10460353081=[19,467,1178897]
e=24 Q= 847288609321=[7,11^2,1000340743]
2 ?- q139p(3,122,1,2=<6).
e=9 Q= 58927=[11^2,487]
e=13 Q= 4782847=[43,111229]
e=17 Q= 387420367=[29,13359323]
e=21 Q= 31381059487=[80761,388567]
e=25 Q= 2541865828207=[173,1297,2213,5119]
3 ?- q139p(3,122,2,2=<6).
7
e=10
e=14
e=18
e=22
e=26
Q=
Q=
Q=
Q=
Q=
177025=[5^2,73,97]
14348785=[5,11^2,37,641]
1162261345=[5,7,151,219917]
94143178705=[5,73,1481,174157]
7625597484865=[5,1525119496973]
Q は 5 の倍数. これを証明する.
Proof.
e = 4K + 3 なので
34 = 81 ≡ 1 mod 5 に注目.
Q = 3e+1 − 122 = 34(K+1) − 122 ≡ −120 ≡ 0 mod 5.
4 ?- q139p(3,122,3,2=<6).
e=11 Q= 531319=[41,12959]
e=15 Q= 43046599=[43046599]
e=19 Q= 3486784279=[11^2,41,439,1601]
e=23 Q= 282429536359=[127,541,4110637]
e=27 Q= 22876792454839=[41,557970547679]
e = 4K のとき
Q = 3e+1 − 122 = 34K+1 − 122 ≡ −119 = −120 + 1 ≡ 1 mod 5.
Q は奇数なので, Q ≡ 1 mod 10.
a = 3e q ≡ q ≡ 1 mod 5 により a ≡ 1 mod 10.
e = 4K + 1 のとき
Q = 3e+1 − 122 = 34K+2 − 122 ≡ −113 = 115 − 113 = 2 ≡ 2 mod 5.
Q ≡ 7 mod 10.
a = 3e q ≡ q × 3 ≡ 1 mod 5 により a ≡ 1 mod 10.
e = 4K + 3 のとき
Q = 3e+1 − 122 = 34K+4 − 122 ≡ −121 ≡ 4 mod 5.
Q は奇数なので, Q ≡ 9 mod 10.
a = 3e q ≡ q × 34 ≡ 12 mod 5 により a ≡ 7 mod 10.
8
表 5: [P = 5, n = 4] 桐山完全数, 正規形
e
a
2
775
6
1219234375
6
1184078125
18 72759576132892608642578125
30
A
素因数分解
52 ∗ 31
56 ∗ 78031
56 ∗ 75781
518 ∗ 19073486325781
B
A = 4336808689942017733846791088581085205078125
B = 530 ∗ 4656612873077392575781
e ≡ 2 mod 4; a ≡ 5 mod 10; Q ≡ 1 mod 10
表 6: [P = 7, n = 4] 桐山完全数
e
a
4
6725201
5
1741927901
21 2183814375991788776115939902278030301
素因数分解
74 ∗ 2801
75 ∗ 103643
721 ∗ 3909821048582974043
表 7: [P = 11, n = 2] 桐山完全数
e
a
4 2340407773
9
素因数分解
114 ∗ 159853
2
M だけ平行移動した桐山の完全数
桐山の完全数の平行移動を考えてみた. 思いのほかうまくいった.
与えられた P, n, M に対し
(P − 1)σ(a) − P a = (P − 2)σ(P n ) − M
の解を M だけ平行移動した M だけ平行移動した桐山の完全数
( Kiriyama perfect numbers wiht marameter M ) という.
P = 2 のとき σ(a) − 2a = −M になりこれは M だけ平行移動した完全数に
なる.
次にこのように呼ぶ理由を説明する.
q = σ(P n ) + M ,q : 素数なので P (q − M ) = P n+1 − 1.
a = P n q とおくとき q − M = σ(P n ) なので
P σ(a) = (P n+1 − 1)(q + 1)
= P a + P n+1 − q − 1
= P a − q + (q − M )P
= P a − q + (q − M )(P − 2 + 1)
= P a + (q − M )(P − 2) − M
= P a − M + (P − 2)σ(P n )
ゆえに
P σ(a) − P a = (P − 2)σ(P n ) − M.
10
2.1
正規形の解
a = P e Q が解のとき
P σ(a) − P a = (P e+1 − 1)(Q + 1) − P e+1 Q = P e+1 − Q − 1
によって
P e+1 − Q − 1 = (P − 2)σ(P n ) − M.
P e+1 − 1 − (P − 2)σ(P n ) + M が素数になるときこれを Q とおくと, a = P e Q
が解になる.
表 8: [P = 3, n = 2, m = −2] 桐山完全数, 正規形の解
a
素因数分解
99
32 ∗ 11
18387
34 ∗ 227
10459408419
310 ∗ 177131
68630300837379 314 ∗ 14348891
A
B
C
D
A = 1546132562196033993109371902929060748464902242019
B = 350 ∗ 2153693963075557766310731
C = 232066203043628532565045340531178154842313139674585263977935775187
D = 368 ∗ 834385168331080533771857328695267
11
表 9: [P = 3, n = 2, m = 4] 桐山完全数, 正規形の解
a
素因数分解
153
32 ∗ 17
1917
33 ∗ 71
18873
34 ∗ 233
174717
35 ∗ 719
14327037
37 ∗ 6551
5559060136088313
31 6 ∗ 129140153
50031543807598077
317 ∗ 387420479
36472996342302942393 320 ∗ 10460353193
328256967289933545597 321 ∗ 31381059599
A
B
C
D
A = 7509466514979724303631264968260477
B = 335 ∗ 150094635296999111
C = 608266787713357704616844933708887677
D = 337 ∗ 1350851717672992079
表 10: [P = 3, n = 2, m = 6] 桐山完全数, 正規形の解
a
素因数分解
171
32 ∗ 19
1971
33 ∗ 73
1588491
36 ∗ 2179
14331411
37 ∗ 6553
7625584730403
313 ∗ 4782961
4052555143720884531
319 ∗ 3486784393
328256967310854252003 321 ∗ 31381059601
12

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